Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli, loi binomiale

1. Repérer le chemin qui réalise à la fois \(E\) et \(F\).
2. Multiplier les probabilités le long de ce chemin.

$$P(E \cap F) = \textcolor{colorprop}{P(E) \PCondFr{F}{E}}.$$

Pour des événements \(E\) et \(F\) avec \(0 < P(E) < 1\) : $$P(F) = P(E) \PCondFr{F}{E} + P(\overline{E}) \PCondFr{F}{\overline{E}}.$$ Ce résultat utilise la partition de l’univers formée par \(E\) et son contraire \(\overline{E}\). Plus généralement, si \((E_1,\dots,E_n)\) forme une partition de l’univers en événements de probabilités non nulles, alors $$P(F) = \sum_{i=1}^n P(E_i)\PCondFr{F}{E_i}.$$

1. Repérer tous les chemins qui mènent à \(F\).
2. Calculer le produit des probabilités le long de chaque chemin, puis additionner ces produits.

$$P(F) = \textcolor{colordef}{P(E) \PCondFr{F}{E}} + \textcolor{colorprop}{P(\overline{E}) \PCondFr{F}{\overline{E}}}.$$

1. Dessiner l'arbre, un niveau par épreuve, et écrire la probabilité de chaque branche ; les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme \(1\).
2. Probabilité d'un chemin : multiplier les probabilités le long du chemin, de la racine à la feuille.
3. Probabilité d'un événement : additionner les probabilités des chemins qui le réalisent (deux chemins différents sont des issues disjointes).
4. « Au moins un » : passer par le contraire « aucun », qui a bien moins de chemins (un seul quand chaque épreuve est réduite à « l'issue se produit ou non »).

Quand les épreuves ne sont pas indépendantes (tirages sans remise, seconde étape dont les chances dépendent de la première), l'arbre fonctionne encore : les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles, la probabilité du second résultat sachant le premier.

• La probabilité d'un chemin est toujours le produit des poids le long du chemin : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\) pour deux épreuves, et pour trois, \(P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P_A(B) \times P_{A \cap B}(C)\), le troisième poids étant conditionné par tout le chemin qui le précède (les événements conditionnants étant de probabilité non nulle).
• La probabilité d'un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme de leurs probabilités (formule des probabilités totales).

L'indépendance se reconnaît sur l'arbre : chaque issue garde le même poids sur toutes les branches de son niveau.

Si \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), alors :

• L'espérance est \(E(X) = p\),
• La variance est \(V(X) = p(1 - p)\),
• L’écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}\).

Soit \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\). La loi de probabilité de \(X\) est : Pour tout entier \(k\) de \(0\) à \(n\), \(P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\), où le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) est le nombre de chemins de l'arbre à \(k\) succès.

Pour \(X \sim \mathcal{B}(n ; p)\) :

• \(E(X) = n p\) (espérance),
• \(V(X) = n p (1 - p)\) (variance),
• \(\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}\) (écart-type).

Pour calculer des probabilités binomiales, on utilise une calculatrice graphique : sa fonction de probabilité donne \(P(X = k)\), et sa fonction de probabilité cumulée (ou fonction de répartition) donne les probabilités de la forme \(P(X \leq k)\).

• Sur TI : Utiliser binomFdp(n, p, k) pour \(P(X = k)\) et binomfrép(n, p, k) pour \(P(X \leq k)\).
• Sur Casio : Utiliser BinomialPD(k, n, p) et BinomialCD(k, n, p).
• Sur NumWorks : Application Probabilités, choisir Binomiale.

Pour les autres inégalités, on utilise les règles suivantes, où \(k\), \(a\) et \(b\) sont des entiers avec \(a \leq b\) :

• \(P(X < k) = P(X \leq k-1)\)
• \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\)
• \(P(X > k) = 1 - P(X \leq k)\)
• \(P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)\)

La formule \(P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) tient en une ligne de Python ; la probabilité cumulée \(P(X \leq k)\) est la somme de ces termes pour \(j = 0, \dots, k\) ; et un seuil se trouve par une boucle. La fonction capacity renvoie le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X > k) \leq \alpha\) : avec \(n\) réservations, chacune honorée avec la probabilité \(p\) indépendamment, \(k\) places suffisent avec un risque au plus \(\alpha\) de refuser un client.

from math import comb

def binomial_pmf(n, p, k):
    """P(X = k) for X ~ B(n, p)"""
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def binomial_cdf(n, p, k):
    """P(X <= k)"""
    return sum(binomial_pmf(n, p, j) for j in range(k + 1))

def capacity(n, p, alpha):
    """smallest k such that P(X > k) <= alpha"""
    k = 0
    while 1 - binomial_cdf(n, p, k) > alpha:
        k = k + 1
    return k

print(binomial_pmf(10, 0.3, 4))      # 0.2001...
print(binomial_cdf(10, 0.3, 4))      # 0.8497...
print(capacity(105, 0.95, 0.05))     # 103

Pour la question inverse, une capacité donnée et le nombre de réservations à accepter, le risque \(P(X > \text{capacité})\) croît avec \(n\) et, quand \(p > 0\), tend vers \(1\) : une boucle augmente \(n\) tant que le risque reste au plus \(\alpha\) et garde la dernière valeur admissible ; elle s'arrête pour tout \(\alpha < 1\).

Pour déterminer le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leq k) \geq 1-\alpha\) (où \(\alpha\) est un seuil, par exemple \(0{,}05\)), on utilise la fonction binomiale inverse ou un tableau de valeurs sur la calculatrice.

Pour chercher un intervalle \(I=[a ; b]\) tel que \(P(X \in I) \geq 1-\alpha\) :

1. On cherche le plus petit entier \(a\) tel que \(P(X \leq a) > \frac{\alpha}{2}\).
2. On cherche le plus petit entier \(b\) tel que \(P(X \leq b) \geq 1 - \frac{\alpha}{2}\).