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Nombres complexes : point de vue géométrique et applications

⌚ ~290 min ▢ 34 blocs ✓ 148 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Nombres complexes : point de vue algébrique et polynômes, Trigonométrie, Produit scalaire, Suites numériques, Suites et récurrence, Fonctions cosinus et sinus

I Représentation graphique et module

I.1 Plan complexe, point image et affixe

Découverte

L'algèbre calcule avec les nombres complexes ; la géométrie les représente dans le plan. On représente chaque nombre complexe $a+ib$ par le point de coordonnées $(a; b)$.

Placer les points représentant $z_0 = 1$, puis $z_1 = i \times z_0$, puis $z_2 = i \times z_1$, puis $z_3 = i \times z_2$, puis $z_4 = i \times z_3$. Que constate-t-on ?
Repartir maintenant de $w_0 = 2+i$ et recommencer : placer $w_0$, $iw_0$, $i^2w_0$, $i^3w_0$. Quelle transformation géométrique « multiplier par $i$ » semble-t-elle réaliser ?
Sachant que $i^2 = -1$, expliquer pourquoi cette transformation, appliquée deux fois, doit envoyer chaque point sur son symétrique par rapport à l'origine.

Chaque opération algébrique sur les nombres complexes a une telle signification géométrique, et la géométrie rend les calculs visibles.

On a vu qu'un nombre complexe peut s'écrire sous forme algébrique $z = a+ib$ où $a = \Re(z)$ et $b = \Im(z)$ sont deux nombres réels.
Il existe une correspondance biunivoque entre tout nombre complexe $a+ib$ et le point $(a ; b)$.
On peut donc représenter tout nombre complexe dans un plan en lui associant un point unique, ce qui donne une représentation géométrique à ce qui n'était jusqu'alors qu'un objet algébrique. Ce plan est appelé le plan complexe.

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Définition — Plan complexe

Le plan complexe est le plan rapporté à un repère orthonormé tel que :

l'axe horizontal, appelé l'axe des réels, est l'ensemble des nombres réels ;
l'axe vertical, appelé l'axe des imaginaires purs, est l'ensemble des nombres imaginaires purs.

Définition — Correspondance entre représentations cartésienne et complexe

Le point $M(a; b)$ est le point image du nombre complexe $z=a+ib$.
Le vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est le vecteur image du nombre complexe $z=a+ib$.
Le nombre complexe $z=a+ib$ est l'affixe du point $M(a; b)$ et du vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.

Compétences à pratiquer

Lire l'affixe d'un point
Conjecturer la nature d'une figure

I.2 Opérations et affixes de vecteurs

Proposition — Addition et soustraction

Additionner ou soustraire des nombres complexes est équivalent à l'addition ou la soustraction vectorielle de leurs vecteurs images, selon la règle du parallélogramme.

Addition ($z_1+z_2$) : le vecteur image de la somme est la diagonale principale du parallélogramme formé par les vecteurs images de $z_1$ et $z_2$.
Soustraction ($z_1-z_2$) : le vecteur image de la différence est le vecteur reliant le point d'affixe $z_2$ au point d'affixe $z_1$.

Proposition — Affixe du milieu d'un segment

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes $z_A$ et $z_B$.
Le milieu $M$ du segment $\SegmentFr{AB}$ a pour affixe $$ z_M = \frac{z_A + z_B}{2}. $$

Proposition — Transformations géométriques fondamentales

Conjugué ($z \to \conjugate{z}$) : une symétrie par rapport à l'axe des réels.
Opposé ($z \to -z$) : une rotation de $180^\circ$ (ou $\pi$ radians) autour de l'origine.
Multiplication par $i$ ($z \to iz$) : une rotation de $90^\circ$ (ou $\pi/2$ radians) dans le sens anti-horaire autour de l'origine.
Ajout de $b$ ($z \to z + b$) : la translation de vecteur d'affixe $b$.
Multiplication par un réel $k$ non nul ($z \to kz$) : l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

Compétences à pratiquer

Visualiser les transformations fondamentales

I.3 Module d'un nombre complexe

Géométriquement, un nombre complexe possède deux caractéristiques essentielles : sa distance à l'origine et, s'il est non nul, sa direction par rapport à l'axe des réels positifs.

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Définition — Module

Le module d'un nombre complexe $z = x+iy$, noté $|z|$, est la distance de l'origine à son point image dans le plan complexe. D'après le théorème de Pythagore, il est défini par : $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$ Le module est un nombre réel positif ou nul.

Proposition — Affixe d'un vecteur et distance entre deux points

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

Le vecteur $\Vect{AB}$ a pour affixe $z_{\Vect{AB}} = z_B - z_A$.
La distance entre les points $A$ et $B$ est le module de cette affixe : $$ AB = |z_B - z_A|. $$

Proposition — Propriétés du module

$|\conjugate{z}| = |z|$
$|z|^2 = z\conjugate{z}$
$|z_1 z_2| = |z_1|\, |z_2|$
$\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ pour $z_2 \neq 0$
$|z^n| = |z|^n$ pour tout entier $n$ (avec $z \neq 0$ si $n < 0$).

Preuve

On démontre les deux propriétés centrales ; les autres se démontrent avec les mêmes outils (et en exercices). Soient $z = a+ib$, $z_1$ et $z_2$ des nombres complexes.

$|z|^2 = z\conjugate{z}$ : $$\begin{aligned}[t] z\conjugate{z} &= (a+ib)(a-ib) && \\ &= a^2 - (ib)^2 && \text{($(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$)}\\ &= a^2 + b^2 = |z|^2. && \text{($i^2 = -1$)} \end{aligned}$$
$|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$ : les deux membres sont positifs, il suffit donc de comparer leurs carrés. $$\begin{aligned}[t] |z_1 z_2|^2 &= (z_1 z_2)\conjugate{(z_1 z_2)} && \text{($|z|^2 = z\conjugate{z}$)}\\ &= z_1 \conjugate{z_1}\, z_2 \conjugate{z_2} && \text{($\conjugate{z_1 z_2} = \conjugate{z_1}\,\conjugate{z_2}$)}\\ &= |z_1|^2\, |z_2|^2 = \left(|z_1|\,|z_2|\right)^2. && \end{aligned}$$ Comme $|z_1z_2| \ge 0$ et $|z_1|\,|z_2| \ge 0$, en prenant les racines carrées on obtient $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$.

Preuve

On démontre maintenant les propriétés de la puissance, de l'inverse et du quotient, qui découlent du module d'un produit ; la propriété $|\conjugate{z}| = |z|$ est démontrée en exercice.

Puissance, pour $n \in \mathbb{N}$. Soit $z$ un nombre complexe, avec la convention $z^0 = 1$ (y compris pour $z = 0$). Soit $P(n)$ la propriété « $|z^n| = |z|^n$ ».
- Initialisation : $|z^0| = |1| = 1 = |z|^0$, donc $P(0)$ est vraie.
- Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie pour un entier naturel $n$. Alors $$\begin{aligned}[t] |z^{n+1}| &= |z^n \times z| &&\\ &= |z^n|\,|z| && \text{(module d'un produit)}\\ &= |z|^n\,|z| = |z|^{n+1}, && \text{(hypothèse de récurrence)} \end{aligned}$$ donc $P(n+1)$ est vraie.
- Conclusion : $|z^n| = |z|^n$ pour tout entier naturel $n$.
Inverse. Soit $z \neq 0$. Comme $z \times \dfrac{1}{z} = 1$, le module d'un produit donne $|z| \times \left|\dfrac{1}{z}\right| = |1| = 1$. Comme $|z| \neq 0$, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$.
Quotient. Soit $z_2 \neq 0$. Alors $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \left|z_1 \times \dfrac{1}{z_2}\right| = |z_1| \times \dfrac{1}{|z_2|} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$.
Puissance, pour $n < 0$. Soient $z \neq 0$ et $n < 0$. L'entier $-n$ est un entier naturel et $z^n = \dfrac{1}{z^{-n}}$, donc $$|z^n| = \frac{1}{|z^{-n}|} = \frac{1}{|z|^{-n}} = |z|^n.$$

Compétences à pratiquer

Calculer le module d'un nombre complexe
Calculer des distances et des milieux

II Argument et forme trigonométrique

II.1 Le cercle trigonométrique

Définition — Image d'un nombre réel

Le cercle de rayon $1$ centré à l'origine, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre — le sens direct — s'appelle le cercle trigonométrique (c'est le même cercle que le cercle unité, muni d'un sens de parcours). L'enroulement de la droite des réels autour de ce cercle associe à chaque nombre réel $x$ un unique point du cercle, appelé image de $x$ et noté $M(x)$ : en partant du point de coordonnées $(1\,;\,0)$, on parcourt sur le cercle une distance $|x|$, dans le sens direct si $x > 0$, dans le sens indirect si $x < 0$. Par définition même du radian, $x$ est alors une mesure en radians de l'angle orienté entre le demi-axe des abscisses positives et la demi-droite $[OM)$, où $M = M(x)$.

Proposition — Réels ayant la même image

Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :$$M(x + 2k\pi) = M(x).$$ Réciproquement, deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de $2\pi$.

Proposition — Relation entre angle et coordonnées

Pour un angle $\theta$, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du demi-axe des abscisses positives, $M(x\,;\,y)$ est le point correspondant du cercle trigonométrique.

La coordonnée $x$ est le cosinus de l'angle : $\cos \theta = x$
La coordonnée $y$ est le sinus de l'angle : $\sin \theta = y$

Pour un angle aigu, ces égalités se démontrent dans le triangle rectangle formé par $O$, $M$ et le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses issue de $M$. Pour tout autre angle, ces coordonnées définissent $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

Proposition — Identité pythagoricienne

Pour tout angle $\theta$ : $$ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $$

Proposition — Demi-tour : $\pi + \theta$

Symétrie centrale de centre l’origine : $$\begin{aligned} \sin (\pi+\theta)&=-\sin \theta \\ \cos (\pi+\theta)&=-\cos \theta \end{aligned}$$

Proposition — Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : $-\theta$

Symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses : $$\begin{aligned} \sin (-\theta)&=-\sin \theta \\ \cos (-\theta)&=\cos \theta \end{aligned}$$

Proposition — Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Pour tout réel $\theta$ :$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta.$$ Les points d'angles $\theta$ et $\pi - \theta$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : ils ont la même ordonnée, et leurs abscisses sont opposées.

Proposition — Identités avec $\frac{\pi}{2} - \theta$

Symétrie par rapport à la droite $y=x$ : $$\begin{aligned} \cos\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \sin \theta \\ \sin\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \cos \theta \\ \end{aligned}$$

Proposition — Tableau des valeurs remarquables

$\theta$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Tout multiple de $\dfrac{\pi}{6}$ et de $\dfrac{\pi}{4}$ se ramène à ce tableau par les symétries du cercle : un tour entier soustrait, l'opposé, le demi-tour, la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Lu de gauche à droite, les cosinus décroissent de $1$ à $0$ pendant que les sinus croissent de $0$ à $1$ — les deux lignes sont l'image l'une de l'autre.

Compétences à pratiquer

Exprimer des valeurs trigonométriques à l'aide de l'angle de référence $\frac{\pi}{6}$
Lire les valeurs trigonométriques des multiples de $\frac{\pi}{6}$

II.2 Angle orienté et argument

Définition — Angle orienté de deux vecteurs

Soient $\vec{w_1}$ et $\vec{w_2}$ deux vecteurs non nuls, et $M$ et $N$ les points tels que $\vec{w_1} = \Vect{OM}$ et $\vec{w_2} = \Vect{ON}$, où $O$ est l'origine du repère. La demi-droite $[OM)$ coupe le cercle trigonométrique en un point $M'$, et la demi-droite $[ON)$ le coupe en un point $N'$. Si $M'$ est le point image d'un réel $x$ sur le cercle trigonométrique (le point atteint à partir du point d'affixe $1$ en parcourant sur le cercle une longueur $|x|$, dans le sens direct si $x \ge 0$ et dans le sens indirect si $x < 0$) et $N'$ le point image d'un réel $y$, alors le réel $y - x$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{w_1}, \vec{w_2})$.
Les mesures de $(\vec{w_1}, \vec{w_2})$ sont les réels $y - x + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ : un angle orienté est défini à $2\pi$ près, et l'on écrit $(\vec{w_1}, \vec{w_2}) \equiv y - x \pmod{2\pi}$.

Lire un angle orienté

La définition, avec les symétries du cercle trigonométrique, donne les propriétés suivantes, pour des vecteurs non nuls $\vec{w_1}$, $\vec{w_2}$, $\vec{w_3}$ dont les demi-droites coupent le cercle trigonométrique aux points images des réels $x_1$, $x_2$, $x_3$.

Relation de Chasles : $(x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) = x_3 - x_1$, donc $(\vec{w_1}, \vec{w_2}) + (\vec{w_2}, \vec{w_3}) \equiv (\vec{w_1}, \vec{w_3}) \pmod{2\pi}$.
Ordre inversé : $x_1 - x_2 = -(x_2 - x_1)$, donc $(\vec{w_2}, \vec{w_1}) \equiv -(\vec{w_1}, \vec{w_2}) \pmod{2\pi}$.
Vecteurs colinéaires : $\vec{w_1}$ et $\vec{w_2}$ sont colinéaires lorsque les deux points du cercle trigonométrique sont confondus ou diamétralement opposés (le point image de $x + \pi$ est diamétralement opposé à celui de $x$), c'est-à-dire lorsque $(\vec{w_1}, \vec{w_2}) \equiv 0 \pmod{\pi}$ : une mesure $0$ pour le même sens, $\pi$ pour des sens contraires.
Vecteurs orthogonaux : $\vec{w_1}$ et $\vec{w_2}$ sont orthogonaux lorsque l'un des points s'obtient à partir de l'autre par un quart de tour (c'est le point image de $x + \dfrac{\pi}{2}$ ou de $x - \dfrac{\pi}{2}$ lorsque l'autre est celui de $x$), c'est-à-dire lorsque $(\vec{w_1}, \vec{w_2}) \equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.

En particulier, le vecteur $\vec{u}$ d'affixe $1$ dirige l'axe des réels positifs, et sa demi-droite coupe le cercle trigonométrique au point image de $0$ : si la demi-droite $[OM)$ coupe le cercle trigonométrique au point image de $x$, alors $(\vec{u}, \Vect{OM}) \equiv x - 0 = x \pmod{2\pi}$, donc $x$ est une mesure de l'angle orienté entre l'axe des réels positifs et $\Vect{OM}$.

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Définition — Argument

On appelle argument d'un nombre complexe non nul $z$, noté $\arg(z)$, toute mesure $\theta$ de l'angle orienté entre l'axe des réels positifs et le vecteur image de $z$.

Remarque

Un argument d'un nombre complexe n'est pas unique, car on peut ajouter n'importe quel multiple de $2\pi$ à l'angle. Pour le rendre unique, on définit la valeur principale de l'argument, aussi appelée argument principal, comme l'unique argument $\theta$ appartenant à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$.
L'argument du nombre complexe $0$ n'est pas défini.

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Exemple

Un nombre imaginaire pur non nul $ib$, avec $b$ réel, a pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ si $b > 0$, et $-\dfrac{\pi}{2}$ si $b < 0$.

Méthode — Calculer l'argument

Pour déterminer un argument $\theta$ d'un nombre complexe non nul $z=a+ib$ :

Calculer le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$.
Factoriser par le module pour identifier les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique : $$ z = |z| \left( \frac{a}{|z|} + i \frac{b}{|z|} \right). $$
Identifier l'angle. On cherche un angle $\theta$ qui vérifie le système d'équations : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|} \\ \sin(\theta) = \dfrac{b}{|z|} \end{cases} $$ Cette valeur de $\theta$ est un argument de $z$.

Exemple

Déterminer un argument du nombre complexe $z = -1+i\sqrt{3}$.

Correction

On calcule d'abord le module de $z$ : $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.$$ On factorise le module : $$z = 2 \times \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
On cherche un réel $\theta$ tel que : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = -\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ vérifie les deux équations.
Donc un argument de $z$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

Compétences à pratiquer

Calculer l'argument d'un nombre complexe

II.3 Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul peut être représenté en partant d'un nombre sur le cercle trigonométrique et en le dilatant par son module.

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Définition — Forme trigonométrique

Un nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d'argument $\theta$ peut s'écrire sous forme trigonométrique : $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta). $$

Proposition — Égalité sous forme trigonométrique

Soient $r > 0$ et $r' > 0$, et soient $\theta$ et $\theta'$ deux réels. Alors $$\textcolor{colorprop}{r(\cos\theta + i\sin\theta) = r'(\cos\theta' + i\sin\theta') \iff r = r' \text{ et } \theta \equiv \theta' \pmod{2\pi}.}$$ En particulier, si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$, alors $r = |z|$ et $\theta$ est un argument de $z$.

Preuve

Pour tout réel $\theta$ et tout $r > 0$, $$|r(\cos\theta + i\sin\theta)| = \sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = r\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = r.$$

Si $r = r'$ et $\theta' = \theta + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, alors $\cos\theta' = \cos\theta$ et $\sin\theta' = \sin\theta$ (le cosinus et le sinus sont $2\pi$-périodiques), donc les deux nombres sont égaux.
Réciproquement, si les deux nombres sont égaux, ils ont le même module : $r = r'$. En divisant par $r > 0$, on obtient $\cos\theta + i\sin\theta = \cos\theta' + i\sin\theta'$, et en identifiant les parties réelles et imaginaires, $\cos\theta = \cos\theta'$ et $\sin\theta = \sin\theta'$. Les points images de $\theta$ et de $\theta'$ sur le cercle trigonométrique sont donc confondus, donc $\theta' - \theta$ est un multiple de $2\pi$.

En particulier, si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$, le calcul ci-dessus donne $|z| = r$. La demi-droite issue de l'origine et passant par le point d'affixe $z$ coupe le cercle trigonométrique au point d'affixe $\dfrac{z}{|z|} = \cos\theta + i\sin\theta$, qui est le point image de $\theta$ : donc $\theta$ est une mesure de l'angle entre l'axe des réels positifs et le vecteur image de $z$, c'est-à-dire un argument de $z$.

Compétences à pratiquer

Déterminer l'affixe d'un point sur le cercle trigonométrique
Convertir de la forme trigonométrique à la forme algébrique
Convertir de la forme algébrique à la forme trigonométrique

III Formules d'addition et de duplication

III.1 Le produit scalaire

Définition — Produit scalaire géométrique

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ est défini par :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\| \|\Vect{v}\| \cos \theta$$ où $\|\Vect{u}\|$ est la norme de $\Vect{u}$, $\|\Vect{v}\|$ la norme de $\Vect{v}$, et $\theta$ l'angle entre les vecteurs. Si l'un des deux vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut $0$.

Proposition — Expressions analytiques

Dans une base orthonormée, pour des vecteurs $\Vect{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

Produit scalaire : $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = xx' + yy'$.
Norme : $\|\Vect{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Distance (dans un repère orthonormé) : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.

Compétences à pratiquer

Calculer un produit scalaire à partir des normes et d'un angle
Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées

III.2 Formules d'addition

Multiplier deux nombres de module 1

Deux nombres complexes de module $1$ s'écrivent $\cos\theta + i\sin\theta$ et $\cos\theta' + i\sin\theta'$. En développant leur produit avec $i^2 = -1$ : $$\begin{aligned}[t] (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') &= \cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' \\ &\quad + i\,(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta'). \end{aligned}$$ Le produit est encore de module $1$ : il s'écrit donc $\cos\varphi + i\sin\varphi$ pour un réel $\varphi$. Lequel ? Les formules d'addition de la trigonométrie répondent à cette question : elles reconnaissent $\cos(\theta + \theta')$ dans la partie réelle et $\sin(\theta + \theta')$ dans la partie imaginaire. Multiplier des nombres de module $1$ revient à additionner leurs angles.

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Proposition — Cosinus de la différence

$$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B.$$

Preuve

On considère deux vecteurs unitaires sur le cercle unité : $$\vec{u} = \begin{pmatrix}\cos A \\ \sin A \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \vec{v} = \begin{pmatrix}\cos B \\ \sin B \end{pmatrix}.$$ Les extrémités de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ sont les images de $A$ et de $B$ sur le cercle trigonométrique, donc l'angle géométrique $\theta \in [0 ; \pi]$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égal à $A - B$ ou à $B - A$, à un multiple de $2\pi$ près. Comme le cosinus est pair et $2\pi$-périodique, $\cos\theta = \cos(A - B)$.
On peut exprimer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ de deux manières :

En utilisant la définition géométrique : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \,\|\vec{v}\| \cos(A - B) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(A - B) = \cos(A - B).$$
En utilisant l'expression analytique : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}\cos A \\ \sin A \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\cos B \\ \sin B \end{pmatrix} = (\cos A)(\cos B) + (\sin A)(\sin B).$$

En égalant les deux expressions, on obtient l'identité : $$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B.$$

Compétences à pratiquer

Simplifier des expressions trigonométriques

III.3 Formules de duplication

Proposition — Formules de duplication

Pour tout réel $A$ : $$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A,$$ $$\sin 2A = 2\sin A\cos A.$$ Elles s'obtiennent en posant $B = A$ dans les formules de $\cos(A + B)$ et de $\sin(A + B)$, ce qui donne $\sin 2A$ et $\cos^2 A - \sin^2 A$ (cette démonstration est proposée en exercice), puis en utilisant $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$ pour les deux autres écritures de $\cos 2A$.

Exemple

Calculer la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ de deux façons :

avec une formule d'addition, en écrivant $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ ;
avec une formule de duplication, puisque $2 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}$.

Correction

Avec le cosinus d'une différence : $$\begin{aligned}[t] \cos\frac{\pi}{12} &= \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) &&\\ &= \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} && \text{(cosinus d'une différence)}\\ &= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} && \text{(valeurs remarquables)}\\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}. \end{aligned}$$
Avec $A = \dfrac{\pi}{12}$, la formule $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ donne $\cos\dfrac{\pi}{6} = 2\cos^2\dfrac{\pi}{12} - 1$, donc $$\begin{aligned}[t] \cos^2\frac{\pi}{12} &= \frac{1}{2}\left(1 + \cos\frac{\pi}{6}\right) &&\\ &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}. \end{aligned}$$ Comme $\dfrac{\pi}{12} \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos\dfrac{\pi}{12} \ge 0$, d'où $\cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$.

Les deux résultats sont le même nombre : $\left(\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\right)^2 = \dfrac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} = \dfrac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}$, et tous deux sont positifs.

Compétences à pratiquer

Démontrer les formules de duplication
Calculer une valeur exacte avec les formules d'addition et de duplication

IV Forme exponentielle

IV.1 L'exponentielle imaginaire

Motivation pour la notation d'Euler

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(\theta) = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$ En utilisant les formules d'addition du cosinus et du sinus, on montre que, pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ : $$f(\theta + \theta') = f(\theta)\, f(\theta').$$ Par analogie avec la fonction exponentielle réelle ($e^{x+y}=e^x e^y$), on adopte la notation $$f(\theta) = e^{i\theta}.$$

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Définition — Exponentielle imaginaire

Pour tout nombre réel $\theta$, on définit l'exponentielle imaginaire, notée $e^{i\theta}$, comme le nombre complexe $$e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta.$$

Proposition — Propriétés de l'exponentielle imaginaire

Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta'$, et pour tout entier $n$, l'exponentielle imaginaire vérifie les propriétés fondamentales suivantes :

Module : $|e^{i\theta}| = 1$
Argument : $\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta \pmod{2\pi}$
Conjugué : $\conjugate{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
Produit : $e^{i(\theta+\theta')} = e^{i\theta}\, e^{i\theta'}$
Quotient : $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}$
Puissance : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$

Preuve

Soient $\theta$ et $\theta'$ deux réels.

Module. $|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{1} = 1$.
Argument. Le point d'affixe $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ est le point image de $\theta$ sur le cercle trigonométrique. Par définition d'un angle orienté, $\theta$ est une mesure de l'angle entre l'axe des réels positifs et son vecteur : $\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta \pmod{2\pi}$.
Conjugué. Comme le cosinus est pair et le sinus impair : $$\conjugate{e^{i\theta}} = \cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = e^{-i\theta}.$$
Produit. En développant avec $i^2 = -1$, puis en appliquant les formules d'addition : $$\begin{aligned}[t] e^{i\theta}\,e^{i\theta'} &= (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta')\\ &= \cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' + i\,(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta')\\ &= \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta') && \text{(formules d'addition)}\\ &= e^{i(\theta + \theta')}. \end{aligned}$$
Puissance, pour $n \in \mathbb{N}$. Par récurrence sur $n$. Initialisation : $(e^{i\theta})^0 = 1 = \cos 0 + i \sin 0 = e^{i \times 0}$. Hérédité : si $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, alors, par la propriété du produit, $(e^{i\theta})^{n+1} = e^{in\theta}\,e^{i\theta} = e^{i(n+1)\theta}$.
Puissance, pour $n < 0$. Par la propriété du produit, $e^{i\varphi}\,e^{-i\varphi} = e^{i \times 0} = 1$ pour tout réel $\varphi$, donc $e^{i\varphi} \neq 0$ et $\dfrac{1}{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}$. Pour $n < 0$, l'entier $-n$ est un entier naturel, d'où $$(e^{i\theta})^n = \frac{1}{(e^{i\theta})^{-n}} = \frac{1}{e^{-in\theta}} = e^{in\theta}.$$
Quotient. On a vu, pour les puissances négatives, que $e^{i\varphi} \neq 0$ et $\dfrac{1}{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}$ pour tout réel $\varphi$. Donc, par la propriété du produit, $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i\theta}\,e^{-i\theta'} = e^{i(\theta - \theta')}$.

Retrouver les formules d'addition

Lu à l'envers, le calcul du produit dans la démonstration ci-dessus permet de retrouver rapidement les formules d'addition. Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, la règle $e^{i(\theta + \theta')} = e^{i\theta}\,e^{i\theta'}$ s'écrit $$\begin{aligned}[t] \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta') &= (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta')\\ &= \cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' + i\,(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta'). \end{aligned}$$ Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, donc $$\cos(\theta + \theta') = \cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' \qquad\text{et}\qquad \sin(\theta + \theta') = \sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta'.$$ En remplaçant $\theta'$ par $-\theta'$ (le cosinus est pair, le sinus impair), on obtient $\cos(\theta - \theta')$ et $\sin(\theta - \theta')$ ; en prenant $\theta' = \theta$, on obtient les formules de duplication.
C'est un moyen mnémotechnique, pas une démonstration : la règle $e^{i\theta}\,e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ a elle-même été démontrée à partir des formules d'addition.

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Compétences à pratiquer

Évaluer des exponentielles complexes

IV.2 Forme exponentielle et arguments

Définition — Forme exponentielle

En utilisant l'exponentielle imaginaire, un nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d'argument $\theta$ peut s'écrire sous forme exponentielle : $$ z = re^{i\theta}. $$

Proposition — Propriétés des arguments

Pour tous nombres complexes non nuls $z_1$ et $z_2$, et pour tout entier $n$ :

pour tout nombre complexe non nul $z$, $\arg(\conjugate{z}) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi}$
$\arg(z_1 z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
$\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
pour tout nombre complexe non nul $z$, $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) \pmod{2\pi}$.

Preuve

On démontre la propriété du produit, puis on en déduit celles du quotient et de la puissance ; la propriété du conjugué est démontrée en exercice. On écrit $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ sous forme exponentielle, avec $r_1, r_2 > 0$. $$\begin{aligned}[t] z_1 z_2 &= r_1 e^{i\theta_1} \, r_2 e^{i\theta_2} && \\ &= r_1 r_2 \, e^{i(\theta_1+\theta_2)}. && \text{($e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$)} \end{aligned}$$ C'est une forme exponentielle de $z_1z_2$ de module strictement positif $r_1r_2$, donc $\theta_1 + \theta_2$ est un argument de $z_1 z_2$ : $$\arg(z_1 z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}.$$ Quotient. Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes non nuls. Le nombre $\dfrac{z_1}{z_2}$ est non nul et $z_1 = \dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$, donc, par la propriété du produit, $\arg(z_1) \equiv \arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$, c'est-à-dire $$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}.$$ Puissance, pour $n \in \mathbb{N}$. Soit $z$ un nombre complexe non nul, et soit $P(n)$ la propriété « $\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \pmod{2\pi}$ ».

Initialisation : $z^0 = 1$ et $0$ est un argument de $1$, donc $\arg(z^0) \equiv 0 = 0 \times \arg(z) \pmod{2\pi}$ : $P(0)$ est vraie.
Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie pour un entier naturel $n$. Alors $$\begin{aligned}[t] \arg(z^{n+1}) &= \arg(z^n \times z) &&\\ &\equiv \arg(z^n) + \arg(z) && \text{(propriété du produit)}\\ &\equiv n\arg(z) + \arg(z) && \text{(hypothèse de récurrence)}\\ &= (n+1)\arg(z) \pmod{2\pi}, \end{aligned}$$ donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : comme $P(0)$ est vraie et que $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, d'après le principe de récurrence, $\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \pmod{2\pi}$ pour tout entier naturel $n$.

Puissance, pour $n < 0$. L'entier $-n$ est un entier naturel et $z^n = \dfrac{1}{z^{-n}}$, donc $$\begin{aligned}[t] \arg(z^n) &= \arg\left(\frac{1}{z^{-n}}\right) &&\\ &\equiv \arg(1) - \arg(z^{-n}) && \text{(propriété du quotient)}\\ &\equiv 0 - (-n)\arg(z) && \text{($\arg(1) \equiv 0$, et le cas de l'entier naturel $-n$)}\\ &= n\arg(z) \pmod{2\pi}. \end{aligned}$$

Proposition — Multiplication et division

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes non nuls. Les multiplier ou les diviser agit sur leurs modules et sur leurs arguments :

Multiplication ($z_1 z_2$) : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
Division ($\dfrac{z_1}{z_2}$) : on divise les modules et on soustrait les arguments.

Plus précisément, soit $w = re^{i\phi}$ avec $r > 0$ : le point d'affixe $wz$ est l'image du point d'affixe $z$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\phi$, suivie de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $r$. En particulier, multiplier par $e^{i\phi}$, c'est appliquer la rotation de centre $O$ et d'angle $\phi$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une forme trigonométrique ou exponentielle
Comprendre le module et l'argument
Convertir de la forme trigonométrique à la forme exponentielle
Appliquer les propriétés de l'exponentielle
Démontrer les propriétés du module et des arguments

IV.3 Formule de Moivre

Proposition — Formule de Moivre

Pour tout nombre complexe non nul $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ (avec $r > 0$) et pour tout entier $n$ : $$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)). $$ Sous forme exponentielle, cela s'exprime de manière concise : $$ (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}. $$

Preuve

La démonstration la plus directe utilise la forme exponentielle, qui étend les lois usuelles sur les puissances aux nombres complexes.
Soit $z = re^{i\theta}$. En élevant à la puissance $n$, on obtient $$\begin{aligned} z^n &= (re^{i\theta})^n \\ &= r^n \left(e^{i\theta}\right)^n &&\text{(puissance d'un produit)} \\ &= r^n e^{i(n\theta)} &&\text{(puissance de l'exponentielle imaginaire)}. \end{aligned}$$ En revenant à la forme trigonométrique, on obtient : $$ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)). $$ Comme $z \neq 0$, ces règles valent aussi pour les entiers $n$ négatifs : la formule est ainsi démontrée pour tout entier $n$.

Exemple — Calcul d'une puissance avec la forme exponentielle

Calculer $(1+i\sqrt{3})^5$.

Étape 1 : Conversion en forme exponentielle.
$\begin{aligned}[t] r &= |1+i\sqrt{3}| \\ &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \end{aligned} \qquad\text{et}\qquad \begin{aligned}[t] \cos\theta &= \frac{1}{2},\quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \theta &= \frac{\pi}{3}. \end{aligned}$
Donc, $1+i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Étape 2 : Application de la formule de Moivre. $$\begin{aligned} (1+i\sqrt{3})^5 &= \left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^5\\ &= 2^5e^{i\frac{5\pi}{3}}\\ &= 32\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) \\ &= 32\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 - 16i\sqrt{3}. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Appliquer la formule de Moivre

IV.4 Formules d'Euler

Proposition — Formules d'Euler

Pour tout nombre réel $\theta$ : $$\textcolor{colorprop}{\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.}$$

Preuve

Par définition, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, et en remplaçant $\theta$ par $-\theta$ : $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ (le cosinus est pair, le sinus est impair). $$\begin{aligned}[t] e^{i\theta} + e^{-i\theta} &= 2\cos\theta && \text{(les termes $i\sin\theta$ s'éliminent)}\\ e^{i\theta} - e^{-i\theta} &= 2i\sin\theta. \end{aligned}$$ En divisant par $2$ et par $2i$, on obtient les deux formules.

Méthode — Linéariser une puissance de cosinus ou de sinus

Pour écrire $\cos^n\theta$ (ou $\sin^n\theta$), pour un entier naturel $n$, comme une somme de termes $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$ — la linéarisation :

on remplace $\cos\theta$ par $\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ (ou $\sin\theta$ par $\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ — formules d'Euler) ;
on développe la puissance avec la formule du binôme ;
on regroupe les exponentielles conjuguées, avec $e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)$ et $e^{ik\theta} - e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta)$.

Exemple

Linéariser $\cos^3\theta$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \cos^3\theta &= \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 && \text{(formule d'Euler)}\\ &= \frac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} && \text{($(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$)}\\ &= \frac{\left(e^{3i\theta} + e^{-3i\theta}\right) + 3\left(e^{i\theta} + e^{-i\theta}\right)}{8} && \text{(regroupement des termes conjugués)}\\ &= \frac{2\cos(3\theta) + 6\cos\theta}{8} && \text{($e^{ik\theta}+e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)$)}\\ &= \frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta. \end{aligned}$$

Méthode — Exprimer $\cos(n\theta)$ comme polynôme en $\cos\theta$

C'est le sens inverse de la linéarisation, pour un entier naturel $n$ :

on écrit $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta) = \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n$ (formule de Moivre) ;
on développe le membre de droite avec la formule du binôme ;
on identifie les parties réelles (et on utilise $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$).

Exemple

Exprimer $\cos(3\theta)$ comme un polynôme en $\cos\theta$.

Correction

On pose $c = \cos\theta$ et $s = \sin\theta$. Par la formule de Moivre, $$\begin{aligned}[t] \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) &= (c + is)^3 && \text{(formule de Moivre)}\\ &= c^3 + 3ic^2s + 3i^2cs^2 + i^3s^3 && \text{($(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$)}\\ &= \left(c^3 - 3cs^2\right) + i\left(3c^2s - s^3\right). && \text{($i^2=-1$, $i^3=-i$)} \end{aligned}$$ En identifiant les parties réelles : $$\begin{aligned}[t] \cos(3\theta) &= c^3 - 3cs^2 && \\ &= c^3 - 3c\left(1 - c^2\right) && \text{($s^2 = 1 - c^2$)}\\ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Linéariser les puissances de cosinus et de sinus
Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$

V Nombres complexes et géométrie

V.1 L'ensemble $\mathbb{U}$ et les racines $n$-ièmes

Définition — Cercle unité dans le plan complexe

On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$ : $$\mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C} \mid |z |=1\}.$$ Les points images des éléments de $\mathbb{U}$ forment le cercle unité, cercle de rayon $1$ centré à l'origine ; parcouru dans le sens direct, c'est le cercle trigonométrique.

Proposition — Forme trigonométrique des nombres de module 1

Si $z\in \mathbb{U}$, alors il existe $\theta\in \R$ tel que $$z=\cos \theta+i \sin \theta.$$ Ici, $\theta$ est un argument de $z$.

Proposition — Produits et inverses des nombres de module 1

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ de $\mathbb{U}$ :

le produit $zz'$ appartient à $\mathbb{U}$ ;
$z \neq 0$, et son inverse est son conjugué : $\dfrac{1}{z} = \conjugate{z}$, qui appartient à $\mathbb{U}$ ;
toute puissance $z^n$, $n \in \mathbb{Z}$, appartient à $\mathbb{U}$.

Preuve

Soient $z, z' \in \mathbb{U}$, donc $|z| = |z'| = 1$.

$|zz'| = |z|\,|z'| = 1 \times 1 = 1$, donc $zz' \in \mathbb{U}$.
$|z| = 1 \neq 0$, donc $z \neq 0$. De plus $z\conjugate{z} = |z|^2 = 1$, donc $\dfrac{1}{z} = \conjugate{z}$, et $|\conjugate{z}| = |z| = 1$.
Pour tout entier $n$, $|z^n| = |z|^n = 1^n = 1$ (module d'une puissance, valable pour $n < 0$ puisque $z \neq 0$).

Tout comme la formule de Moivre fournit une méthode puissante pour élever des nombres complexes à une puissance, elle donne également un moyen systématique de trouver les racines $n$-ièmes de n'importe quel nombre complexe. On commence par le cas particulier des racines de $1$.

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Définition — Racines n-ièmes de l'unité

Pour tout entier $n \ge 1$, on appelle racine $n$-ième de l'unité tout nombre complexe $z$ tel que $z^n = 1$. L'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité est noté $\mathbb{U}_n$.

Proposition — Structure de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité

Pour tout entier $n \ge 1$, l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité est : $$\mathbb{U}_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} \;|\; k=0,1,2,\dots,n-1\right\}.$$ Géométriquement, pour $n \ge 3$, les points images des racines $n$-ièmes de l'unité forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec un sommet au point d'affixe $1$.

Preuve

Soit $n \ge 1$ un entier.

Une racine $n$-ième de l'unité est de module $1$. Si $z^n = 1$, alors $|z|^n = |z^n| = 1$ (module d'une puissance). Le réel $|z| \ge 0$ vérifie donc $|z|^n = 1$. Si $0 \le |z| < 1$, alors $|z|^n < 1$ ; si $|z| > 1$, alors $|z|^n > 1$. Donc $|z| = 1$.
Résolution sur le cercle trigonométrique. Ainsi $z \in \mathbb{U}$, et $z = e^{i\theta}$ pour un réel $\theta$. Alors $z^n = e^{in\theta}$, et $1 = e^{i \times 0}$. Par l'égalité sous forme trigonométrique (les deux modules valent $1$) : $$z^n = 1 \iff n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi} \iff \theta = \frac{2k\pi}{n} \text{ pour un entier } k.$$ Réciproquement, pour tout entier $k$, $\left(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)^n = e^{i2k\pi} = 1$. Donc $\mathbb{U}_n = \left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} \;|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Exactement $n$ racines distinctes. Pour $0 \le k' < k \le n-1$, la différence $\dfrac{2k\pi}{n} - \dfrac{2k'\pi}{n} = \dfrac{2(k-k')\pi}{n}$ est strictement comprise entre $0$ et $2\pi$, donc ce n'est pas un multiple de $2\pi$ : les nombres $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, $k = 0, \dots, n-1$, sont distincts. Tout autre entier $k$ s'écrit $k = qn + j$ avec $q \in \mathbb{Z}$ et $0 \le j \le n-1$ (division euclidienne), et $$e^{i\frac{2k\pi}{n}} = e^{i\left(\frac{2j\pi}{n} + 2q\pi\right)} = e^{i\frac{2j\pi}{n}},$$ qui est l'un de ces $n$ nombres.
Le polygone régulier. Avec $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$, les racines sont $1, \omega, \dots, \omega^{n-1}$, et $\omega^n = 1$. Multiplier par un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\varphi$ dilate d'un facteur $r$ et fait tourner d'un angle $\varphi$ ; multiplier par $\omega$, de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{n}$, est donc la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{n}$. Elle envoie chaque racine $\omega^k$ sur la suivante $\omega^{k+1}$, et $\omega^{n-1}$ sur $\omega^n = 1$. Pour $n \ge 3$, cette rotation envoie donc le polygone de sommets consécutifs $1, \omega, \dots, \omega^{n-1}$ sur lui-même, chaque côté sur le côté suivant et chaque angle sur l'angle suivant : tous ses côtés sont égaux, de longueur $|\omega - 1|$, et tous ses angles sont égaux. Le polygone est régulier.

Proposition — Somme des racines de l'unité

Pour tout entier $n \ge 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité est nulle : $$\textcolor{colorprop}{1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} = 0, \qquad \text{où } \omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}.}$$

Preuve

On pose $S = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1}$. Multiplier par $\omega$ décale chaque terme d'un cran : $$\begin{aligned}[t] \omega S &= \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} + \omega^n && \\ &= \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} + 1 && \text{($\omega^n = 1$)}\\ &= S. \end{aligned}$$ Donc $(\omega - 1)S = 0$. Comme $n \ge 2$, $\omega = e^{i2\pi/n} \neq 1$, d'où $S = 0$. Géométriquement : le centre de gravité des $n$ racines, sommets d'un polygone régulier lorsque $n \ge 3$, est l'origine.

Méthode — Étudier un polygone régulier avec les racines de l'unité

Pour étudier un polygone régulier à $n$ côtés ($n \ge 3$) inscrit dans le cercle trigonométrique, avec un sommet au point d'affixe $1$ :

Placer les sommets aux racines $n$-ièmes de l'unité $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$, où $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$.
Calculer un côté comme un module : $\omega^{k+1} - \omega^k = \omega^k(\omega - 1)$ et $|\omega^k| = 1$, donc chaque côté mesure $|\omega - 1|$.
Calculer $|\omega - 1|$ à partir de la forme algébrique, avec $\alpha = \dfrac{2\pi}{n}$ : $$\begin{aligned}[t] |e^{i\alpha} - 1|^2 &= (\cos\alpha - 1)^2 + \sin^2\alpha &&\\ &= 2 - 2\cos\alpha && \text{($\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$)}\\ &= 4\sin^2\frac{\alpha}{2}, && \text{(formule de duplication)} \end{aligned}$$ donc le côté mesure $2\sin\dfrac{\pi}{n}$, puisque $\sin\dfrac{\pi}{n} > 0$.
Pour un polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon $R$ centré à l'origine, avec un sommet au point d'affixe $R$, les sommets sont les $R\,\omega^k$ : toutes les longueurs sont multipliées par $R$.

Exemple

Un octogone régulier est inscrit dans le cercle trigonométrique, avec un sommet au point d'affixe $1$. Donner les affixes de ses sommets sous forme algébrique, puis la longueur exacte de son côté.

Correction

Les sommets sont les racines huitièmes de l'unité $\omega^k = e^{i\frac{k\pi}{4}}$, $k = 0, \dots, 7$, avec $\omega = e^{i\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $$1,\quad \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2},\quad i,\quad -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2},\quad -1,\quad -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2},\quad -i,\quad \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Chaque côté mesure $|\omega - 1|$ : $$\begin{aligned}[t] |\omega - 1|^2 &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 &&\\ &= \frac{1}{2} - \sqrt{2} + 1 + \frac{1}{2} && \text{($(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$)}\\ &= 2 - \sqrt{2}. \end{aligned}$$ Le côté mesure $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$, c'est-à-dire $2\sin\dfrac{\pi}{8}$ d'après la méthode (environ $0{,}77$, et le périmètre $8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ vaut environ $6{,}12$, un peu moins que la longueur du cercle $2\pi$).

Proposition — Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soit $n \ge 1$ un entier. Un nombre complexe non nul $c = \rho e^{i\alpha}$, avec $\rho > 0$, a exactement $n$ racines $n$-ièmes distinctes, données par la formule $$ z_k = r e^{i\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right)} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \dots, n-1, $$ où $r$ est l'unique réel $r > 0$ tel que $r^n = \rho$. Géométriquement, pour $n \ge 3$, les racines forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $r$.

Preuve

On cherche à résoudre l'équation $z^n=c$ d'inconnue $z$. On pose $z = re^{i\theta}$ et $c=\rho e^{i\alpha}$.$$\begin{aligned} (re^{i\theta})^n &= \rho e^{i\alpha} \\ r^n e^{in\theta} &= \rho e^{i\alpha}\end{aligned}$$ Pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs modules doivent être égaux et leurs arguments doivent être égaux à un multiple de $2\pi$ près.

Égalité des modules : $r^n = \rho$ avec $r > 0$, donc $r$ est l'unique réel $r > 0$ tel que $r^n = \rho$.
Égalité des arguments : $n\theta = \alpha + 2k\pi \implies \theta = \frac{\alpha + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \mathbb{Z}$.

En substituant ces résultats, on obtient la solution générale. On obtient $n$ racines distinctes en prenant les valeurs $k=0, 1, \dots, n-1$.

Exemple

Déterminer les trois racines cubiques de $c = 8i$.

Correction

Étape 1 : Conversion en forme exponentielle.
$\rho = |8i| = 8$. $\alpha = \arg(8i) = \frac{\pi}{2}$. Donc, $c = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Étape 2 : Application de la formule des racines.
Le module des racines est le réel $r > 0$ tel que $r^3 = 8$, c'est-à-dire $r = 2$.
Les arguments sont $\phi_k = \frac{\pi/2 + 2k\pi}{3}$ pour $k=0,1,2$.
Étape 3 : Calcul de chaque racine.
$k=0: z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = 2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}+i$.
$k=1: z_1 = 2e^{i\frac{5\pi}{6}} = 2(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}+i$.
$k=2: z_2 = 2e^{i\frac{3\pi}{2}} = 2(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}) = -2i$.

Les racines forment un triangle équilatéral sur un cercle de rayon 2.

Compétences à pratiquer

Déterminer des racines $n$-ièmes
Étudier un polygone régulier avec les racines de l'unité

V.2 Angles, alignement et orthogonalité

Proposition — Angle

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$. L'angle orienté $\left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right)$ est donné par $$ \left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right) \equiv \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) \pmod{2\pi}. $$

Preuve

Soit $\vec{u}$ le vecteur d'affixe $1$, qui dirige l'axe des réels positifs. D'après la relation de Chasles, $\left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right) \equiv \left(\Vect{AB}, \vec{u}\right) + \left(\vec{u}, \Vect{AC}\right) \equiv \left(\vec{u}, \Vect{AC}\right) - \left(\vec{u}, \Vect{AB}\right) \pmod{2\pi}$ : l'angle orienté est la différence entre les angles des vecteurs $\Vect{AC}$ et $\Vect{AB}$, tous deux mesurés par rapport à l'axe des réels positifs.

Soit $\theta$ une mesure de $\left(\vec{u}, \Vect{AC}\right)$ et $\phi$ une mesure de $\left(\vec{u}, \Vect{AB}\right)$. D'après la définition de l'argument de l'affixe d'un vecteur, on a :

L'affixe de $\Vect{AC}$ est $z_C-z_A$, donc $\theta = \arg(z_C-z_A)$.
L'affixe de $\Vect{AB}$ est $z_B-z_A$, donc $\phi = \arg(z_B-z_A)$.

L'angle orienté est la différence de ces deux arguments : $$\begin{aligned} \left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right) &\equiv \theta - \phi \\ &\equiv \arg(z_C-z_A) - \arg(z_B-z_A). \end{aligned}$$ En utilisant la propriété de l'argument d'un quotient, $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}$, on obtient : $$ \left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right) \equiv \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) \pmod{2\pi}. $$

Proposition — Critères d'alignement et d'orthogonalité

Soient $A$, $B$, $C$ trois points distincts d'affixes $a$, $b$, $c$.

$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{c-a}{b-a}$ est un nombre réel.
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\dfrac{c-a}{b-a}$ est un nombre imaginaire pur.

Preuve

L'angle orienté $\left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right)$ est un argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$, et ce quotient est non nul (les points sont distincts).

Les points sont alignés exactement lorsque cet angle vaut $0$ ou $\pi$ modulo $2\pi$ — c'est-à-dire lorsque l'argument du quotient vaut $0 \pmod{\pi}$ : les nombres complexes non nuls d'un tel argument sont exactement les réels.
Les droites sont perpendiculaires exactement lorsque l'angle vaut $\pm\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$ — les nombres complexes non nuls d'argument $\dfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ sont exactement les imaginaires purs.

Exemple

Soient $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $a = 1+2i$, $b = 3+3i$, $c = 7+5i$. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \frac{c-a}{b-a} &= \frac{6+3i}{2+i} && \\ &= \frac{3(2+i)}{2+i} && \text{(factorisation par 3)}\\ &= 3. \end{aligned}$$ Le quotient est un nombre réel, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés (et $\Vect{AC} = 3\,\Vect{AB}$).

Méthode — Étudier une configuration avec les affixes

Soient $A$, $B$, $C$ des points d'affixes $a$, $b$, $c$, avec $B \neq A$ et $C \neq A$. Pour étudier la configuration au sommet $A$, on calcule le quotient $q = \dfrac{c-a}{b-a}$ sous forme algébrique, puis on le lit :

longueurs : $|q| = \dfrac{|c-a|}{|b-a|} = \dfrac{AC}{AB}$ ; en particulier, $|q| = 1$ signifie $AC = AB$ (si de plus $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$) ;
angle : un argument de $q$ est une mesure de l'angle orienté $\left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right)$ ;
alignement : $q$ est réel exactement lorsque $A$, $B$, $C$ sont alignés ;
orthogonalité : $q$ est imaginaire pur exactement lorsque $(AB) \perp (AC)$, c'est-à-dire lorsque le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Par exemple, $q = i$ donne $AC = AB$ et $\left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ : le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

Exemple

Soient $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $a = 2+2i$, $b = 4+i$ et $c = 4+6i$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

Correction

On calcule le quotient au sommet $A$, en multipliant par le conjugué du dénominateur : $$\begin{aligned}[t] \frac{c-a}{b-a} &= \frac{2+4i}{2-i} &&\\ &= \frac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} && \text{(conjugué du dénominateur)}\\ &= \frac{4 + 2i + 8i + 4i^2}{4+1} && \text{($i^2 = -1$)}\\ &= \frac{10i}{5} = 2i. \end{aligned}$$

$|2i| = 2$, donc $AC = 2\,AB$ : le triangle n'est pas isocèle en $A$.
$2i$ est imaginaire pur, d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ : $\left(\Vect{AB}, \Vect{AC}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AC = 2\,AB$. Contrôle : $AB = |2-i| = \sqrt{5}$, $AC = |2+4i| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, $BC = |c-b| = |5i| = 5$, et on a bien $AB^2 + AC^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2$.

Compétences à pratiquer

Calculer des angles et démontrer la nature d'une figure
Démontrer un alignement ou une orthogonalité

V.3 Ensembles de points

Les équations et inéquations impliquant des nombres complexes peuvent définir des formes ou des régions géométriques, appelées ensembles de points (ou lieux géométriques), dans le plan complexe. La compréhension de la signification géométrique du module et de l'argument est la clé pour interpréter ces lieux.

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Proposition — Lieux géométriques fondamentaux

Cercles : pour $r > 0$, l'équation $|z-c| = r$ décrit un cercle de centre d'affixe $c$ et de rayon $r$. C'est l'ensemble de tous les points d'affixe $z$ qui sont à une distance fixe $r$ du point d'affixe $c$.
Médiatrices : pour $a \neq b$, l'équation $|z-a| = |z-b|$ décrit la médiatrice du segment reliant les points d'affixes $a$ et $b$. C'est l'ensemble de tous les points d'affixe $z$ qui sont équidistants des points d'affixes $a$ et $b$.
Demi-droites : l'équation $\arg(z-c) = \alpha \pmod{2\pi}$ décrit une demi-droite d'origine le point d'affixe $c$ (exclu) et faisant un angle $\alpha$ avec l'axe des réels positifs.

Les inéquations décrivent des régions. Par exemple, avec $r > 0$, $|z-c| < r$ représente l'intérieur d'un cercle (un disque ouvert), et $|z-c| \ge r$ représente le cercle et son extérieur.

Exemple

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :

$|z - 1 + 2i| = 2$ ;
$|z - 2 + i| = |z + 2 - 3i|$.

Correction

Dans chaque cas, on écrit chaque module sous la forme $|z - \text{affixe}|$, qui est une distance.

$z - 1 + 2i = z - (1 - 2i)$. Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 - 2i$ : alors $|z - (1-2i)| = \Omega M$, et la condition s'écrit $\Omega M = 2$. L'ensemble est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $2$.
$z - 2 + i = z - (2 - i)$ et $z + 2 - 3i = z - (-2 + 3i)$. Soient $A$ et $B$ les points d'affixes $2 - i$ et $-2 + 3i$ : la condition s'écrit $AM = BM$. L'ensemble est la médiatrice du segment $[AB]$ : la droite passant par le milieu $I$ de $[AB]$, d'affixe $\dfrac{(2-i) + (-2+3i)}{2} = i$, et perpendiculaire à $(AB)$.

Compétences à pratiquer

Représenter des droites
Représenter des demi-droites
Identifier des ensembles de points à partir de modules

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Type bac
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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\(\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\theta\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)