Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Équations différentielles (STI2D, STL)

⌚ ~170 min ▢ 19 blocs ✓ 77 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Dérivation (STI2D, STL), Primitives et méthode d'Euler (STI2D, STL), La fonction exponentielle (STI2D, STL), Le logarithme népérien (STI2D, STL)

I Primitives et équation $y' \equal f$

Définition — Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute solution sur $I$ de l'équation différentielle $y' = f$ (une équation dont l'inconnue est une fonction, ici $y' = f(x)$) : une fonction $F$, dérivable sur $I$, telle que pour tout $x \in I$ :$$ \textcolor{colordef}{F'(x) = f(x)}. $$

Exemple

Soit $f(x) = 2$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $F(x) = 2x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ car $F'(x) = 2 = f(x)$.

Proposition — Existence de primitives

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ (une fonction continue sur un intervalle est une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon ; toutes les fonctions étudiées ici sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies). Ce résultat est admis ; sa démonstration relève du calcul intégral.

Proposition — Ensemble des primitives d'une même fonction

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est définie par :$$ \textcolor{colorprop}{G(x) = F(x) + C} \quad \text{où } C \in \mathbb{R} \text{ est une constante.} $$

Proposition — Condition initiale

Soit $f$ une fonction continue sur $I$, et soient $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$.
Alors il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Compétences à pratiquer

Définir et identifier les primitives
Vérifier une primitive par dérivation

II Notion d'équation différentielle

L'importance des conditions initiales

Mises bout à bout, les propositions sur l'existence des primitives, sur l'ensemble des primitives et sur la condition initiale donnent le fait suivant : si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors l'équation différentielle $$ y' = f(x) $$ admet une infinité de solutions sur $I$ (elles diffèrent d'une constante), et une condition initiale $y(x_0)=y_0$, avec $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, permet d'en sélectionner une seule et unique.
C'est un exemple simple d'une idée omniprésente en physique classique : de nombreuses lois s'écrivent sous forme d'équations différentielles, et la condition initiale précise l'état du système à un instant donné.

L'équation différentielle représente la loi (comment l'état évolue).
La condition initiale représente l'état initial (d'où part l'évolution).

Lorsque le modèle vérifie un théorème d'existence et d'unicité, la connaissance de la loi et de l'état initial détermine une trajectoire unique. Par exemple, dans un modèle idéalisé du mouvement, connaître la position et la vitesse initiales permet de prévoir l'évolution du mouvement.

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Définition — Solution d'une équation différentielle

On appelle solution d'une équation différentielle sur un intervalle $I$ toute fonction, dérivable sur $I$ autant de fois que l'équation l'exige, vérifiant l'égalité pour tout $x$ de $I$.
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus haute de la fonction inconnue qui y figure ($1$ pour $y'$, $2$ pour la dérivée seconde $y''$) : $y' = 2y - 6$ est une équation du premier ordre, $y'' - y = 0$ une équation du second ordre.
Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions qui vérifient l'égalité.

Exemple

La fonction $x \mapsto e^{-x}$ est solution de l'équation $y'' - y = 0$ car, pour $y(x) = e^{-x}$, on a $y'(x) = -e^{-x}$ et $y''(x) = e^{-x}$.
Donc $y''(x) - y(x) = e^{-x} - e^{-x} = 0$.

Définition — Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation qui contient une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées.

L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la plus haute dérivée qu'elle contient.
Une solution générale est une famille de fonctions qui satisfait à l'équation, impliquant généralement une ou plusieurs constantes arbitraires.
Une condition initiale est une valeur spécifiée de la fonction ou de ses dérivées en un point particulier.
Une solution particulière est une solution spécifique correspondant à une condition initiale donnée. Elle peut être obtenue en utilisant une ou plusieurs conditions initiales (une par constante arbitraire) pour déterminer les valeurs des constantes arbitraires dans la solution générale.

Exemple

Une pomme est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur de 10 mètres. Sa position verticale, $y(t)$, est régie par l'équation différentielle du second ordre : $$\frac{d^2 y}{\mathrm{d}t^2}=-g$$ où $g$ est la constante de l'accélération gravitationnelle.

Énoncer les conditions initiales pour la position $y(0)$ et la vitesse $y'(0)$.
Vérifier que la solution générale de cette équation est $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + At + B$.
Utiliser les conditions initiales pour déterminer la solution particulière décrivant le mouvement de la pomme.

Correction

Conditions initiales :
- La hauteur initiale est de 10 mètres, donc $y(0)=10$.
- La pomme est lâchée « sans vitesse initiale », donc sa vitesse initiale est nulle. Ainsi, $y'(0)=0$.
Vérification de la solution générale : Il faut montrer que la dérivée seconde de $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + At + B$ est égale à $-g$.
- Dérivée première (vitesse) : $y'(t) = -gt + A$.
- Dérivée seconde (accélération) : $y''(t) = -g$.
La dérivée seconde est bien $-g$, donc la solution générale est correcte.
Détermination de la solution particulière : On applique les conditions initiales à la solution générale et à sa dérivée première.
- En utilisant $y(0)=10$ : $$ y(0) = -\frac{1}{2}g(0)^2 + A(0) + B \implies 10 = B $$
- En utilisant $y'(0)=0$ : $$ y'(0) = -g(0) + A \implies 0 = A $$
En substituant $A=0$ et $B=10$ dans la solution générale, on obtient la solution particulière : $$ y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + 10 $$

Définition — Comprendre les notations

Dans une équation différentielle, $y$ est une fonction, et non un nombre fixe. Selon le contexte (Mathématiques, Physique ou Ingénierie/Sciences de l'ingénieur), on utilise différentes écritures pour la fonction inconnue et sa dérivée :

Notation de Lagrange : Utilise le symbole « prime » ($y'$). C'est l'écriture la plus courte, utilisée en mathématiques.
Notation de Leibniz : Utilise le quotient différentiel ($\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ou $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$). Elle montre explicitement par rapport à quelle variable on dérive (souvent le temps $t$ ou la position $x$).
Notation fonctionnelle : Fait apparaître explicitement $y(t)$ ou $y(x)$ pour rappeler que la valeur dépend de la variable.

Exemple

Les trois équations suivantes représentent exactement la même relation où $y$ est une fonction du temps $t$ :

Style simplifié : $2y' + 3y = t$
Style fonctionnel : $2y'(t) + 3y(t) = t$
Style différentiel (Leibniz) : $2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 3y(t) = t$

Exemple

Démontrer que chaque fonction est solution de l'équation différentielle indiquée, sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = 3x^2$, pour l'équation $2y - xy' = 0$ sur $\left]0 \,;\, +\infty\right[$.
$g(x) = \dfrac{1}{x + 1}$, pour l'équation $y' + y^2 = 0$ sur $\left]-1 \,;\, +\infty\right[$.

Correction

Pour tout $x \gt 0$, $f'(x) = 6x$, donc $$\begin{aligned}[t] 2f(x) - xf'(x) &= 2 \times 3x^2 - x \times 6x\\ &= 6x^2 - 6x^2 = 0.\end{aligned}$$
Pour tout $x \gt -1$, $g'(x) = -\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ (dérivée de $\dfrac{1}{u}$, $-\dfrac{u'}{u^2}$, avec $u(x) = x + 1$), donc $$\begin{aligned}[t] g'(x) + g(x)^2 &= -\frac{1}{(x + 1)^2} + \left(\frac{1}{x + 1}\right)^2\\ &= -\frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} = 0.\end{aligned}$$

Aucune des deux équations n'est de la forme $y' = ay + b$, la seule que ce chapitre résout : dans la première, $y'$ est multiplié par la variable $x$ ; dans la seconde, la fonction inconnue apparaît au carré. Vérifier une solution se fait toujours de la même façon : calculer les dérivées dont l'équation a besoin, substituer, et montrer que l'égalité est vraie en tout point de l'intervalle.

Compétences à pratiquer

Définir et vérifier les équations différentielles
Vérifier les solutions d'une équation différentielle
Modéliser avec les équations différentielles
Vérifier des solutions d'autres formes d'équations

III L'équation $y' \equal ay$

Quand la dérivée dépend de la fonction

Dans $y' = f$, la dérivée de la fonction inconnue est donnée : pour les fonctions usuelles, lire le tableau des dérivées à l'envers retrouve la fonction. Dans $y' = ay$, la dérivée dépend de la fonction inconnue elle-même — c'est le cas d'une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur, comme le nombre d'atomes d'un échantillon radioactif. Aucun tableau lu à l'envers ne donne la réponse ; la fonction exponentielle la donne.

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Proposition — Ensemble des solutions de $y' \equal ay$

Soit $a$ un réel.
L'équation différentielle $y' = ay$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ \textcolor{colorprop}{y(x) = K e^{ax}} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$

L'équation $y' = ay$ possède une structure remarquable : si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $y' = ay$, alors $y_1 + y_2$ et $\lambda y_1$ (pour tout réel $\lambda$) sont aussi solutions — il suffit de les reporter dans l'équation pour le constater. C'est une particularité de cette équation : pour l'équation $y' = ay + b$ avec une constante $b \neq 0$, la somme de deux solutions n'est pas une solution.

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Exemple

Résoudre l'équation différentielle $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 4$.

Correction

Solution générale : L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = -2$. Les solutions sont les fonctions : $$ y(x) = K e^{-2x} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R} $$
Solution particulière : On utilise la condition initiale $y(0) = 4$ : $$ K e^{-2(0)} = 4 \implies K \times 1 = 4 \implies K = 4 $$ L'unique solution est $y(x) = 4e^{-2x}$.

Les courbes solutions $y = Ke^{ax}$ forment une famille qui remplit le plan. Le signe de $K$ décide du côté de l'axe des abscisses (la courbe $K = 0$ est l'axe, et aucune autre courbe ne le traverse) ; le signe de $a$ décide du comportement : pour $a > 0$ les courbes s'éloignent de l'axe, pour $a < 0$ elles s'en rapprochent.

$\qquad$

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Modèle discret, modèle continu

Une grandeur qui augmente de $3\pourcent$ par an peut se modéliser de deux façons.

Modèle discret : on ne regarde la grandeur qu'une fois par an. Ses valeurs $u_0, u_1, u_2, \dots$ forment une suite géométrique de raison $1{,}03$ : $u_{n+1} = 1{,}03\,u_n$, donc $u_n = 1{,}03^n\,u_0$.
Modèle continu : la grandeur est une fonction $y$ du temps $t$, et à chaque instant sa vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur, avec le taux $0{,}03$ par an : $y' = 0{,}03\,y$, donc $y(t) = y_0\,e^{0{,}03t}$.

Les deux modèles sont proches mais ne coïncident pas : au bout d'un an, le modèle continu multiplie la grandeur par $e^{0{,}03} \approx 1{,}0305$, et non par $1{,}03$ ; au bout de dix ans, par $e^{0{,}3} \approx 1{,}350$ contre $1{,}03^{10} \approx 1{,}344$. Le modèle continu de taux instantané $0{,}03$ est une approximation du modèle discret ; le modèle continu qui donne exactement $3\pourcent$ par an a pour taux $a = \ln 1{,}03 \approx 0{,}0296$, puisque $e^{a} = 1{,}03$.
Le pont entre les deux modèles est l'approximation par la tangente : sur une courte durée $h$, $y(t + h) \approx y(t) + h\,y'(t)$. Pour $y' = ay$ avec $h = 1$, elle donne $y(t + 1) \approx (1 + a)\,y(t)$ lorsque $a$ est petit (ici $a = 0{,}03$) : lire le modèle continu une fois par an produit, approximativement, une suite géométrique de raison $1 + a$ ; la raison exacte est $e^{a}$, dont $1 + a$ est l'approximation par la tangente en $0$. Ce même pas, répété depuis une valeur initiale, est la méthode d'Euler.

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Exemple — Décroissance radioactive : modèle discret, modèle continu

Une substance radioactive perd $1{,}2\pourcent$ de ses noyaux chaque siècle. On note $N_0$ le nombre de noyaux au départ.

Modèle discret. On note $u_n$ le nombre de noyaux au bout de $n$ siècles. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et de $N_0$.
Modèle continu. On note $N(t)$ le nombre de noyaux au bout de $t$ siècles ; à chaque instant, les noyaux se désintègrent à une vitesse proportionnelle à leur nombre, et le taux instantané $0{,}012$ est pris comme approximation de la perte de $1{,}2\pourcent$ par siècle : $N' = -0{,}012\,N$. Déterminer $N(t)$ en fonction de $t$ et de $N_0$.
Comparer les deux modèles au bout de cinq siècles.
Dans le modèle continu, déterminer la demi-vie : la durée au bout de laquelle il reste la moitié des noyaux. Dans le modèle discret, déterminer le premier siècle à la fin duquel il reste au plus la moitié des noyaux.

Correction

Perdre $1{,}2\pourcent$, c'est multiplier par $1 - 0{,}012 = 0{,}988$ à chaque siècle : $u_{n+1} = 0{,}988\,u_n$, donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}988$ et de premier terme $u_0 = N_0$ : $$ u_n = N_0 \times 0{,}988^{\,n}. $$
L'équation $N' = -0{,}012\,N$ est de la forme $y' = ay$ avec $a = -0{,}012$ : ses solutions sont les fonctions $N(t) = Ke^{-0{,}012t}$, $K \in \mathbb{R}$. La condition initiale $N(0) = N_0$ donne $K = N_0$ : $$ N(t) = N_0\,e^{-0{,}012t}. $$
Au bout de cinq siècles : $$\begin{aligned} u_5 &= N_0 \times 0{,}988^{5} \approx 0{,}9414\,N_0, \\ N(5) &= N_0\,e^{-0{,}06} \approx 0{,}9418\,N_0. \end{aligned}$$ Les deux modèles gardent environ $94\pourcent$ des noyaux ; ils diffèrent de moins de $0{,}05\pourcent$ de $N_0$. Le modèle continu décroît légèrement moins vite, car $e^{-0{,}012} \approx 0{,}98807 > 0{,}988$.
Dans le modèle continu, $N(t) = \dfrac{N_0}{2}$ signifie $e^{-0{,}012t} = \dfrac{1}{2}$, soit $-0{,}012t = \ln \dfrac{1}{2} = -\ln 2$ ($\ln$ est la réciproque de $\exp$), donc $$ t = \frac{\ln 2}{0{,}012} \approx 57{,}8. $$ La demi-vie vaut environ $57{,}8$ siècles. Elle ne dépend pas de $N_0$ : quelle que soit la quantité, elle diminue de moitié en la même durée.
Dans le modèle discret, le nombre de noyaux n'est connu qu'aux siècles entiers : $u_n \le \dfrac{N_0}{2}$ signifie $0{,}988^{\,n} \le \dfrac{1}{2}$. Les deux membres sont strictement positifs et $\ln$ est strictement croissante : $$\begin{aligned} 0{,}988^{\,n} \le \frac{1}{2} &\iff n \ln 0{,}988 \le \ln \frac{1}{2} &&\text{($\ln q^n = n \ln q$)} \\ &\iff n \ge \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}988} \approx 57{,}4 &&\text{(division par $\ln 0{,}988 < 0$ : sens renversé)}. \end{aligned}$$ Donc $n = 58$ : à la fin du cinquante-huitième siècle, pour la première fois, il reste au plus la moitié des noyaux (vérification : $0{,}988^{57} \approx 0{,}503$, $0{,}988^{58} \approx 0{,}496$). Les deux modèles s'accordent à un siècle près sur plus de cinq mille ans.

Compétences à pratiquer

Déterminer les solutions générales et les conditions initiales
Résoudre $y' \equal ay$
Résoudre $y' \equal ay$ avec une condition initiale et modéliser

IV L'équation $y' \equal ay + b$

Quand la vitesse dépend d'un écart

Un bol de soupe à $90\,^\circ\mathrm{C}$ est laissé dans une pièce à $18\,^\circ\mathrm{C}$. Sa température $T(t)$, en degrés Celsius au bout de $t$ minutes, baisse d'autant plus vite que l'écart avec la pièce est grand ; un modèle est $$T'(t) = -0{,}2\,\bigl(T(t) - 18\bigr), \quad \text{soit} \quad T' = -0{,}2\,T + 3{,}6.$$ Cette équation n'est pas de la forme $y' = ay$ : la constante $3{,}6$ gêne. Deux remarques mettent sur la piste de ses solutions.

L'équilibre. Une température constante $T = c$ a pour dérivée $T' = 0$, donc $0 = -0{,}2\,c + 3{,}6$ et $c = 18$ : à la température de la pièce, la soupe ne refroidit plus.
L'écart. L'écart $z = T - 18$ a la même dérivée que $T$, et $z' = T' = -0{,}2\,(T - 18) = -0{,}2\,z$ : l'écart est solution de $y' = -0{,}2\,y$, une équation déjà résolue.

La proposition suivante fait de ces deux remarques une méthode pour toute équation $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ (lorsque $a = 0$, l'équation $y' = b$ se résout par les primitives).

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Proposition — Ensemble des solutions de $y' \equal ay + b$

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$.
L'équation différentielle $y' = ay + b$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ \textcolor{colorprop}{y(x) = K e^{ax} - \dfrac{b}{a}} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$ La constante $-\frac{b}{a}$ est elle-même une solution : c'est l'unique solution particulière constante de l'équation.

Exemple

Résoudre l'équation différentielle $y' = -2y + 4$ avec la condition initiale $y(0) = 5$.

Correction

Solution particulière constante : on cherche une solution constante $y = c$ : alors $y' = 0$, donc $0 = -2c + 4$, d'où $c = 2$.
Solution générale : d'après la proposition sur les solutions de $y' = ay + b$, les solutions s'obtiennent en ajoutant à cette constante les solutions de $y' = -2y$ : $$ y(x) = K e^{-2x} + 2 \quad \text{avec } K \in \mathbb{R} $$
Solution particulière : On utilise la condition initiale $y(0) = 5$ : $$ K e^{-2(0)} + 2 = 5 \implies K + 2 = 5 \implies K = 3 $$ L'unique solution est $y(x) = 3e^{-2x} + 2$.

Compétences à pratiquer

Identifier la forme et les solutions de $y' \equal ay + b$
Résoudre $y' \equal ay + b$
Résoudre $y' \equal ay + b$ avec une condition initiale
Modéliser et résoudre avec les équations différentielles

V Méthode d'Euler

Lorsqu'une équation différentielle ne peut pas être résolue par une formule explicite, on peut approcher sa solution par des méthodes numériques. La méthode d'Euler est la plus simple : elle construit une ligne brisée dont chaque segment suit la pente donnée par l'équation au point calculé.
La méthode s'applique à une équation qui donne la valeur de $y'$ en tout point $(x ; y)$, par exemple $y' = f(x)$, où cette valeur est $f(x)$, ou $y' = ay + b$, où elle vaut $ay + b$. Avec une condition initiale $y(x_0) = y_0$, elle part du point $(x_0 ; y_0)$ et procède par étapes. On fixe un petit pas constant $h$. L'abscisse de chaque nouveau point s'obtient en ajoutant ce pas : $x_{n+1} = x_n + h$.
L'idée de la méthode est de remplacer la dérivée $y'$ par la pente du segment reliant deux points consécutifs, $(x_n ; y_n)$ et $(x_{n+1} ; y_{n+1})$ : $$ y' \text{ en } (x_n ; y_n) \approx \dfrac{y_{n+1} - y_n}{x_{n+1} - x_n} = \dfrac{y_{n+1} - y_n}{h}. $$ L'équation différentielle donne la pente de la courbe solution qui passe par un point quelconque ; au point calculé $(x_n ; y_n)$, cette pente est la valeur de $y'$ que l'équation y donne : $f(x_n)$ pour $y' = f(x)$, $ay_n + b$ pour $y' = ay + b$. En la prenant comme pente du segment suivant : $$ \dfrac{y_{n+1} - y_n}{h} \approx \text{valeur de } y' \text{ en } (x_n ; y_n). $$ En remplaçant $\approx$ par $=$, on définit la valeur calculée suivante $y_{n+1}$ : $$ y_{n+1} = y_n + h \times (\text{valeur de } y' \text{ en } (x_n ; y_n)). $$ Chaque valeur calculée $y_n$ est une valeur approchée de la valeur exacte $y(x_n)$. Les segments ainsi construits, mis bout à bout, forment une ligne brisée qui approche la courbe solution.

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Méthode — Méthode d'Euler

Pour approcher la solution d'une équation différentielle avec la condition initiale $y(x_0) = y_0$ et un pas $h > 0$, on obtient les coordonnées du point suivant $(x_{n+1} ; y_{n+1})$ à partir du point précédent $(x_n ; y_n)$ par les formules itératives : $$ \begin{cases} x_{n+1} = x_n + h, \\ y_{n+1} = y_n + h \times (\text{valeur de } y' \text{ en } (x_n ; y_n)), \end{cases} $$ où la valeur de $y'$ en $(x_n ; y_n)$ est donnée par l'équation différentielle :

pour $y' = f(x)$ : $y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n)$ ;
pour $y' = ay + b$ : $y_{n+1} = y_n + h\,(ay_n + b)$.

Le calcul est le même pour toute équation qui donne $y'$ en fonction de $x$ et de $y$ : on isole $y'$, puis on remplace $x$ par $x_n$ et $y$ par $y_n$. Par exemple, pour $y' = x - y$ : $y_{n+1} = y_n + h\,(x_n - y_n)$.

Méthode — La méthode d'Euler en Python

Comme chaque nouveau point ne dépend que du précédent, l'itération s'automatise facilement. La fonction ci-dessous applique la relation de récurrence $n$ fois et renvoie la dernière valeur approchée, ici pour l'équation $y' = -2x$. La fonction Python f(x, y) renvoie la valeur de $y'$ que donne l'équation au point $(x ; y)$ : ici $-2x$, qui ne dépend pas de $y$.

def f(x, y):
    return -2 * x

def euler(x0, y0, h, n):
    x, y = x0, y0
    for k in range(n):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
    return y

L'appel euler(0, 3, 0.5, 2) renvoie $2{,}5$ : en partant de $(0 ; 3)$, le premier pas laisse $y = 3$, car la pente $-2x$ est nulle en $x = 0$ ; le second donne $3 + 0{,}5 \times (-1) = 2{,}5$, valeur approchée de $y(1)$. En rangeant chaque couple $(x ; y)$ dans une liste à l'intérieur de la boucle, on obtient les points successifs de la ligne brisée, prêts à être tracés.

Compétences à pratiquer

Appliquer la méthode d'Euler
Implémenter la méthode d'Euler en Python
Comparer des solutions numériques et analytiques

VI Approcher la fonction exponentielle

Méthode — Approcher l'exponentielle pas à pas

La méthode d'Euler construit des valeurs approchées de $\exp$ à partir de $\exp(0) = 1$, en n'utilisant que la propriété $\exp' = \exp$.

Remplacer la courbe par sa tangente sur un petit pas. Au point d'abscisse $x$, la tangente a pour coefficient directeur $\exp'(x) = \exp(x)$, donc un pas de longueur $h$ vers la droite donne $\exp(x + h) \approx \exp(x) + h \exp(x) = (1 + h)\exp(x)$.
Répéter le pas : chaque pas multiplie la valeur courante par $1 + h$, donc $n$ pas de longueur $h$ depuis $0$ donnent $(1 + h)^n$ comme valeur approchée de $\exp(nh)$.
Prendre des pas plus petits pour faire mieux : atteindre $1$ en $n$ pas de longueur $\dfrac{1}{n}$ donne $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ comme valeur approchée de $\exp(1) = e$.

Exemple

Avec le pas $h = 0{,}25$, donner les valeurs approchées de $\exp(0{,}25)$, $\exp(0{,}5)$, $\exp(0{,}75)$ et $\exp(1)$ construites par la méthode d'Euler.
Avec $n$ pas de longueur $\dfrac{1}{n}$, calculer $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 10$, $n = 100$ et $n = 1000$, arrondi à $10^{-4}$, et comparer avec $e \approx 2{,}71828$.

Correction

Chaque pas multiplie par $1{,}25$ :

$x$ $0$ $0{,}25$ $0{,}5$ $0{,}75$ $1$

valeur approchée de $\exp(x)$ $1$ $1{,}25$ $1{,}5625$ $1{,}953125$ $2{,}44140625$

La dernière valeur est $1{,}25^4 = \left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^4 \approx 2{,}4414$, inférieure à $e \approx 2{,}71828$ d'environ $0{,}28$.
$\left(1 + \dfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 2{,}5937$, $\left(1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} \approx 2{,}7048$, $\left(1 + \dfrac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2{,}7169$. L'écart à $e$ vaut environ $0{,}12$, puis $0{,}013$, puis $0{,}0014$ : les valeurs semblent se rapprocher de plus en plus de $e$ quand $n$ grandit.

Sur la figure, le premier segment suit la tangente en $0$ ; chaque segment suivant part du point obtenu, avec pour pente l'ordonnée de ce point. La ligne brisée reste sous la courbe de $\exp$ : les valeurs trouvées sont inférieures aux vraies.

Compétences à pratiquer

Approcher l'exponentielle pas à pas

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

\(x\)	\(0\)	\(0{,}25\)	\(0{,}5\)	\(0{,}75\)	\(1\)
valeur approchée de \(\exp(x)\)	\(1\)	\(1{,}25\)	\(1{,}5625\)	\(1{,}953125\)	\(2{,}44140625\)