Les probabilités

Les issues pour « obtenir un nombre pair » sont 2=, 4=, et 6=.

La première épreuve a deux issues, pile (P) et face (F) ; la seconde aussi.

\(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{2e lancer}} \\ \textcolor{colordef}{\text{1er lancer}} \end{aligned}\)	\(\textcolor{colorprop}{\text{P}}\)	\(\textcolor{colorprop}{\text{F}}\)
\(\textcolor{colordef}{\text{P}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{P}}\textcolor{colorprop}{\text{P}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{P}}\textcolor{colorprop}{\text{F}}\)
\(\textcolor{colordef}{\text{F}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{F}}\textcolor{colorprop}{\text{P}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{F}}\textcolor{colorprop}{\text{F}}\)

Le tableau a \(2\) lignes et \(2\) colonnes, donc \(2 \times 2 = 4\) cases : les issues sont PP, PF, FP et FF. L'arbre donne les mêmes quatre, lues le long de ses quatre chemins.

Le dé a \(4\) issues à chaque lancer : le tableau a \(4\) lignes et \(4\) colonnes, donc \(4 \times 4 = 16\) issues.

\(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{2e lancer}} \\ \textcolor{colordef}{\text{1er lancer}} \end{aligned}\)	\(\textcolor{colorprop}{\text{1}}\)	\(\textcolor{colorprop}{\text{2}}\)	\(\textcolor{colorprop}{\text{3}}\)	\(\textcolor{colorprop}{\text{4}}\)
\(\textcolor{colordef}{\text{1}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{1}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\)
\(\textcolor{colordef}{\text{2}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{2}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\)
\(\textcolor{colordef}{\text{3}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{3}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\)
\(\textcolor{colordef}{\text{4}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{1}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{2}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{3}}\)	\(\textcolor{colordef}{\text{4}}\textcolor{colorprop}{\text{4}}\)

Les issues en gras sont celles de l'événement : un nombre pair au premier lancer, et un nombre pair au second. Il y en a \(4\) sur \(16\).

• Nombre total d’issues possibles : Un dé a 6 faces, donc il y a 6 issues possibles : \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) et \(6\).
• Nombre d’issues favorables : L’événement est « obtenir un nombre pair ». Les issues qui sont paires sont \(2\), \(4\) et \(6\). Il y a 3 issues favorables.
• Calculer la probabilité : $$\begin{aligned} P(\text{obtenir un nombre pair}) &= \frac{\text{Nombre d’issues favorables}}{\text{Nombre total d’issues possibles}} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

La roue est équilibrée et ses secteurs sont égaux : les huit issues sont équiprobables, la méthode s'applique.

• Issues favorables à « rouge » : les secteurs \(1\), \(2\), \(5\) et \(6\) — soit \(4\) issues.
• Issues favorables à « bleu » : les secteurs \(3\), \(4\) et \(7\) — soit \(3\) issues.

Les deux événements appartiennent à la même expérience : leurs deux probabilités se comptent donc sur le même total de \(8\). Comparer \(4\) et \(3\) suffit à trancher : « rouge » est le plus probable — et aucune des deux probabilités n'a eu besoin d'être calculée. Les écrire ne fait que le confirmer : \(P(\text{rouge}) = \frac{4}{8}\) et \(P(\text{bleu}) = \frac{3}{8}\).

• Fraction : \( \frac{1}{4} \)
• Nombre décimal : Pour convertir une fraction en nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur : $$ 1 \div 4 = 0{,}25 $$
• Pourcentage : Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, on multiplie par 100 et l'on ajoute le signe de pourcentage : $$ 0{,}25 = 0{,}25 \times 100\pourcent = 25\pourcent $$

Donc, \(P(\text{rouge}) = \frac{1}{4}\) est la même chose que \(0{,}25\) ou \(25\pourcent\).

On écrit les deux probabilités sous la même forme, par exemple en pourcentages : $$\begin{aligned}[t] \frac{2}{5} &= \frac{40}{100} && \text{(on multiplie numérateur et dénominateur par 20)}\\ &= 40\pourcent. \end{aligned}$$ Comme \(40\pourcent > 35\pourcent\), le premier événement est le plus probable.

Les multiples de \(3\) sur un dé sont \(3\) et \(6\) : deux issues favorables sur six. $$\begin{aligned}[t] P(\text{multiple de } 3) &= \frac{2}{6} = \frac{1}{3} && {\scriptstyle\text{(écriture exacte)}}\\ 1 \div 3 &= 0{,}333\ldots && {\scriptstyle\text{(la division ne s'arrête pas)}}\\ \frac{1}{3} &\approx 0{,}33 \approx 33\pourcent. && {\scriptstyle\text{(arrondi au centième)}} \end{aligned}$$ Pour comparer avec \(0{,}3\) : \(\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) et \(0{,}333\ldots > 0{,}3\). Obtenir un multiple de \(3\) est l'événement le plus probable — même si \(0{,}33\) et \(0{,}3\) semblent proches, c'est le chiffre des centièmes qui tranche : \(0{,}333\ldots\) contre \(0{,}300\).

Rien n'a changé : le dé a toujours ses six faces, et les six issues sont toujours équiprobables. Il y a une issue favorable sur six : $$P(\text{« obtenir un } 6 \text{ »}) = \frac{1}{6}$$ exactement comme au premier lancer. Lina a tort, et Sami aussi : les trois \(6\) déjà obtenus n'y changent rien.

La pièce a deux côtés, et elle n'a pas changé. Il y a une issue favorable sur deux : $$P(\text{« face »}) = \frac{1}{2}$$ Théo a tort : rien n'a besoin de « se rattraper ». La pièce ne compte pas les lancers précédents.

La pièce est équilibrée : \(P(\text{pile}) = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Les parts des essais sont :

Lancers	Piles	Part des essais	Écart avec \(0{,}5\)
\(10\)	\(7\)	\(\frac{7}{10} = 0{,}7\)	\(0{,}2\)
\(100\)	\(46\)	\(\frac{46}{100} = 0{,}46\)	\(0{,}04\)
\(1\,000\)	\(503\)	\(\frac{503}{1000} = 0{,}503\)	\(0{,}003\)

Après \(10\) lancers la part vaut \(0{,}7\), loin de \(0{,}5\) — avec si peu de lancers, ce n'est pas étonnant. Après \(100\) elle vaut \(0{,}46\), plus proche. Après \(1\,000\) elle vaut \(0{,}503\), très proche. Plus on répète l'expérience, plus la part des essais tend à se rapprocher de la probabilité calculée, sans jamais être obligée de l'égaler : \(503\), ce n'est pas \(500\).