Composition de fonctions (STI2D, STL)

On connaît la dérivée de la fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\). Qu'en est-il de l'inverse d'une fonction quelconque, \(x \mapsto \dfrac{1}{v(x)}\), comme \(\dfrac{1}{x^2+1}\) ou \(\dfrac{1}{2x-3}\) ? La réponse est la formule de dérivation de l'inverse, qui prépare aussi celle du quotient.

Tout comme pour les produits, déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions nécessite une formule spécifique. La règle du quotient est utilisée pour dériver des fonctions de la forme \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\), telles que \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+1}\).

De nombreuses fonctions s'obtiennent en remplaçant la variable d'une fonction de référence \(g\) par une expression affine \(ax+b\) : \(\sqrt{2x+1}\) (avec \(g(X) = \sqrt{X}\)), \((3x-1)^2\) (avec \(g(X) = X^2\)), \(\dfrac{1}{4x+2}\) (avec \(g(X) = \dfrac{1}{X}\)). Leur dérivée se déduit de celle de \(g\) par une règle simple.

Cette règle est un cas particulier de la dérivation en chaîne, qui donne la dérivée de \(g(u(x))\) pour toute fonction dérivable \(u\), et pas seulement une fonction affine.

Composer deux fonctions s'écrit avec un symbole propre. Étant données deux fonctions \(u\) et \(v\), la composée de \(u\) suivie de \(v\) est la fonction notée \(v \circ u\), qui se lit « \(v\) rond \(u\) », définie par $$(v \circ u)(x) = v\bigl(u(x)\bigr).$$ Elle est définie en tout \(x\) où \(u\) est définie et où \(u(x)\) appartient à l'ensemble de définition de \(v\). L'ordre compte : \(v \circ u\) et \(u \circ v\) sont en général deux fonctions différentes. Avec \(u(x) = x + 1\) et \(v(x) = x^2\), on obtient \((v \circ u)(x) = (x+1)^2\) tandis que \((u \circ v)(x) = x^2 + 1\). Les lettres sont une convention, pas une règle : une composée écrite \(f \circ g\) est le même objet, avec \(g\) à l'intérieur et \(f\) à l'extérieur. Ici la fonction intérieure s'appelle \(u\) et l'extérieure \(v\), parce que la dérivée de la composée se lira dans cet ordre : la dérivée de la fonction intérieure sort devant. Dériver une composée demande des hypothèses ponctuelles, et ce sont elles qui portent la règle : \(u\) dérivable en \(x\), et \(v\) dérivable en \(u(x)\). Sous ces deux conditions, \(v \circ u\) est dérivable en \(x\).

De nombreuses fonctions complexes sont créées en composant des fonctions plus simples. Une fonction composée a la forme \(f(x) = v(u(x))\), où une fonction (la fonction « intérieure », \(u\)) est l'argument d'une autre (la fonction « extérieure », \(v\)). Par exemple, dans la fonction \(f(x) = (x^2+1)^3\), la fonction intérieure est \(u(x)=x^2+1\) et la fonction extérieure est \(v(x)=x^3\).
La règle de la dérivation en chaîne offre une méthode puissante pour dériver de telles fonctions en trouvant les dérivées des fonctions intérieure et extérieure séparément.

Pourquoi les deux dérivées se multiplient-elles ? Écrivons le taux de variation de \(f = v \circ u\) entre \(x_0\) et \(x\), en faisant apparaître la grandeur intermédiaire \(u\). Lorsque \(u(x) \neq u(x_0)\), $$\frac{v\bigl(u(x)\bigr) - v\bigl(u(x_0)\bigr)}{x - x_0} = \frac{v\bigl(u(x)\bigr) - v\bigl(u(x_0)\bigr)}{u(x) - u(x_0)} \times \frac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} ,$$ en abrégé $$\frac{\Delta (v \circ u)}{\Delta x} = \frac{\Delta v}{\Delta u} \times \frac{\Delta u}{\Delta x}.$$ Quand \(x\) se rapproche de \(x_0\), \(u(x)\) se rapproche de \(u(x_0)\) : le second facteur se rapproche de \(u'(x_0)\), et le premier, taux de variation de \(v\) entre \(u(x_0)\) et \(u(x)\), se rapproche de \(v'\bigl(u(x_0)\bigr)\). Le taux de variation de \(f\) se rapproche donc de \(v'\bigl(u(x_0)\bigr) \times u'(x_0)\) : c'est la règle de la dérivation en chaîne. C'est une explication plutôt qu'une démonstration : la factorisation ne s'écrit que lorsque \(u(x) \neq u(x_0)\), et si \(u\) reprend la valeur \(u(x_0)\) en des points proches de \(x_0\), elle ne s'y écrit pas — la règle reste vraie, mais demande un autre argument ; l'écriture abrégée avec les \(\Delta\) est un abus d'écriture. En notation de Leibniz, les \(\mathrm{d}u\) semblent se simplifier, \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \times \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\) : le long d'une chaîne de grandeurs, les taux de variation se multiplient.

La règle de la dérivation en chaîne, écrite $$(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u),$$ suffit à retrouver les lignes du tableau des dérivées usuelles pour \(u^n\), \(\cos u\), \(\sin u\), \(e^u\) et \(\ln u\) : la dérivée de la fonction intérieure sort devant, et la dérivée de la fonction extérieure est prise en \(u\).

Fonction extérieure \(v\)	\(v'\)	Composée \(v \circ u\)	Dérivée \(u' \times (v' \circ u)\)
\(X \mapsto X^n\)	\(X \mapsto nX^{n-1}\)	\(u^n\)	\(n\,u'\,u^{n-1}\)
\(\cos\)	\(-\sin\)	\(\cos u\)	\(-u' \sin u\)
\(\sin\)	\(\cos\)	\(\sin u\)	\(u' \cos u\)
\(\exp\)	\(\exp\)	\(e^{u}\)	\(u' e^{u}\)
\(\ln\)	\(X \mapsto \dfrac{1}{X}\)	\(\ln u\)	\(\dfrac{u'}{u}\)

Ici \(n\) est un entier non nul (avec \(u \neq 0\) lorsque \(n \lt 0\)) et \(u \gt 0\) pour \(\ln u\). Pour \(n = -1\), la première ligne donne \(\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -u'\,u^{-2} = -\dfrac{u'}{u^2}\) : les lignes de \(\dfrac{1}{u}\) et de \(\dfrac{1}{u^n}\) sont la même règle, avec un exposant négatif. Par exemple, avec \(u(x) = 3x^2\), \((\sin u)' = u'\cos u\) donne \(\left(\sin\left(3x^2\right)\right)' = 6x\cos\left(3x^2\right)\) ; avec \(u(x) = x^2 + 1 \gt 0\), \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) donne \(\left(\ln\left(x^2 + 1\right)\right)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\).

Calculer une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation : on cherche une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Comme pour les dérivées, il existe des règles pour les sommes, les produits par une constante et certaines compositions.

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, mais rien ne garantit qu'on sache en écrire une. La fonction \(x \mapsto e^{-x^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : elle admet donc des primitives sur \(\mathbb{R}\). Aucune ligne du tableau des primitives de référence n'en donne une, et avec \(u(x) = -x^2\) elle n'est pas de la forme \(u'e^u\) : il manque le facteur \(u'(x) = -2x\) — c'est \(x \mapsto -2xe^{-x^2}\) qui a pour primitive \(x \mapsto e^{-x^2}\).
Ce n'est pas une affaire d'astuce. On admet qu'aucune de ses primitives ne s'écrit à l'aide des fonctions usuelles (polynômes, racines carrées, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus) combinées par un nombre fini de sommes, produits, quotients et compositions. Ses primitives existent ; on ne sait simplement pas les écrire avec les fonctions usuelles. Pour obtenir des valeurs de l'une d'elles, on la choisit d'abord par une condition initiale — par exemple celle qui s'annule en \(0\) — puis on l'approche, par exemple par la méthode d'Euler appliquée à \(y' = e^{-x^2}\) avec \(y(0) = 0\).