Éducation Nationale Française · Première Technologie

Dérivation (STI2D, STL)

⌚ ~210 min ▢ 24 blocs ✓ 107 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Nombre dérivé et tangente, Fonction dérivée et variations, Trigonométrie (STI2D, STL)

I Notations et dérivées des puissances

I.1 Notations du taux de variation et du nombre dérivé

La dérivée d'une fonction mesure son taux de variation instantané. Ce concept est fondamental pour décrire comment une quantité change par rapport à une autre. Par exemple, la vitesse est le taux de variation de la position par rapport au temps, et l'accélération est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps.

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Définition — Taux de variation moyen et instantané

Pour une fonction $y=f(x)$ :

Le taux de variation moyen sur l'intervalle $[x_1\,;\,x_2]$ est la pente de la droite sécante : $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}. $$
Le taux de variation instantané en $x=a$ est la dérivée de la fonction en ce point : $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=a} = f'(a). $$

Définition — Notation de Leibniz

Soit $y$ une fonction de $x$, c'est-à-dire $y=f(x)$.
La fonction dérivée peut s'écrire :$$ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x) $$ Ceci se lit « dé y sur dé x » et représente la dérivée de $y$ par rapport à la variable $x$.

Le terme $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ doit être considéré comme un seul opérateur, et non comme une fraction. Cependant, il provient de l'idée de la fraction $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ lorsque la variation de $x$ devient infinitésimale.
On peut aussi utiliser la notation $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]$, qui se lit « la dérivée par rapport à $x$ de $f(x)$ ».
En un point $x_0$, $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_0)$ ou $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)$ désigne le nombre dérivé $f'(x_0)$ ; quand la variable est le temps $t$, on écrit $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(t_0) = f'(t_0)$.

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Compétences à pratiquer

Lire et traduire les notations

I.2 Dérivées de $x^n$, de $\frac{1}{x}$ et des polynômes

On commence par les règles fondamentales qui s'appliquent aux composantes les plus courantes des fonctions, telles que les constantes, les puissances et les combinaisons arithmétiques simples. Ces règles peuvent être utilisées pour dériver n'importe quelle fonction polynomiale, ainsi que de nombreuses autres fonctions simples, sans avoir à recourir à chaque fois à la définition par la limite.

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Proposition — Dérivées des fonctions de référence

\renewcommand{\arraystretch}{1.6}

Fonction $f$	$f$ est dérivable pour	Dérivée $f'$
$f(x) = k$ (constante)	tout $x \in \mathbb{R}$	$f'(x) = 0$
$f(x) = x$	tout $x \in \mathbb{R}$	$f'(x) = 1$
$f(x) = x^2$	tout $x \in \mathbb{R}$	$f'(x) = 2x$
$f(x) = x^3$	tout $x \in \mathbb{R}$	$f'(x) = 3x^2$
$f(x) = x^n$ avec $n \in \mathbb{Z}$, $n \geq 1$	tout $x \in \mathbb{R}$	$f'(x) = nx^{n-1}$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$x \neq 0$	$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
$f(x) = x^n$ avec $n \in \mathbb{Z}$, $n \leq -1$	$x \neq 0$	$f'(x) = nx^{n-1}$
$f(x) = \sqrt{x}$	$x > 0$	$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Proposition — Règles de dérivation de base

Règle de la constante : Si $f(x)=c$, alors $f'(x)=0$.
Règle de la puissance : Si $f(x)=x^n$, alors $f'(x)=nx^{n-1}$ pour tout entier $n$ — en tout $x \neq 0$ lorsque $n < 0$ ; pour $n = 0$, $f$ est constante et $f' = 0$ (et, admis, pour tout réel $n$ lorsque $x > 0$).
Produit par une constante : Si $f(x)=c \cdot u(x)$ avec $u$ dérivable, alors $f'(x)=c \cdot u'(x)$.
Règle de la somme : Si $f(x)=u(x) + v(x)$ avec $u$ et $v$ dérivables, alors $f'(x)=u'(x) + v'(x)$.

Une seule formule pour les puissances

Les lignes de la table, de la constante à $\dfrac{1}{x}$, sont une seule et même formule, $(x^n)' = nx^{n-1}$, appliquée avec un entier $n \geq -1$ (en $x \neq 0$ lorsque $n \leq 0$) : \renewcommand{\arraystretch}{1.5}

$n$	$x^n$	$nx^{n-1}$	ligne de la table
$-1$	$x^{-1} = \dfrac{1}{x}$	$(-1)\,x^{-2}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$0$	$x^0 = 1$	$0 \times x^{-1} = 0$	constante : $0$
$1$	$x^1 = x$	$1 \times x^0 = 1$	$1$
$2$	$x^2$	$2x^1$	$2x$
$3$	$x^3$	$3x^2$	$3x^2$

Retenir cette seule formule suffit pour retrouver ces lignes : écrire $\dfrac{1}{x}$ sous la forme $x^{-1}$ et une constante $k$ sous la forme $k\,x^0$ permet de l'appliquer terme à terme. (Une fonction constante a aussi pour dérivée $0$ en $x = 0$, comme le dit la table : la restriction $x \neq 0$ ne vient que de la puissance $x^{-1}$ dans $0 \times x^{-1}$.)

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Compétences à pratiquer

Appliquer la formule de $x^n$
Dériver une somme de puissances
Utiliser la formule unifiée

II Calculer une fonction dérivée

II.1 Dérivée d'un produit

Alors que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, ce n'est pas le cas pour un produit. Pour déterminer la dérivée d'une fonction qui est le produit de deux autres fonctions, comme $f(x) = (x^2+1)\sqrt{x}$, on doit utiliser une formule spécifique appelée la règle du produit.

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Proposition — Règle du produit

Si $f(x)=u(x)v(x)$ avec $u$ et $v$ dérivables, alors$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ En notation de Leibniz, si $y=u\cdot v$ :$$ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v + u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} $$

Preuve

Soit $u$ et $v$ dérivables en $x$. Au numérateur du taux de variation, on retranche et on ajoute le même terme $u(x)v(x+h)$ : $$\begin{aligned} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\times v(x+h) + u(x)\times \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}. \end{aligned}$$ On fait maintenant tendre $h$ vers $0$ :

$\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} u'(x)$ et $\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} v'(x)$ (définition du nombre dérivé) ;
$v(x+h) \xrightarrow[h \to 0]{} v(x)$, car $v(x+h) - v(x) = h \times \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 0 \times v'(x) = 0$.

Par les règles sur les limites (produit et somme), le taux de variation tend vers $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$, ce qui prouve $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

En mots : « La dérivée de la première multipliée par la seconde, plus la première multipliée par la dérivée de la seconde. »

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Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = (x+1)(x^2+3)$.

Correction

Avec la notation $f'(x)$ :
Pour $f(x)=u(x)v(x)$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=x^2+3$, les dérivées sont $u'(x)=1$ et $v'(x)=2x$.$$\begin{aligned}f'(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ &= (1)(x^2+3) + (x+1)(2x) \\ &= x^2+3 + 2x^2+2x \\ &= 3x^2+2x+3\end{aligned}$$
Avec la notation de Leibniz ($y=f(x)$) :
Pour $y=uv$ avec $u=x+1$ et $v=x^2+3$, les dérivées sont $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1$ et $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=2x$.$$\begin{aligned}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v + u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \\ &= (1)(x^2+3) + (x+1)(2x) \\ &= x^2+3 + 2x^2+2x \\ &= 3x^2+2x+3\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Dériver avec la règle du produit
Rédiger une dérivée avec la règle du produit

II.2 Dérivée de l'inverse

On connaît la dérivée de la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$. Qu'en est-il de l'inverse d'une fonction quelconque, $x \mapsto \dfrac{1}{v(x)}$, comme $\dfrac{1}{x^2+1}$ ou $\dfrac{1}{2x-3}$ ? La réponse est la formule de dérivation de l'inverse, qui prépare aussi celle du quotient.

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Proposition — Dérivée de l'inverse d'une fonction

Si $v$ est dérivable sur un intervalle $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $f = \dfrac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ et $$ f'(x) = \left(\dfrac{1}{v}\right)'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}. $$ Pour $v(x) = x$, on retrouve $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$, puis de $g(x) = \dfrac{1}{2x-3}$ sur $\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[$.

Correction

Pour $f$ : $v(x) = x^2+1$ ne s'annule jamais et $v'(x) = 2x$, donc $$ f'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2} = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}. $$ Pour $g$ : $v(x) = 2x-3$ est strictement positif sur $\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[$ et $v'(x) = 2$, donc $$ g'(x) = -\dfrac{2}{(2x-3)^2}. $$

Compétences à pratiquer

Dériver avec la formule de l'inverse
Rédiger la dérivée de l'inverse d'une fonction

II.3 Dérivée d'un quotient

Tout comme pour les produits, déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions nécessite une formule spécifique. La règle du quotient est utilisée pour dériver des fonctions de la forme $f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$, telles que $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+1}$.

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Proposition — Règle du quotient

Si $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u$ et $v$ dérivables et $v(x) \neq 0$, alors$$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$ En notation de Leibniz, $y=\dfrac{u}{v}$, alors$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v - u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} $$

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = \frac{x}{x+1}$.

Correction

Avec la notation $f'(x)$ :
Pour $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=x+1$, les dérivées sont $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$.$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x+1-x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$
Avec la notation de Leibniz $(y=f(x))$ :
Pour $y=\frac{u}{v}$ avec $u=x$ et $v=x+1$, les dérivées sont $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1$ et $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=1$.$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v - u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} \\ &= \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x+1-x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Dériver un quotient et vérifier les règles
Rédiger une dérivée avec la règle du quotient
Étudier les variations et les extremums : niveau 2

II.4 Dérivée de $x \mapsto g(ax+b)$

De nombreuses fonctions s'obtiennent en remplaçant la variable d'une fonction de référence $g$ par une expression affine $ax+b$ : $\sqrt{2x+1}$ (avec $g(X) = \sqrt{X}$), $(3x-1)^2$ (avec $g(X) = X^2$), $\dfrac{1}{4x+2}$ (avec $g(X) = \dfrac{1}{X}$). Leur dérivée se déduit de celle de $g$ par une règle simple.

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Proposition — Dérivée de $x \mapsto g(ax+b)$

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, et $a$, $b$ deux réels. La fonction $f$ définie par $f(x) = g(ax+b)$ est dérivable en tout $x$ tel que $ax+b \in J$, et $$ f'(x) = a \times g'(ax+b). $$

Exemple

Déterminer la dérivée de chaque fonction.

$f(x) = (3x-1)^2$ sur $\mathbb{R}$.
$f(x) = \sqrt{2x+1}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.
$f(x) = \dfrac{1}{4x+2}$ pour $x \neq -\dfrac{1}{2}$.

Correction

$f(x) = g(3x-1)$ avec $g(X) = X^2$, $g'(X) = 2X$ et $a = 3$ : $$ f'(x) = 3 \times 2(3x-1) = 6(3x-1) = 18x - 6. $$ Vérification : en développant, $f(x) = 9x^2 - 6x + 1$, dont la dérivée est bien $18x - 6$.
$f(x) = g(2x+1)$ avec $g(X) = \sqrt{X}$, $g'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}$ (pour $X > 0$) et $a = 2$ : $$ f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}. $$
$f(x) = g(4x+2)$ avec $g(X) = \dfrac{1}{X}$, $g'(X) = -\dfrac{1}{X^2}$ (pour $X \neq 0$) et $a = 4$ : $$ f'(x) = 4 \times \left(-\dfrac{1}{(4x+2)^2}\right) = -\dfrac{4}{(4x+2)^2}. $$

Compétences à pratiquer

Dériver $g(ax+b)$
Rédiger la dérivée de $x \mapsto g(ax+b)$

II.5 Dérivées de sinus et cosinus

Proposition — Dérivées de sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :$$ \sin'(x) = \cos(x) \quad \text{et} \quad \cos'(x) = -\sin(x) $$

Proposition — Variations de sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus étant $2\pi$-périodiques, leur étude peut être restreinte à un intervalle d'amplitude $2\pi$, comme $[-\pi\,;\,\pi]$. Leurs variations sur cet intervalle sont données par les tableaux suivants :

Proposition — Dérivées de $\sin(ax+b)$ et de $\cos(ax+b)$

Soient $a$ et $b$ deux réels. Les fonctions $x \mapsto \sin(ax+b)$ et $x \mapsto \cos(ax+b)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et :

la dérivée de $x \mapsto \sin(ax+b)$ est $x \mapsto a\cos(ax+b)$ ;
la dérivée de $x \mapsto \cos(ax+b)$ est $x \mapsto -a\sin(ax+b)$.

Exemple

Déterminer la dérivée de chaque fonction, définie sur $\mathbb{R}$.

$f(x) = \sin(2x + 1)$
$g(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Correction

$f(x) = \sin(2x + 1)$ est de la forme $\sin(ax+b)$ avec $a = 2$ et $b = 1$, donc$$ f'(x) = a\cos(ax+b) = 2\cos(2x+1). $$
$g(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ est de la forme $\cos(ax+b)$ avec $a = \dfrac{1}{2}$ et $b = 0$, donc$$ g'(x) = -a\sin(ax+b) = -\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right). $$

Proposition — Dérivées d'un signal sinusoïdal

Soit $A \gt 0$ (l'amplitude), $\omega \gt 0$ (la pulsation) et $\varphi$ (la phase à l'origine) des réels. Les fonctions $t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)$ et $t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et$$\textcolor{colorprop}{\left(A\cos(\omega t + \varphi)\right)' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), \qquad \left(A\sin(\omega t + \varphi)\right)' = A\omega\cos(\omega t + \varphi).}$$La dérivée d'un signal sinusoïdal est un signal sinusoïdal de même pulsation : dériver multiplie l'amplitude par $\omega$. Comme $-\sin\theta = \cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$, elle est aussi décalée d'un quart de période : $-A\omega\sin(\omega t + \varphi) = A\omega\cos\left(\omega t + \varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Exemple

Dériver $f(t) = 3\cos\left(2t - \dfrac{\pi}{4}\right)$ et $g(t) = 0{,}5\sin(100\pi t)$.
Une masse suspendue à un ressort oscille ; sa position, en mètres, mesurée depuis sa position d'équilibre, vaut $y(t) = 0{,}04\cos(5t)$, avec $t$ en secondes. Calculer sa vitesse $v(t) = y'(t)$ et sa vitesse maximale en valeur absolue, la plus grande valeur de $|v(t)|$. Où se trouve la masse quand elle va à cette vitesse ?

Correction

$f(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ avec $A = 3$, $\omega = 2$, $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$ : $$f'(t) = -3 \times 2\sin\left(2t - \frac{\pi}{4}\right) = -6\sin\left(2t - \frac{\pi}{4}\right).$$ $g(t) = A\sin(\omega t)$ avec $A = 0{,}5$, $\omega = 100\pi$ : $$g'(t) = 0{,}5 \times 100\pi\cos(100\pi t) = 50\pi\cos(100\pi t).$$
$$\begin{aligned}[t] v(t) &= y'(t) = -0{,}04 \times 5\sin(5t) &&\text{(} (A\cos(\omega t))' = -A\omega\sin(\omega t)\text{)}\\ &= -0{,}2\sin(5t) \text{ m/s.}\end{aligned}$$ Comme $\sin(5t)$ varie entre $-1$ et $1$, la vitesse varie entre $-0{,}2$ et $0{,}2$ : la plus grande valeur de $|v(t)|$, la vitesse maximale en valeur absolue, vaut $0{,}2$ m/s, soit $A\omega = 0{,}04 \times 5$. Elle est atteinte quand $\sin(5t) = 1$ ou $\sin(5t) = -1$ ; alors $\cos(5t) = 0$, donc $y(t) = 0$ : la masse va le plus vite quand elle passe par sa position d'équilibre.

Proposition — Signe de la dérivée et sens de variation

La dérivée peut s'annuler en des points isolés sans changer les variations : si $f'(x) \geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$, et si de plus $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, $f$ est même strictement croissante. Par exemple $f(x) = x^3$ a pour dérivée $f'(x) = 3x^2 \geq 0$, nulle seulement en $x = 0$, et $x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Avec la proposition « Des variations au signe de la dérivée » : sur un intervalle, $f$ est croissante si et seulement si $f' \geq 0$, et décroissante si et seulement si $f' \leq 0$.

Méthode — Étudier une fonction trigonométrique

Lorsque la fonction est périodique, réduire l'intervalle d'étude à une période, puis utiliser la parité si la fonction est paire ou impaire : ce que l'on sait sur cet intervalle est alors connu partout. Une fonction qui n'est ni périodique, ni paire, ni impaire s'étudie directement sur l'intervalle donné.
Dériver, à l'aide des dérivées du sinus et du cosinus et des règles sur un produit, un quotient et $\sin(u)$, $\cos(u)$ où $u$ est affine.
Déterminer le signe de la dérivée. Cela revient presque toujours à lire sur le cercle le signe de $\cos$ ou de $\sin$.
Dresser le tableau de variations, avec les valeurs aux bornes de l'intervalle.
Lire sur le tableau la réponse à la question posée : le sens de variation sur chaque partie, et les extremums, avec la valeur atteinte et l'endroit où elle l'est.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \cos(x)$. Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;\,2\pi]$, puis donner son minimum et son maximum sur cet intervalle.

Correction

La fonction $f$ n'est ni périodique, ni paire, ni impaire : on l'étudie donc directement sur $[0\,;\,2\pi]$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de deux fonctions dérivables, et $$f'(x) = 1 - \sin(x).$$ Comme $\sin(x) \leq 1$ pour tout réel $x$, on a $f'(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,2\pi]$. La dérivée s'annule exactement là où $\sin(x) = 1$, c'est-à-dire au seul point $x = \dfrac{\pi}{2}$ de cet intervalle. D'après la proposition « Signe de la dérivée et sens de variation », $f$ est donc strictement croissante sur $[0\,;\,2\pi]$. $$\begin{aligned}[t] f(0) &= 0 + \cos(0) = 1 \\ f(2\pi) &= 2\pi + \cos(2\pi) = 2\pi + 1 \end{aligned}$$

Étant strictement croissante, $f$ atteint son minimum à la borne de gauche et son maximum à la borne de droite : le minimum vaut $f(0) = 1$ et le maximum $f(2\pi) = 2\pi + 1$. En $\dfrac{\pi}{2}$ la tangente est horizontale, mais la fonction ne rebrousse pas chemin : ce point n'est pas un extremum.

Compétences à pratiquer

Dériver des fonctions trigonométriques
Dériver un signal sinusoïdal
Dérivée et extremum d'une fonction trigonométrique
Analyser des fonctions trigonométriques

III Applications en physique et en chimie

III.1 L'approximation affine

Définition — Fonction affine tangente

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. La fonction affine tangente à $f$ en $a$ est la fonction affine $$t : x \longmapsto f(a) + f'(a)\,(x - a),$$ dont la courbe est la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Elle prend la même valeur que $f$ en $a$, $t(a) = f(a)$, et elle y a la même pente que la courbe, $t'(a) = f'(a)$.

Proposition — Approximation affine

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. Pour $h$ proche de $0$, $$\textcolor{colorprop}{f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h}.$$ Plus précisément, $f(a + h) = f(a) + f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)$ où $\varepsilon(h)$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ : l'erreur de l'approximation est petite devant $h$, et elle diminue plus vite que $h$.

Le zoom. Près du point de contact, la courbe et sa tangente ne se distinguent plus : c'est ce que dit l'approximation. Remplacer $f(a + h)$ par $f(a) + f'(a)\,h$, c'est remplacer la courbe par sa tangente, la meilleure droite pour le faire. Pour une fonction qui n'est pas affine, l'approximation est d'autant meilleure que $h$ est petit, et n'a en général plus de valeur loin du point de contact : pour la fonction carré en $a = 1$, $(1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2$, donc l'erreur $h^2$ vaut $0{,}01$ pour $h = 0{,}1$ mais seulement $0{,}0001$ pour $h = 0{,}01$ — diviser $h$ par $10$ divise l'erreur par $100$.

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Exemple

À l'aide de l'approximation affine en $a = 1$, donner une valeur approchée de chaque nombre, puis comparer avec la calculatrice.

$1{,}02^2$ (fonction carré).
$\dfrac{1}{1{,}02}$ (fonction inverse).
$\sqrt{1{,}02}$ (fonction racine carrée).

Correction

Dans chaque cas $a = 1$ et $h = 0{,}02$, et $f(1 + h) \approx f(1) + f'(1) \times 0{,}02$.

$f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$, donc $1{,}02^2 \approx 1 + 2 \times 0{,}02 = 1{,}04$. Calculatrice : $1{,}0404$ ; l'erreur est $0{,}0004 = h^2$.
$f(x) = \dfrac{1}{x}$, $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = -1$, donc $\dfrac{1}{1{,}02} \approx 1 - 0{,}02 = 0{,}98$. Calculatrice : $0{,}98039\ldots$ ; l'erreur est d'environ $0{,}0004$.
$f(x) = \sqrt{x}$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = \dfrac{1}{2}$, donc $\sqrt{1{,}02} \approx 1 + \dfrac{1}{2} \times 0{,}02 = 1{,}01$. Calculatrice : $1{,}00995\ldots$ ; cette fois l'approximation est légèrement trop grande, d'environ $0{,}00005$.

Dans les trois cas l'approximation est exacte à deux décimales : $h = 0{,}02$ est assez petit.

Exemple

La tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 5x - 4$. Donner la valeur que fournit l'approximation affine en $3$ pour $f(3{,}01)$.

Correction

La tangente en $3$ donne à la fois $f(3)$ et $f'(3)$ : sa pente est $f'(3) = 5$, et elle passe par le point de la courbe, donc $f(3) = 5 \times 3 - 4 = 11$. Avec $h = 0{,}01$, $$f(3{,}01) \approx f(3) + f'(3) \times 0{,}01 = 11 + 0{,}05 = 11{,}05.$$ C'est la valeur de la fonction affine tangente en $3{,}01$ : $5 \times 3{,}01 - 4 = 11{,}05$. On ne peut rien dire de plus sans connaître $f$ : la tangente seule donne la valeur approchée, pas la taille de l'erreur — petite pour les fonctions usuelles quand $h = 0{,}01$, mais que la tangente ne garantit pas.

Proposition — Approximation affine en accroissements

Soit $y = f(x)$, où $f$ est dérivable en $x_0$. Quand $x$ passe de $x_0$ à $x_0 + \Delta x$, la grandeur $y$ varie de $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Pour $\Delta x$ proche de $0$,$$\textcolor{colorprop}{\Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x}, \qquad\text{que l'on écrit aussi}\qquad \Delta y \approx \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_0)\,\Delta x.$$C'est l'approximation affine $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,h$ avec $h = \Delta x$, lue comme une relation entre les variations des deux grandeurs : au premier ordre, la variation de $y$ est proportionnelle à la variation de $x$, de coefficient $f'(x_0)$.

Exemple

Une voiture de masse $m = 1\,000$ kg roulant à la vitesse $v$, en m/s, a l'énergie cinétique $E(v) = \dfrac{1}{2}mv^2$, en joules. Sa vitesse passe de $20$ à $20{,}5$ m/s. Estimer la variation $\Delta E$ avec $\Delta E \approx E'(20)\,\Delta v$, puis comparer avec la variation exacte.
Une plaque métallique carrée a pour côté $c = 10$ cm ; chauffée, son côté augmente de $\Delta c = 0{,}02$ cm. Estimer la variation de son aire $A(c) = c^2$.

Correction

$E'(v) = \dfrac{1}{2}m \times 2v = mv = 1\,000\,v$, donc $$\begin{aligned}[t]\Delta E &\approx E'(20) \times \Delta v &&\text{(} \Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x\text{)}\\ &= 20\,000 \times 0{,}5 = 10\,000 \text{ J.}\end{aligned}$$ Exactement, $\Delta E = 500 \times 20{,}5^2 - 500 \times 20^2 = 210\,125 - 200\,000 = 10\,125$ J : l'estimation s'écarte de $125$ J, environ $1\,\%$.
$A'(c) = 2c$, donc $\Delta A \approx A'(10) \times \Delta c = 20 \times 0{,}02 = 0{,}4~\mathrm{cm}^2$ (exactement, $10{,}02^2 - 100 = 0{,}4004~\mathrm{cm}^2$).

Compétences à pratiquer

Utiliser l'approximation affine

III.2 Vitesse et accélération

Définition — Vitesse moyenne

La vitesse moyenne d'un objet se déplaçant dans l'intervalle de temps de $t=t_1$ à $t=t_2$ (avec $t_1 < t_2$) est donnée par $$\begin{aligned} \text{vitesse moyenne} &= \frac{\text{variation du déplacement}}{\text{variation du temps}} \\ &= \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}. \end{aligned}$$

Définition — Fonction vitesse

La vitesse instantanée $v(t)$ d'un objet est le taux de variation de son déplacement. On l'obtient en dérivant la fonction de déplacement $s(t)$ : $$ \textcolor{colordef}{v(t) = s'(t) = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}} $$

Remarque

Si $v(t) > 0$, l'objet se déplace vers la droite (dans le sens positif).
Si $v(t) < 0$, l'objet se déplace vers la gauche (dans le sens négatif).
Si $v(t) = 0$, l'objet est momentanément au repos.

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Définition — Dérivée seconde

La dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est la dérivée de la première dérivée, $f'$.$$ f''(x) = \dfrac{d}{\mathrm{d}x}(f'(x)) \quad \text{ou en notation de Leibniz,} \quad \dfrac{d^2y}{\mathrm{d}x^2}= \dfrac{d}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)$$

Définition — Fonction accélération

L'accélération $a(t)$ d'un objet est le taux de variation de sa vitesse. C'est la dérivée seconde de la fonction de déplacement : $$ \textcolor{colordef}{a(t) = v'(t) = s''(t)} $$

Proposition — Test des signes pour la vitesse scalaire

La vitesse scalaire $|v(t)|$ augmente (le mouvement est accéléré) quand $v(t)$ et $a(t)$ ont le même signe.
La vitesse scalaire $|v(t)|$ diminue (le mouvement est ralenti) quand $v(t)$ et $a(t)$ ont des signes opposés.

Ici $v(t)$ est la vitesse avec son signe : le test porte sur sa valeur $|v(t)|$, et non sur $v(t)$ elle-même.

Exemple

Le déplacement d'une particule est donné par $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ cm, pour $t \ge 0$.

Trouver les expressions de la vitesse et de l'accélération.
Déterminer pour quels instants la vitesse scalaire $|v(t)|$ de la particule augmente.

Correction

Vitesse et accélération : $$ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \;\text{cm/s}, $$ $$ a(t) = v'(t) = 6t - 12 \;\text{cm/s}^2. $$
Vitesse croissante :
La vitesse scalaire augmente lorsque $v(t)$ et $a(t)$ ont le même signe. On trouve d'abord les zéros : $$ v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t=1,\; 3, $$ $$ a(t) = 6(t-2) = 0 \implies t=2. $$ On dresse un tableau de signes commun : La vitesse scalaire est croissante lorsque $v(t)$ et $a(t)$ ont le même signe, c'est-à-dire pour $$ 1 < t < 2 \quad \text{et} \quad t > 3. $$

Compétences à pratiquer

Déterminer une vitesse et une accélération

III.3 Le vecteur vitesse

Selon la deuxième loi de Newton, $\sum \Vect{F} = m\Vect{a}$ : lorsqu'une force nette agit sur un objet, elle provoque une accélération. Pour décrire ce mouvement, on utilise le calcul différentiel. Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position, et le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.

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Proposition — Vecteur vitesse et vitesse

Un objet se déplace dans le plan ; à l'instant $t$, son vecteur position est $\Vect{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$.

Son vecteur vitesse s'obtient en dérivant chaque coordonnée : $$\textcolor{colorprop}{\Vect{v}(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}}.$$
Sa vitesse (scalaire) est la norme du vecteur vitesse : $$\textcolor{colorprop}{\|\Vect{v}(t)\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}}.$$
De même, son vecteur accélération s'obtient en dérivant chaque coordonnée du vecteur vitesse : $$\textcolor{colorprop}{\Vect{a}(t) = \begin{pmatrix} x''(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}}.$$

Exemple

Un objet se déplace dans le plan avec le vecteur position $\Vect{r}(t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ 2t \end{pmatrix}$, en mètres, où $t$ est le temps en secondes. Déterminer son vecteur vitesse à l'instant $t$, puis sa vitesse en $t = 1$.

Correction

Le vecteur vitesse s'obtient en dérivant chaque coordonnée de $\Vect{r}(t)$ : $$\begin{aligned}[t] \Vect{v}(t) &= \begin{pmatrix} (t^2)' \\ (2t)' \end{pmatrix} && \text{(dériver chaque coordonnée)}\\ &= \begin{pmatrix} 2t \\ 2 \end{pmatrix} \text{ m/s}.\end{aligned}$$ En $t = 1$, $\Vect{v}(1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, et la vitesse est la norme de ce vecteur : $$\begin{aligned}[t] \|\Vect{v}(1)\| &= \sqrt{2^2 + 2^2} && \text{(vitesse : norme du vecteur vitesse)}\\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 \text{ m/s}.\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer un vecteur vitesse

III.4 Puissance et vitesses de réaction

Lorsqu'une grandeur $Q$ dépend du temps $t$, la dérivée $Q'(t) = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(t)$ est le taux de variation instantané de $Q$ : elle indique à quelle vitesse $Q$ varie à l'instant $t$, la valeur dont s'approche le taux moyen $\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$ sur des durées de plus en plus courtes. Son unité est l'unité de $Q$ divisée par l'unité de temps. La vitesse en est l'exemple le plus connu ; la physique et la chimie en donnent deux autres.

Puissance : si $E(t)$ est l'énergie reçue par un système de l'instant $0$ à l'instant $t$, la puissance à l'instant $t$ est $P(t) = \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}(t)$, en watts ($\mathrm{W}$) lorsque $E$ est en joules ($\mathrm{J}$) et $t$ en secondes. Lorsque la puissance est constante, l'énergie reçue pendant une durée $\Delta t$ vaut $\Delta E = P \times \Delta t$.
Vitesses de réaction : au cours d'une réaction chimique, la concentration $[A](t)$ d'un réactif $A$ diminue, et sa vitesse de disparition est $-\dfrac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}(t)$, qui est positive ; la concentration $[B](t)$ d'un produit $B$ augmente, et sa vitesse d'apparition est $\dfrac{\mathrm{d}[B]}{\mathrm{d}t}(t)$. Avec des concentrations en $\mathrm{mol \cdot L^{-1}}$ et $t$ en minutes, ces vitesses sont en $\mathrm{mol \cdot L^{-1} \cdot min^{-1}}$.

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Exemple

Au cours d'un essai, l'énergie reçue par un chauffe-eau de l'instant $0$ à l'instant $t$ est $E(t) = 2t^2 + 10t$, en joules, pour $0 \leq t \leq 10$ ($t$ en secondes).

Calculer la puissance $P(t)$, puis $P(0)$ et $P(10)$.
Calculer la puissance moyenne pendant l'essai, $\dfrac{E(10) - E(0)}{10 - 0}$, et la comparer à $P(0)$ et à $P(10)$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] P(t) &= E'(t) &&\text{(la puissance est la dérivée de l'énergie)}\\ &= 2 \times 2t + 10 &&\text{(} (t^2)' = 2t\text{, } (t)' = 1\text{)}\\ &= 4t + 10.\end{aligned}$$ Donc $P(0) = 10~\mathrm{W}$ et $P(10) = 50~\mathrm{W}$ : la puissance augmente pendant l'essai.
$E(10) = 200 + 100 = 300~\mathrm{J}$ et $E(0) = 0$, donc la puissance moyenne vaut $\dfrac{300}{10} = 30~\mathrm{W}$, comprise entre $P(0) = 10~\mathrm{W}$ et $P(10) = 50~\mathrm{W}$. Une puissance constante de $30~\mathrm{W}$ donnerait la même énergie : $30 \times 10 = 300~\mathrm{J}$.

Exemple

Dans une réaction $A \to B$, la concentration du réactif $A$, en $\mathrm{mol \cdot L^{-1}}$, vaut $[A](t) = \dfrac{0{,}5}{1 + 0{,}1t}$ pour $t \geq 0$ ($t$ en minutes). Chaque mole de $A$ qui disparaît donne une mole de $B$, et il n'y a pas de $B$ au départ, donc $[B](t) = 0{,}5 - [A](t)$.

Calculer la vitesse de disparition de $A$ à $t = 0$ et à $t = 10$.
Démontrer que la vitesse d'apparition de $B$ est égale à la vitesse de disparition de $A$.

Correction

$$\begin{aligned}[t]\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}(t) &= \frac{0 \times (1 + 0{,}1t) - 0{,}5 \times 0{,}1}{(1 + 0{,}1t)^2} &&\text{(règle du quotient)}\\ &= -\frac{0{,}05}{(1 + 0{,}1t)^2}.\end{aligned}$$ La vitesse de disparition vaut $r(t) = \dfrac{0{,}05}{(1 + 0{,}1t)^2}$ : $r(0) = 0{,}05~\mathrm{mol \cdot L^{-1} \cdot min^{-1}}$ et $r(10) = \dfrac{0{,}05}{2^2} = 0{,}0125~\mathrm{mol \cdot L^{-1} \cdot min^{-1}}$. La réaction ralentit à mesure que le réactif s'épuise.
$\dfrac{\mathrm{d}[B]}{\mathrm{d}t}(t) = 0 - \dfrac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}(t) = r(t)$ : $B$ apparaît exactement aussi vite que $A$ disparaît.

Compétences à pratiquer

Calculer des taux de variation par rapport au temps

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Diagnostiquer et corriger
Problèmes
Problèmes de physique
Quiz

Fonction \(f\)	\(f\) est dérivable pour	Dérivée \(f'\)
\(f(x) = k\) (constante)	tout \(x \in \mathbb{R}\)	\(f'(x) = 0\)
\(f(x) = x\)	tout \(x \in \mathbb{R}\)	\(f'(x) = 1\)
\(f(x) = x^2\)	tout \(x \in \mathbb{R}\)	\(f'(x) = 2x\)
\(f(x) = x^3\)	tout \(x \in \mathbb{R}\)	\(f'(x) = 3x^2\)
\(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \geq 1\)	tout \(x \in \mathbb{R}\)	\(f'(x) = nx^{n-1}\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)	\(x \neq 0\)	\(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\)
\(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \leq -1\)	\(x \neq 0\)	\(f'(x) = nx^{n-1}\)
\(f(x) = \sqrt{x}\)	\(x > 0\)	\(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(n\)	\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	ligne de la table
\(-1\)	\(x^{-1} = \dfrac{1}{x}\)	\((-1)\,x^{-2}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(0\)	\(x^0 = 1\)	\(0 \times x^{-1} = 0\)	constante : \(0\)
\(1\)	\(x^1 = x\)	\(1 \times x^0 = 1\)	\(1\)
\(2\)	\(x^2\)	\(2x^1\)	\(2x\)
\(3\)	\(x^3\)	\(3x^2\)	\(3x^2\)