Éducation Nationale Française · Quatrième

Probabilité

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I L'algèbre des événements

I.1 Expériences aléatoires et événements

Certaines actions ont un résultat que l’on ne peut pas prévoir : lancer une pièce, lancer un dé, ou jouer à un jeu. On appelle une telle action une expérience aléatoire : on peut la refaire dans les mêmes conditions, tous ses résultats possibles sont connus d'avance, mais personne ne peut dire avec certitude lequel se réalisera. La probabilité est une façon mathématique de mesurer à quel point un événement de l'expérience est probable, par exemple « obtenir un 6 » quand on lance un dé.

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Définition — Issue

Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.

Définition — Univers

L'univers, noté $\Omega$ (oméga majuscule), est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Une issue est notée $\omega$ (oméga minuscule). Si l'expérience a $n$ issues, on écrit $$\Omega = \{\omega_1\,;\,\omega_2\,;\,\dots\,;\,\omega_n\}.$$

Exemple

Quel est l’univers quand on lance une pièce ?

Correction

L'univers est $\Omega = \{\text{Face}\,;\,\text{Pile}\} = \{$

$\}$, ou simplement $\Omega = \{\text{F}\,;\,\text{P}\}$. Il a deux issues : $\omega_1 = \text{F}$ et $\omega_2 = \text{P}$.

Définition — Événement

Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme $E$) est un sous-ensemble de l'univers.

Exemple

Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumérer les issues de l'événement $E$ : « obtenir un nombre pair ».

Correction

Parmi les issues de l'univers $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{$

;

$\}$, l'événement « obtenir un nombre pair » est $E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{$

;

$\}$.

Compétences à pratiquer

Déterminer l'univers d'une expérience aléatoire
Déterminer les issues d'un événement

I.2 La réunion de deux événements

Définition — $E$ ou $F$

La réunion (ou union) de deux événements $E$ et $F$, notée $E \cup F$, est l'événement qui se produit si $E$ se réalise, ou si $F$ se réalise, ou si les deux se réalisent. On lit cela « E ou F ». Elle inclut toutes les issues qui se trouvent dans au moins l'un des deux événements.

Exemple

On lance un dé à six faces. Soit l'événement $E$ « obtenir un nombre pair » et l'événement $F$ « obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ». Déterminer l'événement $E \cup F$.

Correction

Les événements sont $E = \{2\,;\,4\,;\,6\}$ et $F = \{1\,;\,2\,;\,3\}$.
L'union $E \cup F$ contient toutes les issues qui apparaissent dans l'un ou l'autre ensemble, sans répétition : $$ E \cup F = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}. $$

Compétences à pratiquer

Déterminer la réunion de deux événements

I.3 L'intersection de deux événements

Définition — $E$ et $F$

L'intersection de deux événements $E$ et $F$, notée $E \cap F$, est l'événement qui se produit si $E$ et $F$ se réalisent simultanément. On lit cela « E et F ». Elle inclut toutes les issues qui sont communes aux deux événements.

Exemple

On lance un dé à six faces. Soit l'événement $E$ « obtenir un nombre impair » et l'événement $F$ « obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ». Déterminer l'événement $E \cap F$.

Correction

Les événements sont $E = \{1\,;\,3\,;\,5\}$ et $F = \{1\,;\,2\,;\,3\}$.
L'intersection $E \cap F$ contient uniquement les issues qui sont dans les deux ensembles : $$ E \cap F = \{1\,;\,3\}. $$

Compétences à pratiquer

Déterminer l'intersection de deux événements

I.4 Événements incompatibles

Définition — Événements incompatibles

Deux événements $E$ et $F$ sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) s’ils n'ont aucune issue en commun. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est l'ensemble vide ($\emptyset$) : $$E \cap F = \emptyset.$$

Exemple

Lors du lancer d'un dé, soit $E$ l'événement « obtenir un nombre impair » et $F$ l'événement « obtenir un nombre pair ». Montrer que $E$ et $F$ sont incompatibles.

Correction

Les événements sont $E = \{1\,;\,3\,;\,5\}$ et $F = \{2\,;\,4\,;\,6\}$.
On cherche leur intersection : $$ E \cap F = \emptyset. $$ Puisqu'il n'y a aucune issue commune aux deux événements, ils sont incompatibles.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des événements incompatibles

I.5 L'événement contraire

Définition — Événement contraire

L'événement contraire (on dit aussi l'événement complémentaire) d'un événement $E$, noté $\overline{E}$, est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans $E$.

Exemple

Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit $E$ l'événement « obtenir un nombre pair ». Déterminer l'événement contraire, $\overline{E}$.

Correction

L'univers est $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{$

;

$\}$.
L'événement est $E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{$

;

$\}$.
L'événement contraire $\overline{E}$ contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans $E$.
Donc $\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\} = \{$

;

$\}$. C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».

Compétences à pratiquer

Déterminer l'événement contraire

I.6 Expériences à deux épreuves

Une expérience aléatoire à plusieurs étapes (on dit aussi : à plusieurs épreuves) est formée d'une succession d'au moins deux expériences simples. Par exemple, lancer deux pièces de monnaie est une expérience à plusieurs étapes composée de deux actions : lancer la première pièce, puis lancer la seconde.
Dans de nombreuses expériences à plusieurs étapes, on peut calculer le nombre total d'issues possibles en multipliant entre eux les nombres d'issues de chaque étape. Pour représenter toutes les issues de l'expérience, on peut utiliser des outils comme des listes, des tableaux ou des diagrammes en arbre.

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Méthode — Représentations des univers pour les expériences à plusieurs étapes

Lorsqu'une expérience comporte plusieurs étapes, l'univers peut être représenté de plusieurs manières :

en listant toutes les issues ordonnées possibles ;
en utilisant un tableau (idéal pour les expériences à deux étapes) ;
en utilisant un diagramme en arbre (utile pour n'importe quel nombre d'étapes).

Exemple

Pour l'expérience consistant à lancer deux pièces, représenter l'univers en :

listant toutes les issues possibles ;
utilisant un tableau ;
utilisant un diagramme en arbre.

Correction

Liste :
Chaque issue indique d'abord le résultat de la pièce 1, puis celui de la pièce 2 : $$\{\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\,;\,\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\,;\,\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\,;\,\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\}$$

Tableau :

$\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{pièce 2}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce 1}} \end{aligned} $	$\textcolor{colorprop}{F}$	$\textcolor{colorprop}{P}$
$\textcolor{colordef}{F}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}$
$\textcolor{colordef}{P}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}$

Diagramme en arbre :

Définition — Univers d'une expérience à deux étapes

Les issues d'une expérience à deux étapes sont des couples : un résultat pour la première étape, puis un résultat pour la seconde. L'univers est l'ensemble de tous ces couples. Le tableau les montre tous : une ligne par issue de la première étape, une colonne par issue de la seconde. Le nombre de couples est donc le nombre d'issues de la première étape multiplié par le nombre d'issues de la seconde. (Ce compte ne dénombre tous les couples que si chaque issue de la seconde étape peut encore se produire après la première ; si une issue antérieure en exclut certaines, seuls les couples restants forment l'univers.)

Exemple

Pour le jeu « une pièce puis un dé », énumérer toutes les issues de l'univers et donner leur nombre.

Correction

La première étape (la pièce) a $2$ issues et la seconde (le dé) en a $6$. L'univers est l'ensemble de tous les couples, que le tableau énumère en entier :

$\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{dé}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce}} \end{aligned}$	$\textcolor{colorprop}{1}$	$\textcolor{colorprop}{2}$	$\textcolor{colorprop}{3}$	$\textcolor{colorprop}{4}$	$\textcolor{colorprop}{5}$	$\textcolor{colorprop}{6}$
$\textcolor{colordef}{F}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{1}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{2}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{3}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{4}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{5}$	$\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{6}$
$\textcolor{colordef}{P}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{1}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{2}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{3}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{4}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{5}$	$\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{6}$

Il y a $2 \times 6 = 12$ issues, par exemple $\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{4}$ : face, puis un $4$.

Compétences à pratiquer

Dénombrer les issues dans un tableau
Dénombrer les issues dans un arbre

II La probabilité

II.1 La probabilité d'un événement

Définition — Probabilité

La probabilité d'un événement $E$, notée $P(E)$, est un nombre qui indique à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre $0$ (impossible) et $1$ (certain). Autrement dit, pour tout événement $E$, on a $0 \leq P(E) \leq 1$.

Exemple

Une roue équilibrée a 4 parts égales, dont 1 rouge : $P(\text{rouge}) = \frac{1}{4}$. Représenter cette probabilité sous forme de nombre décimal et de pourcentage.

Correction

Fraction : $ \frac{1}{4} $
Nombre décimal : Pour convertir une fraction en nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur : $$ 1 \div 4 = 0{,}25 $$
Pourcentage : Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, on multiplie par 100 et l'on ajoute le signe de pourcentage : $$ 0{,}25 = 0{,}25 \times 100\pourcent = 25\pourcent $$

Donc, $P(\text{rouge}) = \frac{1}{4}$ est la même chose que $0{,}25$ ou $25\pourcent$.

Probabilité d'une issue

Une issue $\omega$ et son événement élémentaire $\{\omega\}$ — le singleton, l'ensemble à un seul élément — décrivent le même résultat : parler de la chance d'une issue, c'est donc parler de la chance d'un événement. La probabilité de l'issue est la probabilité de cet événement, notée $P(\{\omega\})$. En pratique, on s'autorise à écrire $P(\omega)$ pour $P(\{\omega\})$ — par exemple $P(3)$ pour la probabilité d'obtenir un 3.

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Proposition — Somme des probabilités

Dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ : $$\textcolor{colorprop}{P(\text{issue}_1) + P(\text{issue}_2) + \dots + P(\text{issue}_n) = 1}$$

Proposition — Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues : $$\textcolor{colorprop}{P(\text{événement}) = \text{somme des probabilités de ses issues}}$$

Méthode — Calculer une probabilité manquante

Lorsque les probabilités de toutes les issues sauf une sont connues, la probabilité manquante s'obtient en soustrayant de $1$ : $$P(\text{issue manquante}) = 1 - (\text{somme des probabilités connues}).$$

Exemple

Une roue a trois issues, A, B et C, avec $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}3$.

Trouver $P(C)$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] P(C) &= 1 - (0{,}5 + 0{,}3) && \text{(la somme des probabilités vaut 1)}\\ &= 1 - 0{,}8 && \text{($0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$)}\\ &= 0{,}2. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer la probabilité d'un événement
Calculer une probabilité manquante

II.2 Équiprobabilité

Qui n’a jamais lancé une pièce bien équilibrée ou un dé bien équilibré ? Dans ces expériences, chaque issue a la même chance d’arriver. On parle alors d’issues équiprobables.

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Définition — Équiprobabilité

Lorsque toutes les issues de l'univers (l'ensemble des issues possibles) sont équiprobables, la probabilité d’un événement $E$ est : $$P(E) = \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}$$

Exemple

Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ?

Correction

Univers $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ (6 issues).
$E = \{2\,;\,4\,;\,6\}$ (3 issues).
$$\begin{aligned} P(E) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

Donc, il y a une chance sur deux (ou $50\pourcent$) d'obtenir un nombre pair.

Méthode — Calculer la probabilité d'un événement

Déterminer l'événement : le décrire, puis écrire l'ensemble de ses issues.
Calculer sa probabilité :
- en cas d'équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre total d'issues}}$ ;
- sinon : additionner les probabilités des issues de l'événement ;
- quand l'événement contraire est plus simple : $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

Compétences à pratiquer

Calculer des probabilités avec un dé
Calculer des probabilités d'événements
De l'événement à sa probabilité
Calculer des probabilités dans une expérience à deux épreuves

II.3 La règle de l'événement contraire

Le temps de demain est modélisé par une expérience à deux issues : $\Omega = \{\text{pluie}\,;\,\text{pas de pluie}\}$. S'il y a $40\pourcent$ de chances qu'il pleuve demain, quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ? $100\pourcent - 40\pourcent = 60\pourcent$ Ce calcul est une application de la règle de l'événement contraire, puisque l'événement $\{\text{pas de pluie}\}$ est l'événement contraire de $\{\text{pluie}\}$. C'est un raccourci pour calculer la probabilité qu'un événement n'arrive pas.

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Proposition — Règle de l'événement contraire

Pour tout événement $E$ et son événement contraire $\overline{E}$, la somme de leurs probabilités est égale à $1$ (ou $100\pourcent$) : $$\textcolor{colorprop}{P(E) + P(\overline{E}) = 1}$$ On en déduit une formule utile pour calculer la probabilité de l'événement contraire : $$\textcolor{colorprop}{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$$

Preuve

L'événement contraire $\overline{E}$ est formé exactement des issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $E$. Ainsi, chaque issue de $\Omega$ se trouve dans exactement un des deux événements $E$ et $\overline{E}$ : ensemble, ils partagent $\Omega$ en deux parties sans aucun recouvrement.

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues. Additionner $P(E)$ et $P(\overline{E})$ compte donc la probabilité de chaque issue de $\Omega$ exactement une fois : $$\begin{aligned}[t] P(E) + P(\overline{E}) &= \text{(somme des probabilités de toutes les issues de } \Omega\text{)} && \text{(chaque issue est dans $E$ ou dans $\overline{E}$)}\\ &= P(\Omega) && \text{(l'univers tout entier)}\\ &= 1. \end{aligned}$$ En soustrayant $P(E)$ des deux membres, on obtient $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.

Exemple

Les devoirs de Farid ce soir sont modélisés par une expérience à deux issues : $\Omega = \{\text{à l'heure}\,;\,\text{en retard}\}$. Farid a une probabilité de $0{,}8$ ($80\pourcent$) de finir ses devoirs à temps ce soir : l'événement $E = \{\text{à l'heure}\}$ a pour probabilité $0{,}8$. Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?

Correction

L’événement contraire est $\overline{E} = \{\text{en retard}\}$, l'événement « Farid ne termine pas ses devoirs à temps ». En utilisant la règle de l’événement contraire : $$\begin{aligned} P(\overline{E}) &= 1 - P(E) \\ &= 1 - 0{,}8 \\ &= 0{,}2 \end{aligned}$$ Il y a donc une probabilité de $0{,}2$ (ou $20\pourcent$) qu’il ne finisse pas à temps.

Incompatibles ne veut pas dire contraires. Deux événements contraires sont toujours incompatibles, mais la réciproque est fausse. Avec un dé, $A = \{1 ; 2\}$ et $B = \{5 ; 6\}$ n'ont aucune issue en commun : ils sont incompatibles. Ils ne sont pas contraires, puisque $3$ et $4$ n'appartiennent à aucun des deux. Deux événements sont contraires quand ils sont incompatibles et qu'à eux deux ils recouvrent tout l'univers.

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Deux événements incompatibles n'ont pas forcément des probabilités de somme $1$. On lance un dé équilibré : l'univers $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ est formé de $6$ issues équiprobables. Les événements $A = \{1\,;\,2\}$ et $B = \{5\,;\,6\}$ sont incompatibles mais pas contraires, et $$\begin{aligned}[t] P(A) + P(B) &= \frac{2}{6} + \frac{2}{6} && \text{(chaque événement contient $2$ des $6$ issues équiprobables)}\\ &= \frac{2}{3}, \end{aligned}$$ et non $1$. Les événements dont les probabilités ont toujours pour somme $1$ sont les événements contraires, qui à eux deux recouvrent tout l'univers : $P(E) + P(\overline{E}) = 1$.

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Compétences à pratiquer

Appliquer la règle de l'événement contraire

II.4 Fréquences et probabilités : la fluctuation

Découverte

Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber retombe sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ».

À cause de la forme du cône, ces issues ne sont pas équiprobables. Un calcul théorique simple n’est pas possible ; les issues ne sont pas symétriques, donc Isaac estime la probabilité à partir d’une expérience. Il lance le cône 50 fois (50 essais) et note les résultats :

Sur la base : 15 fois.
Sur le côté : 35 fois.

À partir de son expérience, Isaac peut estimer la probabilité. Le cône est tombé sur la base 15 fois sur 50 : $$ P(\text{sur la base}) \approx \frac{15}{50} = \frac{3}{10} $$ Ce résultat obtenu par une expérience s’appelle la probabilité expérimentale ou la fréquence relative.

Définition — Probabilité expérimentale (Fréquence relative)

La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule : $$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$ En général, plus on fait d’essais, plus cette fréquence a tendance à se rapprocher de la vraie probabilité.

Proposition — La fluctuation des fréquences

Pour un nombre d'essais fixé $n$, les fréquences observées varient généralement d'une série à l'autre : elles fluctuent.
Quand $n$ devient grand, la fréquence de chaque issue a tendance à se rapprocher de sa probabilité. C'est une observation expérimentale.

Compétences à pratiquer

Lire des diagrammes de fréquences et de probabilités
Interpréter la fluctuation

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

\(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{pièce 2}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce 1}} \end{aligned} \)	\(\textcolor{colorprop}{F}\)	\(\textcolor{colorprop}{P}\)
\(\textcolor{colordef}{F}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\)
\(\textcolor{colordef}{P}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\)

\(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{dé}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce}} \end{aligned}\)	\(\textcolor{colorprop}{1}\)	\(\textcolor{colorprop}{2}\)	\(\textcolor{colorprop}{3}\)	\(\textcolor{colorprop}{4}\)	\(\textcolor{colorprop}{5}\)	\(\textcolor{colorprop}{6}\)
\(\textcolor{colordef}{F}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{1}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{2}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{3}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{4}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{5}\)	\(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{6}\)
\(\textcolor{colordef}{P}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{1}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{2}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{3}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{4}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{5}\)	\(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{6}\)