Éducation Nationale Française · Cinquième
Probabilités
I
L'algèbre des événements
I.1
L'expérience aléatoire et ses issues
Certaines actions ont un résultat que l’on ne peut pas prévoir : lancer une pièce, lancer un dé, ou jouer à un jeu. On appelle une telle action une expérience aléatoire : on peut la refaire dans les mêmes conditions, tous ses résultats possibles sont connus d'avance, mais personne ne peut dire avec certitude lequel se réalisera. La probabilité est une façon mathématique de mesurer à quel point un événement de l'expérience est probable, par exemple « obtenir un 6 » quand on lance un dé.
Définition — Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire. Exemple
Quelles sont toutes les issues possibles quand on lance une pièce ? 
Les issues sont Face (F) = 
et Pile (P) = 
.
et Pile (P) = . Exemple
Quelles sont les issues quand on lance un dé à six faces ?
Les issues sont \(1 = \)
, \(2 = \)
, \(3 = \)
, \(4 = \)
, \(5 = \)
et \(6 = \)
.
, \(2 = \), \(3 = \), \(4 = \), \(5 = \) et \(6 = \). Définition — Univers
L'univers, noté \(\Omega\) (oméga majuscule), est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Une issue est notée \(\omega\) (oméga minuscule). Si l'expérience a \(n\) issues, on écrit $$\Omega = \{\omega_1\,;\,\omega_2\,;\,\dots\,;\,\omega_n\}.$$ Exemple
Quel est l’univers quand on lance une pièce ?
L'univers est \(\Omega = \{\text{Face}\,;\,\text{Pile}\} = \{\),\(\}\), ou simplement \(\Omega = \{\text{F}\,;\,\text{P}\}\). Il a deux issues : \(\omega_1 = \text{F}\) et \(\omega_2 = \text{P}\).
,\(\}\), ou simplement \(\Omega = \{\text{F}\,;\,\text{P}\}\). Il a deux issues : \(\omega_1 = \text{F}\) et \(\omega_2 = \text{P}\). Exemple
Quel est l’univers quand on lance un dé à six faces ?
L'univers est \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\) ; ; ; ; ; \(\}\).
; ; ; ; ; \(\}\). Compétences à pratiquer
- Reconnaître une expérience aléatoire
- Écrire l'univers
I.2
Les événements
Une fois que l'on connaît toutes les issues possibles d'une expérience (l'univers), on peut se concentrer sur certaines issues en particulier. Un événement est un ensemble d’issues (il peut contenir une issue, plusieurs issues, ou même aucune).
Définition — Événement
Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme \(E\)) est un sous-ensemble de l'univers. Exemple
Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumérer les issues de l'événement \(E\) : « obtenir un nombre pair ».
Parmi les issues de l'univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\) ; ; ; ; ; \(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\) ; ; \(\}\).
; ; ; ; ; \(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\) ; ; \(\}\). Définition — Événement élémentaire
Pour une issue \(\omega\), l'événement \(\{\omega\}\) qui ne contient que \(\omega\) est appelé un événement élémentaire (ou singleton : un ensemble à un seul élément, écrit avec des accolades). Par exemple, pour un dé, le singleton \(\{3\} = \{\)\(\}\) est l'événement « obtenir un 3 ». Compétences à pratiquer
- Déterminer les événements liés au lancer de dé
- Déterminer les événements dans une roulette de casino
- Déterminer les issues et les événements
I.3
L'événement contraire
En probabilité, il est souvent utile de considérer les issues qui n'appartiennent pas à un événement donné. Cet ensemble des « autres » issues est appelé l'événement contraire. Il représente tout ce qui se trouve dans l'univers en dehors de l'événement initial. L'événement contraire d'un événement \(E\) est noté \(\overline{E}\).
Définition — Événement contraire
L'événement contraire (on dit aussi l'événement complémentaire) d'un événement \(E\), noté \(\overline{E}\), est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\). Exemple
Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Déterminer l'événement contraire, \(\overline{E}\).
L'univers est \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\) ; ; ; ; ; \(\}\).
L'événement est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\) ; ; \(\}\).
L'événement contraire \(\overline{E}\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Donc \(\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\} = \{\) ; ; \(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».
; ; ; ; ; \(\}\).L'événement est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\)
; ; \(\}\).L'événement contraire \(\overline{E}\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Donc \(\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\} = \{\)
; ; \(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ». Compétences à pratiquer
- Déterminer l'événement contraire
II
La probabilité
II.1
Les mots de la probabilité
On utilise des mots spéciaux pour décrire la chance qu’un événement se produise. On peut placer ces mots sur une ligne, du moins probable au plus probable.
Définition — Droite de probabilité
- Impossible : Cela ne peut pas arriver.
Exemple : Monter sur un dinosaure. - Peu probable : Cela n’arrivera probablement pas.
Exemple : Obtenir un 3 en lançant un dé. - Une chance sur deux : Cela a autant de chances d’arriver que de ne pas arriver.
Exemple : Obtenir face en lançant une pièce. - Probable : Cela va probablement arriver.
Exemple : Boire de l’eau à l’école aujourd’hui. - Certain : Cela va forcément arriver.
Exemple : Le soleil va se lever demain matin.
Monter sur un dinosaure, boire de l'eau à l'école ou le lever du soleil sont des faits de la vie courante, pas des événements d'une expérience dont on a listé les issues. Dans une expérience, un événement est impossible quand aucune issue ne le réalise, et certain quand toutes les issues le réalisent : avec un dé, « obtenir un 7 » est impossible et « obtenir un nombre de 1 à 6 » est certain.
Compétences à pratiquer
- Déterminer la probabilité dans une expérience de tirage au sort
- Déterminer la probabilité dans une expérience avec un dé
- Classer des événements du quotidien sur la droite de probabilité
II.2
Un nombre de 0 à 1
Quand on lance une pièce équilibrée, il y a deux issues possibles : pile ou face. La chance d’obtenir face est 1 chance sur 2. On peut écrire cela sous forme de fraction : 
Définition — Probabilité
La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui indique à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre \(0\) (impossible) et \(1\) (certain). Autrement dit, pour tout événement \(E\), on a \(0 \leq P(E) \leq 1\). 
Compétences à pratiquer
- Décrire les probabilités avec des mots
- Prendre des décisions en utilisant les probabilités
- Exprimer une probabilité comme une chance sur n
II.3
L'équiprobabilité
Qui n’a jamais lancé une pièce bien équilibrée ou un dé bien équilibré ? Dans ces expériences, chaque issue a la même chance d’arriver. On parle alors d’issues équiprobables.
Définition — Équiprobabilité
Lorsque toutes les issues de l'univers (l'ensemble des issues possibles) sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(E\) est : $$P(E) = \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}$$ Exemple
Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ? - Univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\) (6 issues).
- \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) (3 issues).
- $$\begin{aligned} P(E) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Déterminer les probabilités dans une roulette de casino
- Déterminer les probabilités dans une expérience avec un dé
- Calculer avec des issues équiprobables
- Calculer la probabilité d'un singleton
II.4
La probabilité de l'événement contraire
Proposition — Règle de l'événement contraire
Pour tout événement \(E\) et son événement contraire \(\overline{E}\), la somme de leurs probabilités est égale à \(1\) (ou \(100\pourcent\)) : $$\textcolor{colorprop}{P(E) + P(\overline{E}) = 1}$$ On en déduit une formule utile pour calculer la probabilité de l'événement contraire : $$\textcolor{colorprop}{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$$
L'événement contraire \(\overline{E}\) est formé exactement des issues de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(E\). Ainsi, chaque issue de \(\Omega\) se trouve dans exactement un des deux événements \(E\) et \(\overline{E}\) : ensemble, ils partagent \(\Omega\) en deux parties sans aucun recouvrement. 
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues. Additionner \(P(E)\) et \(P(\overline{E})\) compte donc la probabilité de chaque issue de \(\Omega\) exactement une fois : $$\begin{aligned}[t] P(E) + P(\overline{E}) &= \text{(somme des probabilités de toutes les issues de } \Omega\text{)} && \text{(chaque issue est dans \(E\) ou dans \(\overline{E}\))}\\
&= P(\Omega) && \text{(l'univers tout entier)}\\
&= 1. \end{aligned}$$ En soustrayant \(P(E)\) des deux membres, on obtient \(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\).
Exemple
Les devoirs de Farid ce soir sont modélisés par une expérience à deux issues : \(\Omega = \{\text{à l'heure}\,;\,\text{en retard}\}\). Farid a une probabilité de \(0{,}8\) (\(80\pourcent\)) de finir ses devoirs à temps ce soir : l'événement \(E = \{\text{à l'heure}\}\) a pour probabilité \(0{,}8\). Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?
L’événement contraire est \(\overline{E} = \{\text{en retard}\}\), l'événement « Farid ne termine pas ses devoirs à temps ». En utilisant la règle de l’événement contraire : $$\begin{aligned} P(\overline{E}) &= 1 - P(E) \\
&= 1 - 0{,}8 \\
&= 0{,}2 \end{aligned}$$ Il y a donc une probabilité de \(0{,}2\) (ou \(20\pourcent\)) qu’il ne finisse pas à temps.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la règle de l'événement contraire
II.5
La fréquence et la probabilité
Jusqu’à présent, on a calculé la probabilité théorique : un nombre calculé à partir d’issues équiprobables, avant toute expérience. Par exemple, une pièce équilibrée a deux issues équiprobables, pile et face, donc on dit que \(P(\text{Face}) = \frac{1}{2}\).
Mais que faire si les issues ne sont pas équiprobables ? Les compter ne donne alors pas la probabilité. Dans ces cas-là, on peut faire une expérience pour estimer la probabilité.
Mais que faire si les issues ne sont pas équiprobables ? Les compter ne donne alors pas la probabilité. Dans ces cas-là, on peut faire une expérience pour estimer la probabilité.
Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber retombe sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ». 
À cause de la forme du cône, ces issues ne sont pas équiprobables. Un calcul théorique simple n’est pas possible ; les issues ne sont pas symétriques, donc Isaac estime la probabilité à partir d’une expérience. Il lance le cône 50 fois (50 essais) et note les résultats :
- Sur la base : 15 fois.
- Sur le côté : 35 fois.
Définition — Probabilité expérimentale (Fréquence relative)
La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule : $$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$ En général, plus on fait d’essais, plus cette fréquence a tendance à se rapprocher de la vraie probabilité. Compétences à pratiquer
- Calculer les probabilités expérimentales sous forme de pourcentage
- Réaliser des expériences pour estimer les probabilités
- Observer la fréquence s'approcher de la probabilité
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner sur les événements et les probabilités
- Résoudre des problèmes de probabilités
- Quiz
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