Éducation Nationale Française · Terminale Spécialité

Suites et récurrence

⌚ ~258 min ▢ 30 blocs ✓ 132 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Suites numériques, Trigonométrie, Python : choix et boucles, Python : fonctions, Algorithmique : décrire et tracer

I Le raisonnement par récurrence

I.1 Suites définies par récurrence

Définition — Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule exprimant le terme suivant, $u_{n+1}$, en fonction du terme courant, $u_n$, pour tout entier $n$ concerné (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Exemple

Une suite est définie par récurrence par :

$u_1 = 5$ (Le premier terme est $5$).
$u_{n+1} = u_n + 3$ (La règle est d'ajouter $3$ au terme précédent, pour tout entier $n \ge 1$).

Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

On construit la suite étape par étape en utilisant la définition par récurrence.

$1^{\text{er}}$ terme : Le terme de départ est donné : $\boldsymbol{u_1 = 5}$.
$2^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=1$. $\boldsymbol{u_2} = u_1 + 3 = 5 + 3 = \textbf{8}$.
$3^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=2$. $\boldsymbol{u_3} = u_2 + 3 = 8 + 3 = \textbf{11}$.
$4^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=3$. $\boldsymbol{u_4} = u_3 + 3 = 11 + 3 = \textbf{14}$.
$5^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=4$. $\boldsymbol{u_5} = u_4 + 3 = 14 + 3 = \textbf{17}$.

$$5 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 8 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 11 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 14 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\,+3\,}} 17$$ Les cinq premiers termes sont : $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une relation de récurrence
Rédiger avec une relation de récurrence

I.2 Le principe de récurrence

Le raisonnement par récurrence est une technique puissante utilisée pour démontrer qu'une proposition $P(n)$ est vraie pour tous les entiers $n$ à partir d'une certaine valeur de départ. C'est analogue à faire tomber une rangée de dominos : si l'on fait tomber le premier, et si chaque domino fait tomber le suivant, alors tous les dominos finissent par tomber.

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Méthode — Le principe du raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une proposition $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$ :

Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
Hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour un entier $n \ge n_0$ quelconque (l'hypothèse de récurrence), et démontrer qu'alors $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire ; d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$.

Exemple

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}. $$

Correction

Soit $P(n)$ la proposition $$ P(n) : \quad 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$ pour tout entier $n \ge 1$.

Initialisation ($n=1$) :
À gauche, on a $1$. À droite, $$ \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1. $$ Donc $P(1)$ est vraie.
Hérédité :
On suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n \ge 1$ quelconque (hypothèse de récurrence), c’est-à-dire $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}. $$ On montre que $P(n+1)$ est vraie, c’est-à-dire : $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}. $$ En partant du membre de gauche de $P(n+1)$ : $$ \begin{aligned} 1 + 2 + \dots + n + (n+1) &= \left(1 + 2 + \dots + n\right) + (n+1) \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \quad &&\text{(d’après l’hypothèse de récurrence)}\\ &= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2}. \end{aligned} $$ Ainsi, $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion :
La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire : d’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge 1$.

Exemple — Une récurrence sur une suite définie par récurrence

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2$.

Démontrer par récurrence que $u_n \le 4$ pour tout entier naturel $n$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.
Démontrer par récurrence que $u_n = 4 - \dfrac{3}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$.

Correction

Soit $P(n)$ la proposition « $u_n \le 4$ », pour les entiers naturels $n$. Initialisation : $u_0 = 1 \le 4$, donc $P(0)$ est vraie. Hérédité : on suppose $u_k \le 4$ pour un entier naturel $k$ (hypothèse de récurrence). Multiplier par $\frac{1}{2} > 0$ conserve le sens de l'inégalité : $$\begin{aligned}[t] u_{k+1} &= \frac{1}{2}u_k + 2\\ &\le \frac{1}{2} \times 4 + 2 && \text{(hypothèse de récurrence)}\\ &= 4. \end{aligned}$$ Donc $P(k+1)$ est vraie. Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire ; d'après le principe de récurrence, $u_n \le 4$ pour tout entier naturel $n$.
Pour tout entier naturel $n$, $$\begin{aligned}[t] u_{n+1} - u_n &= \frac{1}{2}u_n + 2 - u_n\\ &= \frac{1}{2}\left(4 - u_n\right)\\ &\ge 0 && \text{(question 1 : $u_n \le 4$)}. \end{aligned}$$ Donc $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est croissante.
Soit $Q(n)$ la proposition $u_n = 4 - \dfrac{3}{2^n}$, pour les entiers naturels $n$. Initialisation : $4 - \dfrac{3}{2^0} = 4 - 3 = 1 = u_0$, donc $Q(0)$ est vraie. Hérédité : on suppose $u_k = 4 - \dfrac{3}{2^k}$ pour un entier naturel $k$ (hypothèse de récurrence). Alors $$\begin{aligned}[t] u_{k+1} &= \frac{1}{2}u_k + 2\\ &= \frac{1}{2}\left(4 - \frac{3}{2^k}\right) + 2 && \text{(hypothèse de récurrence)}\\ &= 2 - \frac{3}{2^{k+1}} + 2\\ &= 4 - \frac{3}{2^{k+1}}. \end{aligned}$$ Donc $Q(k+1)$ est vraie. Conclusion : d'après le principe de récurrence, $u_n = 4 - \dfrac{3}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$. Cette formule confirme les questions 1 et 2 : $\dfrac{3}{2^n} > 0$, et ce nombre diminue quand $n$ augmente.

Compétences à pratiquer

Démontrer une formule par récurrence
Conjecturer une formule et la démontrer par récurrence
Démontrer par récurrence des propriétés des suites
Démontrer par récurrence des propriétés de divisibilité

I.3 L'inégalité de Bernoulli

Remarque

L'inégalité qui suit sert, dans la section Limites des suites géométriques, à démontrer que $q^n \to +\infty$ lorsque $q > 1$ : en écrivant $q = 1+a$ avec $a = q-1 > 0$, on obtient $q^n \ge 1 + n(q-1) \to +\infty$.

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Proposition — Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel $a \ge 0$ et tout entier $n \ge 0$,$$(1+a)^n \ge 1 + na.$$

Preuve

On démontre $P(n): (1+a)^n \ge 1+na$ par récurrence sur $n$.

Initialisation. Pour $n=0$ : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$, donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. On suppose $(1+a)^n \ge 1+na$ pour un entier $n \ge 0$. Comme $1+a > 0$, multiplier les deux membres par $1+a$ conserve l'inégalité :$$\begin{aligned}[t] (1+a)^{n+1} &= (1+a)^n (1+a) \\ &\ge (1+na)(1+a) && {\scriptstyle(\text{hypothèse de récurrence, } 1+a>0)} \\ &= 1 + (n+1)a + na^2 \\ &\ge 1 + (n+1)a && {\scriptstyle(na^2 \ge 0)}. \end{aligned}$$Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $(1+a)^n \ge 1+na$ pour tout $n \ge 0$.

Compétences à pratiquer

Démontrer des inégalités par récurrence

II Limite d'une suite

II.1 Suites croissantes et décroissantes

Définition — Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Compétences à pratiquer

Démontrer le sens de variation d'une suite

II.2 Approche intuitive de la limite

Une fois le sens de variation connu, une seconde question se pose : que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient très grand — mille, un million, et au-delà ? Deviennent-ils de plus en plus grands, se rapprochent-ils d'un nombre fixe, ou continuent-ils d'osciller ? C'est la question de la limite d'une suite.

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Définition — Limite d'une suite

Soit $(u_n)$ une suite.

$(u_n)$ a pour limite $+\infty$ (quand $n$ tend vers $+\infty$) si les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$(u_n)$ a pour limite $-\infty$ si les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut dans les négatifs, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
$(u_n)$ a pour limite un réel $\ell$ si les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $\ell$ que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand : on dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$, et on note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Une suite qui ne converge pas (limite infinie, ou pas de limite du tout) est dite divergente. Une suite peut en effet n'avoir aucune limite : par exemple $u_n = (-1)^n$ alterne indéfiniment entre $1$ et $-1$.

Exemple

Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite définie pour $n \geq 1$ : $$u_n = \frac{1}{n} \qquad v_n = n^2 \qquad w_n = (-1)^n \qquad t_n = 0{,}5^n$$

Correction

On calcule quelques termes pour de grandes valeurs de $n$ :

$n$	$1$	$10$	$101$	$1000$
$u_n = 1/n$	$1$	$0{,}1$	$\approx 0{,}0099$	$0{,}001$
$v_n = n^2$	$1$	$100$	$10\,201$	$1\,000\,000$
$w_n = (-1)^n$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$t_n = 0{,}5^n$	$0{,}5$	$\approx 0{,}001$	$\approx 4 \times 10^{-31}$	$\approx 0$

Les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $0$ que l'on veut : on conjecture $\lim u_n = 0$.
Les termes $v_n$ deviennent aussi grands que l'on veut : $\lim v_n = +\infty$.
$w_n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$ ($w_{101} = -1$) : pas de limite.
Les termes $t_n$ deviennent aussi proches de $0$ que l'on veut : $\lim t_n = 0$.

Compétences à pratiquer

Conjecturer numériquement la limite d'une suite

II.3 Limite infinie d'une suite

Définition — Limite égale à $+\infty$

Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle du type $]A ; +\infty[$ (avec $A$ un réel) contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Illustration graphique

Aussi grand que soit le nombre réel $A$, on peut trouver un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0, u_n > A$.
En termes imagés « aussi haute que l'on place la barrière horizontale $A$, les termes $u_n$ parviennent à passer définitivement au-dessus ».

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Exemple

Les suites $(n)$, $(n^2)$, $(\sqrt{n})$ et $(n^3)$ ont pour limite $+\infty$.

Définition — Limite égale à $-\infty$

Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle du type $]-\infty ; A[$ (avec $A$ un réel) contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Illustration graphique

Aussi négatif que soit le nombre réel $A$, on peut trouver un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0, u_n < A$.En termes imagés « aussi basse que l'on place la barrière horizontale $A$, les termes $u_n$ parviennent à passer définitivement en-dessous ».

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Exemple

Les suites $(-2n)$, $(-n^2)$ et $(-5\sqrt{n})$ ont pour limite $-\infty$.

Méthode — Déterminer un seuil

Lorsque $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, la définition dit que pour tout réel $A$ les termes dépassent $A$ à partir d'un certain rang. Pour une suite croissante, le seuil pour $A$ est le plus petit rang $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$ : à partir de ce rang, tous les termes dépassent $A$. Deux techniques.

Par une inéquation (formule explicite) : résoudre l'inéquation $u_n > A$ d'inconnue l'entier $n$. Lorsque la suite est croissante, la première solution entière est le seuil.
En parcourant les termes (suite quelconque, typiquement définie par récurrence) : calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, … jusqu'à dépasser $A$, avec un tableau de valeurs à la calculatrice ou une boucle while en Python. Pour $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 1{,}5\,u_n$ :
```
def threshold(A):
    n = 0
    u = 2              # u_0
    while u <= A:
        n = n + 1
        u = 1.5 * u    # u_n
    return n
```
La boucle s'arrête : comme $u_n \to +\infty$, la définition garantit qu'un terme dépasse $A$. Elle renvoie le premier rang $n$ tel que $u_n > A$, qui est le seuil lorsque la suite est croissante. Pour une suite qui n'est pas croissante, ce premier rang n'est pas nécessairement un rang à partir duquel tous les termes dépassent $A$.

Exemple

Soit $u_n = n^2 - 3$ pour tout entier naturel $n$. Déterminer le seuil pour $A = 1000$.

Correction

La suite est croissante, car $u_{n+1} - u_n = 2n + 1 > 0$.

Par une inéquation. $$\begin{aligned} u_n > 1000 &\iff n^2 - 3 > 1000 \\ &\iff n^2 > 1003. && \text{(on ajoute 3)} \end{aligned}$$ Comme $31^2 = 961 < 1003$ et $32^2 = 1024 > 1003$, la première solution entière est $n = 32$ : le seuil est $n_0 = 32$.
Par une boucle. La fonction de la méthode est adaptée à la suite : la valeur initiale devient $u_0 = -3$ et la mise à jour devient $u_n = n^2 - 3$.
```
def threshold(A):
    n = 0
    u = -3               # u_0
    while u <= A:
        n = n + 1
        u = n * n - 3    # u_n
    return n
```
threshold(1000) renvoie 32.

Les faces algorithmique et programmation

La boucle ci-dessus est un classique. Sa terminaison se prouve par un variant et son exécution se suit dans un tableau d'états ; en Python, une telle fonction s'écrit avec une boucle while.

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Compétences à pratiquer

Déterminer un seuil par une inéquation
Déterminer un seuil en Python

II.4 Limite finie et convergence

Définition — Limite égale à un réel $\ell$

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, l'intervalle $\left]\,\ell - \varepsilon \,;\, \ell + \varepsilon\,\right[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit :$$\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell.$$ On dit alors que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou que $\ell$ est la limite de la suite $(u_n)$).

Deux formulations de la convergence

La définition peut aussi s'énoncer sans $\varepsilon$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de la suite à partir d'un certain rang.
Les deux formulations sont équivalentes. Un intervalle ouvert $]a\,;\,b[$ contenant $\ell$ contient un intervalle $]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[$ (prendre $\varepsilon$ plus petit que $\ell - a$ et que $b - \ell$), et un intervalle ouvert non borné contenant $\ell$, comme $]a\,;\,+\infty[$, contient lui aussi un tel intervalle borné ; réciproquement, tout intervalle $]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[$ est un intervalle ouvert contenant $\ell$.
Dans les démonstrations, c'est la formulation en $\varepsilon$ qui sert : elle traduit « proche de $\ell$ » par l'inégalité $|u_n - \ell| < \varepsilon$.

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Rang d'approximation

Lorsque $(u_n)$ converge vers $\ell$, la définition fournit, pour tout $\varepsilon > 0$, un rang à partir duquel $|u_n - \ell| < \varepsilon$. Pour déterminer un tel rang, les deux techniques du seuil (méthode « Déterminer un seuil ») s'appliquent à l'inéquation $|u_n - \ell| < \varepsilon$ : la résoudre, ou parcourir les termes avec la boucle while abs(u - l) >= eps.
Attention : la boucle renvoie le premier rang où l'inégalité est vérifiée. Lorsque $|u_n - \ell|$ décroît (par exemple $|u_n - \ell| = \frac1n$), ce premier rang est un rang à partir duquel l'inégalité reste vraie ; sinon, cela doit être vérifié à part.

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Définition — Suite divergente

On distingue deux types de suites :

Les suites convergentes qui possèdent une limite finie ;
Les suites divergentes qui n'en possèdent pas (soit parce qu'elles tendent vers l'infini, soit parce qu'elles n'admettent aucune limite).

Exemple

La suite définie par $u_n = (-1)^n$ n'admet aucune limite. Elle alterne entre $-1$ et $1$ sans se rapprocher d'une valeur fixe. C'est donc une suite divergente.

Compétences à pratiquer

Comprendre la convergence d'une suite par les intervalles
Déterminer un rang d'approximation

III Propriétés des limites

III.1 Suites arithmétiques

Définition — Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison, notée $r$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite : On peut aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 + nr$$

Proposition — Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 + nr$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$.

Calculer $u_{20}$.
Une autre suite arithmétique $(v_n)$ a pour raison $3$ et vérifie $v_5 = 17$. Calculer $v_{12}$.

Correction

D'après la proposition, $u_{20} = u_0 + 20r = 5 + 20 \times 3 = 65$.
En partant de $v_5$ : $v_{12} = v_5 + (12 - 5) \times 3 = 17 + 21 = 38$.

Compétences à pratiquer

Rédiger le terme général d'une suite arithmétique

III.2 Opérations sur les limites

Proposition — Somme et produit

Soient $\ell$ et $\ell'$ deux nombres réels.

Somme

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI

Produit

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	FI

FI signifie forme indéterminée : les seules limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ ne permettent pas de conclure, une étude supplémentaire est nécessaire (transformation de l'expression, comparaison, encadrement).

Proposition — Quotient de deux suites

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que pour tout entier naturel $n$, $v_n \neq 0$.

Cas où $\lim v_n = \ell' \neq 0$ ou $\pm\infty$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$\ell' \neq 0$	$\pm\infty$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$\frac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Cas où $\lim v_n = 0$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $-$	$0$ en restant $-$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Méthode — Factoriser par le terme dominant

Lorsque les règles donnent une forme indéterminée ($+\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$), la limite ne se lit pas directement : il faut d'abord transformer l'expression. Pour les expressions polynomiales et rationnelles en $n$ :

Dans chaque somme, factoriser par le terme dominant, celui qui croît le plus vite (pour une expression polynomiale en $n$, la plus haute puissance de $n$) : par exemple $n^2 - 3n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)$.
Dans un quotient, factoriser par le terme dominant du numérateur et par celui du dénominateur, puis simplifier.
Appliquer les règles à la nouvelle expression : le facteur entre parenthèses a une limite finie, obtenue à partir de $\dfrac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, $\dfrac{1}{n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, …

Exemple

Déterminer la limite de chaque suite.

$u_n = n^2 - 3n$ pour tout entier naturel $n$.
$v_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + n}$ pour tout entier $n \ge 1$.

Correction

$n^2 \to +\infty$ (limite de référence) et $3n \to +\infty$ (règle du produit) : la différence est une forme indéterminée $+\infty - \infty$. Pour $n \ge 1$, on factorise par le terme dominant $n^2$ : $$\begin{aligned} u_n &= n^2 - 3n \\ &= n^2 \times 1 - n^2 \times \frac{3}{n} && \text{(on écrit } 3n = n^2 \times \tfrac{3}{n}\text{)} \\ &= n^2\left(1 - \frac{3}{n}\right). \end{aligned}$$ Or $\dfrac{3}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, donc $1 - \dfrac{3}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$, et $n^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Par la règle du produit, $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme dominant $n^2$ en haut et en bas : $$\begin{aligned} v_n &= \frac{2n^2 + 1}{n^2 + n} \\ &= \frac{n^2\left(2 + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)} && \text{(on factorise par } n^2\text{)} \\ &= \frac{\cancel{n^2}\left(2 + \frac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)} && \text{(on simplifie)} \\ &= \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}}. \end{aligned}$$ Comme $\dfrac{1}{n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ et $\dfrac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : par la règle du quotient, $v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2$.

Proposition — Limites des suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $\boldsymbol{r > 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{r < 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
Si $\boldsymbol{r = 0}$, la suite est constante et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$.

Preuve

Une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ a pour terme général $u_n = u_0 + n \times r$.
On utilise les règles opératoires sur les limites :

Cas $r > 0$ :
- On sait que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ (limite de référence).
- Comme $r$ est une constante strictement positive, par produit : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n \times r) = +\infty$$
- En ajoutant la constante $u_0$, par somme : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = +\infty$$
Cas $r < 0$ :
- On sait que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty$.
- Comme $r$ est une constante strictement négative, par produit : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n \times r) = -\infty$.
- En ajoutant la constante $u_0$, par somme : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = -\infty$.

Exemple

Soit $u_n = 5 + 3n$. Comme $r=3 > 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Soit $v_n = 10 - 2n$. Comme $r=-2 < 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.

Compétences à pratiquer

Appliquer les règles opératoires
Calculer des limites par opérations algébriques
Lever une indétermination par factorisation

IV Limites et comparaison

IV.1 Le théorème de comparaison

Théorème — Théorème de comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang $n_0$, on a $u_n \ge v_n$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$,
alors :$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$ De même, si à partir d'un certain rang $u_n \le v_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Preuve

Première affirmation. Soit $A$ un réel. Comme $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, il existe un rang $n_1$ tel que $v_n > A$ pour tout $n \ge n_1$. On pose $N = \max(n_0, n_1)$. Pour tout $n \ge N$ : $$u_n \ge v_n > A \qquad \text{(hypothèse (1), puis hypothèse (2))}.$$ L'intervalle $]A ; +\infty[$ contient donc toutes les valeurs $u_n$ à partir du rang $N$. Ceci vaut pour tout réel $A$ : par définition, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Seconde affirmation. Soit $n_0$ un rang à partir duquel $u_n \le v_n$, et soit $A$ un réel. Comme $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, il existe un rang $n_1$ tel que $v_n < A$ pour tout $n \ge n_1$. Pour tout $n \ge \max(n_0, n_1)$, $u_n \le v_n < A$ : l'intervalle $]-\infty ; A[$ contient toutes les valeurs à partir de ce rang, donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Exemple

Soit $u_n = 2n + (-1)^n$ pour tout entier naturel $n$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Correction

La suite $((-1)^n)$ alterne entre $-1$ et $1$, donc la règle de la somme ne s'applique pas. On minore $u_n$ : pour tout entier naturel $n$, $$\begin{aligned} (-1)^n &\ge -1 \\ 2n + (-1)^n &\ge 2n - 1. && \text{(on ajoute } 2n\text{)} \end{aligned}$$ La suite $(2n - 1)$ est arithmétique de raison $2 > 0$, donc $2n - 1 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Comme $u_n \ge 2n - 1$ pour tout $n$, le théorème de comparaison donne $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.

Compétences à pratiquer

Utiliser la comparaison pour déterminer une limite

IV.2 Le théorème des gendarmes

Théorème — Théorème des gendarmes

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang, $\textcolor{colordef}{v_n} \leq \textcolor{olive}{u_n} \leq \textcolor{colorprop}{w_n}$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$, où $\ell$ est un réel,
alors la suite $(u_n)$ converge et sa limite est $\ell$.

Exemple

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Correction

Pour tout $n \ge 1$, on a $-1 \le (-1)^n \le 1$.
Comme $n > 0$, on peut diviser les membres de l'inégalité par $n$ :$$-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$$ On a :

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit :$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$$

Compétences à pratiquer

Utiliser le théorème des gendarmes pour déterminer une limite finie

V Suites géométriques

V.1 Définition et terme général

Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé la raison de la suite, notée $q$.

Définition par récurrence : Le terme suivant s'obtient à partir du précédent par :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : On peut aussi calculer directement n'importe quel terme à partir de son rang $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Proposition — Terme général d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n \geq p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Calculer $u_{10}$.
Une autre suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $v_4 = 24$. Calculer $v_7$.

Correction

D'après la proposition, $u_{10} = u_0 \times q^{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.
En partant de $v_4$ : $v_7 = v_4 \times 2^{7-4} = 24 \times 8 = 192$.

Compétences à pratiquer

Démontrer qu'une suite est géométrique
Rédiger le terme général d'une suite géométrique

V.2 Limites des suites géométriques

Proposition — Limites des suites géométriques

Soit $q$ un nombre réel. La limite de la suite $(q^n)$ dépend de la valeur de $q$ :

Si $\boldsymbol{q > 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{-1 < q < 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Si $\boldsymbol{q = 1}$, alors la suite est constante et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
Si $\boldsymbol{q \le -1}$, alors la suite n'a pas de limite.

Pour $q = 0$, on considère les termes à partir de $n = 1$, de sorte que chaque terme soit défini.

Preuve

($q > 1$) :
On utilise l'inégalité de Bernoulli : pour tout $a > 0$ et tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \ge 1 + na$.
On pose $q = 1 + a$ avec $a = q - 1 > 0$.
Alors $q^n = (1 + a)^n \ge 1 + na$.
Comme $a > 0$, on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1 + na) = +\infty$.
Par le théorème de comparaison, on en déduit $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
($-1 < q < 1$) :
Si $q = 0$, la limite est nulle.
Si $0 < |q| < 1$, on pose $Q = \frac{1}{|q|}$. Alors $Q > 1$.
D'après la démonstration précédente, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} Q^n = +\infty$.
Comme $|q|^n = \frac{1}{Q^n}$, par passage à l'inverse, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |q|^n = 0$.
Par le théorème des gendarmes ($-|q|^n\leq q^n\leq |q|^n$), on en déduit donc que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
($q \le -1$) :
Pour tout $n$, $q^{2n} = (q^2)^n \ge 1$ (car $q^2 \ge 1$), tandis que $q^{2n+1} = q \cdot q^{2n} \le q \le -1$.
Les termes sont donc alternativement $\ge 1$ et $\le -1$ : ils ne peuvent ni s'approcher d'un réel unique, ni tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$. Donc la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.

Exemple

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1{,}05^n = +\infty$ car $1{,}05 > 1$.
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ car $-1 < 0{,}5 < 1$.
La suite $((-2)^n)$ n'admet pas de limite car $-2 \le -1$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître la limite d'une suite géométrique
Calculer et interpréter la limite d'une suite géométrique

VI Suites monotones et convergence

VI.1 Suites majorées et minorées

Définition — Majorants et minorants

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n$, $\boldsymbol{u_n \le M}$. On dit que $M$ est un majorant.
La suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n$, $\boldsymbol{m \le u_n}$. On dit que $m$ est un minorant.
Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple

On considère la suite $u_n = 1+\dfrac{2}{n}$ pour $n\ge 1$.

Démontrer que $(u_n)$ est majorée par $3$.
Démontrer que $(u_n)$ est minorée par $1$.
En déduire que $(u_n)$ est bornée.

Correction

Pour $n \ge 1$, on a $$ \begin{aligned} n &\ge 1 \\ \frac{n}{n} &\ge \frac{1}{n} \\ 1 &\ge \frac{1}{n} \\ 2 &\ge \frac{2}{n} \\ 1+2 &\ge 1+\frac{2}{n} \\ 3 &\ge u_n, \end{aligned} $$ donc $u_n \le 3$. Ainsi, la suite $(u_n)$ est majorée par $3$ (c’est-à-dire que $3$ est un majorant).
Pour $n \ge 1$, on a $$ \begin{aligned} n &\ge 1 \\ n &> 0 \\ \frac{1}{n} &> 0 \quad (\text{l’inverse a le même signe})\\ \frac{2}{n} &> 0 \\ 1+\frac{2}{n} &> 1 \\ u_n &> 1, \end{aligned} $$ Ainsi, la suite $(u_n)$ est minorée par $1$ (c’est-à-dire que $1$ est un minorant).
Donc la suite $(u_n)$ est bornée.

Compétences à pratiquer

Identifier les majorants et les minorants d'une suite
Démontrer qu'une suite est bornée

VI.2 Monotonie et convergence

Proposition — Suites monotones non bornées

Si une suite est croissante et non majorée, alors elle diverge vers $+\infty$.
Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle diverge vers $-\infty$.

Preuve

On suppose $(u_n)$ croissante et non majorée. Soit $A$ un réel. Comme $A$ n'est pas un majorant de la suite, il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$. La suite étant croissante, pour tout $n \ge n_0$ : $$u_n \ge u_{n_0} > A.$$ L'intervalle $]A ; +\infty[$ contient donc toutes les valeurs de la suite à partir du rang $n_0$. Ceci vaut pour tout réel $A$ : par définition, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée, le même raisonnement s'applique : pour tout réel $A$ il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0} < A$, puis $u_n \le u_{n_0} < A$ pour tout $n \ge n_0$, donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Théorème — Théorème de convergence monotone

Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge.
Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.

Attention !

Ce théorème permet de prouver l'existence d'une limite mais n'en donne pas explicitement la valeur.

Signaler une erreur

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \ge 0$ par $u_{n}=\dfrac{n-1}{n+4}$.

Démontrer que $(u_n)$ est majorée par $1$.
Démontrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge.

Correction

Majoration par $1$ : $$\begin{aligned}1 - u_n &= 1 - \dfrac{n-1}{n+4}\\ 1 - u_n&= \dfrac{n+4}{n+4} - \dfrac{n-1}{n+4}\\ 1 - u_n&= \dfrac{n+4 - (n-1)}{n+4}\\ 1 - u_n&= \dfrac{5}{n+4}\\ 1 - u_n&>0\\ 1 &>u_n\\ \end{aligned}$$ Donc, la suite $(u_n)$ est majorée par $1$.
Croissance : $$ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{(n+1)-1}{(n+1)+4}-\frac{n-1}{n+4}\\ &= \frac{n}{n+5}-\frac{n-1}{n+4}\\ &= \frac{n(n+4)-(n-1)(n+5)}{(n+5)(n+4)}\\ &= \frac{n^2+4n-\bigl(n^2+5n-n-5\bigr)}{(n+5)(n+4)}\\ &= \frac{n^2+4n-(n^2+4n-5)}{(n+5)(n+4)}\\ &= \frac{5}{(n+5)(n+4)}\\ &>0 \end{aligned} $$ Donc, $(u_n)$ est croissante.
Conclusion :
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ ; d’après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

Exemple — Une suite définie par récurrence

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, en déduire qu'elle converge, puis déterminer sa limite.

Correction

Majorée par 2 (récurrence). $P(n): 0 \le u_n \le 2$. Initialisation : $u_0 = 1$, donc $0 \le u_0 \le 2$. Hérédité : si $0 \le u_n \le 2$, alors $2 \le u_n + 2 \le 4$, donc $\sqrt{2} \le u_{n+1} \le 2$ ; en particulier $0 \le u_{n+1} \le 2$. Par récurrence, $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n$.
Croissante. $u_{n+1}^2 - u_n^2 = (u_n + 2) - u_n^2 = -(u_n-2)(u_n+1)$. Comme $0 \le u_n \le 2$, on a $2 - u_n \ge 0$ et $u_n + 1 > 0$, donc $u_{n+1}^2 \ge u_n^2$ ; les deux termes étant positifs, $u_{n+1} \ge u_n$. La suite est croissante.
Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc d'après le théorème de convergence monotone elle converge vers une limite $\ell \le 2$.
Limite. Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, $(u_{n+1})$ aussi (mêmes termes, indice décalé). En élevant la relation au carré, $u_{n+1}^2 = u_n + 2$ ; par la règle du produit $u_{n+1}^2 \to \ell^2$ et par la règle de la somme $u_n + 2 \to \ell + 2$, donc $\ell^2 = \ell + 2$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell-2)(\ell+1) = 0$. Comme $\ell \ge u_0 = 1 > 0$, on obtient $\boldsymbol{\ell = 2}$.

Compétences à pratiquer

Évaluer des propriétés à l'aide de contre-exemples
Appliquer le théorème de convergence monotone

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes : limites
Raisonner et résoudre des problèmes : suites monotones
Problèmes
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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\(n\)	\(1\)	\(10\)	\(101\)	\(1000\)
\(u_n = 1/n\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(\approx 0{,}0099\)	\(0{,}001\)
\(v_n = n^2\)	\(1\)	\(100\)	\(10\,201\)	\(1\,000\,000\)
\(w_n = (-1)^n\)	\(-1\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)
\(t_n = 0{,}5^n\)	\(0{,}5\)	\(\approx 0{,}001\)	\(\approx 4 \times 10^{-31}\)	\(\approx 0\)

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)\)	\(\ell+\ell'\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	FI	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)\)	\(\ell\ell'\)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(\ell' \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(\frac{\ell}{\ell'}\)	\(0\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI