Trigonométrie

Sur le cercle unité, l'arc intercepté par l'angle \(\theta\) a pour longueur exactement \(\theta\) : c'est la définition du radian. Le cercle de rayon \(r\) est l'image du cercle unité par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(r\) : elle multiplie toutes les longueurs par \(r\) et envoie l'arc du cercle unité sur l'arc intercepté par le même angle. Les deux arcs sont donc proportionnels aux deux rayons :$$\frac{1}{r} = \frac{\theta}{\ell}, \qquad \text{d'où} \qquad \ell = r\,\theta.$$ Vérification : un tour complet, \(\theta = 2\pi\), donne \(\ell = 2\pi r\) — la circonférence entière.

Le cercle est de rayon \(1\), donc un tour complet a pour longueur \(2\pi\). Parcourir \(2\pi\) de plus ramène donc le point exactement où il était, et \(k\) tours supplémentaires l'y ramènent \(k\) fois : \(M(x + 2k\pi) = M(x)\). Réciproquement, on suppose \(M(x) = M(y)\) avec \(x \leq y\). En allant de \(M(x)\) à \(M(y)\) on parcourt la distance \(y - x\) et on revient au point de départ : cette distance est un nombre entier de tours, donc \(y - x = 2k\pi\) pour un certain entier \(k\).

Pour un angle aigu \(\theta\), en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle \(OHM\) : $$\begin{aligned} \cos \theta&=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{OH}{OM} \\ &=\frac{x}{1} \\ &=x \\ \end{aligned}$$ et $$\begin{aligned} \sin \theta&=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{HM}{OM} \\ &=\frac{y}{1} \\ &=y \\ \end{aligned}$$

Soit \(M(\cos \theta\,;\,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\). Par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(OHM\) : $$\begin{aligned}[t] OH^2+HM^2&=OM^2\\ (\cos \theta)^2+(\sin \theta)^2&=1^2\\ \cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta&=1\\ \end{aligned}$$

• Preuve géométrique : Soit \(H\) le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses issue de \(M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)\). La coordonnée \(\cos\theta\) est l'abscisse de \(H\), strictement négative lorsque \(M\) est à gauche de l'axe des ordonnées, tandis que la longueur \(OH\) en est la valeur absolue : \(OH = |\cos\theta|\). Dans le triangle rectangle \(OHM\), le côté \(OH\) est au plus égal à l'hypoténuse \(OM = 1\) (lorsque \(M\) est sur un axe, le triangle est aplati et l'inégalité est immédiate), donc \(|\cos\theta| \leq 1\), c'est-à-dire \(-1 \leq \cos \theta \leq 1\). De même, la longueur \(HM = |\sin\theta|\) est au plus égale à \(OM = 1\), donc \(-1 \leq \sin \theta \leq 1\). Sur la figure, \(\theta\) est aigu, et les deux coordonnées sont les longueurs \(OH\) et \(HM\) elles-mêmes.
• Preuve analytique (pour le cosinus ; la preuve pour le sinus est analogue) :$$\begin{aligned} 0 &\leq \sin ^2 \theta &&\text{(un carré est toujours positif ou nul)} \\ \cos ^2 \theta &\leq \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta &&\text{(on ajoute } \cos ^2 \theta \text{ aux deux membres)} \\ \cos ^2 \theta &\leq 1 &&(\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1) \\ |\cos \theta| &\leq 1 &&\text{(en prenant les racines carrées)}\\ -1 &\leq \cos \theta \leq 1 && \end{aligned}$$ Le même raisonnement appliqué à \(\sin \theta\) donne \(-1 \leq \sin \theta \leq 1\).

Soit \(M(\cos \theta\,;\,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\theta+2\pi)\,;\,\sin(\theta+2\pi))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta+2\pi\). D'après la proposition sur les réels ayant la même image, \(M(\theta+2\pi)=M(\theta)\) : les deux points coïncident sur le cercle, \(M'=M\).
Donc \(\cos (\theta+2 \pi)=\cos \theta\) et \(\sin (\theta+2 \pi)=\sin \theta\).
Le même raisonnement vaut pour tout multiple de \(2\pi\), c’est-à-dire pour tout entier \(k\).

Soit \(\theta\) un angle.
Soit \(M(\cos \theta\,;\,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\pi+\theta)\,;\,\sin(\pi+\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\pi+\theta\).
Une rotation d'angle \(\pi\) est un demi-tour autour de l'origine \(O\), ce qui revient à une symétrie centrale de centre \(O\). Les coordonnées de \(M'\) sont donc les opposées des coordonnées de \(M\).
Donc \(\begin{aligned}[t] \sin (\pi+\theta)&=-\sin \theta \\ \cos (\pi+\theta)&=-\cos \theta \end{aligned}\)

Soit \(M(\cos \theta\,;\,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(-\theta)\,;\,\sin(-\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(-\theta\).
Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses. La coordonnée \(x\) de \(M'\) est donc la même que celle de \(M\), et la coordonnée \(y\) de \(M'\) est l'opposée de celle de \(M\).
Donc \(\begin{aligned}[t] \sin (-\theta)&=-\sin \theta \\ \cos (-\theta)&=\cos \theta \end{aligned}\)

On écrit \(\pi - \theta = \pi + (-\theta)\) et l'on applique les deux propositions précédentes, d'abord celle de l'opposé, puis celle de l'ajout de \(\pi\) :$$\begin{aligned}[t] \cos(\pi - \theta) &= \cos\big(\pi + (-\theta)\big) \\ &= -\cos(-\theta) && \scriptscriptstyle\text{(ajout de } \pi \scriptscriptstyle\text{)} \\ &= -\cos\theta && \scriptscriptstyle\text{(cosinus de l'opposé)} \end{aligned}$$et, de la même façon,$$\begin{aligned}[t] \sin(\pi - \theta) &= \sin\big(\pi + (-\theta)\big) \\ &= -\sin(-\theta) && \scriptscriptstyle\text{(ajout de } \pi \scriptscriptstyle\text{)} \\ &= -(-\sin\theta) = \sin\theta. && \scriptscriptstyle\text{(sinus de l'opposé)} \end{aligned}$$

Soit \(\theta\) un angle.
Soit \(M(\cos \theta\,;\,\sin\theta)\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\theta\).
Soit \(M'(\cos(\frac \pi 2 -\theta)\,;\,\sin(\frac \pi 2 -\theta))\) le point sur le cercle unité à l'angle \(\dfrac \pi 2 -\theta\).
Les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\), donc la coordonnée \(x\) de \(M\) est la coordonnée \(y\) de \(M'\), et la coordonnée \(y\) de \(M\) est la coordonnée \(x\) de \(M'\).
Donc \(\begin{aligned}[t] \cos\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \sin \theta \\ \sin\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \cos \theta \\ \end{aligned}\)

Comme la somme des angles dans un triangle est \(\pi\), on a \(\AngleFr{OMH}=\pi - \dfrac \pi 4 - \dfrac \pi 2 = \dfrac \pi 4\).
Comme \(\AngleFr{OMH}=\AngleFr{MOH}\), le triangle \(OHM\) est isocèle.
Soit \(a=OH=HM\). $$\begin{aligned} a^2+a^2 &=1^2 \quad \text { (théorème de Pythagore pour le triangle rectangle } OHM)\\ 2 a^2 &=1 \\ a^2 &=\frac{1}{2} \\ a &=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text { car } a\geq 0 \end{aligned}$$ Donc \(M\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Comme \(\cos \theta\) est la coordonnée \(x\) de \(M\) et \(\sin \theta\) est la coordonnée \(y\) de \(M\) : $$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Les coordonnées de chaque point sont trouvées en utilisant les symétries par rapport aux axes et le demi-tour de centre \(O\).

Soit \(\AngleFr{MON}=\dfrac \pi 3\).
Comme \(ON=OM=1\), le triangle \(OMN\) est isocèle en \(O\) : ses angles à la base sont égaux, \(\AngleFr{OMN}=\AngleFr{ONM}\).
Comme la somme des angles dans un triangle est \(\pi\), \(2\,\AngleFr{OMN}=\pi-\dfrac \pi 3=\dfrac{2\pi}{3}\), donc \(\AngleFr{OMN}=\AngleFr{ONM}=\dfrac \pi 3\).
Le triangle \(OMN\) est donc équilatéral.
La hauteur \(MH\) coupe la base \(ON\) en son milieu.
Ainsi \(OH=\dfrac{1}{2}\). $$\begin{aligned} OH^2+HM^2 &=OM^2 \quad \text { (théorème de Pythagore pour le triangle rectangle } OHM)\\ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + HM^2 &=1 \\ HM^2 &=\frac{3}{4} \\ HM &=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text { car } HM\geq 0 \end{aligned}$$ Comme \(\cos \theta\) est la coordonnée \(x\) de \(M\) et \(\sin \theta\) est la coordonnée \(y\) de \(M\) : $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \quad \text{ et } \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Par la symétrie par rapport à la droite \(y=x\) (les identités avec \(\frac{\pi}{2}-\theta\)), le douzième de tour, \(\frac{\pi}{6}\), s'en déduit aussitôt :$$\cos \frac{\pi}{6}=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{ et } \quad \sin \frac{\pi}{6}=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.$$

Les coordonnées de chaque point sont trouvées en appliquant les symétries par rapport aux axes et le demi-tour de centre \(O\).