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Éducation Nationale Française · Troisième

Probabilités

⌚ ~218 min ▢ 25 blocs ✓ 99 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Statistiques
I Le langage des événements
I.1 Issues et univers
Certaines actions ont un résultat que l’on ne peut pas prévoir : lancer une pièce, lancer un dé, ou jouer à un jeu. On appelle une telle action une expérience aléatoire : on peut la refaire dans les mêmes conditions, tous ses résultats possibles sont connus d'avance, mais personne ne peut dire avec certitude lequel se réalisera. La probabilité est une façon mathématique de mesurer à quel point un événement de l'expérience est probable, par exemple « obtenir un 6 » quand on lance un dé.
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Définition — Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Définition — Univers
L'univers, noté \(\Omega\) (oméga majuscule), est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Une issue est notée \(\omega\) (oméga minuscule). Si l'expérience a \(n\) issues, on écrit $$\Omega = \{\omega_1\,;\,\omega_2\,;\,\dots\,;\,\omega_n\}.$$
Exemple
Quel est l’univers quand on lance une pièce ?

L'univers est \(\Omega = \{\text{Face}\,;\,\text{Pile}\} = \{\)Illustration,Illustration\(\}\), ou simplement \(\Omega = \{\text{F}\,;\,\text{P}\}\). Il a deux issues : \(\omega_1 = \text{F}\) et \(\omega_2 = \text{P}\).

Compétences à pratiquer
  • Déterminer l'univers d'une expérience aléatoire
I.2 Les événements
Définition — Événement
Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme \(E\)) est un sous-ensemble de l'univers.
Exemple
Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumérer les issues de l'événement \(E\) : « obtenir un nombre pair ».

Parmi les issues de l'univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\)Illustration ; Illustration ; Illustration ; Illustration ; Illustration ; Illustration\(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\)Illustration ; Illustration ; Illustration\(\}\).

Compétences à pratiquer
  • Déterminer les issues d'un événement
I.3 La réunion de deux événements
Définition — \(E\) ou \(F\)
La réunion (ou union) de deux événements \(E\) et \(F\), notée \(E \cup F\), est l'événement qui se produit si \(E\) se réalise, ou si \(F\) se réalise, ou si les deux se réalisent. On lit cela « E ou F ». Elle inclut toutes les issues qui se trouvent dans au moins l'un des deux événements.
Exemple
On lance un dé à six faces. Soit l'événement \(E\) « obtenir un nombre pair » et l'événement \(F\) « obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ». Déterminer l'événement \(E \cup F\).

Les événements sont \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) et \(F = \{1\,;\,2\,;\,3\}\).
L'union \(E \cup F\) contient toutes les issues qui apparaissent dans l'un ou l'autre ensemble, sans répétition : $$ E \cup F = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}. $$

Compétences à pratiquer
  • Déterminer la réunion de deux événements
I.4 L'intersection de deux événements
Définition — \(E\) et \(F\)
L'intersection de deux événements \(E\) et \(F\), notée \(E \cap F\), est l'événement qui se produit si \(E\) et \(F\) se réalisent simultanément. On lit cela « E et F ». Elle inclut toutes les issues qui sont communes aux deux événements.
Exemple
On lance un dé à six faces. Soit l'événement \(E\) « obtenir un nombre impair » et l'événement \(F\) « obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ». Déterminer l'événement \(E \cap F\).

Les événements sont \(E = \{1\,;\,3\,;\,5\}\) et \(F = \{1\,;\,2\,;\,3\}\).
L'intersection \(E \cap F\) contient uniquement les issues qui sont dans les deux ensembles : $$ E \cap F = \{1\,;\,3\}. $$

Compétences à pratiquer
  • Déterminer l'intersection de deux événements
I.5 Les événements incompatibles
Définition — Événements incompatibles
Deux événements \(E\) et \(F\) sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) s’ils n'ont aucune issue en commun. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est l'ensemble vide (\(\emptyset\)) : $$E \cap F = \emptyset.$$
Exemple
Lors du lancer d'un dé, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre impair » et \(F\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Montrer que \(E\) et \(F\) sont incompatibles.

Les événements sont \(E = \{1\,;\,3\,;\,5\}\) et \(F = \{2\,;\,4\,;\,6\}\).
On cherche leur intersection : $$ E \cap F = \emptyset. $$ Puisqu'il n'y a aucune issue commune aux deux événements, ils sont incompatibles.

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître des événements incompatibles
I.6 L'événement contraire
Définition — Événement contraire
L'événement contraire (on dit aussi l'événement complémentaire) d'un événement \(E\), noté \(\overline{E}\), est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Exemple
Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Déterminer l'événement contraire, \(\overline{E}\).

L'univers est \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\)Illustration ; Illustration ; Illustration ; Illustration ; Illustration ; Illustration\(\}\).
L'événement est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\)Illustration ; Illustration ; Illustration\(\}\).
L'événement contraire \(\overline{E}\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Donc \(\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\} = \{\)Illustration ; Illustration ; Illustration\(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».

Compétences à pratiquer
  • Déterminer l'événement contraire
II Calculer des probabilités
II.1 La probabilité d'un événement
Définition — Probabilité
La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui indique à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre \(0\) (impossible) et \(1\) (certain). Autrement dit, pour tout événement \(E\), on a \(0 \leq P(E) \leq 1\).
Illustration
Exemple
Une roue équilibrée a 4 parts égales, dont 1 rouge : \(P(\text{rouge}) = \frac{1}{4}\). Représenter cette probabilité sous forme de nombre décimal et de pourcentage.

  • Fraction : \( \frac{1}{4} \)
  • Nombre décimal : Pour convertir une fraction en nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur : $$ 1 \div 4 = 0{,}25 $$
  • Pourcentage : Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, on multiplie par 100 et l'on ajoute le signe de pourcentage : $$ 0{,}25 = 0{,}25 \times 100\pourcent = 25\pourcent $$
Donc, \(P(\text{rouge}) = \frac{1}{4}\) est la même chose que \(0{,}25\) ou \(25\pourcent\).

Probabilité d'une issue
Une issue \(\omega\) et son événement élémentaire \(\{\omega\}\) — le singleton, l'ensemble à un seul élément — décrivent le même résultat : parler de la chance d'une issue, c'est donc parler de la chance d'un événement. La probabilité de l'issue est la probabilité de cet événement, notée \(P(\{\omega\})\). En pratique, on s'autorise à écrire \(P(\omega)\) pour \(P(\{\omega\})\) — par exemple \(P(3)\) pour la probabilité d'obtenir un 3.
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Proposition — Somme des probabilités
Dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités de toutes les issues vaut \(1\) : $$\textcolor{colorprop}{P(\text{issue}_1) + P(\text{issue}_2) + \dots + P(\text{issue}_n) = 1}$$
Proposition — Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues : $$\textcolor{colorprop}{P(\text{événement}) = \text{somme des probabilités de ses issues}}$$
Méthode — Calculer une probabilité manquante
Lorsque les probabilités de toutes les issues sauf une sont connues, la probabilité manquante s'obtient en soustrayant de \(1\) : $$P(\text{issue manquante}) = 1 - (\text{somme des probabilités connues}).$$
Exemple
Une roue a trois issues, A, B et C, avec \(P(A) = 0{,}5\) et \(P(B) = 0{,}3\).
Illustration
Trouver \(P(C)\).

$$\begin{aligned}[t] P(C) &= 1 - (0{,}5 + 0{,}3) && \text{(la somme des probabilités vaut 1)}\\ &= 1 - 0{,}8 && \text{(\(0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\))}\\ &= 0{,}2. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Calculer la probabilité d'un événement
  • Calculer une probabilité manquante
II.2 L'équiprobabilité
Qui n’a jamais lancé une pièce bien équilibrée ou un dé bien équilibré ? Dans ces expériences, chaque issue a la même chance d’arriver. On parle alors d’issues équiprobables.
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Définition — Équiprobabilité
Lorsque toutes les issues de l'univers (l'ensemble des issues possibles) sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(E\) est : $$P(E) = \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}$$
Exemple
Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ?

  • Univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\) (6 issues).
  • \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) (3 issues).
  • $$\begin{aligned} P(E) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Donc, il y a une chance sur deux (ou \(50\pourcent\)) d'obtenir un nombre pair.

Méthode — Calculer la probabilité d'un événement
  1. Déterminer l'événement : le décrire, puis écrire l'ensemble de ses issues.
  2. Calculer sa probabilité :
    • en cas d'équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre total d'issues}}\) ;
    • sinon : additionner les probabilités des issues de l'événement ;
    • quand l'événement contraire est plus simple : \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\).
Compétences à pratiquer
  • Calculer des probabilités avec un dé
  • Calculer des probabilités d'événements
II.3 La règle de l'événement contraire
Le temps de demain est modélisé par une expérience à deux issues : \(\Omega = \{\text{pluie}\,;\,\text{pas de pluie}\}\). S'il y a \(40\pourcent\) de chances qu'il pleuve demain, quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?
\(100\pourcent - 40\pourcent = 60\pourcent\)
Ce calcul est une application de la règle de l'événement contraire, puisque l'événement \(\{\text{pas de pluie}\}\) est l'événement contraire de \(\{\text{pluie}\}\). C'est un raccourci pour calculer la probabilité qu'un événement n'arrive pas.
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Proposition — Règle de l'événement contraire
Pour tout événement \(E\) et son événement contraire \(\overline{E}\), la somme de leurs probabilités est égale à \(1\) (ou \(100\pourcent\)) : $$\textcolor{colorprop}{P(E) + P(\overline{E}) = 1}$$ On en déduit une formule utile pour calculer la probabilité de l'événement contraire : $$\textcolor{colorprop}{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$$

L'événement contraire \(\overline{E}\) est formé exactement des issues de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(E\). Ainsi, chaque issue de \(\Omega\) se trouve dans exactement un des deux événements \(E\) et \(\overline{E}\) : ensemble, ils partagent \(\Omega\) en deux parties sans aucun recouvrement.
Illustration
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues. Additionner \(P(E)\) et \(P(\overline{E})\) compte donc la probabilité de chaque issue de \(\Omega\) exactement une fois : $$\begin{aligned}[t] P(E) + P(\overline{E}) &= \text{(somme des probabilités de toutes les issues de } \Omega\text{)} && \text{(chaque issue est dans \(E\) ou dans \(\overline{E}\))}\\ &= P(\Omega) && \text{(l'univers tout entier)}\\ &= 1. \end{aligned}$$ En soustrayant \(P(E)\) des deux membres, on obtient \(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\).

Exemple
Les devoirs de Farid ce soir sont modélisés par une expérience à deux issues : \(\Omega = \{\text{à l'heure}\,;\,\text{en retard}\}\). Farid a une probabilité de \(0{,}8\) (\(80\pourcent\)) de finir ses devoirs à temps ce soir : l'événement \(E = \{\text{à l'heure}\}\) a pour probabilité \(0{,}8\). Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?

L’événement contraire est \(\overline{E} = \{\text{en retard}\}\), l'événement « Farid ne termine pas ses devoirs à temps ». En utilisant la règle de l’événement contraire : $$\begin{aligned} P(\overline{E}) &= 1 - P(E) \\ &= 1 - 0{,}8 \\ &= 0{,}2 \end{aligned}$$ Il y a donc une probabilité de \(0{,}2\) (ou \(20\pourcent\)) qu’il ne finisse pas à temps.

Incompatibles ne veut pas dire contraires. Deux événements contraires sont toujours incompatibles, mais la réciproque est fausse. Avec un dé, \(A = \{1 ; 2\}\) et \(B = \{5 ; 6\}\) n'ont aucune issue en commun : ils sont incompatibles. Ils ne sont pas contraires, puisque \(3\) et \(4\) n'appartiennent à aucun des deux. Deux événements sont contraires quand ils sont incompatibles et qu'à eux deux ils recouvrent tout l'univers.
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Deux événements incompatibles n'ont pas forcément des probabilités de somme \(1\). On lance un dé équilibré : l'univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\) est formé de \(6\) issues équiprobables. Les événements \(A = \{1\,;\,2\}\) et \(B = \{5\,;\,6\}\) sont incompatibles mais pas contraires, et $$\begin{aligned}[t] P(A) + P(B) &= \frac{2}{6} + \frac{2}{6} && \text{(chaque événement contient \(2\) des \(6\) issues équiprobables)}\\ &= \frac{2}{3}, \end{aligned}$$ et non \(1\). Les événements dont les probabilités ont toujours pour somme \(1\) sont les événements contraires, qui à eux deux recouvrent tout l'univers : \(P(E) + P(\overline{E}) = 1\).
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Compétences à pratiquer
  • Appliquer la règle de l'événement contraire
  • De l'événement à sa probabilité
III Combiner deux événements
III.1 La relation d'addition
Proposition — Loi d’addition des probabilités
Pour deux événements quelconques \(E\) et \(F\), $$\textcolor{colorprop}{P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)}$$ ce qui s'écrit aussi $$\textcolor{colorprop}{P(E \cup F) + P(E \cap F) = P(E) + P(F)}.$$ Cette formule est valable que \(E\) et \(F\) soient ou non incompatibles. S'ils le sont, alors \(P(E \cap F) = 0\) et la formule devient \(P(E \cup F) = P(E) + P(F)\).

Le diagramme de Venn ci-dessous montre l'univers \(\Omega\) avec deux événements qui s'intersectent, \(E\) et \(F\).
Illustration
La région représente l'événement \(E \cap F\) ; sa probabilité \(P(E \cap F)\) est comptée deux fois dans \(P(E) + P(F)\). Pour corriger cela, il faut soustraire \(P(E \cap F)\) une fois.
La probabilité totale de l'union est donc $$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F).$$ Le même décompte, écrit avec des événements. La réunion \(E \cup F\) est formée des issues de \(E\) et des issues de \(F\) qui ne sont pas dans \(E\) : \(E \cup F = E \cup (F \cap \overline{E})\), deux événements sans issue commune. De même, \(F = (F \cap E) \cup (F \cap \overline{E})\), deux événements sans issue commune, donc \(P(F) = P(F \cap E) + P(F \cap \overline{E})\). Ainsi $$\begin{aligned}[t] P(E \cup F) &= P(E) + P(F \cap \overline{E}) && \text{(\(E\) et \(F \cap \overline{E}\) sans issue commune)}\\ &= P(E) + P(F) - P(F \cap E) && \text{(\(P(F \cap \overline{E}) = P(F) - P(F \cap E)\))}, \end{aligned}$$ et comme \(F \cap E = E \cap F\), c'est la loi d'addition.

Méthode — Utiliser la relation d'addition
La relation relie quatre quantités : \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\) et \(P(A \cup B)\). En connaître trois donne toujours la quatrième.
  • Nommer les deux événements et traduire la phrase : « \(A\) ou \(B\) » — les deux éventuellement — c'est \(A \cup B\) ; « \(A\) et \(B\) », c'est \(A \cap B\).
  • Écrire les trois quantités connues, chacune comme la probabilité de l'un de ces quatre événements.
  • Écrire la relation comme une balance : les deux plateaux pèsent toujours le même poids, $$P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B).$$
  • Isoler la quantité manquante en faisant passer les trois autres de l'autre côté.
  • Contrôler le résultat : une probabilité est comprise entre \(0\) et \(1\), et \(P(A \cap B)\) ne peut dépasser ni \(P(A)\) ni \(P(B)\), puisque les issues de \(A \cap B\) sont parmi celles de \(A\), et parmi celles de \(B\).
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, alors \(P(A \cap B) = 0\) et la balance devient \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Ne jamais additionner deux probabilités sans avoir d'abord vérifié que les événements ne peuvent pas se produire ensemble.
Exemple
Un lycée organise un spectacle de talents. On choisit un élève au hasard : les issues de cette expérience sont les élèves du lycée, et \(\Omega\) est l'ensemble de tous ces élèves. Soit \(S\) l'ensemble des élèves qui participent au chant et \(D\) l'ensemble des élèves qui participent à la danse. La probabilité que l'élève choisi participe au chant est de \(0{,}4\) ; la probabilité qu'il participe à la danse est de \(0{,}3\) et la probabilité qu'il participe à la fois au chant et à la danse est de \(0{,}1\). Calculer la probabilité que l'élève choisi participe au chant ou à la danse (éventuellement aux deux).

Les événements sont les ensembles \(S\) (les élèves qui chantent) et \(D\) (les élèves qui dansent) ; « chant ou danse » est l'événement \(S \cup D\), et « les deux » est l'événement \(S \cap D\). L'énoncé donne :
  • \(P(S) = 0{,}4\)
  • \(P(D) = 0{,}3\)
  • \(P(S \cap D) = 0{,}1\)
On peut répartir les élèves concernés en trois parts disjointes :
  • chanter seulement : \(P(S) - P(S \cap D) = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\) ;
  • danser seulement : \(P(D) - P(S \cap D) = 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2\) ;
  • les deux : \(P(S \cap D) = 0{,}1\).
Leur somme vaut \(0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}6\). La loi d'addition des probabilités donne directement le même résultat : $$\begin{aligned} P(S \cup D) &= P(S) + P(D) - P(S \cap D) \\ &= 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}1 \\ &= 0{,}6. \end{aligned}$$ Il y a donc \(0{,}6\) (soit \(60\pourcent\)) de chances qu’un élève participe à au moins une des deux activités.

Compétences à pratiquer
  • Calculer la probabilité d'une réunion
  • Calculer la probabilité d'une réunion dans des problèmes concrets
  • Résoudre des problèmes avec la relation d'addition
III.2 Dénombrer avec deux épreuves
Une expérience aléatoire à plusieurs étapes (on dit aussi : à plusieurs épreuves) est formée d'une succession d'au moins deux expériences simples. Par exemple, lancer deux pièces de monnaie est une expérience à plusieurs étapes composée de deux actions : lancer la première pièce, puis lancer la seconde.
Dans de nombreuses expériences à plusieurs étapes, on peut calculer le nombre total d'issues possibles en multipliant entre eux les nombres d'issues de chaque étape. Pour représenter toutes les issues de l'expérience, on peut utiliser des outils comme des listes, des tableaux ou des diagrammes en arbre.
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Méthode — Représentations des univers pour les expériences à plusieurs étapes
Lorsqu'une expérience comporte plusieurs étapes, l'univers peut être représenté de plusieurs manières :
  • en listant toutes les issues ordonnées possibles ;
  • en utilisant un tableau (idéal pour les expériences à deux étapes) ;
  • en utilisant un diagramme en arbre (utile pour n'importe quel nombre d'étapes).
Exemple
Pour l'expérience consistant à lancer deux pièces, représenter l'univers en :
  1. listant toutes les issues possibles ;
  2. utilisant un tableau ;
  3. utilisant un diagramme en arbre.

  1. Liste :
    Chaque issue indique d'abord le résultat de la pièce 1, puis celui de la pièce 2 : $$\{\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\,;\,\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\,;\,\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\,;\,\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\}$$
  2. Tableau :
    \(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{pièce 2}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce 1}} \end{aligned} \) \(\textcolor{colorprop}{F}\) \(\textcolor{colorprop}{P}\)
    \(\textcolor{colordef}{F}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\)
    \(\textcolor{colordef}{P}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\)
  3. Diagramme en arbre :
    Illustration

Définition — Univers d'une expérience à deux étapes
Les issues d'une expérience à deux étapes sont des couples : un résultat pour la première étape, puis un résultat pour la seconde. L'univers est l'ensemble de tous ces couples. Le tableau les montre tous : une ligne par issue de la première étape, une colonne par issue de la seconde. Le nombre de couples est donc le nombre d'issues de la première étape multiplié par le nombre d'issues de la seconde. (Ce compte ne dénombre tous les couples que si chaque issue de la seconde étape peut encore se produire après la première ; si une issue antérieure en exclut certaines, seuls les couples restants forment l'univers.)
Exemple
Pour le jeu « une pièce puis un dé », énumérer toutes les issues de l'univers et donner leur nombre.

La première étape (la pièce) a \(2\) issues et la seconde (le dé) en a \(6\). L'univers est l'ensemble de tous les couples, que le tableau énumère en entier :
\(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{dé}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce}} \end{aligned}\) \(\textcolor{colorprop}{1}\) \(\textcolor{colorprop}{2}\) \(\textcolor{colorprop}{3}\) \(\textcolor{colorprop}{4}\) \(\textcolor{colorprop}{5}\) \(\textcolor{colorprop}{6}\)
\(\textcolor{colordef}{F}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{1}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{2}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{3}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{4}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{5}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{6}\)
\(\textcolor{colordef}{P}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{1}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{2}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{3}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{4}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{5}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{6}\)
Il y a \(2 \times 6 = 12\) issues, par exemple \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{4}\) : face, puis un \(4\).

Compétences à pratiquer
  • Dénombrer les issues dans un tableau
  • Dénombrer les issues dans un arbre
  • Calculer des probabilités dans une expérience à deux épreuves
IV Du hasard à l'expérience
IV.1 Probabilité expérimentale et fluctuation

Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber retombe sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ».
Illustration
À cause de la forme du cône, ces issues ne sont pas équiprobables. Un calcul théorique simple n’est pas possible ; les issues ne sont pas symétriques, donc Isaac estime la probabilité à partir d’une expérience. Il lance le cône 50 fois (50 essais) et note les résultats :
  • Sur la base : 15 fois.
  • Sur le côté : 35 fois.
À partir de son expérience, Isaac peut estimer la probabilité. Le cône est tombé sur la base 15 fois sur 50 : $$ P(\text{sur la base}) \approx \frac{15}{50} = \frac{3}{10} $$ Ce résultat obtenu par une expérience s’appelle la probabilité expérimentale ou la fréquence relative.

Définition — Probabilité expérimentale (Fréquence relative)
La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule : $$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$ En général, plus on fait d’essais, plus cette fréquence a tendance à se rapprocher de la vraie probabilité.
Proposition — La fluctuation des fréquences
Pour un nombre d'essais fixé \(n\), les fréquences observées varient généralement d'une série à l'autre : elles fluctuent.
Quand \(n\) devient grand, la fréquence de chaque issue a tendance à se rapprocher de sa probabilité. C'est une observation expérimentale.
Lina lance un dé équilibré trois fois et obtient un \(6\) à chaque fois.
Illustration  Illustration  Illustration
« Le prochain ne sera sûrement pas un \(6\), dit-elle, un \(6\) est déjà sorti trois fois. » Sami n'est pas d'accord : « Au contraire, le dé est chanceux aujourd'hui : il redonnera un \(6\). » Lequel des deux a raison ?
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Définition — Répétitions indépendantes
Ni l'un ni l'autre. Quand on répète la même expérience aléatoire, sans rien changer entre les répétitions, chaque répétition est une nouvelle expérience : les mêmes issues, et les mêmes chances que la première fois. Le dé ne sait pas ce qu'il a fait avant — il n'a aucune mémoire. On dit que les répétitions sont indépendantes : le résultat d'un lancer ne change rien aux chances du lancer suivant.
Méthode — Reconnaître une croyance fausse
Quelqu'un affirme qu'un résultat est « attendu » ou « en forme ». Pour trancher, poser deux questions.
  1. Qu'est-ce qui a changé physiquement entre les deux essais ? Pour un dé, une pièce ou une roue : rien. Le dé a toujours ses six faces, la pièce ses deux côtés.
  2. Si rien n'a changé, les chances n'ont pas changé non plus. Elles sont les mêmes qu'au tout premier essai.
Deux croyances sont donc fausses :
  • « Il est attendu » : un résultat qui n'est pas sorti depuis longtemps n'a pas plus de chances.
  • « Il est en forme » : un résultat qui vient de sortir n'a pas plus de chances non plus.
Exemple
Lina et Sami lancent leur dé une quatrième fois. Quelle est la probabilité d'obtenir un \(6\) ?

Rien n'a changé : le dé a toujours ses six faces, et les six issues sont toujours équiprobables. Il y a une issue favorable sur six : $$P(\text{« obtenir un } 6 \text{ »}) = \frac{1}{6}$$ exactement comme au premier lancer. Lina a tort, et Sami aussi : les trois \(6\) déjà obtenus n'y changent rien.

Exemple
Une pièce équilibrée est tombée cinq fois de suite sur pile. Théo dit : « Face est maintenant beaucoup plus probable, il faut bien que ça se rattrape. » Quelle est la probabilité d'obtenir face au sixième lancer ?

La pièce a deux côtés, et elle n'a pas changé. Il y a une issue favorable sur deux : $$P(\text{« face »}) = \frac{1}{2}$$ Théo a tort : rien n'a besoin de « se rattraper ». La pièce ne compte pas les lancers précédents.

Compétences à pratiquer
  • Lire des diagrammes de fréquences et de probabilités
  • Interpréter la fluctuation
  • Observer la fréquence s'approcher de la probabilité
IV.2 Simuler une expérience aléatoire
Estimer une probabilité par l'expérience demande un grand nombre d'essais — et lancer un dé dix mille fois est hors de portée. La parade consiste à remplacer l'expérience par une autre qui se comporte de la même façon mais que l'on peut répéter très vite : une simulation.
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Méthode — Simuler une expérience aléatoire
Simuler une expérience, c'est la remplacer par une autre, plus rapide à répéter, dans laquelle chaque issue de l'expérience d'origine est codée par une ou plusieurs issues du modèle — avec les mêmes probabilités.
  • Choisir le modèle et annoncer le codage : une pièce équilibrée pour deux issues équiprobables ; un dé équilibré à six faces, dont « pair » et « impair » codent aussi deux issues équiprobables ; des jetons numérotés ou une roue sinon.
  • Ou utiliser un tableur : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) renvoie un nombre entier entre \(1\) et \(6\), chacun avec la même probabilité ; en recopiant la cellule vers le bas, on simule autant d'essais que l'on veut.
  • Répéter un grand nombre de fois et compter combien de fois l'événement étudié se réalise.
  • Lire sa fréquence : elle estime la probabilité, d'autant plus fiablement que le nombre d'essais est grand.
Exemple
On lance deux dés équilibrés et on additionne leurs résultats. On veut estimer la probabilité de l'événement \(S\) : « la somme vaut \(7\) ».
  1. Quelles formules du tableur simulent un lancer des deux dés ?
  2. Une simulation de \(2\,000\) lancers donne \(339\) sommes égales à \(7\). Estimer \(P(S)\).
  3. Le tableau ci-dessous donne les \(36\) issues équiprobables de cette expérience à deux épreuves. Calculer \(P(S)\) exactement et comparer.
\(+\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\)
\(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\)
\(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
\(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\)
\(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\)

  1. Une cellule avec =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) pour le premier dé, une deuxième cellule avec =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) pour le second, et une troisième cellule qui additionne les deux.
  2. La fréquence de \(S\) vaut $$\dfrac{339}{2\,000} = 0{,}1695,$$ donc \(P(S) \approx 0{,}17\).
  3. Le tableau montre \(6\) cases égales à \(7\) (la diagonale \(1+6\), \(2+5\), \(3+4\), \(4+3\), \(5+2\), \(6+1\)) parmi \(36\) issues équiprobables : $$P(S) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167.$$ La fréquence simulée \(0{,}1695\) en est très proche, comme attendu pour un grand nombre d'essais.

Proposition — Fluctuation et stabilisation
On répète \(n\) fois une expérience dans les mêmes conditions, chaque répétition n'ayant aucune influence sur les autres, et on observe la fréquence d'un événement de probabilité \(p\).
  • Fluctuation : pour un \(n\) fixé, la fréquence peut changer d'une série à l'autre. Deux séries de même longueur ne donnent pas nécessairement la même fréquence.
  • Stabilisation : quand \(n\) grandit, les fréquences ont tendance à se rapprocher de \(p\). Les séries longues s'écartent en général moins de \(p\) que les séries courtes.
  • Effectif attendu : sur \(n\) répétitions, l'effectif attendu de l'événement est \(n \times p\) ; l'effectif observé vaut environ \(n \times p\), au sens où la fréquence observée, l'effectif divisé par \(n\), est en général proche de \(p\). « Environ » : l'effectif observé n'est pas connu d'avance, et il n'est pas forcément égal à \(n \times p\).
Exemple
Deux élèves lancent chacun un dé équilibré un grand nombre de fois, et relèvent la fréquence de « obtenir \(6\) » à mesure que le nombre \(n\) de lancers grandit.
Illustration
  1. Pour quelles valeurs de \(n\) les deux fréquences diffèrent-elles le plus ? Comment s'appelle ce phénomène ?
  2. Autour de quelle valeur les deux courbes se stabilisent-elles ? Pourquoi ?
  3. Combien de \(6\) attend-on sur \(1\,200\) lancers ?
  4. Au bout de \(600\) lancers, un élève n'a obtenu que \(85\) fois le \(6\) au lieu des \(100\) attendus. Les lancers suivants vont-ils « rattraper » ce retard ?

  1. Pour les petites valeurs de \(n\) : à \(n = 10\) les fréquences valent \(0{,}30\) et \(0{,}10\). C'est la fluctuation : les séries courtes diffèrent beaucoup les unes des autres.
  2. Les deux courbes se stabilisent autour de \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\), la probabilité d'obtenir \(6\) avec un dé équilibré. C'est la stabilisation : plus la série est longue, plus sa fréquence est proche de la probabilité.
  3. \(1\,200 \times \dfrac{1}{6} = \textcolor{colordef}{200}\) : on attend environ \(200\) fois le \(6\) — une vraie série donnera un nombre proche de \(200\), sans que \(200\) lui-même soit garanti.
  4. Non. Le dé ne se souvient pas : chaque lancer garde une probabilité \(\dfrac{1}{6}\) de donner \(6\). La fréquence se rapproche de \(\dfrac{1}{6}\) parce que les \(15\) six manquants pèsent de moins en moins parmi des lancers de plus en plus nombreux — ils sont dilués, pas rattrapés.

Compétences à pratiquer
  • Concevoir une simulation
  • Résoudre des problèmes de simulation
V Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Résoudre des problèmes historiques du hasard
  • Type brevet
  • Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

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