Comment enseigner les probabilités

Ce guide s'adresse aux enseignants qui utilisent CommeUnJeu avec une classe, du CM1 à la terminale. Il suit une seule idée d'une année à l'autre : un événement est un ensemble d'issues, et sa probabilité est un nombre qu'on lui attache. Avant de calculer une probabilité, l'élève entoure les issues qui réalisent l'événement ; ensuite seulement, il compte. Quand un chapitre étudie les fréquences d'essais répétés, elles viennent en dernier, pour ce qu'elles sont : une statistique qui estime une probabilité ou met un modèle à l'épreuve. Dans chaque chapitre, vous trouvez :

• des sections qui s'ouvrent le plus souvent sur une courte vidéo, en français et en anglais (le guide les reprend aussi, en tête des passages qu'elles concernent) ;
• le cours : définitions, méthodes et exemples rédigés, à projeter ou à imprimer ;
• sous chaque section, les compétences à pratiquer : des groupes d'exercices corrigés aussitôt, chaque réponse suivie de sa correction rédigée ;
• à la fin, une section Pour aller plus loin, avec des problèmes et un quiz ;
• certains exercices se rédigent sur papier : l'élève envoie la photo de sa copie pour la faire corriger.

Le programme français n'introduit le hasard qu'au CM1. Pour les plus jeunes, les chapitres PYP 0 à PYP 2 du site, écrits pour l'IB, sont lisibles en français et proposent des activités sur le hasard sans calcul de probabilité : le guide y renvoie.

Un lancer d'un dé équilibré à six faces. « Obtenir un nombre pair » nomme un événement : les faces \(2\), \(4\) et \(6\), les issues qui le réalisent. Sa probabilité est un nombre entre \(0\) et \(1\), ici \(\dfrac{1}{2}\). La figure garde les deux objets dans deux cadres, reliés par une seule flèche. L'événement, c'est le cerceau et ce qu'il contient ; la probabilité, c'est un point sur une droite. Deux phrases d'élèves montrent s'ils gardent les deux séparés :

• « l'événement, c'est \(\dfrac{1}{2}\) », ou \(A = \dfrac{1}{2}\) : un événement n'est jamais un nombre ;
• \(P(A) = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) : une probabilité n'est jamais un ensemble.

Le cours de première le dit en toutes lettres (Un événement est un ensemble et une probabilité est un nombre). Votre question à chaque exercice, du CM1 à la terminale : quelles issues le réalisent ? Posez-la avant « quelle est la probabilité ? ».

Trois gestes guident tout le parcours, dans cet ordre. Ils sont introduits selon la classe et le contenu du chapitre : les détails changent, l'ordre ne change pas.

1. Entourer. Mettre dans un cerceau les issues qui réalisent l'événement. C'est l'événement, construit à la main.
2. Compter. Quand les issues sont équiprobables, compter les issues du cerceau et toutes les issues, puis diviser.
3. Lancer, en dernier. Répéter l'expérience pour estimer une probabilité, ou pour comparer la fréquence à une probabilité déjà calculée. Cela vient en fin de chapitre : la fréquence estime une probabilité, qui peut avoir été calculée auparavant ou être encore inconnue.

Le cerceau est le même objet à tout âge ; seul son nom change. Dans les chapitres PYP 0 et PYP 1, il contient les jetons rouges d'un sac ; au CM2, les cases d'un tableau ; à partir de la 5e, il s'écrit avec des accolades, \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\), une partie de l'univers \(\Omega\) ; en seconde, c'est une région d'un diagramme de Venn. Demandez le cerceau avant tout nombre, et demandez-le sur la copie : « quelles issues ? » se répond par une liste, un dessin ou un ensemble, jamais par une fraction. Les corrigés des cours le font toujours : « les issues de l'événement « obtenir un nombre pair » sont \(2\), \(4\) et \(6\) ». À partir de la 4e, la méthode de tout calcul a deux temps : déterminer l'événement (lister ses issues, l'écrire comme un ensemble), puis calculer sa probabilité. Au CM1, au CM2 et en 6e, plusieurs exercices de calcul corrigés en ligne demandent d'abord le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues.

« Favorables sur total » n'est vrai que si les issues comptées sont équiprobables. Les deux roues du CM1 le montrent. Sur A, \(6\) parts égales, numérotées de \(1\) à \(6\) ; « rouge » est l'ensemble des parts \(1\) et \(2\) : \(P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{6}\). Sur B, trois couleurs, mais le rouge couvre la moitié du disque : \(P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{2}\), et non \(\dfrac{1}{3}\). Il en va de même pour un sac. Avec \(2\) jetons rouges, \(1\) bleu et \(1\) jaune, on peut prendre les trois couleurs pour issues, mais elles ne sont pas équiprobables ; pour calculer en comptant, on prend les quatre jetons, qui le sont. Une fois les bonnes issues choisies, les règles des probabilités sont des faits sur les cerceaux, lus sur le dessin avant d'être écrits en formules. Un événement et son contraire se partagent l'univers : leurs probabilités ont pour somme \(1\). Dans \(A\) et dans \(B\) pris séparément, les issues de \(A \cap B\) sont comptées deux fois : d'où la relation d'addition.

La fréquence d'un événement sur une série d'essais est une statistique : le nombre de fois où l'événement s'est produit, divisé par le nombre d'essais. Ce n'est pas une seconde définition de la probabilité ; elle vient après l'événement et sa probabilité, en fin de chapitre, et elle sert à deux choses.

1. Elle estime une probabilité qu'aucune symétrie ne donne. Un cône tombe sur sa base ou sur le côté, et les deux ne sont pas équiprobables. Isaac le lance \(50\) fois : \(15\) fois sur la base, donc \(P(\text{sur la base}) \approx \dfrac{15}{50}\). La probabilité existe avant les essais ; la fréquence l'estime.
2. Elle met un modèle à l'épreuve. Léa lance \(12\) fois un dé équilibré et n'obtient aucun six. Ni « le dé est truqué » ni « j'aurais dû avoir exactement deux six » n'est juste : douze lancers, c'est peu, et un écart, à lui seul, ne prouve rien. Sur des centaines de lancers indépendants, la fréquence est en général proche de \(\dfrac{1}{6}\).

Pour des répétitions indépendantes dans les mêmes conditions, la fréquence a tendance à se rapprocher de la probabilité quand le nombre d'essais augmente, sans que l'écart diminue à chaque essai : c'est ce qu'énonce la loi des grands nombres, en seconde puis en terminale. Dites fréquence, et écrivez \(f \approx P\) : les cours de la 5e à la seconde l'appellent « probabilité expérimentale » et la définissent comme « une estimation », et c'est ce que les élèves doivent retenir. Le cours de 6e parle simplement de « la part des essais ».

Chaque chapitre reprend ce que l'année précédente a enseigné, puis va un pas plus loin. Trois fils courent côte à côte : les événements et les nombres, dès le CM1 ; les fréquences, dès la 6e, toujours en fin de chapitre.

Classe	Chapitre	Ce qui est nouveau
avant le CM1	Trier, représenter, le hasard (PYP 0)	tirer sans regarder : tous, certains, aucun
avant le CM1	Le hasard (PYP 1)	ce qui peut sortir ; construire le sac
avant le CM1	Le hasard (PYP 2)	non, ou, et avec deux cerceaux
CM1	Les probabilités	issues, événements ; un nombre de \(0\) à \(1\) ; jeux équitables
CM2	Les probabilités	deux étapes : tableau, arbre ; le dé sans mémoire, en remarque
6e	Les probabilités	trois écritures ; répéter et comparer
5e	Probabilités	l'univers \(\Omega\) ; le contraire ; la fréquence
4e	Probabilité	réunion, intersection ; couples ; fluctuation
3e	Probabilités	relation d'addition ; d'Alembert ; simulation
2de	Probabilités et échantillonnage	ensembles ; conditionnement ; échantillons
1re	Probabilités conditionnelles	axiomes ; probabilités totales ; simulation
1re	Variables aléatoires	une fonction sur \(\Omega\) ; espérance
Tle	Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale	chemins à \(k\) succès
Tle	Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres	concentration

Les lignes de première et de terminale sont celles de la spécialité ; les voies technologiques et l'enseignement scientifique ont leurs chapitres, faits des mêmes blocs.

Le programme français n'a pas de hasard avant le CM1. Si vous voulez commencer plus tôt, ou ouvrir le chapitre du CM1 sans aucun nombre, les chapitres Trier, représenter, le hasard (PYP 0), Le hasard (PYP 1) et Le hasard (PYP 2) sont écrits en français aussi. Concret. Un sac en tissu et des jetons que les enfants voient et touchent. Avant chaque tirage, videz le sac sur la table, demandez « le jeton sera-t-il rouge ? », puis remettez les jetons et tirez sans regarder. Imagé. La méthode du PYP 0 décide en regardant tous les jetons : si tous sont rouges, tirer un jeton rouge est certain ; si certains sont rouges et d'autres non, c'est peut-être ; si aucun n'est rouge, c'est impossible. Le jugement porte sur un ensemble, avant tout nombre. Puis le cerceau : « quels jetons font arriver « le jeton est rouge » ? Mets-les dans le cerceau. » Le PYP 1 fait de même avec un dé et une roue : d'abord tout ce qui peut sortir, puis le cerceau, puis la comparaison du cerceau avec le tout. Le cerceau contient \(2\) des \(6\) faces : obtenir plus de \(4\) points est possible. Dans Construire le sac, l'élève colorie les billes pour que tirer une bille rouge soit certain, puis impossible, puis possible sans être certain : l'événement est construit avant d'être jugé. Le PYP 2 ajoute non, ou, et. Deux cerceaux, « rouge » et « rond » : « non rouge », c'est hors du premier cerceau ; « rouge et rond », c'est là où ils se croisent ; « rouge ou rond », c'est dans au moins l'un des deux. « Rouge ou non rouge » contient tous les jetons : certain. « Rouge et non rouge » n'en contient aucun : impossible. De même avec un dé : \(A\), « plus de \(4\) », et \(B\), « pair ». Enfin, les effectifs du sac, pour la ligne de l'impossible au certain : avec seulement des jetons rouges et bleus, qui ont chacun la même chance, autant de rouges que de bleus donne une chance sur deux. Le cours prévient que les deux conditions comptent : avec \(1\) rouge, \(1\) bleu et \(2\) jaunes, le rouge est moins probable, ce n'est pas une chance sur deux. Abstrait. Pas encore de symbole. Les mots sont l'abstraction : certain, possible, impossible, dits d'un cerceau comparé au sac entier. Où le trouver. PYP 0, section Tirer sans regarder, avec les exercices Remplir le cerceau et Tirer un jeton. PYP 1, Qu'est-ce qui peut sortir ? (Montrer tout ce qui peut sortir, Remplir le cerceau), puis Certain, possible ou impossible ? (Tirer au hasard, Construire le sac). PYP 2, Non, ou, et (Trouver ce qui n'est pas…, Utiliser deux cerceaux), puis De l'impossible au certain. Au CM1, la section Les événements reprend la même question avec les faces d'un dé.

Concret. Une pièce, un dé. Demandez toutes les issues possibles avant toute chose : pile et face ; les six faces. Imagé. Un événement est « un ensemble d'issues » : obtenir un nombre pair, ce sont les faces \(2\), \(4\), \(6\). Puis la ligne des cinq mots, de l'impossible au certain. Ses images viennent de la vie courante, et le cours le précise : monter sur un dinosaure ou le lever du soleil sont des faits de la vie courante, pas des événements d'une expérience ; dans une expérience, un événement est impossible quand aucune issue ne le réalise, certain quand toutes le réalisent. Le nombre vient ensuite : une probabilité est un nombre de \(0\) (impossible) à \(1\) (certain) ; avec une pièce équilibrée, obtenir face a une probabilité de \(\dfrac{1}{2}\). Abstrait. Quand les issues sont équiprobables, \(P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues possibles}}\). Deux événements de la même expérience se comparent par leurs issues favorables, puisque le total est le même : sur cette roue équilibrée à \(8\) secteurs égaux, le rouge a \(4\) secteurs et le bleu \(3\). Où le trouver. CM1, sections Les issues, Les événements, Décrire une probabilité avec des mots, Décrire une probabilité avec un nombre et Calculer les probabilités, avec les exercices Lister toutes les issues possibles, Identifier les issues des événements liés au lancer de dé, Exprimer une probabilité comme une chance sur n et Calculer les probabilités. Dans ce dernier groupe, l'élève dénombre d'abord les issues favorables et toutes les issues possibles.

Concret. Sam et Mia lancent un dé équilibré. Sam gagne la manche sur \(1\) ou \(2\), Mia sur \(3\), \(4\), \(5\) ou \(6\). Mia dit que le jeu est équitable, puisqu'ils lancent autant de fois l'un que l'autre. Demandez aux élèves d'examiner son affirmation en listant les faces gagnantes de chaque joueur. Imagé. Un cerceau par joueur, sur les mêmes six faces. La roue du cours pose la même question : Léa gagne sur le rouge, Tom sur le bleu ou le vert. Abstrait. Un jeu est équitable quand chaque joueur a la même chance de gagner. Pour décider : rendre les issues équiprobables (une part deux fois plus grande compte pour deux parts égales), compter les issues gagnantes de chaque joueur, comparer. Pour rendre le jeu équitable, changer les règles jusqu'à égalité. Les vainqueurs de quelques manches ne tranchent pas ; les comptes, si. Où le trouver. CM1, section Jeux équitables et non équitables, avec les exercices Décider si un jeu est équitable et, rédigé sur papier, Rendre un jeu équitable.

Concret. Léa lance un dé à quatre faces, puis le relance, et écrit les deux résultats côte à côte : \(11\), \(12\), \(13\)… Elle s'y perd vite. Laissez les élèves essayer avant de montrer un outil. Imagé. Une issue d'une expérience en deux étapes est le couple formé par un résultat de la première étape suivi d'un résultat de la seconde. Le tableau a une ligne par premier résultat et une colonne par second résultat : chaque case est une issue, et le nombre d'issues est un produit, \(4 \times 4 = 16\). L'arbre montre l'ordre des étapes, et il marche encore pour trois étapes ou plus. Compter par un produit est juste parce que la seconde étape a les mêmes issues quel que soit le premier résultat : on relance le même dé, on remet la boule dans le sac. Abstrait. Rien de neuf pour le calcul : les cases du tableau, ou les bouts de l'arbre, sont les issues. Vérifier qu'elles sont équiprobables (chaque étape est équilibrée et la seconde se fait dans les mêmes conditions que la première : on l'admet), compter celles qui réalisent l'événement, diviser. « Un nombre pair aux deux lancers » est réalisé par \(4\) cases sur \(16\) : \(P = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}\). En fin de chapitre, une remarque. Lina a obtenu trois six :       « le prochain ne sera sûrement pas un six », dit-elle ; Sami répond que le dé a de la chance aujourd'hui. Aucun des deux : connaître les résultats précédents ne change pas les chances du lancer suivant. Le CM2 le dit dans une remarque de sa dernière section, sans en faire une définition : la notion d'indépendance se construit plus tard. Un tirage sans remise donne un exemple du contraire : le sac change après chaque tirage. Où le trouver. CM2, section Le langage des événements (Les expériences en deux étapes, exercices Compléter le tableau des issues et Lire l'arbre des issues), section La probabilité (Calculer une probabilité en deux étapes) et, en dernier, Du hasard à l'expérience (Répéter la même expérience, exercices Décider si le dé a une mémoire et Calculer la probabilité à l'essai suivant). La 6e reprend les deux étapes et le dé sans mémoire.

La 6e reprend le vocabulaire (issues, événements, deux étapes), puis la probabilité d'un événement. Deux choses sont neuves. Trois écritures d'un même nombre. Une probabilité s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage ; les trois sont le même nombre. La fraction est l'écriture exacte : \(\dfrac{1}{3}\) n'est pas \(0{,}33\). Répéter pour comparer, en fin de chapitre. Une pièce équilibrée : après \(10\) lancers, \(7\) ont donné pile ; après \(100\), \(46\) ; après \(1\,000\), \(503\). Le cours appelle ce quotient la part des essais, et la compare à la probabilité calculée : avec peu d'essais, l'écart est souvent grand ; avec beaucoup, la part des essais est le plus souvent proche de \(\dfrac{1}{2}\), sans jamais devoir l'atteindre. Abstrait. Un écart n'est ni une faute ni une preuve : avec \(12\) lancers, un dé équilibré peut ne donner aucun six. Ce qui compte, c'est la tendance sur un grand nombre d'essais. L'élève compare deux nombres de nature différente, une part observée et une probabilité calculée ; ne les confondez pas dans l'écriture. Où le trouver. 6e, sections Le langage des événements, puis La probabilité (Un nombre de 0 à 1, Calculer une probabilité, Les trois écritures d'une probabilité) et, en dernier, Du hasard à l'expérience (Répéter l'expérience et comparer, qui s'ouvre sur le dé sans mémoire).

Concret. Un dé. Demandez aux élèves d'écrire toutes les issues entre accolades : l'univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\). Puis « obtenir un nombre pair » comme un ensemble : \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\), une partie de \(\Omega\). Imagé. Une issue et l'événement qui ne contient qu'elle sont deux objets : la face \(3\) et le singleton \(\{3\}\), « obtenir 3 ». L'événement contraire \(\overline{E}\) est fait des issues de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(E\). Chaque issue est dans exactement un des deux : ils se partagent l'univers. Abstrait. La règle de l'événement contraire est démontrée à partir du dessin, pas admise : additionner \(P(E)\) et \(P(\overline{E})\) compte la probabilité de chaque issue exactement une fois, donc \(P(E) + P(\overline{E}) = P(\Omega) = 1\), et \(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\). Quand les issues sont équiprobables, \(P(E) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } E}{\text{nombre d'issues de } \Omega}\) : le numérateur compte un ensemble. Où le trouver. 5e, section Le langage des événements (L'expérience aléatoire et ses issues, Les événements, L'événement contraire), puis La probabilité (Les mots de la probabilité, Un nombre de 0 à 1, L'équiprobabilité, La probabilité de l'événement contraire) et, en dernier, Du hasard à l'expérience (La fréquence et la probabilité).

Concret. Un dé, deux phrases : « pair » et « plus de \(4\) ». Demandez les faces qui réalisent « pair ou plus de \(4\) », puis « pair et plus de \(4\) ». Les cerceaux des petites classes reviennent, avec leur nom. Imagé. La réunion \(E \cup F\) (« \(E\) ou \(F\) », éventuellement les deux), l'intersection \(E \cap F\) (« \(E\) et \(F\) »), et deux événements incompatibles, \(E \cap F = \emptyset\).       Une expérience à deux épreuves a pour issues des couples : pour « une pièce puis un dé », \(2 \times 6 = 12\) couples, et « face et pair » est un ensemble de \(3\) d'entre eux. Abstrait. La méthode de tout calcul a deux temps : déterminer l'événement (le décrire, lister ses issues, l'écrire comme un ensemble), puis calculer sa probabilité, en comptant si les issues sont équiprobables, en additionnant les probabilités de ses issues sinon, ou par le contraire quand c'est plus simple. Deux remarques du cours évitent deux confusions : incompatibles ne veut pas dire contraires, et les probabilités de deux événements incompatibles n'ont pas forcément pour somme \(1\). Où le trouver. 4e, section Le langage des événements (La réunion de deux événements, L'intersection de deux événements, Les événements incompatibles, L'événement contraire, Les expériences à deux épreuves), puis La probabilité (La probabilité d'un événement, La somme des probabilités, L'équiprobabilité, La règle de l'événement contraire) et, en dernier, Du hasard à l'expérience (La fluctuation des fréquences).

Concret. Un lycée choisit un élève au hasard pour un spectacle : les issues sont les élèves. \(40\pourcent\) chantent, \(30\pourcent\) dansent, \(10\pourcent\) font les deux. Quelle est la probabilité que l'élève choisi chante ou danse ? Imagé. Remplissez le diagramme de Venn par le milieu : \(0{,}1\) pour les deux, donc \(0{,}3\) pour le chant seul et \(0{,}2\) pour la danse seule. Les issues de \(E \cap F\) sont dans \(E\) et dans \(F\) : dans \(P(E) + P(F)\), elles sont comptées deux fois. Abstrait. \(P(E \cup F) + P(E \cap F) = P(E) + P(F)\), une balance entre quatre nombres : trois d'entre eux donnent le quatrième. La 3e la démontre, par le dessin puis avec les événements, avant de s'en servir ; en seconde, la démonstration est cachée. Un problème d'histoire. En 1754, d'Alembert conteste la réponse habituelle à « face au moins une fois en deux lancers ». Ses trois cas (face au premier lancer ; pile puis face ; pile puis pile) ne sont pas équiprobables : le premier rassemble deux des quatre issues. Où le trouver. 3e, sous-sections La relation d'addition (en fin de La probabilité) et Les expériences à deux épreuves (en fin de Le langage des événements), et, dans Pour aller plus loin, Résoudre des problèmes historiques du hasard (d'Alembert).

Imagé. Un seul tableau traduit chaque mot : la notation, le mot des ensembles, le mot des probabilités, le diagramme de Venn. Projetez-le toute l'année de seconde.

Notation	Vocabulaire des ensembles	Vocabulaire probabiliste	Diagramme de Venn
\(\Omega\)	Ensemble de référence	Univers
\(x\)	Élément de \(\Omega\)	Issue
\(\emptyset\)	Ensemble vide	Événement impossible
\(E\)	Sous-ensemble de \(\Omega\)	Événement
\(x \in E\)	\(x\) est un élément de \(E\)	\(x\) est une issue de \(E\)
\(\overline{E}\)	Complémentaire de \(E\) dans \(\Omega\)	Événement contraire de \(E\)
\(E \cup F\)	Union de \(E\) et \(F\)	\(E\) ou \(F\)
\(E \cap F\)	Intersection de \(E\) et \(F\)	\(E\) et \(F\)
\(E \cap F = \emptyset\)	\(E\) et \(F\) sont disjoints	\(E\) et \(F\) sont incompatibles

Une partition de l'univers : des événements qui ne se chevauchent jamais et qui, ensemble, recouvrent \(\Omega\) (première). Abstrait. La première donne les axiomes : une probabilité n'est jamais négative, vaut \(1\) pour l'univers entier, et s'additionne sur des événements incompatibles. Les règles en découlent, à partir des événements. Si \(A \subseteq B\), les issues de \(A\) sont parmi celles de \(B\) : \(P(A) \leq P(B)\). La règle de l'événement contraire vient de la partition en \(E\) et \(\overline{E}\). En seconde et en première, une partie de ces démonstrations est cachée dans le cours ; au collège, la 5e, la 4e et la 3e montrent celle de l'événement contraire. Si vous voulez que les élèves voient d'où viennent les règles, refaites la démonstration au tableau avec le dessin. Où le trouver. 2de, section Le langage des événements (jusqu'à Dénombrer avec des tableaux et des arbres), puis La loi de probabilité (jusqu'à La relation d'addition). 1re, Probabilités conditionnelles : Le langage des événements (Partition de l'univers), puis Axiomes et règles de probabilité.

Concret. Les \(600\) élèves d'un lycée, triés par âge et par lieu de repas. On choisit un élève au hasard.

	Demi-pensionnaire	Externe	Total
Moins de 16 ans	\(180\)	\(60\)	\(240\)
16 ans ou plus	\(210\)	\(150\)	\(360\)
Total	\(390\)	\(210\)	\(600\)

Imagé. « Sachant que l'élève a moins de \(16\) ans » garde les mêmes élèves et les mêmes événements ; seuls changent les nombres qu'on leur attache. La nouvelle probabilité donne \(1\) à l'événement connu, \(0\) aux issues qui sont dehors, et se répartit à l'intérieur. Abstrait. \(P_E(F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(E)}\), avec \(P(E) > 0\). Un arbre pondéré porte les probabilités conditionnelles sur ses branches ; le produit le long d'un chemin donne la probabilité de l'intersection. La seconde lit la probabilité conditionnelle dans une nouvelle population, celle des lignes du tableau. La première ajoute la seconde lecture, dans une proposition, Conditionner change la probabilité, pas les événements : \(F \mapsto P_E(F)\) est une probabilité sur le même univers, et toutes les règles valent pour elle. La démonstration y est cachée ; elle tient en trois lignes au tableau. Lorsque \(P(E) > 0\) et \(P(F) > 0\), \(P_E(F)\) et \(P_F(E)\) ont le même numérateur, \(P(E \cap F)\), et pour dénominateurs \(P(E)\) et \(P(F)\), qui ne sont pas nécessairement égaux : le test de dépistage de la section des erreurs montre pourquoi c'est important. Où le trouver. 2de, section Probabilité conditionnelle (Probabilité conditionnelle et tableau croisé, Les arbres pondérés, La règle du produit sur un chemin, Inverser le conditionnement). 1re, Probabilités conditionnelles : Probabilité conditionnelle (Définition, Loi de la probabilité totale, Indépendance et probabilité conditionnelle) et, en dernier, Estimer par simulation.

À partir de la 6e, quand un chapitre a des essais répétés, ils le ferment. Ils viennent après que la probabilité a été construite, et servent aux deux fins du troisième geste : estimer une probabilité, mettre un modèle à l'épreuve. 5e et 4e : la fréquence. La fréquence d'un événement, c'est son effectif divisé par le nombre d'essais. Elle fluctue d'une série à l'autre, et les longues séries s'écartent en général moins de la probabilité que les courtes. 3e : se stabiliser, simuler. Deux élèves lancent chacun un dé et suivent la fréquence de six : leurs courbes, très différentes au début, se resserrent ici autour de \(\dfrac{1}{6}\). Et les lancers suivants ne « rattrapent » pas un retard : le dé n'a pas de mémoire. Une simulation remplace une expérience lente par une expérience rapide, avec les mêmes probabilités : un tableur lance deux dés \(2\,000\) fois et trouve \(339\) sommes égales à \(7\), une fréquence proche de la probabilité exacte \(\dfrac{6}{36}\), lue dans le tableau des \(36\) issues.

\(+\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)
\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)
\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)

2de : l'échantillon. Tirer avec remise \(n\) fois dans un sac, c'est constituer un échantillon de taille \(n\). La fréquence observée \(f\) varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Pour des tirages indépendants dans les mêmes conditions, \(f\) a tendance à se rapprocher de \(p\) quand \(n\) augmente, et comme la proportion d'un caractère dans une population est la probabilité de le tirer, « estimer l'une, c'est estimer l'autre ». Abstrait. La fréquence estime une probabilité ; elle ne la définit jamais. Écrivez \(f \approx P\), et gardez la lettre \(P\) pour le modèle. Où le trouver. 5e, Du hasard à l'expérience (La fréquence et la probabilité). 4e, Du hasard à l'expérience (La fluctuation des fréquences). 3e, Du hasard à l'expérience (De la fréquence à la simulation). 2de, Du modèle à l'échantillon (Le modèle et les fréquences, La notion d'échantillon, La fluctuation d'échantillonnage, La loi des grands nombres). 1re, Estimer par simulation. Terminale, La loi des grands nombres. Ces passages ferment le cours, dans sa dernière section ou sous-section.

La même séparation, un étage plus haut. Une variable aléatoire est une fonction sur l'univers avant d'avoir une loi : \(X\), le nombre de « face » en deux lancers indépendants d'une pièce équilibrée, envoie chaque issue sur un nombre, et \((X = 1)\) est un événement, l'ensemble des issues où \(X\) prend la valeur \(1\). Sa loi, c'est la probabilité appliquée à ces événements : \(P(X = 1) = P(\{FP\,;\,PF\}) = \dfrac{2}{4}\). Dans un schéma de Bernoulli à \(n\) épreuves, si \(X\) compte les succès, le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) compte les chemins de l'arbre qui forment l'événement \((X = k)\). Avec remise, la même urne donne les mêmes branches au second tirage : les épreuves sont indépendantes, et le produit des branches donne la probabilité d'un chemin. Où le trouver. 1re, Variables aléatoires (Définitions, Loi de probabilité, Espérance, et en dernier Estimer l'espérance par un échantillon). Terminale, Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli, loi binomiale (Le schéma de Bernoulli, La loi du nombre de succès), puis Sommes de variables aléatoires, concentration, loi des grands nombres.

La plupart de ces erreurs ne portent pas sur les nombres : elles viennent d'un événement jamais construit, ou d'issues comptées comme si elles étaient équiprobables. Pour chacune, une figure donne la réponse ; l'élève la dessine, et l'erreur se voit.

1. « L'événement, c'est \(\dfrac{1}{6}\). » Trois objets, trois noms : la face \(3\) est une issue, \(\{3\}\) est un événement, \(\dfrac{1}{6}\) est sa probabilité (5e, le singleton ; 1re, Un événement est un ensemble et une probabilité est un nombre).
2. « Deux résultats possibles, donc une chance sur deux. » Sur la roue A, l'aiguille s'arrête sur rouge ou pas rouge, deux résultats, et pourtant le rouge occupe \(2\) des \(6\) parts égales : \(\dfrac{2}{6}\), et non \(\dfrac{1}{2}\). On compte des parts égales, pas des résultats (CM1, Calculer les probabilités).
3. « Trois couleurs, donc \(P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{3}\). » Les couleurs sont des issues, mais pas équiprobables. Pour calculer en comptant, on prend les jetons pour issues (CM1, Reconnaître des issues équiprobables).
4. « Trois six de suite : le prochain ne peut pas être un six », ou « le dé a de la chance aujourd'hui ». Rien n'a changé entre les lancers ; les chances non plus (CM2, la remarque de Répéter la même expérience, dans Du hasard à l'expérience).      
5. « Face au moins une fois en deux lancers : \(\dfrac{2}{3}\). » Les trois cas de d'Alembert ne sont pas équiprobables. Dessinez le tableau des quatre issues ordonnées (3e, Résoudre des problèmes historiques du hasard).
6. « Joue au football et à la fanfare » jugé plus probable que « joue au football ». Les élèves qui font les deux sont parmi ceux qui jouent au football : \(F \cap B \subseteq F\), donc \(P(F \cap B) \leq P(F)\) (1re, la règle \(A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)\)).
7. « Le test est positif chez \(99\pourcent\) des malades, donc une personne positive est malade avec la probabilité \(0{,}99\). » \(P_M(T)\) et \(P_T(M)\) sont deux nombres différents. Suivez \(10\,000\) personnes dans l'arbre : sur \(594\) tests positifs, \(99\) seulement sont malades (2de, Inverser le conditionnement).
8. « Aucun six en douze lancers : le dé est truqué », ou « \(\dfrac{15}{50}\), c'est la probabilité ». Une fréquence fluctue ; elle estime la probabilité, elle ne l'est pas. Douze lancers, c'est peu ; sur des centaines de lancers indépendants, la fréquence est en général proche de la probabilité (6e, Répéter l'expérience et comparer).
9. « Monter sur un dinosaure, c'est impossible », donné comme exemple d'événement. Un événement appartient à une expérience. Au lancer d'un dé, « obtenir 7 » est impossible parce que son cerceau est vide ; le dinosaure n'a ni expérience ni issues (CM1, la ligne des probabilités).
10. « Incompatibles, donc contraires. » Deux événements sans issue commune ne recouvrent pas forcément l'univers, et leurs probabilités n'ont pas forcément pour somme \(1\) (4e et 3e, les deux remarques qui suivent la règle de l'événement contraire).   

La tâche : un plateau de jetons qui ont tous la même chance d'être tirés, et deux phrases sur le jeton tiré. L'élève met dans le cerceau \(A\) les jetons qui rendent vraie la première phrase, dans le cerceau \(B\) ceux de la seconde, puis répond : quels jetons réalisent « non \(A\) », « \(A\) et \(B\) », « \(A\) ou \(B\) » ? Certain, possible ou impossible ? Aucun nombre n'est nécessaire. La même tâche peut être facile ou difficile ; pour l'adapter en classe, faites varier un à un ces cinq réglages.

1. Le nombre de jetons, de quatre à huit.
2. Un caractère ou deux. La couleur et la forme donnent deux critères simples dont les événements peuvent se croiser sans que l'un contienne l'autre.
3. La façon de donner les événements : par une phrase, par une liste, ou par un cerceau déjà rempli.
4. La façon dont les cerceaux se rencontrent : disjoints, emboîtés, qui se croisent.
5. La symétrie : des jetons identiques sauf la couleur et la forme, pour que, plus tard, les effectifs deviennent des probabilités.

Ce que font les élèves. La procédure correcte vérifie chaque jeton contre la phrase, un par un : elle construit l'événement en le listant. Deux autres sont attendues : ne placer que les jetons « typiques », ce qui donne un événement incomplet ; et, pour « ou », ne placer que les jetons qui rendent vraie exactement une phrase. En mathématiques, « ou » inclut « les deux » : un jeton dans les deux cerceaux compte aussi pour « ou ». Les erreurs à prévoir. Les jeunes enfants jugent « impossible » quand les jetons d'une couleur sont peu nombreux plutôt qu'absents, et « certain » quand ils sont nombreux plutôt que tous. Les mots tous, certains, aucun rendent la seconde condition aussi explicite que la première. Ce qu'un tirage peut montrer. Un tirage hors du cerceau réfute « certain », et un tirage dedans réfute « impossible » ; mais aucun nombre de tirages rouges ne prouve que le rouge est certain. Seul le regard sur tous les jetons tranche : c'est le passage du tirage à l'ensemble. Pour savoir où en est un élève, donnez deux cerceaux qui se croisent, sur des jetons à deux caractères, et demandez « rouge ou rond ». L'élève qui oublie les jetons rouges et ronds lit « ou » comme « l'un ou l'autre, pas les deux ». Où le trouver. Chapitre Le hasard (PYP 2), section Non, ou, et, avec les exercices Trouver ce qui n'est pas… et Utiliser deux cerceaux ; le cerceau d'une seule phrase vient des PYP 0 et PYP 1 (Remplir le cerceau). Au CM1, la tâche peut ouvrir le chapitre, avant tout nombre.

1. Demandez « quelles issues ? » avant « quelle probabilité ? ». Écrivez le cerceau, la liste ou l'ensemble au tableau avant tout nombre, et exigez-le sur la copie.
2. Vérifiez l'équiprobabilité avant de compter : des jetons identiques, une roue à parts égales. Numéroter les jetons, ou écrire les couples ordonnés, distingue les issues ; l'égalité des chances vient de l'expérience.
3. Gardez les deux objets séparés à l'écrit. \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) et \(P(E) = \dfrac{1}{2}\) : un événement est égal à un ensemble, une probabilité à un nombre. Corrigez \(E = \dfrac{1}{2}\) chaque fois qu'il apparaît.
4. Dessinez avant la formule. La règle de l'événement contraire et la relation d'addition se lisent sur les cerceaux avant de s'écrire.
5. Mettez les essais en fin de chapitre, et mettez-les en commun. Prédisez d'abord à partir du modèle ; puis chaque binôme lance \(20\) fois et la classe additionne ses résultats. Les fréquences des binômes s'éparpillent ; la fréquence calculée sur les \(300\) lancers de la classe est en général proche de la probabilité. Dites « fréquence », écrivez \(f \approx P\).
6. Une tâche pour savoir où en est un élève. Un sac contient \(3\) jetons rouges et \(2\) jetons bleus. (a) Mettre dans le cerceau les jetons qui réalisent « rouge ». (b) Tirer un jeton rouge est-il certain, possible ou impossible ? (c) À partir du CM1 : quelle est sa probabilité ? Trois réponses : un ensemble, un mot, un nombre. L'élève qui écrit \(\dfrac{3}{5}\) dans le cerceau, ou « les jetons rouges » comme probabilité, a confondu les deux objets.

Les choix décrits ici (l'événement avant sa probabilité, entourer avant de compter, la fréquence en dernier) sont analysés dans un article de recherche, en anglais, qui dit aussi où les chapitres n'y répondent pas encore tout à fait : Un événement est un ensemble, pas un nombre.