Éducation Nationale Française · Première Spécialité

Suites numériques

⌚ ~354 min ▢ 42 blocs ✓ 181 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Proportions et évolutions, Les fonctions de référence

I Généralités sur les suites

I.1 Suites numériques et notations

En mathématiques, une suite est plus qu'un simple motif : c'est une liste ordonnée de nombres où chaque nombre a une position spécifique (sa place dans la liste). Pour travailler efficacement avec les suites, on utilise une notation spéciale pour distinguer la position d'un terme de sa valeur.

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Définition — Suite numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes. On utilise la notation $u_n$ pour décrire un terme de la suite.

L'indice $n$ indique la position du terme (commençant souvent à $n=0$). L'indice $n$ prend généralement des valeurs entières : $0,1,2,\dots$
$u_n$ représente la valeur du terme à cette position spécifique.

Ainsi, $u_0$ est la valeur du terme à la position $0$, $u_1$ est la valeur à la position $1$, et ainsi de suite.

Indice ($n$)	0	1	2	$\dots$
Terme ($u_n$)	$u_0$	$u_1$	$u_2$	$\dots$

Exemple

Étant donné la suite définie par le tableau ci-dessous, déterminer la valeur du terme $u_4$.

$n$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$u_n$	3	5	7	9	11	13	$\dots$

Correction

Pour obtenir $u_4$, on regarde dans le tableau la colonne où l'indice est $n=4$. La valeur dans la ligne en dessous est $11$.
Donc $u_4 = 11$.
Cette suite commence à $u_0$, donc $u_4$ est son cinquième terme. Une suite peut aussi commencer à $u_1$ : son premier terme est alors $u_1$, et $u_4$ est son quatrième terme.

Représentation graphique d'une suite

Une suite associe à chaque entier $n$ (à partir de son rang initial) un réel $u_n$ : c'est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur les entiers $n \ge n_0$). Comme une fonction, une suite peut se représenter, de deux façons.

Sur une droite graduée : on place les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, …\ comme des points d'une droite graduée.
Dans un repère : on représente la suite par les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$, c'est-à-dire le point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $u_0$, le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $u_1$, et ainsi de suite.

Comme $n$ ne prend que des valeurs entières, la représentation graphique d'une suite est un ensemble de points isolés, pas une courbe : on ne relie pas les points.

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Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2n - 1$.
Représenter les cinq premiers termes de $(u_n)$ sur une droite graduée, puis dans un repère.

Correction

Les cinq premiers termes sont $u_0 = -1$, $u_1 = 1$, $u_2 = 3$, $u_3 = 5$ et $u_4 = 7$.

Dans un repère, on place les points $(0\,;\,-1)$, $(1\,;\,1)$, $(2\,;\,3)$, $(3\,;\,5)$ et $(4\,;\,7)$, sans les relier.

Compétences à pratiquer

Lire les termes d'une suite dans un tableau
Rédiger avec les notations des suites

I.2 Suites définies par une formule explicite

Définition — Formule explicite

Une formule explicite définit directement le $n$-ième terme d'une suite, $u_n$, en fonction de sa position $n$.$$u_n = f(n)$$

Remarque

L'avantage principal est que cela permet de calculer n'importe quel terme de la suite directement, sans avoir d'abord à calculer tous les termes précédents un par un.

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Exemple

On considère la suite définie par la formule explicite : $$u_n = 3n + 2$$ Calculer $u_{100}$.

Correction

Pour déterminer la valeur de $u_{100}$, on remplace $n$ par 100 dans la formule explicite : $$\begin{aligned}[t] u_{100} &= 3(100) + 2 \\ &= 300 + 2 \\ &= \boldsymbol{302} \end{aligned}$$ On n'a pas eu besoin de connaître les termes précédents de la suite.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une formule explicite
Trouver la formule explicite d'un motif
Exprimer les termes voisins
Rédiger avec une formule explicite

I.3 Suites définies par récurrence

Découverte

On considère une suite dont le premier terme est $2$ et où chaque terme est obtenu en ajoutant $3$ au terme précédent. Les termes sont :

Ici, la suite est indexée à partir de $n=0$ : $u_0 = 2$, $u_1 = 5$, $u_2 = 8$, $u_3 = 11$, etc. On peut décrire la relation entre les termes en utilisant une notation formelle :

$5 = 2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_1 = u_0\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{0+1} = u_0+3$
$8 = 5\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_2 = u_1\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{1+1} = u_1+3$
$11 = 8\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_3 = u_2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{2+1} = u_2+3$

Ce motif montre que n'importe quel terme $u_{n+1}$ peut être trouvé en ajoutant $3$ au terme précédent $u_n$. On peut généraliser cette relation en une règle (valable pour tout entier $n \ge 0$) : $$u_{n+1} = u_n + 3$$

Définition — Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule exprimant le terme suivant, $u_{n+1}$, en fonction du terme courant, $u_n$, pour tout entier $n$ concerné (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Exemple

Une suite est définie par récurrence par :

$u_1 = 5$ (Le premier terme est $5$).
$u_{n+1} = u_n + 3$ (La règle est d'ajouter $3$ au terme précédent, pour tout entier $n \ge 1$).

Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

On construit la suite étape par étape en utilisant la définition par récurrence.

$1^{\text{er}}$ terme : Le terme de départ est donné : $\boldsymbol{u_1 = 5}$.
$2^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=1$. $\boldsymbol{u_2} = u_1 + 3 = 5 + 3 = \textbf{8}$.
$3^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=2$. $\boldsymbol{u_3} = u_2 + 3 = 8 + 3 = \textbf{11}$.
$4^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=3$. $\boldsymbol{u_4} = u_3 + 3 = 11 + 3 = \textbf{14}$.
$5^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=4$. $\boldsymbol{u_5} = u_4 + 3 = 14 + 3 = \textbf{17}$.

$$5 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 8 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 11 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 14 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\,+3\,}} 17$$ Les cinq premiers termes sont : $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une relation de récurrence
Identifier la relation de récurrence
Modéliser des situations réelles par une suite
Rédiger avec une relation de récurrence

II Suites arithmétiques

II.1 Définir une suite arithmétique

Une suite arithmétique est un type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et une variation constante entre deux termes consécutifs.

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Définition — Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison, notée $r$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite : On peut aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 + nr$$

Compétences à pratiquer

Étudier une suite arithmétique
Modéliser avec une suite arithmétique
Démontrer qu'une suite est arithmétique

II.2 Le terme général d'une suite arithmétique

Découverte

On considère une suite arithmétique avec un premier terme $u_1 = 5$ et une raison arithmétique $r = 3$.
On peut écrire les premiers termes en ajoutant 3 de manière répétée :

$u_1 = 5$
$u_2 = 5 + 3$
$u_3 = 5 + 3 + 3$
$u_4 = 5 + 3 + 3 + 3$

On réécrit cela en utilisant la multiplication pour voir le motif :

$u_1 = 5 + \textcolor{colordef}{0} \times 3$
$u_2 = 5 + \textcolor{colordef}{1} \times 3$
$u_3 = 5 + \textcolor{colordef}{2} \times 3$
$u_4 = 5 + \textcolor{colordef}{3} \times 3$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on ajoute la raison $r$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 + (n-1)r$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 + (10-1)r = 5 + (9 \times 3) = 5 + 27 = 32$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Proposition — Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 + nr$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$.

Preuve

Par définition, chaque terme s'obtient à partir du précédent en ajoutant $r$ : $$\begin{aligned} u_1 &= u_0 + r \\ u_2 &= u_1 + r = u_0 + 2r \\ u_3 &= u_2 + r = u_0 + 3r \end{aligned}$$ Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $r$ exactement $n$ fois : $u_n = u_0 + nr$.
En partant de $u_p$ au lieu de $u_0$, on ajoute $r$ exactement $n - p$ fois lorsque $n \geq p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$. Lorsque $n \lt p$, revenir de $u_p$ à $u_n$ revient à retrancher $r$ exactement $p - n$ fois, ce qui donne la même formule. Le cas $p = 1$ donne $u_n = u_1 + (n-1)r$.
(La phrase « on ajoute $r$ exactement $n$ fois » devient pleinement rigoureuse avec le raisonnement par récurrence (Terminale).)

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$.

Calculer $u_{20}$.
Une autre suite arithmétique $(v_n)$ a pour raison $3$ et vérifie $v_5 = 17$. Calculer $v_{12}$.

Correction

D'après la proposition, $u_{20} = u_0 + 20r = 5 + 20 \times 3 = 65$.
En partant de $v_5$ : $v_{12} = v_5 + (12 - 5) \times 3 = 17 + 21 = 38$.

Compétences à pratiquer

Déterminer le rang d'un terme d'une suite arithmétique
Déterminer une suite arithmétique par deux termes
Rédiger le terme général d'une suite arithmétique

III Suites géométriques

III.1 Définir une suite géométrique

Une suite géométrique est un autre type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et un facteur multiplicatif constant : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.

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Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé la raison de la suite, notée $q$.

Définition par récurrence : Le terme suivant s'obtient à partir du précédent par :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : On peut aussi calculer directement n'importe quel terme à partir de son rang $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Exemple

Une suite géométrique a pour premier terme $u_1 = 2$ et pour raison géométrique $q = 2$.
Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n \times 2$. On commence avec $u_1 = 2$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{2}$ (donné)
$u_2 = 2 \times u_1 = 2 \times 2 = \boldsymbol{4}$
$u_3 = 2 \times u_2 = 2 \times 4 = \boldsymbol{8}$
$u_4 = 2 \times u_3 = 2 \times 8 = \boldsymbol{16}$
$u_5 = 2 \times u_4 = 2 \times 16 = \boldsymbol{32}$

Les cinq premiers termes sont : $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$.

Compétences à pratiquer

Étudier une suite géométrique
Démontrer qu'une suite est géométrique

III.2 Le terme général d'une suite géométrique

Découverte

On considère une suite géométrique avec un premier terme $u_1 = 2$ et une raison géométrique $q = 3$.
On peut écrire les premiers termes en multipliant par 3 de manière répétée :

$u_1 = 2$
$u_2 = 2 \times 3$
$u_3 = 2 \times 3 \times 3$
$u_4 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$

On réécrit cela en utilisant des exposants pour voir le motif :

$u_1 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{0}}$
$u_2 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{1}}$
$u_3 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{2}}$
$u_4 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{3}}$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on multiplie par la raison $q$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 \times q^{10-1} = 2 \times 3^9 = 2 \times 19\,683 = 39\,366$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Proposition — Terme général d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n \geq p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Preuve

Par définition, chaque terme s'obtient à partir du précédent en multipliant par $q$ : $$\begin{aligned} u_1 &= u_0 \times q \\ u_2 &= u_1 \times q = u_0 \times q^2 \\ u_3 &= u_2 \times q = u_0 \times q^3 \end{aligned}$$ Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on multiplie par $q$ exactement $n$ fois : $u_n = u_0 \times q^n$.
En partant de $u_p$, on multiplie par $q$ exactement $n - p$ fois : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ ; le cas $p = 1$ donne $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
(Comme pour les suites arithmétiques, « exactement $n$ fois » devient rigoureux avec le raisonnement par récurrence (Terminale).)

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Calculer $u_{10}$.
Une autre suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $v_4 = 24$. Calculer $v_7$.

Correction

D'après la proposition, $u_{10} = u_0 \times q^{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.
En partant de $v_4$ : $v_7 = v_4 \times 2^{7-4} = 24 \times 8 = 192$.

Méthode — Modéliser une évolution en pourcentage constant

Pour une grandeur évoluant d'un taux fixe de $t\pourcent$ à chaque période, à partir de $u_0$ :

Le taux $t$ est signé : $t > 0$ pour une croissance, $-100 < t < 0$ pour une décroissance (une baisse de $100\,\pourcent$ ou plus n'est pas une évolution en pourcentage d'une quantité strictement positive).
Dans tous les cas, la raison est le coefficient multiplicateur $\;q = 1 + \dfrac{t}{100}$ : $+5\pourcent$ donne $t = 5$ et $q = 1{,}05$ ; $-15\pourcent$ donne $t = -15$ et $q = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$.
Après $n$ périodes : $\;u_n = u_0\, q^n$.

Exemple — Intérêts composés

Un capital de $1000~\Euro$ est placé à un taux d'intérêt annuel fixe de $5\pourcent$. Quelle est sa valeur après $3$ ans ?

Correction

Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0{,}05 = 1{,}05$ : les montants annuels forment donc une suite géométrique :$$\begin{aligned}[t] u_1 &= 1000 \times 1{,}05 \\ u_2 &= (1000 \times 1{,}05) \times 1{,}05 = 1000 \times 1{,}05^2 \\ u_3 &= 1000 \times 1{,}05^3. \end{aligned}$$ Ainsi $u_n = u_0\, q^n$ avec $u_0 = 1000$ et $q = 1{,}05$, et$$u_3 = 1000 \times 1{,}05^3 = 1000 \times 1{,}157625 \approx 1157{,}63~\Euro.$$

Compétences à pratiquer

Modéliser avec une suite géométrique
Déterminer le rang d'un terme d'une suite géométrique
Déterminer une suite géométrique par deux termes
Rédiger le terme général d'une suite géométrique

IV Calcul de sommes

IV.1 Somme des termes d'une suite arithmétique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 20 premiers termes d'une suite arithmétique commençant par $u_0 = 5$ et de raison $r=5$ ?$$S_{19} = \overbrace{5 + 10 + 15 + \ldots + 90 + 95 + 100}^{\text{20 termes}}$$ La méthode consiste à écrire la somme deux fois, une fois dans l'ordre normal et une fois dans l'ordre inverse, puis à ajouter les deux lignes terme à terme.$$\begin{array}{l r c c c c c c c}S_{19} & = & 5 & + & 10 & + & \ldots & + & 100 \\ S_{19} & = & 100 & + & 95 & + & \ldots & + & 5 \\ \hline2S_{19} & = & 105 & + & 105 & + & \ldots & + & 105 \\ \end{array}$$ Chaque paire de termes donne la même somme ($5+100=105$, $10+95=105$, etc.). Puisqu'il y a 20 termes dans la suite, on a 20 sommes identiques.$$2S_{19} = 20 \times (5+100)$$ La somme est donc :$$S_{19} = 20 \times\frac{5+100}{2} = 1050$$ Cette méthode révèle la formule générale :$$S_n = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})$$

Proposition — Somme d'une suite arithmétique

La somme des premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Nombre de termes} \times \frac{(\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2}$$

Si une suite commence à $u_0$ et se termine à $u_n$, il y a $\boldsymbol{n+1}$ termes. La formule est :$$S_n = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$$
Si une suite commence à $u_1$ et se termine à $u_n$, il y a $\boldsymbol{n}$ termes. La formule est :$$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$$

Preuve

On écrit la somme à l'endroit puis à l'envers, et on ajoute les deux lignes terme à terme :$$\begin{array}{rccccccc} S &=& u_0 &+& u_1 &+ \cdots +& u_{n-1} &+ u_n \\ S &=& u_n &+& u_{n-1} &+ \cdots +& u_1 &+ u_0 \\ \hline 2S &=& (u_0+u_n) &+& (u_0+u_n) &+ \cdots +& (u_0+u_n) &+ (u_0+u_n) \end{array}$$ Chacune des $n+1$ colonnes a la même somme. En effet, la suite est arithmétique, donc $u_k = u_0 + kr$ ; la colonne d'indice $k$ (pour $0 \le k \le n$) a alors pour total$$u_k + u_{n-k} = (u_0 + kr) + \big(u_0 + (n-k)r\big) = 2u_0 + nr = u_0 + u_n,$$ valeur indépendante de $k$ (quand $k$ augmente de $1$, le terme du haut monte de $r$ et celui du bas descend de $r$). En sommant ces $n+1$ colonnes égales, on obtient $2S = (n+1)(u_0 + u_n)$, c'est-à-dire$$S = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \frac{\text{nombre de termes}}{2}\,(\text{premier} + \text{dernier}).$$

Compétences à pratiquer

Calculer la somme d'une suite arithmétique : niveau 1
Calculer la somme d'une suite arithmétique : niveau 2
Démontrer les formules de sommes
Rédiger une somme de termes d'une suite arithmétique

IV.2 Somme des termes d'une suite géométrique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique commençant par $u_0 = 3$ et de raison $q=2$ ?$$S_9 = 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 + 1536$$ L'astuce consiste à multiplier toute la somme par la raison $q=2$, puis à soustraire la somme de départ de cette nouvelle somme.
On écrit la somme de départ :$$S_9 = 3 + 6 + 12 + \ldots + 768 + 1536$$ On multiplie ensuite chaque terme par la raison $2$ :$$2S_9 = 6 + 12 + 24 + \ldots + 1536 + 3072$$ On remarque que la plupart des termes de $S_9$ et de $2S_9$ sont identiques. En soustrayant la première égalité de la deuxième, ces termes s'éliminent :$$\begin{array}{lrccccccccc} 2S_9 & = & & & 6 & + & 12 & + \ldots + & 1536 & + & 3072 \\ -\, S_9 & = & -(3 & + & 6 & +&12 & + \ldots + & 1536) \\ \hline(2-1)S_9 & = & -3 & + & 0 & + &0&+\ldots + & 0 & + & 3072 \\ \end{array}$$ Il reste une égalité beaucoup plus simple :$$S_9 = 3072 - 3 = 3069$$ Cette méthode donne la formule générale de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ (pour pouvoir diviser par $1 - q$) :$$\begin{aligned}S_n - qS_n &= u_0 - u_0 \times q^{n+1}\\ S_n(1-q) &= u_0(1-q^{n+1})\\ S_n &= u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\right)\\ \end{aligned}$$

Proposition — Somme d'une suite géométrique

La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Premier terme} \times \frac{1 - (\text{raison})^{\text{Nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$$

Si une suite commence à $u_0$ et a pour raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n+1}$ premiers termes est :$$S_n = u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \right)$$
Si une suite commence à $u_1$ et a pour raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n}$ premiers termes est :$$S_n = u_1 \left( \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \right)$$

Ces formules sont valables pour toute raison $q \neq 1$.

Preuve

On suppose $q \neq 1$. On multiplie la somme $S = u_0 + u_0 q + \cdots + u_0 q^{n}$ par $q$ et on soustrait :$$\begin{aligned}[t] S &= u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + \cdots + u_0 q^{n} \\ qS &= \phantom{u_0 + {}} u_0 q + u_0 q^2 + \cdots + u_0 q^{n} + u_0 q^{n+1} \\ S - qS &= u_0 - u_0 q^{n+1} && {\scriptstyle(\text{tous les termes intermédiaires s'annulent})} \\ S(1 - q) &= u_0\left(1 - q^{n+1}\right) \\ S &= u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} && {\scriptstyle(q \neq 1)}. \end{aligned}$$

Le cas $q \equal 1$

Si $q = 1$, tous les termes sont égaux à $u_0$, donc la formule ci-dessus (qui divise par $1-q$) ne s'applique pas. La somme vaut alors simplement$$S = \underbrace{u_0 + u_0 + \cdots + u_0}_{n+1 \text{ termes}} = (n+1)\,u_0.$$

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Compétences à pratiquer

Calculer la somme d'une suite géométrique : niveau 1
Calculer la somme d'une suite géométrique : niveau 2
Rédiger une somme de termes d'une suite géométrique

V Sens de variation et limite d'une suite

V.1 Suites croissantes et décroissantes

Quand on écrit les premiers termes d'une suite, une question vient naturellement : les termes montent-ils toujours ? descendent-ils toujours ? ni l'un ni l'autre ? Comme pour les fonctions, on parle du sens de variation d'une suite. Une suite n'étant connue qu'aux rangs entiers, l'outil est simple : comparer chaque terme au suivant, $u_{n+1}$ à $u_n$.

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Définition — Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Remarque

Comme pour les fonctions, si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle d'une suite strictement croissante ou strictement décroissante.
Certaines suites ne sont pas monotones, par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $1$ et $-1$.

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Compétences à pratiquer

Lire le sens de variation sur un graphique
Raisonner sur les définitions du sens de variation
Démontrer le sens de variation d'une suite

V.2 Étudier le sens de variation d'une suite

Méthode — Étude du signe de $u_{n+1}-u_n$

Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$, on peut déterminer le signe de la différence entre deux termes consécutifs :

Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{u_{n+1}-u_n \ge 0}$, alors la suite est croissante à partir du rang $n_0$.
Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{u_{n+1}-u_n \le 0}$, alors la suite est décroissante à partir du rang $n_0$.

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n - 3$.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$.$$\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \bigl[2(n+1)-3\bigr]-\bigl[2n-3\bigr]\\ &= 2n+2-3-2n+3\\ &= 2.\end{aligned}$$ Comme $2>0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Méthode — Comparaison entre $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $1$

Pour une suite à termes strictement positifs ($u_n>0$) :

Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1}$, alors la suite est croissante à partir du rang $n_0$.
Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1}$, alors la suite est décroissante à partir du rang $n_0$.

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$.
Tous les termes sont positifs ($2^n>0$).$$\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n}&= \frac{2^{n+1}}{2^n}\\ &= 2^{n+1-n}\\ &= 2.\end{aligned}$$ Comme $2>1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Méthode — Utiliser le sens de variation de la fonction $f$ où $u_n=f(n)$

Lorsqu'une suite est définie explicitement par $u_n = f(n)$ pour une fonction $f$ :

Si $f$ est croissante sur $[n_0\,;\,+\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$.
Si $f$ est décroissante sur $[n_0\,;\,+\infty[$, alors $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$.

Attention : cette méthode s'applique uniquement à une définition explicite $u_n = f(n)$. Elle ne s'applique pas à une définition par récurrence $u_{n+1} = g(u_n)$, car le sens de variation de $g$ ne renseigne pas sur celui de $(u_n)$ (utiliser plutôt le signe de $u_{n+1}-u_n$).

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ pour $n \ge 1$.

Correction

Ici $u_n = f(n)$ avec $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$ sur $[1\,;\,+\infty[$. La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$ y est croissante, et $f$ aussi (ajouter la constante $1$ ne change pas les variations) : $f$ est croissante sur $[1\,;\,+\infty[$. La suite $(u_n)$ est donc croissante à partir du rang $1$.

Compétences à pratiquer

Choisir une méthode
Étudier la différence
Étudier le quotient
Étudier la fonction

V.3 Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques

Proposition — Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $r \gt 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $r \lt 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $r = 0$, alors $(u_n)$ est constante.

Preuve

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = r$ : le signe de la différence de deux termes consécutifs est celui de $r$, pour tout $n$. La conclusion découle de l'étude du signe de $u_{n+1} - u_n$.

Proposition — Sens de variation d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ et de raison $q > 0$.

Si $q > 1$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$, alors $(u_n)$ est constante.

Preuve

Pour tout entier naturel $n$, avec le terme général $u_n = u_0 q^n$ : $$u_{n+1} - u_n = u_0 q^{n+1} - u_0 q^n = u_0 q^n (q - 1)$$ Comme $u_0 > 0$ et $q > 0$, le facteur $u_0 q^n$ est strictement positif : le signe de $u_{n+1} - u_n$ est celui de $q - 1$, pour tout $n$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante si $q > 1$, strictement décroissante si $q < 1$, constante si $q = 1$.

Remarque

Si $u_0 < 0$, le facteur $u_0 q^n$ est strictement négatif et tous les signes s'inversent : le sens de variation est le contraire de celui ci-dessus (par exemple $u_0 = -4$, $q = 3$ donne $-4$, $-12$, $-36$, …, une suite strictement décroissante).
Si $q < 0$, $q^n$ change de signe à chaque rang, et $u_{n+1} - u_n$ aussi : la suite n'est pas monotone (par exemple $u_0 = 1$, $q = -2$ donne $1$, $-2$, $4$, $-8$, …).

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Exemple

Donner le sens de variation des suites suivantes.

$(u_n)$ arithmétique de raison $r = -2$.
$(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 1{,}2$.
$(w_n)$ géométrique de premier terme $w_0 = -4$ et de raison $q = 3$.

Correction

$r = -2 \lt 0$ : $(u_n)$ est strictement décroissante.
$v_0 = 5 \gt 0$ et $q = 1{,}2 \gt 1$ : $(v_n)$ est strictement croissante.
$q = 3 \gt 1$ mais $w_0 = -4 \lt 0$ : les variations sont inversées, $(w_n)$ est strictement décroissante ($-4$, $-12$, $-36$, …).

Compétences à pratiquer

Justifier le sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique

V.4 La limite d'une suite

Une fois le sens de variation connu, une seconde question se pose : que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient très grand — mille, un million, et au-delà ? Deviennent-ils de plus en plus grands, se rapprochent-ils d'un nombre fixe, ou continuent-ils d'osciller ? C'est la question de la limite d'une suite.

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Définition — Limite d'une suite

Soit $(u_n)$ une suite.

$(u_n)$ a pour limite $+\infty$ (quand $n$ tend vers $+\infty$) si les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$(u_n)$ a pour limite $-\infty$ si les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut dans les négatifs, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
$(u_n)$ a pour limite un réel $\ell$ si les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $\ell$ que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand : on dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$, et on note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Une suite qui ne converge pas (limite infinie, ou pas de limite du tout) est dite divergente. Une suite peut en effet n'avoir aucune limite : par exemple $u_n = (-1)^n$ alterne indéfiniment entre $1$ et $-1$.

Ces idées se comprennent d'abord sur des exemples : un tableau de valeurs, un graphique, une calculatrice ou un court programme permettent de conjecturer la limite d'une suite. Démontrer qu'une limite conjecturée est la bonne demande des définitions précises de la limite.

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Exemple

Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite définie pour $n \geq 1$ : $$u_n = \frac{1}{n} \qquad v_n = n^2 \qquad w_n = (-1)^n \qquad t_n = 0{,}5^n$$

Correction

On calcule quelques termes pour de grandes valeurs de $n$ :

$n$	$1$	$10$	$101$	$1000$
$u_n = 1/n$	$1$	$0{,}1$	$\approx 0{,}0099$	$0{,}001$
$v_n = n^2$	$1$	$100$	$10\,201$	$1\,000\,000$
$w_n = (-1)^n$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$t_n = 0{,}5^n$	$0{,}5$	$\approx 0{,}001$	$\approx 4 \times 10^{-31}$	$\approx 0$

Les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $0$ que l'on veut : on conjecture $\lim u_n = 0$.
Les termes $v_n$ deviennent aussi grands que l'on veut : $\lim v_n = +\infty$.
$w_n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$ ($w_{101} = -1$) : pas de limite.
Les termes $t_n$ deviennent aussi proches de $0$ que l'on veut : $\lim t_n = 0$.

Compétences à pratiquer

Conjecturer numériquement la limite d'une suite
Conjecturer numériquement la convergence et la divergence
Conjecturer la limite d'une suite géométrique

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

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Indice (\(n\))	0	1	2	\(\dots\)
Terme (\(u_n\))	\(u_0\)	\(u_1\)	\(u_2\)	\(\dots\)

\(n\)	0	1	2	3	4	5	\(\dots\)
\(u_n\)	3	5	7	9	11	13	\(\dots\)

\(n\)	\(1\)	\(10\)	\(101\)	\(1000\)
\(u_n = 1/n\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(\approx 0{,}0099\)	\(0{,}001\)
\(v_n = n^2\)	\(1\)	\(100\)	\(10\,201\)	\(1\,000\,000\)
\(w_n = (-1)^n\)	\(-1\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)
\(t_n = 0{,}5^n\)	\(0{,}5\)	\(\approx 0{,}001\)	\(\approx 4 \times 10^{-31}\)	\(\approx 0\)