Comment enseigner les ratios

Ce guide s'adresse aux enseignants qui utilisent CommeUnJeu avec une classe, du CM1 à la Seconde. Une seule idée le porte. Un ratio compare deux quantités, nommées, dans un ordre : \(2\) pommes rouges pour \(4\) pommes, \(4\) places pour \(28 \Euro\). Et un seul geste le transforme : multiplier, ou diviser, les deux termes par le même nombre. Pourquoi le même nombre ? Parce qu'un ratio décrit un groupe que l'on peut répéter. \(4\) places pour \(28 \Euro\), c'est un groupe ; deux groupes, ce sont \(8\) places pour \(56 \Euro\) ; un demi-groupe, \(2\) places pour \(14 \Euro\). L'élève qui voit le groupe sait pourquoi le geste marche, et n'a pas besoin d'une règle nouvelle à chaque chapitre. Le même geste sert ensuite dans quatre situations :

Situation	Le geste
La proportionnalité, par l'unité	\(4:28 = 1:7 = 6:42\), donc \(6\) places coûtent \(42 \Euro\)
La fraction d'une quantité	\(2:3 = 6:9\), donc les deux tiers de \(9\) pommes sont \(6\) pommes
Le pourcentage, un ratio sur \(100\)	\(5:25 = 20:100\), donc \(5\) sur \(25\), c'est \(20\pourcent\)
L'échelle	\(1:100 = 3:300\), donc \(3\) cm sur le plan font \(300\) cm, soit \(3\) m

Le mot « ratio » n'arrive dans le programme qu'en 4e ; le geste, lui, est là dès le CM1. Le guide donne d'abord le sens, tel que les élèves peuvent le comprendre et le dire avec leurs mots. Il suit ensuite les chapitres classe par classe, avec les figures et les vidéos des cours, et dit où le geste s'arrête.
Dans chaque chapitre, vous trouvez :

• des sections qui s'ouvrent le plus souvent sur une courte vidéo, en français et en anglais (le guide les reprend aussi, en tête des passages qu'elles concernent) ;
• le cours : définitions, méthodes et exemples rédigés, à projeter ou à imprimer (le PDF du cours et celui des corrections sont en haut de la page du chapitre) ;
• sous chaque section, les compétences à pratiquer : des groupes d'exercices corrigés aussitôt, chaque réponse suivie de sa correction rédigée ;
• à la fin, une section Pour aller plus loin, avec des problèmes plus difficiles ;
• certains exercices se rédigent sur papier ou à l'ardoise : l'élève dessine les groupes ou les barres, écrit les ratios, et envoie la photo de sa copie pour la faire corriger.

Le programme du cycle 3 n'emploie pas le mot « ratio ». Le geste y est pourtant. La 6e demande le retour à l'unité, et de calculer une proportion, le rapport entre une partie et le tout ; elle demande aussi les pourcentages. Le mot et l'écriture \(a:b\) arrivent en 4e, avec le programme du cycle 4 (2026) : le rapport ou ratio, les égalités de rapports et le partage proportionnel. Ce programme, paru au Bulletin officiel du 5 mars 2026, entre en application progressivement : en 5e à la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027, en 3e à la rentrée 2028.
Le mot ratio et l'écriture \(4:28\) n'apparaissent qu'en 4e. Mais le retour à l'unité, au programme de 6e, est déjà un raisonnement sur des ratios : \(4\) places coûtent \(28 \Euro\), donc \(1\) place coûte \(7 \Euro\), donc \(6\) places coûtent \(42 \Euro\). Écrit avec des ratios, c'est \(4:28 = 1:7 = 6:42\). Le ratio n'ajoute qu'un mot et une écriture à ce que la classe fait déjà ; en échange, il garde les deux quantités sous les yeux, chacune avec son nom.
Sur CommeUnJeu, le chapitre de 6e Ratio et proportionnalité s'ouvre sur le ratio : c'est une avance choisie sur les attendus. Les autres classes restent dans le programme. Le CM1 et le CM2 font le geste sans le mot, dans leurs chapitres de proportionnalité. La 5e n'a pas de section « ratio », mais son retour à l'unité reprend la méthode et la vidéo du chapitre Ratio, où les deux couples s'écrivent comme deux fractions reliées par des flèches. La 4e nomme le ratio et s'en sert pour les égalités de rapports et le partage proportionnel. Chaque étape de ce guide dit ce qui est au programme et ce qui est une avance.

Trois choses changent pour les élèves quand le ratio vient d'abord.
Les deux quantités restent sous les yeux. « Les places coûtent \(42 \Euro\) » garde un nombre et cache l'autre ; le ratio \(6:42\), places pour euros, garde les deux, chacune avec son nom. L'élève voit ce que l'on compare à quoi, et dans quel ordre : \(2:3\) n'est pas \(3:2\). Dire les noms à voix haute, « les pommes rouges par rapport à toutes les pommes », est la première habitude à installer, et elle sert jusqu'à la dernière année.
Un seul geste, avec une raison. Le cours dessine la raison. Quatre pommes, dont deux rouges, se rangent dans des boîtes de deux : une boîte rouge sur deux boîtes. \(2:4\) compte des pommes, \(1:2\) compte des boîtes ; les deux décrivent les mêmes pommes. Diviser les deux termes par \(2\), c'est compter par boîtes de \(2\) au lieu de compter les pommes ; multiplier par \(2\) ramène aux pommes : le nombre change l'unité de compte de toute l'image, donc il agit sur les deux termes. Les mêmes pommes peuvent aussi se ranger en lots mélangés, chacun avec \(1\) pomme rouge parmi \(2\) pommes : alors \(2:4\), c'est le lot \(1:2\) pris deux fois, et le multiplicateur compte les lots. Des ratios équivalents, c'est le même lot, pris plus ou moins de fois. Dans les deux lectures, nommer d'abord le groupe, une boîte de \(2\) ou un lot \(1:2\), puis lire le nombre. Le cours dessine ensuite le geste par deux flèches, l'une au-dessus pour les premiers termes, l'autre au-dessous pour les seconds, avec le même multiplicateur : Comme , les ratios sont équivalents : \(\textcolor{colordef}{1}:\textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{colordef}{2}:\textcolor{colorprop}{4}\) Le même geste, encore et encore. Les quatre situations du tableau du début ne sont pas quatre règles : ce sont quatre usages de ces flèches. La proportionnalité passe par le groupe d'une unité ; la fraction d'une quantité prend \(2\) sur \(3\) ; le pourcentage réécrit le ratio avec un tout de \(100\) ; l'échelle le réécrit avec un premier terme égal à \(1\).
L'entrée par le ratio ne s'oppose pas à l'entrée par la fonction, que la tradition française a construite avec de bonnes raisons. Elle y mène : la valeur pour une unité, lue sur le ratio \(1:k\), est le coefficient de proportionnalité ; en 5e le coefficient devient une grandeur (une vitesse, un prix au kilo) ; en 3e il devient le coefficient de la fonction linéaire \(x \longmapsto kx\).
Ce guide ne prétend pas que les élèves qui apprennent ainsi réussissent mieux : aucune étude ne l'a mesuré sur ces cours. Il dit quelque chose de plus modeste et de plus utile en classe : un seul geste, avec une raison que les élèves savent dire, sert à quatre endroits, et chaque nouveau chapitre part de ce qu'ils font déjà.

Chaque chapitre reprend le geste où l'année précédente l'a laissé, puis va un pas plus loin. Le tableau donne ce pas et le lien vers le chapitre.

Classe	Chapitre	Ce qui est nouveau
CM1	La proportionnalité	reconnaître une situation de proportionnalité ; trouver une valeur manquante, en passant par l'unité
CM2	La proportionnalité	la même chose, puis ajouter des quantités et résoudre en plusieurs étapes
CM2	Les fractions	« la moitié de », c'est multiplier par \(\frac12\) ; les deux tiers de \(12\) pommes
6e	Ratio et proportionnalité	le ratio, partie-partie et partie-tout ; les ratios équivalents ; prendre une fraction d'une quantité ; la proportionnalité par les ratios équivalents ; l'échelle d'un plan
6e	Les pourcentages	un pourcentage, \(42\) sur \(100\) ; du ratio au pourcentage ; comparer avec des pourcentages ; calculer une partie
5e	Proportionnalité	le coefficient est une grandeur ; la quatrième proportionnelle : coefficient, produit en croix, retour à l'unité ; le graphique ; les pourcentages ; les échelles
4e	Proportionnalité	le ratio, nommé ; ratios et égalités de rapports ; la quatrième proportionnelle et les produits en croix ; le partage proportionnel
4e	Pourcentages	calculer avec des pourcentages ; les évolutions en pourcentage
3e	Proportionnalité	reconnaître et représenter ; les procédés de calcul ; proportionnalité et pourcentages
2de	Proportions et évolutions	la proportion d'une partie dans un tout ; les évolutions en pourcentage

Dans le cours. En 6e, le chapitre Ratio et proportionnalité s'ouvre sur la définition : « Un ratio est une comparaison de deux quantités. Le ratio de \(2\) par rapport à \(3\) s'écrit \(2:3\) (lu “\(2\) pour \(3\)”). » La version française ajoute qu'on emploie souvent le mot rapport à la place de ratio : c'est le pont avec le vocabulaire du programme. Le chapitre distingue ensuite les deux sortes de comparaison, et les dessine. Un ratio partie-partie compare deux parties distinctes d'un même tout : deux barres séparées. Un ratio partie-tout compare une partie avec le tout : la barre du tout au-dessus des barres de ses parties. La 4e reprend ces définitions dans sa section « Le ratio », puis les prolonge : trois nombres peuvent être dans un ratio \(p:q:r\), et le français dit rapport pour le quotient de deux grandeurs.
Le sens pour l'élève. La lecture du cours est déjà une phrase : \(2:3\) se lit « \(2\) pour \(3\) ». Un ratio, c'est une phrase avec deux noms : « \(3\) cerises pour \(2\) pommes ». Demander la phrase avant les nombres, et écrire les noms au-dessus des nombres pendant les premières semaines : cerises : pommes \(= 3:2\). L'ordre des noms donne l'ordre des nombres ; changer l'ordre change le ratio. Cette lecture « pour » servira encore pour la fraction d'une quantité : « \(2\) pour \(3\) ».
Les exercices. Trouver un ratio dans une image, puis les autres ratios de la même image : chaque partie par rapport à l'autre, chaque partie par rapport au tout.
Point de vigilance. Un ratio partie-partie lu comme une part du tout. Dans le bol de fruits du cours, \(3\) cerises et \(2\) pommes, le ratio cerises : pommes \(= 3:2\) ne dit pas que les cerises sont les \(\dfrac32\) des fruits : elles en sont les \(\dfrac{3}{3+2} = \dfrac35\). Les barres répondent : le tout, ce sont les deux barres mises bout à bout, \(3+2=5\). Faire dire à chaque fois ce que l'on compare à quoi.

Dans le cours. En 6e, la définition opératoire vient avec la notion : « Deux ratios sont équivalents quand on obtient l'un à partir de l'autre en multipliant (ou en divisant) les deux parties du ratio par le même nombre non nul. » L'exemple des boîtes et les deux flèches sont ceux de la section « Pourquoi commencer par le ratio ». En 4e, la section « Ratios et égalités de rapports » reprend le même geste : multiplier ou diviser chaque terme d'un ratio par le même nombre non nul ne change pas le ratio, et l'égalité de deux rapports devient une égalité de quotients.
Le sens pour l'élève. Les boîtes donnent la raison de la règle (section « Pourquoi commencer par le ratio ») : les deux termes se comptent avec la même boîte de \(2\), donc on divise les deux par \(2\) ; en lots mélangés, le diviseur est le nombre de lots. Demander « des boîtes de combien ? » ou « combien de lots ? » avant « par combien ? ».
Les exercices. Simplifier ; trouver le terme manquant ; reconnaître des ratios égaux. Un exercice rédigé de 6e pose la question des boissons : Léa mélange \(2\) tasses de sirop avec \(3\) tasses d'eau, Tom \(3\) tasses de sirop avec \(5\) tasses d'eau ; quelle boisson a le plus le goût du sirop ? Réécrites avec la même quantité d'eau, \(2:3=10:15\) et \(3:5=9:15\), les deux boissons se dessinent par des barres dont les barres d'eau ont la même longueur, et la réponse se lit sur le dessin : celle de Léa.
Point de vigilance. Le même nombre ajouté aux deux termes : \(2:3\) devient \(4:5\) en ajoutant \(2\). Cela garde l'écart, pas le ratio. Les lots répondent : \(2:3\) pris deux fois, c'est \(4:6\), et \(4:5\) n'est pas fait de lots \(2:3\).

Dans le cours. Au CM1 et au CM2, la définition dit le geste sans le mot : « Deux grandeurs sont en situation de proportionnalité quand, chaque fois que l'une est multipliée (ou divisée) par un nombre, l'autre est multipliée (ou divisée) par le même nombre » — « si j'achète \(3\) fois plus de pains, je paie \(3\) fois plus ». Le passage à l'unité suit : si \(4\) stylos coûtent \(12\) euros, combien coûtent \(7\) stylos ? $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }1\text{ stylo} &= \textcolor{colorprop}{12} \div \textcolor{colordef}{4} = \textcolor{olive}{3} && \text{(diviser par }\textcolor{colordef}{4}) \\ \text{Prix de }7\text{ stylos} &= \textcolor{olive}{3} \times \textcolor{colordef}{7} = \textcolor{colorprop}{21} && \text{(multiplier par }\textcolor{colordef}{7}) \end{aligned}$$ En 6e, le chapitre Ratio et proportionnalité définit la proportionnalité par les ratios : « Deux grandeurs sont proportionnelles quand tous les couples de valeurs qui se correspondent, en dehors du couple \(0\) pour \(0\), forment des ratios équivalents : \(2\) kg pour \(8 \Euro\), \(3\) kg pour \(12 \Euro\), \(1\) kg pour \(4 \Euro\), c'est-à-dire \(2:8 = 3:12 = 1:4\). » Les flèches du ratio servent telles quelles : « Le couple \(1\) kg pour \(4 \Euro\) donne la valeur pour une unité : le prix au kilo. » Une méthode écrit ensuite la même situation de quatre façons : les ratios d'abord, puis le tableau, la flèche, et la notation de la fonction. En 5e, la quatrième proportionnelle se calcule par le coefficient, par le produit en croix dans un tableau, et par le retour à l'unité du chapitre Ratio : \(5\) pommes coûtent \(10 \Euro\), une pomme \(2 \Euro\), \(8\) pommes \(16 \Euro\), écrits comme une chaîne de fractions égales reliées par des flèches. En classe, commencer par l'unité, que les élèves savent déjà dire. En 4e, les produits en croix deviennent une propriété, avec cet avertissement du cours : « Les produits en croix ne doivent pas devenir automatiques : quand un coefficient ou un multiple est visible, les procédures plus simples restent le meilleur chemin. »
Le sens pour l'élève. L'unité choisie sert de référence : un stylo, un kilogramme, une place. « Combien pour un ? », les élèves le demandent déjà dans un magasin. Une fois la valeur pour une unité connue, n'importe quel nombre d'unités est une multiplication. Le CM1 fait ce geste sans le mot ; la 6e lui donne une écriture qui garde les deux quantités, \(2:8 = 1:4 = 3:12\).
Le coefficient se lit sur \(1:k\). Dans l'ordre du cours de 6e, kilogrammes pour euros, le couple d'une unité est \(1:4\), et le coefficient de proportionnalité, \(4 \Euro\) par kilogramme, est le second terme de ce ratio. Ce n'est pas le quotient \(\dfrac28 = \dfrac14\), qui donne des kilogrammes par euro. Garder les deux à part : le nombre qui passe d'un couple à l'autre (\(\times 3\)) n'a pas d'unité ; le coefficient en a une.
Les exercices. Reconnaître une situation de proportionnalité ; compléter un tableau en raisonnant ; calculer une quatrième proportionnelle, en choisissant le chemin ; en 5e, choisir la procédure adaptée.
Point de vigilance. Les deux couples écrits dans des ordres différents : \(2\) kg pour \(8 \Euro\) écrit \(2:8\), puis \(3\) kg pour \(x\) euros écrit \(x:3\). Demander les noms au-dessus des nombres ; les flèches ne marchent qu'entre deux couples écrits dans le même ordre.

Dans le cours. Au CM2, le chapitre des fractions donne deux lectures du même calcul, comme un partage (\(4\div 2 = 2\)) et comme une multiplication (\(\dfrac12\times 4 = 2\)) : « La lecture partage est celle qui calcule ; la lecture multiplication est celle qui écrit. » Puis les deux tiers de \(12\) pommes : les deux tiers, ce sont deux parts d'un tiers ; partager les \(12\) pommes en \(3\) parts égales, en prendre \(2\).    \((12\div 3)\times 2 = 8\), qui s'écrit \(\dfrac23\times 12 = 8\), et se vérifie : la part qui n'est pas prise, \(4\) pommes, complète \(12\). En 6e, la section « Prendre une fraction d'une quantité » reprend la règle du chapitre des fractions : pour prendre \(\dfrac23\) de \(18\), diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur, ce qui est exactement la multiplication \(\dfrac{a}{b}\times N\).
Le sens, et la lecture « 2 pour 3 ». Le ratio donne une troisième lecture, que les cours ne développent pas encore et que le guide propose pour la classe : les deux tiers de \(12\), c'est « \(2\) pour \(3\) ». On fait des lots de \(3\) pommes, et l'on prend \(2\) pommes dans chaque lot. Quatre lots, donc \(8\) pommes : \(2:3 = 8:12\). C'est la lecture même de la définition de 6e : \(2:3\) se lit « \(2\) pour \(3\) ». Et c'est, lue dans l'autre sens, la proportion que demande le programme de 6e, le rapport entre une partie et le tout : \(8\) pommes sur \(12\), c'est la proportion \(\dfrac{8}{12} = \dfrac23\). Deux nombres sont à garder à part : \(\times 4\) compte les lots, \(\times\dfrac23\) est la multiplication qui prend la part. Avec \(9\) pommes, \(2:3 = 6:9\) : trois lots de trois, deux pris dans chacun, \(6\) pommes.
Les exercices. Prendre une fraction unitaire d'une quantité ; multiplier une quantité par une fraction.
Point de vigilance. Le numérateur pris pour le nombre de parts : les deux tiers de \(12\) calculés comme \(12\div 2\times 3 = 18\), plus que le tout. La figure répond : le dénominateur dit en combien de parts égales on partage le tout, et une partie du tout ne dépasse jamais le tout.

Dans le cours. En 4e, la section « Le partage proportionnel » : « Pour partager une somme proportionnellement à des nombres donnés : on compte les parts, on cherche la valeur d'une part, puis on multiplie. » Partager \(100 \Euro\) entre deux personnes proportionnellement à leurs âges, \(20\) et \(30\) ans : \(20+30 = 50\) parts, une part vaut \(100\div 50 = 2 \Euro\), les parts sont \(40 \Euro\) et \(60 \Euro\), « dans le ratio \(20:30 = 2:3\) ». La 3e reprend la méthode.
Le sens pour l'élève. Partager, c'est encore l'unité. Dessiner le ratio \(2:3\) comme \(5\) boîtes égales, \(2\) pour la première personne et \(3\) pour la seconde, les barres de la 6e : la somme remplit les \(5\) boîtes, une boîte est la valeur d'une part, et chaque part est un nombre de boîtes.
Point de vigilance. La somme divisée par les termes plutôt que par leur somme (\(100\div 2\) et \(100\div 3\)), et les parts lues comme des fractions partie-partie : la première personne reçoit les \(\dfrac25\) de la somme, pas les \(\dfrac23\). Demander : combien de boîtes en tout ?

Dans le cours. En 6e, la définition : « Un pourcentage est une façon d'écrire une fraction de dénominateur \(100\) : \(42\pourcent\), c'est \(\dfrac{42}{100}\), soit \(42\) sur \(100\). Le symbole \(\pourcent\) signifie “pour cent”, ce qui veut dire “sur cent”. » L'exemple qui suit prend un autre pourcentage, sur une grille de \(100\) carrés : \(23\) carrés coloriés sur \(100\), soit \(23\pourcent\) de la grille. Le sens pour l'élève : un ratio sur \(100\). « \(42\) sur \(100\) », c'est un ratio partie-tout dont le tout vaut \(100\) : \(42:100\). La fraction \(\dfrac{42}{100}\) du cours et le ratio \(42:100\) disent la même chose ; le ratio le dit avec les mots des élèves, « \(42\) pour \(100\) », qui sont les mots mêmes de « pour cent ». Tout le reste est le geste : pour écrire un ratio partie-tout en pourcentage, on le réécrit avec un tout de \(100\). Le chapitre de 6e le fait dans sa section « Exprimer une proportion en pourcentage », avec la méthode « Du rapport au pourcentage ». Une classe de \(20\) élèves compte \(12\) filles : \(\dfrac{12}{20} = \dfrac{12\times 5}{20\times 5} = \dfrac{60}{100}\), donc \(60\pourcent\) de filles, « sur \(100\) élèves, \(60\) seraient des filles ». La méthode dessine le geste sur deux grilles : \(5\) filles sur \(25\) deviennent (\(\times 4\)) \(20\) sur \(100\) : \(5:25 = 20:100\). Quand le tout ne divise pas \(100\) (par exemple \(7\) sur \(30\)), le même geste demande le multiplicateur \(\dfrac{100}{30}\), et la formule du cours, \(\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}\times 100\pourcent\), est ce geste fait en une seule fois. En Seconde, le cours le dit en une phrase : « Un pourcentage n'est donc pas un objet nouveau : c'est l'une des trois écritures d'une proportion, celle qui compare la partie à un tout de \(100\). »
Pourquoi \(100\) ? Pour comparer. Le problème d'ouverture de la section suivante : au Parlement A, \(26\) femmes sur \(50\) membres ; au Parlement B, \(60\) sur \(200\). Hugo dit : « Comme il y a plus de femmes au Parlement B, les femmes y sont mieux représentées. » Avec un tout de \(100\) pour les deux, \(26:50 = 52:100\) et \(60:200 = 30:100\) : \(52\pourcent\) contre \(30\pourcent\), et Hugo se trompe. Un pourcentage, c'est un tout commun, choisi une fois pour toutes.
La partie à partir du pourcentage. « Dans une école de \(200\) élèves, \(60\pourcent\) sont des filles. » La correction donne deux méthodes : la formule, \(0{,}60\times 200 = 120\) ; et « pour \(100\) » : \(60\) filles pour \(100\) élèves, \(200 = 2\times 100\), donc \(120\) filles. La seconde, c'est le ratio \(60:100 = 120:200\), dans un tableau. Montrer les deux, la seconde d'abord. Le cours ajoute qu'une proportion, le rapport entre une partie et le tout, ne dépasse jamais \(1\), ni \(100\pourcent\).
Ensuite : les évolutions. Une hausse de \(20\pourcent\) fait passer de \(100\) à \(120\) : nouveau par rapport à ancien, c'est \(120:100\), et sur l'unité \(1{,}2:1\). C'est le coefficient multiplicateur \(1{,}2\) de la 4e, de la 3e et de la Seconde, lu sur un ratio.
Les exercices. Convertir entre les écritures ; passer d'un ratio à un pourcentage ; comparer avec des pourcentages ; calculer une partie, puis le tout.
Point de vigilance. Un pourcentage sans son tout : « \(20\pourcent\) de plus, puis \(20\pourcent\) de moins » ne ramène pas au départ, car le second tout n'est pas le premier. Demander à chaque fois : « \(20\pourcent\) de quoi ? ».

Dans le cours. En 6e, le chapitre Ratio et proportionnalité dit pourquoi un plan marche : les « longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs du plan », et écrit l'échelle par une phrase (« \(1\) cm pour \(2\) m ») ou par une fraction (« échelle \(1/100\) »). En 5e, l'échelle devient « le rapport d'une longueur dessinée sur la longueur réelle correspondante, écrites dans la même unité et simplifié pour ramener le terme dessiné à \(1\) » : \(4\) cm pour \(8\) m, c'est \(4:800 = 1:200\).
Le sens pour l'élève. Une échelle, c'est le ratio plan pour réalité, avec un premier terme égal à \(1\) : le groupe d'un centimètre. Le geste fait le reste : à l'échelle \(1:200\), \(3\) cm sur le plan, c'est \(1:200 = 3:600\), \(600\) cm, soit \(6\) m.
Point de vigilance. Les unités : « \(1\) cm pour \(2\) m », c'est \(1:200\), pas \(1:2\). Écrire les deux longueurs dans la même unité avant d'écrire le ratio.

Dans le cours. Les flèches ne marchent que si un groupe peut se répéter : quand doubler une grandeur double l'autre. En 5e, puis en 3e, le cours le dit sur le graphique : « Une situation est proportionnelle exactement lorsque les points de son graphique sont alignés avec l'origine. » Il montre aussi les deux contre-exemples : des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine, et une courbe qui passe par l'origine sans que les points soient alignés ; les deux conditions sont nécessaires.
Le sens pour l'élève. Avant de se servir des flèches, les essayer : si l'on double une grandeur, l'autre double-t-elle ? Un échec suffit à écarter la proportionnalité. Une réussite ne la prouve pas : dans le tableau \(1\) pour \(2\), \(2\) pour \(4\), \(3\) pour \(7\), doubler \(1\) double bien \(2\), et pourtant \(3:7\) n'est pas égal à \(1:2\) ; l'essai ne voit que les couples qu'il double. Vérifier le ratio sur tous les couples des données, et dire pourquoi la situation devrait être proportionnelle : le même prix pour chaque place. Un taxi avec une prise en charge, l'aire d'un carré et son côté, l'âge de deux personnes : chaque fois, les flèches donnent une réponse fausse, et les élèves peuvent dire pourquoi.

« Toutes les places ont le même prix. \(4\) places coûtent \(28 \Euro\). Combien coûtent \(6\) places ? » C'est l'exemple du cours de 5e, avec des billets, qui le résout par le coefficient puis par le produit en croix dans un tableau. La 4e le reprend par les ratios équivalents, avec la figure ci-dessous. Une seule tâche, cinq chemins. Demander aux élèves les leurs avant d'en montrer un.

• Par l'unité. Places pour euros, \(4:28 = 1:7 = 6:42\) : une place coûte \(7 \Euro\), la valeur pour une unité, et \(6\) places coûtent \(42 \Euro\). C'est le retour à l'unité de la 6e, écrit avec des ratios.
• Par un groupe plus petit. \(4:28 = 2:14 = 6:42\) (diviser par \(2\), puis multiplier par \(3\)) : deux places pour \(14 \Euro\), trois fois.
• Par le coefficient. \(28\div 4 = 7\) euros par place, puis \(7\times 6 = 42\) : la première méthode du cours de 5e.
• En une seule étape. \(6 = 4\times\dfrac32\), donc \(28\times\dfrac32 = 42\). Juste ; ce chemin demande de reconnaître le facteur \(\dfrac32\).
• Par le produit en croix. \(\dfrac{28}{4} = \dfrac{x}{6}\), donc \(4\times x = 28\times 6\) et \(x = 42\). Juste, et aveugle : rien dans le calcul ne dit que le prix est proportionnel au nombre de places.

Ce que décident les nombres. Aucun \(1\) dans les données : l'élève doit fabriquer l'unité. Le prix d'une place est entier, donc le chemin par l'unité reste dans les entiers. Changer un nombre change le meilleur chemin. Avec \(8\) places au lieu de \(6\), le groupe double : \(4:28 = 8:56\), en une étape. Avec \(30 \Euro\) au lieu de \(28 \Euro\), une place coûte \(7{,}50 \Euro\) et le groupe plus petit est plus simple : \(4:30 = 2:15 = 6:45\). Donner les trois versions à la suite, et demander à chacun quel chemin il a pris, et pourquoi.
Les réponses à attendre. « \(6\), c'est \(4+2\), donc \(28+2 = 30\) » : la réponse additive, la mieux documentée par la recherche sur le raisonnement proportionnel. Un seul terme multiplié, \(6:28\). Les deux couples écrits dans des ordres différents, \(\dfrac{4}{28} = \dfrac{x}{6}\). Et, une fois le produit en croix connu, le même calcul appliqué à un taxi avec une prise en charge. Chacune a sa réponse dans les sections précédentes : le groupe, les noms au-dessus des nombres, l'essai du double et la vérification sur tous les couples.

Le même nombre ajouté aux deux termes. \(2:3\) devient \(4:5\), ou « \(6\) places coûtent \(30 \Euro\) » à partir de \(4\) pour \(28 \Euro\). Les lots et les flèches répondent : ajouter le même nombre aux deux termes ne conserve généralement pas le ratio ; des ratios égaux, c'est le même lot pris plus ou moins de fois. Ce que l'on peut ajouter, terme à terme, ce sont deux couples d'une même situation de proportionnalité : \(4\) places pour \(28 \Euro\) et \(2\) places pour \(14 \Euro\) font \(6\) places pour \(42 \Euro\). Un seul terme multiplié. \(2:3 = 4:3\). Deux lots \(2:3\) font \(4:6\) : prendre le lot deux fois double les deux termes. Deux couples écrits dans des ordres différents. Les flèches relient alors un prix à un nombre de places. Écrire les noms au-dessus des nombres tant que l'habitude n'est pas prise. Un ratio partie-partie lu comme une part du tout. Cerises pour pommes \(3:2\) lu « les cerises sont les \(\dfrac32\) des fruits ». Les deux barres : le tout fait \(3+2 = 5\), et les cerises en sont les \(\dfrac35\). Le numérateur pris pour le nombre de parts. Les deux tiers de \(12\) calculés comme \(18\). La figure des pommes partagées : le dénominateur dit en combien de parts égales on coupe le tout ; une partie ne dépasse jamais le tout. Les parts divisées par les termes. \(100 \Euro\) partagés selon le ratio \(2:3\) calculés comme \(100\div 2\) et \(100\div 3\). Cinq boîtes, pas deux ni trois. Le coefficient confondu avec le quotient du ratio. En kilogrammes pour euros, \(2:8 = 1:4\) : le prix au kilo est \(4 \Euro\), le second terme de \(1:4\), pas \(\dfrac14\). Lire le coefficient sur le couple d'une unité. Un pourcentage sans son tout. \(20\pourcent\) de plus, puis \(20\pourcent\) de moins, lus comme un retour au départ. Demander « \(20\pourcent\) de quoi ? ». Une échelle avec deux unités. « \(1\) cm pour \(2\) m » écrit \(1:2\). La même unité d'abord : \(1:200\). Les flèches là où elles ne marchent pas. Un taxi avec une prise en charge, l'aire d'un carré, une cuve qui se vide. L'essai du double pour les écarter, la vérification sur tous les couples pour les garder ; en 5e et en 3e, les points alignés avec l'origine.
La réponse additive est la mieux documentée de ces erreurs ; les autres viennent de la lecture des cours et de leurs exercices, et sont données comme des points à surveiller, non comme des fréquences mesurées.

• Partir d'un groupe que les élèves peuvent tenir. Un verre de jus, \(1\) citron pour \(2\) oranges ; un carnet de \(4\) places ; un sac de pommes rangées dans des boîtes. Demander la phrase avec ses deux noms avant tout nombre.
• Dessiner avant d'écrire. Des boîtes, des barres, puis des flèches. Les flèches viennent en dernier, quand les élèves savent dire ce que compte chaque nombre.
• Nommer le groupe, puis compter les groupes. Dire d'abord ce que contient un groupe, un lot de \(1\) citron et \(2\) oranges ; puis demander « combien de lots ? » avant « par combien ? ». Dire les deux garde son sens au geste.
• Comparer deux boissons. \(2\) tasses de sirop pour \(3\) d'eau contre \(3\) pour \(5\) : réécrire avec la même quantité d'eau, dessiner les barres, lire la réponse sur le dessin.
• Faire des groupes avec des objets. Douze jetons en lots de trois, deux pris dans chaque lot : les deux tiers de \(12\), « \(2\) pour \(3\) ». Puis neuf jetons.
• Prendre une grille de \(100\). « Pour \(100\) » avant la formule ; puis un tout de \(25\), de \(20\), de \(200\).
• Essayer les flèches. Devant chaque situation nouvelle, doubler une grandeur et demander si l'autre double. Un non clôt la question ; un oui n'est qu'une première idée : vérifier le ratio sur tous les couples, et chercher la raison dans la situation.
• Garder le geste, choisir le mot. En 6e, le mot « ratio » est une avance sur le programme. On peut dire « rapport », ou simplement « pour » : le geste et les noms restent les mêmes, et la 4e n'aura plus qu'à nommer ce que la classe fait déjà.

Une fraction est un nombre. Un ratio garde deux quantités, chacune avec son nom, dans un ordre. Un ratio partie-tout donne aussitôt une fraction du tout : oranges pour tous les fruits \(2:3\), les oranges sont les \(\dfrac23\) des fruits. Un ratio partie-partie, non : cerises pour pommes \(3:2\), et les cerises sont les \(\dfrac35\) des fruits, pas les \(\dfrac32\). La fraction \(\dfrac{a}{b}\) d'un ratio \(a:b\) compare la première quantité à la seconde ; ce n'est une part du tout que si la seconde quantité est le tout.

Les cours écrivent \(a:b\) pour un ratio partie-partie comme pour un ratio partie-tout. Une seule écriture s'apprend une seule fois ; la question « que compare-t-on à quoi ? » décide du sens, et les noms écrits avec les nombres y répondent. Deux écritures cacheraient cette question au lieu de la poser.

L'un ou l'autre, pourvu que les deux couples soient écrits dans le même ordre et que les noms soient écrits. Le cours de 6e écrit les kilogrammes avant les euros : le couple d'une unité est \(1:4\), et le prix au kilo est son second terme. Le retour à l'unité repris en 5e écrit le prix au-dessus du nombre de pommes : la fraction \(\dfrac21\) est alors le prix d'une pomme. Choisir un ordre avec la classe, et le garder pendant tout un chapitre.

Oui, et en dernier en classe. C'est le bon outil quand les nombres cachent le groupe ; les cours le montrent en 5e dans un tableau, à côté du coefficient et du retour à l'unité, et en font une propriété des fractions égales en 4e. Il est aussi aveugle : il ne marche qu'entre deux couples d'une situation de proportionnalité écrits dans le même ordre, et rien dans le calcul ne vérifie l'une ou l'autre condition. D'où la phrase du cours de 4e : les produits en croix « ne doivent pas devenir automatiques ».

De trois façons, qui donnent le même nombre. Comme un partage : \(9\div 3 = 3\), un tiers fait \(3\) pommes, deux tiers font \(6\). Comme un ratio, « \(2\) pour \(3\) » : des lots de \(3\) pommes, \(2\) prises dans chaque lot, \(2:3 = 6:9\). Comme une multiplication : \(\dfrac23\times 9 = 6\). Avec \(9\) pommes, les deux rangements se ressemblent, trois groupes de trois ; la différence, c'est que le partage prend deux groupes entiers, le ratio deux pommes dans chaque lot. Avec \(12\) pommes, la différence se voit : trois groupes de quatre, ou quatre lots de trois.

En 6e, le mot arrive avant le programme, le geste non : la proportionnalité est au programme dès le CM1, le retour à l'unité et la proportion d'une partie dans le tout en 6e. Le mot « ratio » ne fait que nommer ce geste, et l'écriture \(a:b\) garde les deux quantités sous les yeux. Un enseignant qui préfère attendre la 4e pour le mot peut dire « rapport », ou « pour » : le geste reste le même.

Le guide Comment enseigner les fractions suit la fraction comme nombre, puis comme outil : son second temps retrouve le ratio, le pourcentage et l'échelle du côté de la fraction. Les chapitres de ce guide sont dans la section « Le parcours, classe par classe ».