Éducation Nationale Française · Seconde
Probabilités et échantillonnage
I
Le langage des événements
I.1
Issues et univers
Définition — Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire. 
Définition — Univers
L'univers, noté \(\Omega\) (oméga majuscule), est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Une issue est notée \(\omega\) (oméga minuscule). Si l'expérience a \(n\) issues, on écrit $$\Omega = \{\omega_1\,;\,\omega_2\,;\,\dots\,;\,\omega_n\}.$$ Exemple
Quel est l’univers quand on lance une pièce ?
L'univers est \(\Omega = \{\text{Face}\,;\,\text{Pile}\} = \{\)
,
\(\}\), ou simplement \(\Omega = \{\text{F}\,;\,\text{P}\}\). Il a deux issues : \(\omega_1 = \text{F}\) et \(\omega_2 = \text{P}\).
,\(\}\), ou simplement \(\Omega = \{\text{F}\,;\,\text{P}\}\). Il a deux issues : \(\omega_1 = \text{F}\) et \(\omega_2 = \text{P}\). Compétences à pratiquer
- Déterminer l'univers d'une expérience aléatoire
I.2
Les événements
Définition — Événement
Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme \(E\)) est un sous-ensemble de l'univers. Exemple
Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumérer les issues de l'événement \(E\) : « obtenir un nombre pair ».
Parmi les issues de l'univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\)
; 
; 
; 
; 
; 
\(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\) ; ; \(\}\).
; ; ; ; ; \(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\) ; ; \(\}\). Compétences à pratiquer
- Déterminer les issues d'un événement
I.3
La réunion de deux événements
Définition — \(E\) ou \(F\)
La réunion (ou union) de deux événements \(E\) et \(F\), notée \(E \cup F\), est l'événement qui se produit si \(E\) se réalise, ou si \(F\) se réalise, ou si les deux se réalisent. On lit cela « E ou F ». Elle inclut toutes les issues qui se trouvent dans au moins l'un des deux événements. Exemple
On lance un dé à six faces. Soit l'événement \(E\) « obtenir un nombre pair » et l'événement \(F\) « obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ». Déterminer l'événement \(E \cup F\).
Les événements sont \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) et \(F = \{1\,;\,2\,;\,3\}\).
L'union \(E \cup F\) contient toutes les issues qui apparaissent dans l'un ou l'autre ensemble, sans répétition : $$ E \cup F = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}. $$
L'union \(E \cup F\) contient toutes les issues qui apparaissent dans l'un ou l'autre ensemble, sans répétition : $$ E \cup F = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}. $$
Compétences à pratiquer
- Déterminer la réunion de deux événements
I.4
L'intersection de deux événements
Définition — \(E\) et \(F\)
L'intersection de deux événements \(E\) et \(F\), notée \(E \cap F\), est l'événement qui se produit si \(E\) et \(F\) se réalisent simultanément. On lit cela « E et F ». Elle inclut toutes les issues qui sont communes aux deux événements. Exemple
On lance un dé à six faces. Soit l'événement \(E\) « obtenir un nombre impair » et l'événement \(F\) « obtenir un nombre strictement inférieur à 4 ». Déterminer l'événement \(E \cap F\).
Les événements sont \(E = \{1\,;\,3\,;\,5\}\) et \(F = \{1\,;\,2\,;\,3\}\).
L'intersection \(E \cap F\) contient uniquement les issues qui sont dans les deux ensembles : $$ E \cap F = \{1\,;\,3\}. $$
L'intersection \(E \cap F\) contient uniquement les issues qui sont dans les deux ensembles : $$ E \cap F = \{1\,;\,3\}. $$
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'intersection de deux événements
I.5
Les événements incompatibles
Définition — Événements incompatibles
Deux événements \(E\) et \(F\) sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) s’ils n'ont aucune issue en commun. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est l'ensemble vide (\(\emptyset\)) : $$E \cap F = \emptyset.$$ Exemple
Lors du lancer d'un dé, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre impair » et \(F\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Montrer que \(E\) et \(F\) sont incompatibles.
Les événements sont \(E = \{1\,;\,3\,;\,5\}\) et \(F = \{2\,;\,4\,;\,6\}\).
On cherche leur intersection : $$ E \cap F = \emptyset. $$ Puisqu'il n'y a aucune issue commune aux deux événements, ils sont incompatibles.
On cherche leur intersection : $$ E \cap F = \emptyset. $$ Puisqu'il n'y a aucune issue commune aux deux événements, ils sont incompatibles.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des événements incompatibles
I.6
L'événement contraire
Définition — Événement contraire
L'événement contraire (on dit aussi l'événement complémentaire) d'un événement \(E\), noté \(\overline{E}\), est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\). Exemple
Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Déterminer l'événement contraire, \(\overline{E}\).
L'univers est \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \{\) ; ; ; ; ; \(\}\).
L'événement est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\) ; ; \(\}\).
L'événement contraire \(\overline{E}\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Donc \(\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\} = \{\) ; ; \(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».
; ; ; ; ; \(\}\).L'événement est \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\} = \{\)
; ; \(\}\).L'événement contraire \(\overline{E}\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Donc \(\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\} = \{\)
; ; \(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ». Compétences à pratiquer
- Déterminer l'événement contraire
I.7
Les événements en langage des ensembles
Définition — Théorie des ensembles et vocabulaire des probabilités
| Notation | Vocabulaire des ensembles | Vocabulaire probabiliste | Diagramme de Venn |
| \(\Omega\) | Ensemble de référence | Univers |  |
| \(x\) | Élément de \(\Omega\) | Issue |  |
| \(\emptyset\) | Ensemble vide | Événement impossible | |
| \(E\) | Sous-ensemble de \(\Omega\) | Événement |  |
| \(x \in E\) | \(x\) est un élément de \(E\) | \(x\) est une issue de \(E\) |  |
| \(\overline{E}\) | Complémentaire de \(E\) dans \(\Omega\) | Événement contraire de \(E\) |  |
| \(E \cup F\) | Union de \(E\) et \(F\) | \(E\) ou \(F\) |  |
| \(E \cap F\) | Intersection de \(E\) et \(F\) | \(E\) et \(F\) |  |
| \(E \cap F = \emptyset\) | \(E\) et \(F\) sont disjoints | \(E\) et \(F\) sont incompatibles |  |
Exemple
On lance un dé : \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\). On considère les événements \(E\) : « le résultat est pair » et \(F\) : « le résultat est au moins cinq ». En langage des ensembles : - A-t-on \(4 \in E\) ? A-t-on \(4 \in F\) ?
- Écrire \(E \cup F\), \(E \cap F\) et \(\overline{E}\).
- \(E\) et \(F\) sont-ils incompatibles ?
Ici \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) et \(F = \{5\,;\,6\}\).
- \(4\) est pair, donc \(4 \in E\) ; mais \(4 < 5\), donc \(4 \notin F\).
- \(E \cup F = \{2\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\) (dans \(E\) ou dans \(F\)) ; \(E \cap F = \{6\}\) (dans les deux) ; \(\overline{E} = \{1\,;\,3\,;\,5\}\) (tout le reste de \(\Omega\)).
- \(E \cap F = \{6\} \neq \varnothing\) : l'issue \(6\) réalise les deux événements, donc \(E\) et \(F\) ne sont pas incompatibles.
Compétences à pratiquer
- Lire un diagramme de Venn
II
La loi de probabilité
II.1
La probabilité d'un événement
Définition — Probabilité
La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui indique à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre \(0\) (impossible) et \(1\) (certain). Autrement dit, pour tout événement \(E\), on a \(0 \leq P(E) \leq 1\). 
Probabilité d'une issue
Une issue \(\omega\) et son événement élémentaire \(\{\omega\}\) — le singleton, l'ensemble à un seul élément — décrivent le même résultat : parler de la chance d'une issue, c'est donc parler de la chance d'un événement. La probabilité de l'issue est la probabilité de cet événement, notée \(P(\{\omega\})\). En pratique, on s'autorise à écrire \(P(\omega)\) pour \(P(\{\omega\})\) — par exemple \(P(3)\) pour la probabilité d'obtenir un 3.
Proposition — Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues : $$\textcolor{colorprop}{P(\text{événement}) = \text{somme des probabilités de ses issues}}$$ Compétences à pratiquer
- Calculer la probabilité d'un événement
II.2
La somme des probabilités
Proposition — Somme des probabilités
Dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités de toutes les issues vaut \(1\) : $$\textcolor{colorprop}{P(\text{issue}_1) + P(\text{issue}_2) + \dots + P(\text{issue}_n) = 1}$$ Méthode — Calculer une probabilité manquante
Lorsque les probabilités de toutes les issues sauf une sont connues, la probabilité manquante s'obtient en soustrayant de \(1\) : $$P(\text{issue manquante}) = 1 - (\text{somme des probabilités connues}).$$ Exemple
Une roue a trois issues, A, B et C, avec \(P(A) = 0{,}5\) et \(P(B) = 0{,}3\). 
$$\begin{aligned}[t] P(C) &= 1 - (0{,}5 + 0{,}3) && \text{(la somme des probabilités vaut 1)}\\
&= 1 - 0{,}8 && \text{(\(0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\))}\\
&= 0{,}2. \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer une probabilité manquante
II.3
L'équiprobabilité
Définition — Équiprobabilité
Lorsque toutes les issues de l'univers (l'ensemble des issues possibles) sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(E\) est : $$P(E) = \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}$$ Exemple
Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ? - Univers \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\) (6 issues).
- \(E = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) (3 issues).
- $$\begin{aligned} P(E) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer des probabilités d'événements
II.4
La règle de l'événement contraire
Proposition — Règle de l'événement contraire
Pour tout événement \(E\) et son événement contraire \(\overline{E}\), la somme de leurs probabilités est égale à \(1\) (ou \(100\pourcent\)) : $$\textcolor{colorprop}{P(E) + P(\overline{E}) = 1}$$ On en déduit une formule utile pour calculer la probabilité de l'événement contraire : $$\textcolor{colorprop}{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$$ Exemple
Les devoirs de Farid ce soir sont modélisés par une expérience à deux issues : \(\Omega = \{\text{à l'heure}\,;\,\text{en retard}\}\). Farid a une probabilité de \(0{,}8\) (\(80\pourcent\)) de finir ses devoirs à temps ce soir : l'événement \(E = \{\text{à l'heure}\}\) a pour probabilité \(0{,}8\). Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?
L’événement contraire est \(\overline{E} = \{\text{en retard}\}\), l'événement « Farid ne termine pas ses devoirs à temps ». En utilisant la règle de l’événement contraire : $$\begin{aligned} P(\overline{E}) &= 1 - P(E) \\
&= 1 - 0{,}8 \\
&= 0{,}2 \end{aligned}$$ Il y a donc une probabilité de \(0{,}2\) (ou \(20\pourcent\)) qu’il ne finisse pas à temps.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la règle de l'événement contraire
III
Combiner et dénombrer
III.1
La relation d'addition
Proposition — Loi d’addition des probabilités
Pour deux événements quelconques \(E\) et \(F\), $$\textcolor{colorprop}{P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)}$$ ce qui s'écrit aussi $$\textcolor{colorprop}{P(E \cup F) + P(E \cap F) = P(E) + P(F)}.$$ Cette formule est valable que \(E\) et \(F\) soient ou non incompatibles. S'ils le sont, alors \(P(E \cap F) = 0\) et la formule devient \(P(E \cup F) = P(E) + P(F)\). Méthode — Utiliser la relation d'addition
La relation relie quatre quantités : \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\) et \(P(A \cup B)\). En connaître trois donne toujours la quatrième. - Nommer les deux événements et traduire la phrase : « \(A\) ou \(B\) » — les deux éventuellement — c'est \(A \cup B\) ; « \(A\) et \(B\) », c'est \(A \cap B\).
- Écrire les trois quantités connues, chacune comme la probabilité de l'un de ces quatre événements.
- Écrire la relation comme une balance : les deux plateaux pèsent toujours le même poids, $$P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B).$$
- Isoler la quantité manquante en faisant passer les trois autres de l'autre côté.
- Contrôler le résultat : une probabilité est comprise entre \(0\) et \(1\), et \(P(A \cap B)\) ne peut dépasser ni \(P(A)\) ni \(P(B)\), puisque les issues de \(A \cap B\) sont parmi celles de \(A\), et parmi celles de \(B\).
Exemple
Un lycée organise un spectacle de talents. On choisit un élève au hasard : les issues de cette expérience sont les élèves du lycée, et \(\Omega\) est l'ensemble de tous ces élèves. Soit \(S\) l'ensemble des élèves qui participent au chant et \(D\) l'ensemble des élèves qui participent à la danse. La probabilité que l'élève choisi participe au chant est de \(0{,}4\) ; la probabilité qu'il participe à la danse est de \(0{,}3\) et la probabilité qu'il participe à la fois au chant et à la danse est de \(0{,}1\). Calculer la probabilité que l'élève choisi participe au chant ou à la danse (éventuellement aux deux).
Les événements sont les ensembles \(S\) (les élèves qui chantent) et \(D\) (les élèves qui dansent) ; « chant ou danse » est l'événement \(S \cup D\), et « les deux » est l'événement \(S \cap D\). L'énoncé donne :
- \(P(S) = 0{,}4\)
- \(P(D) = 0{,}3\)
- \(P(S \cap D) = 0{,}1\)
- chanter seulement : \(P(S) - P(S \cap D) = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\) ;
- danser seulement : \(P(D) - P(S \cap D) = 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2\) ;
- les deux : \(P(S \cap D) = 0{,}1\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la probabilité d'une réunion
- Calculer la probabilité d'une réunion dans des problèmes concrets
- Résoudre des problèmes avec la relation d'addition
III.2
Dénombrer avec des tableaux et des arbres
Méthode — Représentations des univers pour les expériences à plusieurs étapes
Lorsqu'une expérience comporte plusieurs étapes, l'univers peut être représenté de plusieurs manières : - en listant toutes les issues ordonnées possibles ;
- en utilisant un tableau (idéal pour les expériences à deux étapes) ;
- en utilisant un diagramme en arbre (utile pour n'importe quel nombre d'étapes).
Exemple
Pour l'expérience consistant à lancer deux pièces, représenter l'univers en : - listant toutes les issues possibles ;
- utilisant un tableau ;
- utilisant un diagramme en arbre.
- Liste :
Chaque issue indique d'abord le résultat de la pièce 1, puis celui de la pièce 2 : $$\{\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\,;\,\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\,;\,\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\,;\,\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\}$$ - Tableau :
\(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{pièce 2}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce 1}} \end{aligned} \) \(\textcolor{colorprop}{F}\) \(\textcolor{colorprop}{P}\) \(\textcolor{colordef}{F}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\) \(\textcolor{colordef}{P}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\) - Diagramme en arbre :
Définition — Univers d'une expérience à deux étapes
Les issues d'une expérience à deux étapes sont des couples : un résultat pour la première étape, puis un résultat pour la seconde. L'univers est l'ensemble de tous ces couples. Le tableau les montre tous : une ligne par issue de la première étape, une colonne par issue de la seconde. Le nombre de couples est donc le nombre d'issues de la première étape multiplié par le nombre d'issues de la seconde. (Ce compte ne dénombre tous les couples que si chaque issue de la seconde étape peut encore se produire après la première ; si une issue antérieure en exclut certaines, seuls les couples restants forment l'univers.) Compétences à pratiquer
- Dénombrer les issues dans un tableau
- Dénombrer les issues dans un arbre
- Calculer des probabilités dans une expérience à deux épreuves
IV
Probabilité conditionnelle
IV.1
Probabilité conditionnelle et tableau croisé
La probabilité conditionnelle met à jour une probabilité lorsqu’une information nouvelle est connue. Par exemple, la probabilité de pluie augmente dès que des nuages sombres apparaissent : l’information supplémentaire change la probabilité.
On considère un sac de \(5\) boules rouges, \(3\) bleues et \(2\) vertes (\(10\) en tout). La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Si l'on apprend que la boule tirée n'est pas bleue, seules les \(5\) rouges et les \(2\) vertes (\(7\) en tout) restent possibles, donc la probabilité qu'elle soit rouge devient \(\frac{5}{7}\). C’est la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (la boule tirée n'est pas bleue) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, par exemple \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCondFr{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.
On considère un sac de \(5\) boules rouges, \(3\) bleues et \(2\) vertes (\(10\) en tout). La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Si l'on apprend que la boule tirée n'est pas bleue, seules les \(5\) rouges et les \(2\) vertes (\(7\) en tout) restent possibles, donc la probabilité qu'elle soit rouge devient \(\frac{5}{7}\). C’est la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (la boule tirée n'est pas bleue) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, par exemple \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCondFr{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.
On explore la probabilité conditionnelle avec un tableau croisé qui montre les préférences de 100 élèves pour les mathématiques, selon leur genre :
On choisit un élève au hasard, tous les élèves étant équiprobables. On calcule quelques probabilités :
| Aime les maths | N’aime pas les maths | Total | |
| Filles | 35 | 16 | 51 |
| Garçons | 30 | 19 | 49 |
| Total | 65 | 35 | 100 |
- Probabilité que l’élève soit une fille : $$\begin{aligned} P(\text{Fille}) &= \frac{\text{Nombre de filles}}{\text{Nombre d’élèves}} \\ &= \frac{51}{100}. \end{aligned}$$
- Probabilité que l’élève aime les maths et soit une fille : $$\begin{aligned} P(\text{Aime les maths et Fille}) &= \frac{\text{Nombre de filles qui aiment les maths}}{\text{Nombre d’élèves}} \\ &= \frac{35}{100}. \end{aligned}$$
- Probabilité que l’élève aime les maths, sachant que c’est une fille :
Puisque l’on sait que l’élève est une fille, on se concentre sur les 51 filles : $$\begin{aligned} \PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} &= \frac{\text{Nombre de filles qui aiment les maths}}{\text{Nombre de filles}} \\ &= \frac{35}{51}. \end{aligned}$$ - Lien avec la formule :
On remarque que : $$\begin{aligned} \PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} &=\frac{35}{51}\\ &= \frac{35/100}{51/100}\\ &= \dfrac{P(\text{Aime les maths et Fille})}{P(\text{Fille})}. \end{aligned}$$ Ce schéma donne la règle générale de la probabilité conditionnelle.
Définition — Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle d’un événement \(F\) sachant un événement \(E\) est la probabilité que \(F\) se produise sachant que \(E\) est réalisé. On la note \(\PCondFr{F}{E}\) et on la calcule comme suit : $$\textcolor{colordef}{\PCondFr{F}{E} = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}}, \quad \text{où } P(E) > 0.$$
Deux notations
Il existe deux notations pour la probabilité conditionnelle de \(F\) sachant \(E\). Les manuels français écrivent \(\PCondFr{F}{E}\), l'événement connu \(E\) en indice ; les manuels internationaux écrivent \(P(F \mid E)\), l'événement connu après une barre. Elles désignent le même nombre : $$\PCondFr{F}{E} = P(F \mid E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}.$$ Dans les deux, \(F\) est l'événement dont on calcule la probabilité et \(E\) l'information déjà connue. Dans le tableau croisé des \(100\) élèves, \(35\) des \(51\) filles aiment les maths : \(\PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} = P(\text{Aime les maths} \mid \text{Fille}) = \frac{35}{51}\).
Proposition — Probabilité conditionnelle et effectifs
On choisit un individu au hasard, tous les individus étant équiprobables, dans une population \(\Omega\) de \(\Cardfr{\Omega}\) individus. Pour deux événements \(A\) et \(B\), où \(B\) contient au moins un individu : $$\textcolor{colorprop}{P(A) = \frac{\Cardfr{A}}{\Cardfr{\Omega}}} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{\PCondFr{A}{B} = \frac{\Cardfr{A \cap B}}{\Cardfr{B}}}.$$ Ici \(\Cardfr{A}\) est le nombre d'éléments de \(A\), noté aussi \(n(A)\). La probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est la proportion des individus de \(B\) qui sont aussi dans \(A\) : l'événement connu \(B\) devient la nouvelle population.
Par la Définition « Équiprobabilité », \(P(A) = \dfrac{\Cardfr{A}}{\Cardfr{\Omega}}\) et \(P(B) = \dfrac{\Cardfr{B}}{\Cardfr{\Omega}}\). Alors : $$\begin{aligned} \PCondFr{A}{B} &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} && \text{(Définition « Probabilité conditionnelle »)} \\
&= \frac{\Cardfr{A \cap B}/\Cardfr{\Omega}}{\Cardfr{B}/\Cardfr{\Omega}} && \text{(Définition « Équiprobabilité »)} \\
&= \frac{\Cardfr{A \cap B}}{\Cardfr{\Omega}} \times \frac{\Cardfr{\Omega}}{\Cardfr{B}} && \text{(diviser par une fraction)} \\
&= \frac{\Cardfr{A \cap B}}{\Cardfr{B}}. \end{aligned}$$
Proposition — Fréquences et probabilités
Quand on choisit un individu au hasard dans la population, tous les individus étant équiprobables, la fréquence marginale d'une modalité \(A\) est la probabilité de l'événement « l'individu a la modalité \(A\) », et, pour une modalité \(A\) observée au moins une fois (\(n(A) > 0\)), la fréquence conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est la probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) : $$\textcolor{colorprop}{P(A) = f(A) = \frac{n(A)}{N}} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{\PCondFr{B}{A} = f_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}}.$$ Le vocabulaire statistique (sous-population, proportion, fréquence conditionnelle) et le vocabulaire probabiliste (événement, probabilité, probabilité conditionnelle) décrivent le même tableau.
Les individus sont équiprobables, donc la probabilité d'un événement est le nombre d'individus qu'il contient divisé par \(N\) : \(P(A) = \dfrac{n(A)}{N} = f(A)\) et \(P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{N}\). Alors, pour \(n(A) > 0\) : $$\begin{aligned} \PCondFr{B}{A} &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} && \text{(définition de la probabilité conditionnelle)} \\
&= \frac{n(A \cap B)}{N} \times \frac{N}{n(A)} && \text{(diviser par une fraction)} \\
&= \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = f_A(B). \end{aligned}$$
Méthode — Lire une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé
Pour lire \(\PCondFr{A}{B}\) dans un tableau croisé d'effectifs : - Repérer l'événement connu \(B\) — celui qui suit « sachant que » — et sa ligne (ou sa colonne).
- Lire \(\Cardfr{B}\) dans la case Total de cette ligne (ou de cette colonne).
- Lire \(\Cardfr{A \cap B}\) dans la case où la ligne (ou la colonne) de \(B\) croise la colonne (ou la ligne) de \(A\).
- Diviser : \(\PCondFr{A}{B} = \dfrac{\Cardfr{A \cap B}}{\Cardfr{B}}\).
Exemple
Les \(600\) élèves d'un lycée sont répartis selon l'âge et le régime : | Demi-pensionnaire | Externe | Total | |
| Moins de 16 ans | \(180\) | \(60\) | \(240\) |
| 16 ans ou plus | \(210\) | \(150\) | \(360\) |
| Total | \(390\) | \(210\) | \(600\) |
Les élèves sont équiprobables. D'après le tableau : $$\begin{aligned} P(S) &= \frac{\Cardfr{S}}{\Cardfr{\Omega}} = \frac{240}{600} = \frac{2}{5}, \\
\PCondFr{D}{S} &= \frac{\Cardfr{S \cap D}}{\Cardfr{S}} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}, \\
\PCondFr{S}{D} &= \frac{\Cardfr{S \cap D}}{\Cardfr{D}} = \frac{180}{390} = \frac{6}{13}. \end{aligned}$$ \(\PCondFr{D}{S} = \frac{3}{4}\) : parmi les élèves de moins de 16 ans, trois sur quatre sont demi-pensionnaires. \(\PCondFr{S}{D} = \frac{6}{13}\) : parmi les demi-pensionnaires, six sur treize ont moins de 16 ans. Les deux probabilités ont le même numérateur \(180\) mais pas le même dénominateur, et elles répondent à deux questions différentes.
Exemple
Un dé équilibré à six faces a les faces impaires (1, 3, 5) peintes en vert et les faces paires (2, 4, 6) peintes en bleu. On le lance et l’on observe que la face supérieure est bleue. Quelle est la probabilité que ce soit un 6 ? - Univers : \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), 6 issues équiprobables.
- Événement \(E\) (la face est bleue) : \(\{2, 4, 6\}\), donc \(P(E) = \frac{3}{6} \).
- Événement \(F\) (obtenir 6) : \(\{6\}\).
- Intersection \(E \cap F\) : \(\{6\}\), donc \(P(E \cap F) = \frac{1}{6}\).
- Probabilité conditionnelle : $$\begin{aligned} \PCondFr{F}{E} &= \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\\ &= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}\\ &= \frac{1}{6} \times \frac{6}{3}\\ &= \frac{1}{3}. \end{aligned}$$
- La probabilité d'obtenir un 6, sachant que la face est bleue, est \(\frac{1}{3}\).
Compétences à pratiquer
- Lire des probabilités dans un tableau croisé
- Construire un tableau croisé à partir d'un texte
- Lire et inverser une probabilité conditionnelle
- Calculer des probabilités conditionnelles
- Calculer des probabilités conditionnelles dans des problèmes de la vie quotidienne
IV.2
Les arbres pondérés
Du tableau à l'arbre
Le tableau croisé des \(100\) élèves se lit en deux temps : d'abord le genre, puis, dans le genre choisi, le goût pour les maths. Dessinés en branches, ces deux temps font un arbre : un premier niveau avec \(P(\text{Fille}) = \frac{51}{100}\) et \(P(\text{Garçon}) = \frac{49}{100}\), puis, le long de la branche « Fille », \(\PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} = \frac{35}{51}\) et \(\PCondFr{\text{N'aime pas les maths}}{\text{Fille}} = \frac{16}{51}\). Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : c'est ce qui en fait un arbre de probabilités conditionnelles, et ce que fixe la Définition « Arbre pondéré ».
Définition — Arbre pondéré
Un arbre pondéré (ou diagramme en arbre des probabilités conditionnelles) représente les probabilités d’une succession d’événements : - Chaque branche issue d’un nœud indique soit une probabilité non conditionnelle (par exemple, \(P(E)\)), soit une probabilité conditionnelle (par exemple, \(\PCondFr{F}{E}\)).
- Les événements sont indiqués à la fin de chaque branche.
- Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont pour somme \(1\) (règle de la somme) : par exemple \(\PCondFr{\overline{F}}{E} = 1 - \PCondFr{F}{E}\).
- La probabilité de l’intersection des événements rencontrés le long d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin (règle du produit).
Exemple
La probabilité que Sam entraîne un match est de \(\frac{6}{10}\), et qu’Alex entraîne est de \(\frac{4}{10}\). Si Sam entraîne, la probabilité qu’un joueur soit gardien est de \(\frac{1}{2}\) ; si Alex entraîne, elle est de \(\frac{2}{3}\).Dessiner le diagramme en arbre.
- Définir les événements :
- \(S\) : Sam entraîne.
- \(G\) : Le joueur est gardien.
- Définir les probabilités :
- \(P(S) = \frac{6}{10}\) et \(P(\overline{S}) = 1 - P(S) = \frac{4}{10}\).
- \(\PCondFr{G}{S} = \frac{1}{2}\) et \(\PCondFr{\overline{G}}{S} = 1 - \PCondFr{G}{S} = \frac{1}{2}\).
- \(\PCondFr{G}{\overline{S}} = \frac{2}{3}\) et \(\PCondFr{\overline{G}}{\overline{S}} = 1 - \PCondFr{G}{\overline{S}} = \frac{1}{3}\).
- Diagramme en arbre :
Compétences à pratiquer
- Identifier les arbres pondérés
- Construire des arbres pondérés
IV.3
La règle du produit sur un chemin
Parfois, on connaît \(P(E)\) et \(\PCondFr{F}{E}\), et l’on veut déterminer la probabilité que \(E\) et \(F\) se produisent ensemble — par exemple, la probabilité qu’un élève soit une fille qui aime les mathématiques. Cette probabilité s’appelle la probabilité conjointe \(P(E \cap F)\).
Proposition — Formule de la probabilité conjointe
Pour \(P(E) > 0\) et \(P(F) > 0\) respectivement : $$P(E \cap F) = P(E) \times \PCondFr{F}{E}, \quad P(E \cap F) = P(F) \times \PCondFr{E}{F}.$$
Par définition, pour \(P(E) > 0\), \(\PCondFr{F}{E} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(E)}\) ; en multipliant les deux membres par \(P(E)\), \(P(E \cap F) = P(E) \times \PCondFr{F}{E}\). La seconde identité est le même énoncé avec les rôles de \(E\) et \(F\) échangés, pour \(P(F) > 0\).
Méthode — Calculer \(P(E \cap F)\) à l'aide d'un arbre pondéré
- Repérer le chemin qui réalise à la fois \(E\) et \(F\).
- Multiplier les probabilités le long de ce chemin.
Exemple
Pour cet arbre de probabilité, - Chemin : de \(S\) à \(G\) (mis en évidence) :
- Calculer : $$\begin{aligned} P(S \cap G) &= P(S) \times \PCondFr{G}{S}\\ &= \frac{6}{10} \times \frac{1}{2}\\ &= \frac{3}{10}. \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer des probabilités jointes avec des arbres
IV.4
Inverser le conditionnement
Inverser le conditionnement
\(\PCondFr{A}{B}\) et \(\PCondFr{B}{A}\) ne sont pas égales en général : elles ont le même numérateur \(\Cardfr{A \cap B}\), mais l'une divise par \(\Cardfr{B}\) et l'autre par \(\Cardfr{A}\). Les phrases de tous les jours glissent souvent de l'une à l'autre. On considère les trajets à vélo faits dans une ville pendant une année, et soient \(J\) « le trajet est fait de jour » et \(V\) « le cycliste est victime d'une blessure pendant le trajet ». « La plupart des cyclistes blessés roulaient de jour » parle de \(\PCondFr{J}{V}\), qui serait grande même si le jour n'était pas plus dangereux que la nuit, simplement parce que la plupart des trajets se font de jour ; à elle seule, elle ne dit rien de \(\PCondFr{V}{J}\), le risque d'un trajet de jour. Un tableau croisé d'effectifs tient les deux séparées : l'événement connu choisit la ligne ou la colonne, donc le dénominateur.
Définition — Test de dépistage : sensibilité, spécificité, valeurs prédictives
Un test de dépistage répond par oui ou non à une question sur un individu (la personne est-elle malade ? le bagage contient-il un objet interdit ?) par un résultat qui peut être faux. Soient \(M\) l'événement « l'individu a la caractéristique » et \(T\) l'événement « le test est positif ». Les quatre situations possibles sont nommées : | test positif \(T\) | test négatif \(\overline{T}\) | |
| \(M\) (l'a) | vrai positif | faux négatif |
| \(\overline{M}\) (ne l'a pas) | faux positif | vrai négatif |
- sa sensibilité \(\PCondFr{T}{M}\), probabilité d'un résultat positif pour un individu qui a la caractéristique ;
- sa spécificité \(\PCondFr{\overline{T}}{\overline{M}}\), probabilité d'un résultat négatif pour un individu qui ne l'a pas.
- la valeur prédictive positive \(\PCondFr{M}{T}\), probabilité d'avoir la caractéristique quand le test est positif ;
- la valeur prédictive négative \(\PCondFr{\overline{M}}{\overline{T}}\), probabilité de ne pas l'avoir quand le test est négatif.
Exemple
Dans une population, \(1\pourcent\) des personnes ont une certaine maladie. Un test de dépistage est positif pour \(99\pourcent\) des malades (sa sensibilité) et négatif pour \(95\pourcent\) des personnes saines (sa spécificité). On choisit une personne au hasard ; soient \(M\) « la personne est malade » et \(T\) « le test est positif ». - Compléter un tableau croisé d'effectifs pour une population de \(10\,000\) personnes.
- Calculer \(\PCondFr{T}{M}\) et \(\PCondFr{M}{T}\), puis les comparer.
- Sur \(10\,000\) personnes, \(1\pourcent\) sont malades : \(100\) malades et \(9\,900\) personnes saines. Le test est positif pour \(99\pourcent\) des \(100\) malades, soit \(99\) vrais positifs, et négatif pour l'autre, un faux négatif. Il est négatif pour \(95\pourcent\) des \(9\,900\) personnes saines, soit \(9\,405\), et positif pour les \(495\) autres.
Test positif \(T\) Test négatif \(\overline{T}\) Total Malade \(M\) \(99\) \(1\) \(100\) Sain \(\overline{M}\) \(495\) \(9\,405\) \(9\,900\) Total \(594\) \(9\,406\) \(10\,000\) - L'événement connu choisit le dénominateur : $$\begin{aligned} \PCondFr{T}{M} &= \frac{\Cardfr{M \cap T}}{\Cardfr{M}} = \frac{99}{100}, \\ \PCondFr{M}{T} &= \frac{\Cardfr{M \cap T}}{\Cardfr{T}} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$$ Parmi les \(100\) malades, \(99\) sont testés positifs ; mais parmi les \(594\) personnes testées positives, seules \(99\) sont malades, une sur six, parce que les \(495\) faux positifs sont plus nombreux que les \(99\) vrais positifs : la maladie est rare, donc les personnes saines, même avec un petit taux d'erreur, fournissent la plupart des résultats positifs.
Compétences à pratiquer
- Traduire entre les mots et les symboles
- Inverser le conditionnement : les faux positifs
V
Du modèle à l'échantillon
V.1
Le modèle et les fréquences
Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber retombe sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ». 
À cause de la forme du cône, ces issues ne sont pas équiprobables. Un calcul théorique simple n’est pas possible ; les issues ne sont pas symétriques, donc Isaac estime la probabilité à partir d’une expérience. Il lance le cône 50 fois (50 essais) et note les résultats :
- Sur la base : 15 fois.
- Sur le côté : 35 fois.
Définition — Probabilité expérimentale (Fréquence relative)
La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule : $$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$ En général, plus on fait d’essais, plus cette fréquence a tendance à se rapprocher de la vraie probabilité. Proposition — La fluctuation des fréquences
Pour un nombre d'essais fixé \(n\), les fréquences observées varient généralement d'une série à l'autre : elles fluctuent.Quand \(n\) devient grand, la fréquence de chaque issue a tendance à se rapprocher de sa probabilité. C'est une observation expérimentale.
Compétences à pratiquer
- Lire des diagrammes de fréquences et de probabilités
- Observer la fréquence s'approcher de la probabilité
V.2
La notion d'échantillon
Définition — Échantillon aléatoire
Un échantillon aléatoire de taille \(n\) est constitué des résultats de \(n\) répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire (par exemple, tirer un individu au hasard dans une grande population, le tirage étant répété dans des conditions identiques). Exemple
Un sac opaque contient des boules bleues ou rouges. On tire au hasard une boule du sac, on note sa couleur, puis on le replace dans le sac. En répétant ce procédé \(n\) fois, on constitue un échantillon de boules du sac. 
Compétences à pratiquer
- Comprendre la notion d'échantillon
V.3
La fluctuation d'échantillonnage
Définition — Fluctuation d'échantillonnage
Dans une population, on note \(p\) la proportion d'individus présentant un certain caractère. Lorsqu'on prélève un échantillon et qu'on observe la fréquence \(f\) d'apparition de ce caractère, on constate que \(f\) varie d'un échantillon à l'autre. Ce phénomène est appelé fluctuation d'échantillonnage. Exemple
Dans un lycée, il y a \(63\,\pourcent\) de filles (\(p=0{,}63\)). Dans 10 échantillons de taille 50, les fréquences observées de filles fluctuent autour de la proportion réelle : | Échantillon | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Pourcentage de filles | \(62\,\pourcent\) | \(68\,\pourcent\) | \(60\,\pourcent\) | \(68\,\pourcent\) | \(66\,\pourcent\) | \(68\,\pourcent\) | \(68\,\pourcent\) | \(54\,\pourcent\) | \(66\,\pourcent\) | \(70\,\pourcent\) |
Compétences à pratiquer
- Comprendre la fluctuation d'échantillonnage
- Observer et expliquer la fluctuation
V.4
La loi des grands nombres
Proposition — Loi des grands nombres
Pour des répétitions indépendantes dans les mêmes conditions, lorsque la taille \(n\) de l'échantillon devient grande, la fréquence observée \(f\) d'un caractère a tendance à se stabiliser autour de la probabilité réelle \(p\) (des fluctuations restent possibles, mais elles diminuent généralement). Lorsqu'un individu est tiré au hasard dans une population, la proportion d'un caractère dans la population est égale à la probabilité de le tirer — estimer l'une, c'est estimer l'autre. Exemple
Lors du lancer d'une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir « pile » est \(p = 0{,}5\). Une simulation informatique de différentes tailles d'échantillon donne : | Taille \(n\) | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 |
| Nombre de « pile » | 54 | 490 | 5 010 | 49 942 |
| Fréquence \(f\) | 0,54 | 0,49 | 0,501 | 0,49942 |
Compétences à pratiquer
- Comprendre la loi des grands nombres
- Comparer la fiabilité à l'aide de la loi des grands nombres
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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