Éducation Nationale Française · CM2
Les probabilités
I
Issues, événements et probabilité
Définition — Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire. Définition — Toutes les issues possibles
Toutes les issues possibles sont la liste complète de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. 
Définition — Événement
Un événement est un ensemble d’issues parmi toutes les issues possibles. 
Définition — Droite de probabilité
- Impossible : Cela ne peut pas arriver.
Exemple : Monter sur un dinosaure. - Peu probable : Cela n’arrivera probablement pas.
Exemple : Obtenir un 3 en lançant un dé. - Une chance sur deux : Cela a autant de chances d’arriver que de ne pas arriver.
Exemple : Obtenir face en lançant une pièce. - Probable : Cela va probablement arriver.
Exemple : Boire de l’eau à l’école aujourd’hui. - Certain : Cela va forcément arriver.
Exemple : Le soleil va se lever demain matin.
Monter sur un dinosaure, boire de l'eau à l'école ou le lever du soleil sont des faits de la vie courante, pas des événements d'une expérience dont on a listé les issues. Dans une expérience, un événement est impossible quand aucune issue ne le réalise, et certain quand toutes les issues le réalisent : avec un dé, « obtenir un 7 » est impossible et « obtenir un nombre de 1 à 6 » est certain.
Définition — Probabilité
La probabilité d’un événement, notée \(P(\text{événement})\), est un nombre de 0 (impossible) à 1 (certain). 
Définition — Calcul de probabilité avec des issues équiprobables
Lorsque toutes les issues d’une expérience sont équiprobables, on peut calculer la probabilité d’un événement avec une formule simple : $$P(\text{événement}) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables}}{\text{Nombre total d’issues possibles}}$$ Les « issues favorables » sont les issues qui correspondent à l’événement étudié. Méthode — Comparer deux événements
Deux événements d'une même expérience ont le même nombre total d'issues possibles. Lorsque les issues sont équiprobables, les deux probabilités s'écrivent donc avec le même dénominateur, et les comparer ne demande pas de les calculer. - Vérifier que les issues sont équiprobables — un dé équilibré, une roue équilibrée à secteurs égaux, des billes semblables à la couleur près et tirées sans regarder.
- Compter les issues favorables de chaque événement.
- Comparer ces deux nombres. L'événement qui a le plus d'issues favorables est le plus probable ; s'il y en a autant pour l'un que pour l'autre, les deux événements ont la même probabilité.
Compétences à pratiquer
- Lister toutes les issues possibles
- Compter les issues possibles
- Identifier les issues des événements liés au lancer de dé
- Classer des événements du quotidien sur la droite de probabilité
- Calculer les probabilités
II
Les expériences à deux épreuves
Léa lance un dé à quatre faces, puis elle le lance à nouveau, et note les deux résultats l'un après l'autre : \(3\), puis \(1\). Sami compte à voix haute : « quatre résultats au premier lancer, quatre au second, cela fait huit en tout ». Léa n'est pas convaincue ; elle commence à les écrire, \(11\), \(12\), \(13\), et perd vite le fil. Les issues d'une expérience à deux épreuves ne se comptent pas de tête : il faut un outil qui les liste toutes sans en oublier aucune.
Définition — Issue d'une expérience à deux épreuves
Certaines expériences aléatoires se font en deux épreuves : on répète la même expérience, une épreuve après l'autre — lancer une pièce puis la lancer à nouveau, faire tourner une roue deux fois, tirer une boule, la remettre et tirer à nouveau. Une issue d'une telle expérience, c'est un résultat de la première épreuve suivi d'un résultat de la seconde. On écrit les deux résultats côte à côte : \(\textcolor{colordef}{\text{P}}\textcolor{colorprop}{\text{F}}\) signifie pile au premier lancer, puis face au second. Pour trouver toutes les issues sans en oublier, on utilise un tableau ou un arbre. Méthode — Le tableau des issues
- Une ligne par issue de la première épreuve, une colonne par issue de la seconde.
- Chaque case est une issue de l'expérience à deux épreuves : on y écrit le résultat de sa ligne suivi du résultat de sa colonne.
- Compter : le nombre d'issues est le nombre de cases, c'est-à-dire le nombre de lignes multiplié par le nombre de colonnes. Cela marche parce que la seconde épreuve a les mêmes issues quel que soit le résultat de la première — on relance le même dé, on remet la boule dans le sac.
Méthode — L'arbre des issues
- Une branche par issue de la première épreuve, tracée depuis le tronc.
- Au bout de chacune de ces branches, une branche par issue de la seconde épreuve — les mêmes à chaque fois.
- Chaque chemin complet, du tronc jusqu'au bout, est une issue : on le lit de gauche à droite.
- Compter : le nombre d'issues est le nombre de chemins, c'est-à-dire le nombre de bouts à droite.
Exemple
On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Trouver toutes les issues de cette expérience, avec un tableau puis avec un arbre.
La première épreuve a deux issues, pile (P) et face (F) ; la seconde aussi.
Le tableau a \(2\) lignes et \(2\) colonnes, donc \(2 \times 2 = 4\) cases : les issues sont PP, PF, FP et FF. L'arbre donne les mêmes quatre, lues le long de ses quatre chemins. 
| \(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{2e lancer}} \\ \textcolor{colordef}{\text{1er lancer}} \end{aligned}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{P}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{F}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{P}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{P}}\textcolor{colorprop}{\text{P}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{P}}\textcolor{colorprop}{\text{F}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{F}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{F}}\textcolor{colorprop}{\text{P}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{F}}\textcolor{colorprop}{\text{F}}\) |
Exemple
Maya lance un dé équilibré à quatre faces, puis elle le lance à nouveau. Combien cette expérience a-t-elle d'issues ? Combien d'entre elles réalisent l'événement « un nombre pair aux deux lancers » ?
Le dé a \(4\) issues à chaque lancer : le tableau a \(4\) lignes et \(4\) colonnes, donc \(4 \times 4 = 16\) issues.
Les issues en gras sont celles de l'événement : un nombre pair au premier lancer, et un nombre pair au second. Il y en a \(4\) sur \(16\).
| \(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{2e lancer}} \\ \textcolor{colordef}{\text{1er lancer}} \end{aligned}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
Tableau ou arbre ? Les deux donnent exactement les mêmes issues. Le tableau est compact et montre d'un coup d'œil que le nombre d'issues est un produit ; l'arbre montre l'ordre des deux épreuves, et il fonctionne encore à trois épreuves ou plus, là où un tableau ne suffirait plus.
Compétences à pratiquer
- Compléter le tableau des issues
- Lire l'arbre des issues
III
Le dé ne se souvient pas
Lina lance un dé équilibré trois fois et obtient un \(6\) à chaque fois. 
« Le prochain ne sera sûrement pas un \(6\), dit-elle, un \(6\) est déjà sorti trois fois. » Sami n'est pas d'accord : « Au contraire, le dé est chanceux aujourd'hui : il redonnera un \(6\). » Lequel des deux a raison ?
Définition — Répétitions indépendantes
Ni l'un ni l'autre. Quand on répète la même expérience aléatoire, sans rien changer entre les répétitions, chaque répétition est une nouvelle expérience : les mêmes issues, et les mêmes chances que la première fois. Le dé ne sait pas ce qu'il a fait avant — il n'a aucune mémoire. On dit que les répétitions sont indépendantes : le résultat d'un lancer ne change rien aux chances du lancer suivant. Méthode — Reconnaître une croyance fausse
Quelqu'un affirme qu'un résultat est « attendu » ou « en forme ». Pour trancher, poser deux questions. - Qu'est-ce qui a changé physiquement entre les deux essais ? Pour un dé, une pièce ou une roue : rien. Le dé a toujours ses six faces, la pièce ses deux côtés.
- Si rien n'a changé, les chances n'ont pas changé non plus. Elles sont les mêmes qu'au tout premier essai.
- « Il est attendu » : un résultat qui n'est pas sorti depuis longtemps n'a pas plus de chances.
- « Il est en forme » : un résultat qui vient de sortir n'a pas plus de chances non plus.
Exemple
Lina et Sami lancent leur dé une quatrième fois. Quelle est la probabilité d'obtenir un \(6\) ?
Rien n'a changé : le dé a toujours ses six faces, et les six issues sont toujours équiprobables. Il y a une issue favorable sur six : $$P(\text{« obtenir un } 6 \text{ »}) = \frac{1}{6}$$ exactement comme au premier lancer. Lina a tort, et Sami aussi : les trois \(6\) déjà obtenus n'y changent rien.
Exemple
Une pièce équilibrée est tombée cinq fois de suite sur pile. Théo dit : « Face est maintenant beaucoup plus probable, il faut bien que ça se rattrape. » Quelle est la probabilité d'obtenir face au sixième lancer ?
La pièce a deux côtés, et elle n'a pas changé. Il y a une issue favorable sur deux : $$P(\text{« face »}) = \frac{1}{2}$$ Théo a tort : rien n'a besoin de « se rattraper ». La pièce ne compte pas les lancers précédents.
Quand y a-t-il une mémoire ? Dans de telles expériences, une mémoire n'apparaît que si l'expérience change l'objet. Si l'on tire une boule d'un sac et qu'on la remet, le sac est le même qu'avant et les tirages sont indépendants. Si l'on ne la remet pas, le sac a changé : il y a une boule de moins, donc les chances du second tirage ne sont plus les mêmes. Lancer un dé, lancer une pièce, tourner une roue ne changent jamais l'objet : ce sont toujours des répétitions indépendantes.
Compétences à pratiquer
- Décider si le dé a une mémoire
- Calculer la probabilité à l'essai suivant
IV
Calculer et comparer à deux épreuves
Méthode — Calculer une probabilité à deux épreuves
Rien de neuf : la même règle s'applique mot pour mot, avec les cases du tableau, ou les bouts de l'arbre, comme issues. - Vérifier que les issues sont équiprobables : l'expérience doit être équilibrée, et la répéter ne doit rien changer.
- Compter les cases, ou les bouts, qui réalisent l'événement.
- Diviser ce nombre par le nombre total de cases, ou de bouts.
| \(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{2e lancer}} \\ \textcolor{colordef}{\text{1er lancer}} \end{aligned}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
| \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\) | \(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\) |
Compétences à pratiquer
- Comparer des probabilités
- Calculer une probabilité dans une expérience à deux épreuves
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes : indépendance et expériences à deux épreuves
- Quiz
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