Éducation Nationale Française · Première Technologie
Trigonométrie (STI2D, STL)
I
Le cercle trigonométrique
I.1
Mesure en radians et longueur d'arc
La mesure d’un angle indique la fraction d’un tour complet qu’il représente. Bien que les degrés (360° dans un cercle) soient une unité courante, ils sont une invention humaine arbitraire. Une unité plus naturelle en mathématiques est le radian.
Définition — Mesure en radians
La mesure en radians d'un angle \(\theta\) est définie comme la longueur de l'arc qu'il intercepte sur un cercle unité (un cercle de rayon 1). 
Proposition — Angle d'un tour complet
La circonférence d'un cercle unité est \(C = 2\pi(1) = 2\pi\). Par conséquent, un cercle complet contient \(2\pi\) radians.Cela donne la conversion fondamentale : \(360^\circ = 2\pi\) radians, qui se simplifie en \(180^\circ = \pi\) radians.
Proposition — Longueur d'arc
Sur un cercle de rayon \(r\), un angle de \(\theta\) radians intercepte un arc de longueur \(\ell = r\,\theta\). De façon équivalente, \(\theta = \dfrac{\ell}{r}\) et \(r = \dfrac{\ell}{\theta}\). 
Exemple
Une roue de vélo a pour rayon \(35\) cm. De quelle distance le vélo avance-t-il quand la roue tourne d'un angle de \(\dfrac{3\pi}{4}\) ? Arrondir au millimètre.
La roue roule sans glisser : la distance parcourue est la longueur de l'arc balayé.$$\begin{aligned}[t]\ell &= r\,\theta && \scriptscriptstyle\text{(longueur d'arc, angle en radians)} \\
&= 35 \times \frac{3\pi}{4} \\
&= \frac{105\pi}{4} \approx 82{,}5 \text{ cm.}\end{aligned}$$
Méthode — Conversion degrés/radians
D’après la relation \(180^\circ = \pi\) radians : - Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\).
- Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\).
Exemple
Convertir \(60^{\circ}\) en radians.
\(\begin{aligned}[t] 60^{\circ}&=60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}\\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}\)
Définition — Angles positifs et négatifs
- Une mesure d'angle positive représente une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Une mesure d'angle négative représente une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.
Compétences à pratiquer
- Convertir des degrés en radians en fonction de \(\pi\)
- Convertir des radians en degrés
- Convertir les angles remarquables
- Déterminer un rayon ou une longueur d'arc
I.2
Enroulement de la droite et angles remarquables
Jusqu'ici un angle était une grandeur que l'on mesure. Il va devenir un nombre. On imagine la droite des réels comme un fil, posé tangent au cercle de rayon \(1\) au point d'abscisse \(1\), puis enroulé autour de ce cercle : \(0\) reste en place, les nombres positifs s'enroulent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les nombres négatifs dans l'autre sens. Chaque nombre réel vient alors se poser sur un point du cercle. 
Définition — Image d'un nombre réel
Le cercle de rayon \(1\) centré à l'origine, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre — le sens direct — s'appelle le cercle trigonométrique (c'est le même cercle que le cercle unité, muni d'un sens de parcours). L'enroulement de la droite des réels autour de ce cercle associe à chaque nombre réel \(x\) un unique point du cercle, appelé image de \(x\) et noté \(M(x)\) : en partant du point de coordonnées \((1\,;\,0)\), on parcourt sur le cercle une distance \(|x|\), dans le sens direct si \(x > 0\), dans le sens indirect si \(x < 0\). Par définition même du radian, \(x\) est alors une mesure en radians de l'angle orienté entre le demi-axe des abscisses positives et la demi-droite \([OM)\), où \(M = M(x)\). Proposition — Réels ayant la même image
Pour tout réel \(x\) et tout entier relatif \(k\) :$$M(x + 2k\pi) = M(x).$$ Réciproquement, deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de \(2\pi\). Exemple
- Placer l'image de \(\dfrac{9\pi}{4}\) sur le cercle trigonométrique.
- Placer l'image de \(-\dfrac{\pi}{3}\).
- Donner trois nombres réels ayant la même image que \(\dfrac{\pi}{3}\).
- \(\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{8\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = 2\pi + \dfrac{\pi}{4}\) : un tour complet, puis un huitième de tour. Donc \(M\left(\dfrac{9\pi}{4}\right) = M\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\), le point situé à un huitième de tour de \((1\,;\,0)\).
- \(-\dfrac{\pi}{3}\) se parcourt dans le sens indirect sur un sixième de tour : l'image est dans le quatrième quadrant, à \(-60^\circ\). C'est aussi l'image de \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}\).
- En ajoutant ou en soustrayant des tours entiers : \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}\), \(\quad\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}\), \(\quad\dfrac{\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{13\pi}{3}\).
Définition — Mesure principale d'un angle orienté
Les réels ayant la même image sur le cercle trigonométrique qu'un réel \(x\) sont les réels \(x + 2k\pi\), \(k\) entier relatif : ce sont toutes les mesures en radians d'un même angle orienté. Parmi elles, une seule appartient à l'intervalle \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\) — cet intervalle a pour longueur \(2\pi\), un tour complet, et ne contient qu'une de ses deux bornes. On l'appelle la mesure principale de l'angle. Sur le cercle, la mesure principale est dans \(\left[0\,;\,\pi\right]\) quand l'image est sur le demi-cercle supérieur, dans \(\left]-\pi\,;\,0\right[\) quand elle est sur le demi-cercle inférieur privé de ses extrémités ; le point \((-1\,;\,0)\) a pour mesure principale \(\pi\), jamais \(-\pi\). 
Méthode — Déterminer la mesure principale
Pour déterminer la mesure principale d'un réel \(x\) : - Enlever ou ajouter des tours entiers : soustraire \(2\pi\) (ou l'ajouter) autant de fois que nécessaire, c'est-à-dire calculer \(x - 2k\pi\) pour un entier \(k\) bien choisi.
- S'arrêter dans \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\) : pour \(x = \dfrac{p\pi}{q}\) avec \(q \gt 0\), le résultat \(\dfrac{p'\pi}{q}\) est dans l'intervalle exactement quand \(-q \lt p' \leq q\).
- Vérifier : le résultat diffère de \(x\) d'un multiple de \(2\pi\) — même image — et appartient à \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\).
Exemple
Donner la mesure principale de chaque réel. - \(\dfrac{11\pi}{4}\)
- \(-\dfrac{5\pi}{3}\)
- \(\dfrac{31\pi}{6}\)
- \(7\pi\)
- \(\dfrac{11\pi}{4} - 2\pi = \dfrac{11\pi}{4} - \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\), et \(-4 \lt 3 \leq 4\) : la mesure principale est \(\dfrac{3\pi}{4}\).
- \(-\dfrac{5\pi}{3} + 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} + \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\) : la mesure principale est \(\dfrac{\pi}{3}\).
- $$\begin{aligned}[t]\frac{31\pi}{6} - 4\pi &= \frac{31\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} &&\text{(} 7 \gt 6\text{ : encore au-dessus de } \pi\text{)}\\ \frac{31\pi}{6} - 6\pi &= \frac{31\pi}{6} - \frac{36\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} &&\text{(} -6 \lt -5 \leq 6\text{)}\end{aligned}$$ La mesure principale est \(-\dfrac{5\pi}{6}\) : \(\dfrac{7\pi}{6}\) est la mesure dans \(\left[0\,;\,2\pi\right[\), pas la mesure principale.
- \(7\pi - 6\pi = \pi\) : la mesure principale est \(\pi\) (l'intervalle contient \(\pi\), pas \(-\pi\)).
On découpe le cercle en \(8\) arcs égaux à l'aide de \(4\) diamètres. Comme le cercle complet mesure \(2\pi\), chaque arc mesure $$\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.$$ 
En comptant les arcs dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l'angle \(0\), chaque arc ajoute \(\dfrac{\pi}{4}\) : après \(k\) arcs, l'angle vaut \(k \times \dfrac{\pi}{4}\).
On continue de compter de la même façon jusqu'à \(8\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi}{4}=2\pi\), un tour complet : le point revient à sa position de départ.
Quatre de ces huit mesures se simplifient en une fraction de dénominateur plus petit. Les quatre autres, \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{4}\) et \(\dfrac{7\pi}{4}\), sont déjà irréductibles.
| Multiple de \(\dfrac{\pi}{4}\) | Angle |
| \(1\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\) |  |
| \(2\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\) |  |
| \(3\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\) |  |
| \(4\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{4}=\pi\) |  |
Quatre de ces huit mesures se simplifient en une fraction de dénominateur plus petit. Les quatre autres, \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{4}\) et \(\dfrac{7\pi}{4}\), sont déjà irréductibles.
Proposition — Placer les multiples de \(\frac{\pi}{4}\)
On découpe le cercle en \(12\) arcs égaux à l'aide de \(6\) diamètres. Comme le cercle complet mesure \(2\pi\), chaque arc mesure $$\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.$$ 
En comptant les arcs dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l'angle \(0\), chaque arc ajoute \(\dfrac{\pi}{6}\) : après \(k\) arcs, l'angle vaut \(k \times \dfrac{\pi}{6}\).
On continue de compter de la même façon jusqu'à \(12\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{12\pi}{6}=2\pi\), un tour complet : le point revient à sa position de départ.
Huit de ces douze mesures se simplifient en une fraction de dénominateur plus petit. Les quatre autres, \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(\dfrac{11\pi}{6}\), sont déjà irréductibles.
| Multiple de \(\dfrac{\pi}{6}\) | Angle |
| \(1\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\) |  |
| \(2\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\) |  |
| \(3\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\) |  |
| \(4\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}\) |  |
| \(5\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\) |  |
| \(6\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{6\pi}{6}=\pi\) |  |
Huit de ces douze mesures se simplifient en une fraction de dénominateur plus petit. Les quatre autres, \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(\dfrac{11\pi}{6}\), sont déjà irréductibles.
Proposition — Placer les multiples de \(\frac{\pi}{6}\)
Proposition — Angles remarquables sur le cercle
Compétences à pratiquer
- Lire un angle sur le cercle
- Placer un angle sur le cercle
- Reconnaître deux réels de même image
- Déterminer la mesure principale
I.3
Cosinus et sinus d'un nombre réel
Chaque nombre réel a un point du cercle. Ce point a deux coordonnées — et les nommer, c'est définir le cosinus et le sinus d'un nombre, non plus d'un triangle. Pour un angle aigu, le triangle rectangle tracé sous le point montre que rien n'est perdu : ce sont bien le cosinus et le sinus du triangle rectangle.
Proposition — Relation entre angle et coordonnées
Pour un angle \(\theta\), mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du demi-axe des abscisses positives, \(M(x\,;\,y)\) est le point correspondant du cercle trigonométrique. - La coordonnée \(x\) est le cosinus de l'angle : \(\cos \theta = x\)
- La coordonnée \(y\) est le sinus de l'angle : \(\sin \theta = y\)
Exemple
Déterminer les valeurs \(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
Sur le cercle unité, le point correspondant à l'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) a pour coordonnées \((0\,;\,1)\) : 
\(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 \quad\) coordonnée \(x\)
\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \quad\) coordonnée \(y\)
\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \quad\) coordonnée \(y\)
Proposition — Signe de sinus et cosinus
| Quadrant | \(\cos \theta\) | \(\sin \theta\) |
| 1 | \(+\) | \(+\) |
| 2 | \(-\) | \(+\) |
| 3 | \(-\) | \(-\) |
| 4 | \(+\) | \(-\) |
Méthode — Régler le mode de la calculatrice
Une calculatrice calcule les cosinus et les sinus en radians ou en degrés, et rien à l'écran ne dit lequel. Avant tout calcul, vérifier le mode avec une valeur connue : \(\cos(1)\) vaut environ \(0{,}54\) en mode radian et environ \(0{,}9998\) en mode degré. Quand les angles sont des nombres réels, le mode doit être RAD. Compétences à pratiquer
- Exprimer les coordonnées d'un point du cercle
- Déterminer des valeurs de sinus et de cosinus
- Calculer à la calculatrice
- Lire les signes sur le cercle
I.4
Angles associés et identités
Dès qu'un point est placé sur le cercle, ses symétriques le sont aussi : un demi-tour, un quart de tour, une symétrie par rapport à un axe, une symétrie par rapport à la diagonale envoient \(M(\theta)\) sur un autre point du cercle. Lire chacune de ces symétries sur les coordonnées ne coûte rien — et transforme une poignée de valeurs remarquables en un tableau entier : c'est ce que font les identités qui suivent.
Proposition — Identité pythagoricienne
Pour tout angle \(\theta\) : $$ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $$ Proposition — Encadrement du cosinus et du sinus
$$-1 \leq \cos \theta \leq 1\quad\text{ et }\quad-1 \leq \sin \theta \leq 1$$ Proposition — Identité de périodicité
Pour tout angle \(\theta\) et tout entier \(k\) : $$ \cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta \quad \text{et} \quad \sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta $$ Proposition — Demi-tour : \(\pi + \theta\)
Symétrie centrale de centre l’origine : $$\begin{aligned} \sin (\pi+\theta)&=-\sin \theta \\
\cos (\pi+\theta)&=-\cos \theta \end{aligned}$$ 
Proposition — Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : \(-\theta\)
Symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses : $$\begin{aligned} \sin (-\theta)&=-\sin \theta \\
\cos (-\theta)&=\cos \theta \end{aligned}$$ 
Proposition — Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
Pour tout réel \(\theta\) :$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta.$$ Les points d'angles \(\theta\) et \(\pi - \theta\) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : ils ont la même ordonnée, et leurs abscisses sont opposées. 
Proposition — Identités avec \(\frac{\pi}{2} - \theta\)
Symétrie par rapport à la droite \(y=x\) : $$\begin{aligned} \cos\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \sin \theta \\
\sin\left(\frac \pi 2 -\theta\right) &= \cos \theta \\
\end{aligned}$$ 
Exemple
À l'aide des identités ci-dessus, écrire : - \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) à l'aide de \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) ;
- \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\) à l'aide de \(\sin\dfrac{\pi}{6}\).
- \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\) : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées change le signe de l'abscisse, donc$$\cos\frac{2\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3}.$$
- \(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\) : le demi-tour de centre \(O\) change le signe des deux coordonnées, donc$$\sin\frac{7\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6}.$$
Proposition — Identités avec \(\frac{\pi}{2} + \theta\)
Un quart de tour : pour tout réel \(\theta\), $$\textcolor{colorprop}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta.}$$ Sur le cercle trigonométrique, le point de \(\frac{\pi}{2} + \theta\) est l'image du point \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\) de \(\theta\) par le quart de tour de centre \(O\) : c'est le point \((-\sin\theta\,;\,\cos\theta)\). Exemple
À l'aide de \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4}\), écrire \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) à l'aide de \(\sin\dfrac{\pi}{6}\), et \(\sin\dfrac{3\pi}{4}\) à l'aide de \(\cos\dfrac{\pi}{4}\).
$$\begin{aligned}[t]\cos\frac{2\pi}{3} &= \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6}, &&\text{(} \cos\left(\tfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta\text{)}\\
\sin\frac{3\pi}{4} &= \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}. &&\text{(} \sin\left(\tfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta\text{)}\end{aligned}$$ Comme \(\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\), les identités avec \(\dfrac{\pi}{2} - \theta\) donnent \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \cos\dfrac{\pi}{3}\), donc \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3}\) : le résultat de l'exemple précédent, obtenu par un quart de tour au lieu d'un demi-tour.
Compétences à pratiquer
- Exprimer une valeur à l'aide d'un angle de référence
- Expliquer une égalité
- Utiliser l'identité de Pythagore
I.5
Multiples de \(\frac{\pi}{4}\)
Les symétries du cercle relient les coordonnées de nombreux points à celles d'un seul — mais elles ne donnent rien tant qu'une première valeur n'est pas connue. En voici une : le huitième de tour, \(\dfrac{\pi}{4}\), soit \(45^\circ\), où le point est sur la diagonale. Ses deux coordonnées sont égales, et le triangle rectangle tracé sous le point suffit à les trouver : c'est le triangle rectangle isocèle qui donne déjà les valeurs exactes des rapports trigonométriques de \(45^\circ\).
Proposition — Coordonnées pour l'angle \(\frac{\pi}{4}\)
$$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 
Proposition — Multiples de \(\frac{\pi}{4}\)
Les signes des coordonnées sont déterminés par le quadrant dans lequel se trouve l'angle.
Exemple
Déterminer \(\cos \dfrac{3 \pi}{4}\).
\(\cos \dfrac{3 \pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Compétences à pratiquer
- Lire les valeurs des multiples de \(\frac{\pi}{4}\)
- Retrouver une valeur exacte par une identité
I.6
Multiples de \(\frac{\pi}{6}\)
Une seconde famille : le douzième de tour, \(\dfrac{\pi}{6}\) (\(30^\circ\)), et son compagnon \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)), le sixième de tour. Cette fois le triangle à tracer est équilatéral : sa moitié est le triangle rectangle qui donne déjà les valeurs exactes des rapports trigonométriques de \(30^\circ\) et de \(60^\circ\). Il donne les deux angles d'un coup — ils échangent leurs coordonnées.
Proposition — Coordonnées des angles \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{6}\)
$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad\qquad \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text { et } \quad \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$$ Les deux angles échangent leurs coordonnées : le point d'angle \(\frac{\pi}{6}\) est le symétrique du point d'angle \(\frac{\pi}{3}\) par rapport à la droite \(y = x\). 
Proposition — Multiples de \(\frac{\pi}{6}\)
Exemple
Déterminer \(\cos \dfrac{2 \pi}{3}\) et \(\sin \dfrac{2 \pi}{3}\). 
Proposition — Tableau des valeurs remarquables
| \(\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
Compétences à pratiquer
- Lire les valeurs des multiples de \(\frac{\pi}{6}\)
- Retrouver une valeur exacte par une identité
I.7
Résoudre les équations \(\cos(x) \equal a\) et \(\sin(x) \equal a\)
Combien de solutions a une équation trigonométrique ?
Sur le cercle trigonométrique, on lit tout de suite que \(\dfrac{\pi}{3}\) est solution de \(\cos(x) = \dfrac{1}{2}\). Est-ce la seule ? Une équation de ce type a en général une infinité de solutions, et une question n'en demande presque jamais une : elle demande toutes celles qui appartiennent à un intervalle donné. Il faut donc deux choses, que la propriété ci-dessous fournit l'une et l'autre : une façon de décrire l'ensemble des solutions, et une façon d'en extraire celles de l'intervalle demandé.
Proposition — Résoudre \(\cos(x) \equal \cos(a)\) et \(\sin(x) \equal \sin(a)\)
Soit \(a\) un nombre réel. Pour tout nombre réel \(x\) : $$\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = -a + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}\,;$$ $$\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - a + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$$ Le cercle trigonométrique explique les deux. Les points de même abscisse \(\cos(a)\) sont symétriques par rapport à l'axe horizontal, ce qui donne \(a\) et \(-a\) : 
Méthode — Résoudre une équation trigonométrique à l'aide du cercle
Cette méthode s'applique lorsque l'équation peut s'écrire avec une valeur remarquable au second membre. Pour une valeur qui n'est pas remarquable, la calculatrice donne une valeur approchée d'une solution et le cercle donne alors les autres. - Écrire l'équation sous la forme \(\cos(X) = \cos(a)\) ou \(\sin(X) = \sin(a)\), où \(a\) se lit sur le cercle trigonométrique.
- Écrire les deux familles de solutions en \(X\) : \(X = a + 2k\pi\) ou \(X = -a + 2k\pi\) pour le cosinus, \(X = a + 2k\pi\) ou \(X = \pi - a + 2k\pi\) pour le sinus (\(k \in \mathbb{Z}\)).
- Revenir à \(x\) si \(X\) était une expression telle que \(2x\) ou \(3x - \frac{\pi}{4}\).
- Sélectionner les entiers \(k\) pour lesquels la solution appartient à l'intervalle demandé, puis énumérer les solutions.
Exemple
Résoudre l'équation \(2\cos(2x) = 1\) sur l'intervalle \([0\,;\,2\pi[\).
Pour tout nombre réel \(x\), en notant \(k\) un entier : $$\begin{aligned}[t] 2\cos(2x) = 1 &\iff \cos(2x) = \dfrac{1}{2} &&\text{(on divise par 2)} \\
&\iff \cos(2x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) &&\text{(valeur remarquable)} \\
&\iff 2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \ \text{ ou } \ 2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi &&\text{(propriété précédente)} \\
&\iff x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \ \text{ ou } \ x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \end{aligned}$$ Il reste à sélectionner les entiers \(k\) donnant une solution dans \([0\,;\,2\pi[\). Pour la première famille, \(k = -1\) donne \(-\dfrac{5\pi}{6} < 0\), \(k = 0\) donne \(\dfrac{\pi}{6}\), \(k = 1\) donne \(\dfrac{7\pi}{6}\), et \(k = 2\) donne \(\dfrac{13\pi}{6} > 2\pi\). Pour la seconde famille, \(k = 0\) donne \(-\dfrac{\pi}{6} < 0\), \(k = 1\) donne \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(k = 2\) donne \(\dfrac{11\pi}{6}\), et \(k = 3\) donne \(\dfrac{17\pi}{6} > 2\pi\). L'ensemble des solutions est $$\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{11\pi}{6}\right\}.$$
Compétences à pratiquer
- Résoudre une équation sur \([-\pi ; \pi]\)
- Résoudre des équations trigonométriques de base
II
Les fonctions cosinus et sinus
II.1
Définition et courbes
Chaque nombre réel \(x\) a un point du cercle, et ce point a deux coordonnées. On laisse maintenant \(x\) parcourir toute la droite et l'on suit chaque coordonnée pour elle-même : deux fonctions naissent, \(x \mapsto \cos x\) et \(x \mapsto \sin x\). En se déroulant, le cercle dessine leurs courbes.
Soit \(M(\cos x\,;\,\sin x)\) le point du cercle trigonométrique correspondant à un angle \(x\) (exprimé en radians).
Voir par exemple : \href{https://www.geogebra.org/m/j7w29vj4}{démo Geogebra}. 
- L’angle \(x\) sur le cercle trigonométrique correspond à l’antécédent (l’« entrée ») de la fonction sinus.
- L’ordonnée du point \(M\) sur le cercle, \(\sin x\), donne la valeur (l’« image ») de la fonction sinus.
Voir par exemple : \href{https://www.geogebra.org/m/j7w29vj4}{démo Geogebra}.
Définition — Fonction sinus
La fonction sinus, notée \(\sin\), est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe l'ordonnée du point \(M\) du cercle trigonométrique associé à \(x\) : \(x\mapsto \sin(x)\). Exemple
Compléter le tableau suivant avec les valeurs de la fonction sinus aux principaux angles : | \(x\) | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
| \(\sin(x)\) |
| \(x\) | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
| \(\sin(x)\) | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | 0 |
Si l’on projette les valeurs de \(\cos x\) à partir du cercle trigonométrique sur un graphique, on obtient la courbe de la fonction cosinus \(x \mapsto \cos x\). 
Définition — Fonction cosinus
La fonction cosinus, notée \(\cos\), est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe l'abscisse du point \(M\) du cercle trigonométrique associé à \(x\) : \(x\mapsto\cos(x)\). Exemple
Compléter le tableau suivant avec les valeurs de la fonction cosinus aux principaux angles : | \(x\) | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
| \(\cos(x)\) |
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
| \(\cos(x)\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-1\) |
Proposition — Parité des fonctions cosinus et sinus
Rappel : une fonction \(f\) est paire lorsque \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\), impaire lorsque \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\). La fonction cosinus est paire : pour tout réel \(x\), \(\cos(-x) = \cos x\). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction sinus est impaire : pour tout réel \(x\), \(\sin(-x) = -\sin x\). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\). 
Compétences à pratiquer
- Compléter un tableau de valeurs
- Tracer un graphe
- Lire un graphique
II.2
La périodicité
La courbe qui vient d'être déroulée ne s'arrête jamais, et pourtant elle ne raconte qu'une seule chose : le même motif revient, encore et encore. Le cercle n'a que \(2\pi\) de tour, et c'est cette longueur que la courbe recopie sans fin. On donne un nom à cette répétition.
Définition — Fonction périodique
Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est dite périodique s'il existe une constante \(P>0\) telle que :$$ f(x+P) = f(x), \quad \text{pour tout réel } x $$Lorsqu'il existe une plus petite constante \(P\) qui convient, elle est appelée la période de \(f\). Proposition — Périodicité des fonctions cosinus et sinus
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\) : pour tout réel \(x\),$$\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$$ Leurs courbes sont inchangées par la translation de longueur \(2\pi\) le long de l'axe des abscisses : il suffit de les tracer sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi\,;\,\pi]\), puis de répéter le motif. 
Compétences à pratiquer
- Lire la périodicité sur la courbe
- Identifier un comportement périodique à partir d'un graphe
II.3
Variations et symétries des courbes
La périodicité dit que les courbes du cosinus et du sinus répètent un motif de longueur \(2\pi\). Le cercle trigonométrique en dit plus sur ce motif : où il monte, où il descend, et quelles symétries il possède.
Proposition — Variations des fonctions cosinus et sinus
Sur \(\left[-\pi\,;\,\pi\right]\) : - la fonction cosinus est croissante sur \(\left[-\pi\,;\,0\right]\) et décroissante sur \(\left[0\,;\,\pi\right]\) ;
- la fonction sinus est croissante sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), et décroissante sur \(\left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]\) et sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\).
On lit sur le cercle trigonométrique, où l'image \(M(x)\) a pour coordonnées \((\cos x\,;\,\sin x)\).
- Quand \(x\) va de \(0\) à \(\pi\), \(M(x)\) parcourt le demi-cercle supérieur de \((1\,;\,0)\) à \((-1\,;\,0)\) : son abscisse \(\cos x\) descend de \(1\) à \(-1\). Quand \(x\) va de \(-\pi\) à \(0\), \(M(x)\) parcourt le demi-cercle inférieur de \((-1\,;\,0)\) à \((1\,;\,0)\) : \(\cos x\) monte de \(-1\) à \(1\).
- Quand \(x\) va de \(-\dfrac{\pi}{2}\) à \(\dfrac{\pi}{2}\), \(M(x)\) parcourt le demi-cercle de droite de \((0\,;\,-1)\) à \((0\,;\,1)\) : son ordonnée \(\sin x\) monte de \(-1\) à \(1\). De \(\dfrac{\pi}{2}\) à \(\pi\), \(M(x)\) va de \((0\,;\,1)\) à \((-1\,;\,0)\) et \(\sin x\) descend de \(1\) à \(0\) ; de \(-\pi\) à \(-\dfrac{\pi}{2}\), il va de \((-1\,;\,0)\) à \((0\,;\,-1)\) et \(\sin x\) descend de \(0\) à \(-1\).
Proposition — Symétries des courbes du cosinus et du sinus
Pour tout nombre réel \(x\), les angles associés donnent : - \(\sin(\pi - x) = \sin x\) : la courbe du sinus est symétrique par rapport à la droite verticale \(x = \dfrac{\pi}{2}\) ;
- \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) et \(\sin(\pi - x) = \sin x\) : la courbe du sinus est symétrique par rapport au point \((\pi\,;\,0)\) ;
- \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) : la courbe du cosinus est symétrique par rapport au point \(\left(\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right)\) ;
- \(\cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin x\) : la courbe du sinus est la courbe du cosinus translatée de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la droite.
Les relations viennent du cercle trigonométrique : les images de \(x\) et \(\pi - x\) sont symétriques par rapport à l'axe vertical (même ordonnée, abscisses opposées), donc \(\sin(\pi - x) = \sin x\) et \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) ; les images de \(x\) et \(\pi + x\) sont symétriques par rapport au centre (demi-tour), donc \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) ; les images de \(x\) et \(\dfrac{\pi}{2} - x\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\), qui échange les deux coordonnées, donc \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\). Deux points \((a\,;\,b)\) et \((a'\,;\,b')\) sont symétriques par rapport à la droite verticale \(x = m\) quand \(b' = b\) et \(\dfrac{a + a'}{2} = m\), et par rapport au point \((m\,;\,0)\) quand \(b' = -b\) et \(\dfrac{a + a'}{2} = m\).
- Les points \((x\,;\,\sin x)\) et \((\pi - x\,;\,\sin(\pi - x)) = (\pi - x\,;\,\sin x)\) de la courbe du sinus ont la même ordonnée, et \(\dfrac{x + (\pi - x)}{2} = \dfrac{\pi}{2}\).
- Les points \((\pi - x\,;\,\sin(\pi - x)) = (\pi - x\,;\,\sin x)\) et \((\pi + x\,;\,\sin(\pi + x)) = (\pi + x\,;\,-\sin x)\) ont des ordonnées opposées, et \(\dfrac{(\pi - x) + (\pi + x)}{2} = \pi\).
- Les points \((x\,;\,\cos x)\) et \((\pi - x\,;\,\cos(\pi - x)) = (\pi - x\,;\,-\cos x)\) ont des ordonnées opposées, et \(\dfrac{x + (\pi - x)}{2} = \dfrac{\pi}{2}\).
- Le point \((x\,;\,\sin x) = \left(x\,;\,\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)\) de la courbe du sinus est le point \(\left(x - \frac{\pi}{2}\,;\,\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)\) de la courbe du cosinus décalé de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la droite ; et \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\), car le cosinus est pair.
Exemple
Sans calculatrice, comparer : - \(\cos 1\) et \(\cos 2\) ;
- \(\sin 0{,}5\) et \(\sin 1\) ;
- \(\sin 1\) et \(\sin 2\).
- \(1\) et \(2\) sont dans \(\left[0\,;\,\pi\right]\), où le cosinus est décroissant, et \(1 \lt 2\) : donc \(\cos 1 \gt \cos 2\).
- \(0{,}5\) et \(1\) sont dans \(\left[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\) (car \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\)), où le sinus est croissant, et \(0{,}5 \lt 1\) : donc \(\sin 0{,}5 \lt \sin 1\).
- \(2 \gt \frac{\pi}{2}\), donc \(1\) et \(2\) ne sont pas dans le même intervalle de variation. La symétrie par rapport à \(x = \frac{\pi}{2}\) ramène \(2\) : \(\sin 2 = \sin(\pi - 2)\), avec \(\pi - 2 \gt 1\) car \(\pi \gt 3\), et \(\pi - 2 \lt \frac{\pi}{2}\) car \(\pi \lt 4\). Or \(1\) et \(\pi - 2\) sont dans \(\left[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\) et \(1 \lt \pi - 2\) : donc \(\sin 1 \lt \sin(\pi - 2) = \sin 2\).
Compétences à pratiquer
- Lire les variations sur le cercle
- Utiliser les symétries des courbes
III
Les fonctions sinusoïdales
III.1
Amplitude, période et phase
Maintenant que les graphes de \(y = \sin x\) et \(y = \cos x\) sont familiers, on peut utiliser les transformations pour tracer des fonctions trigonométriques plus compliquées.
Définition — Fonctions sinus et cosinus générales
Pour les fonctions de la forme \(y = a\sin(b(x-c)) + d\) et \(y = a\cos(b(x-c)) + d\), avec \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\) : - \(|a|\) est l'amplitude.
- \(\frac{2\pi}{|b|}\) est la période (\(x\) en radians ; avec \(x\) en degrés, la période est \(\frac{360^\circ}{|b|}\)).
- \(c\) est le déphasage (translation horizontale).
- \(d\) est le décalage vertical (l'axe principal est \(y=d\)).
Proposition — Transformations des fonctions trigonométriques
Pour des paramètres réels \(a,b,c,d\) avec \(b\neq 0\), le graphe de \(y = a\sin\!\big(b(x-c)\big) + d\) s’obtient à partir de \(y=\sin x\) par : - une dilatation verticale de facteur \(|a|\) ; si \(a<0\), réflexion par rapport à l’axe horizontal,
- une dilatation horizontale de facteur \(\dfrac{1}{|b|}\) ; si \(b<0\), réflexion par rapport à l’axe vertical,
- une translation horizontale de \(c\) unités (vers la droite si \(c>0\), vers la gauche si \(c<0\)) et une translation verticale de \(d\) unités (vers le haut si \(d>0\), vers le bas si \(d<0\)).
Exemple
Tracer le graphe de \(y=\sqrt{2} \sin x-1\) pour \(0 \leq x \leq 2 \pi\). - Le graphe de \(y=\sqrt{2} \sin x\) est la dilatation verticale du graphe \(y=\sin x\) de facteur \(\sqrt{2}\).
- Le graphe de \(y=\sqrt{2} \sin x-1\) est la translation verticale du graphe \(y=\sqrt{2}\sin x\) de \(-1\).
Signaux sinusoïdaux
Une grandeur qui oscille régulièrement au cours du temps — la tension du secteur, la hauteur d'un point d'une corde qui vibre, la position d'une masse suspendue à un ressort, chacune mesurée depuis sa position d'équilibre — est souvent modélisée par une fonction du temps \(t\) de la forme \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) ou \(t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)\). La physique donne un nom à chacun des trois nombres \(A\), \(\omega\) et \(\varphi\).
Définition — Signal sinusoïdal
Soit \(A \gt 0\), \(\omega \gt 0\) et \(\varphi\) des nombres réels. Les fonctions \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) et \(t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)\) du temps \(t\) sont des signaux sinusoïdaux : - \(A\) est l'amplitude : le signal oscille entre \(-A\) et \(A\) ;
- \(\omega\) est la pulsation, en radians par seconde ;
- \(\omega t + \varphi\) est la phase instantanée, et sa valeur \(\varphi\) en \(t = 0\) est la phase à l'origine.
Proposition — Période et fréquence d'un signal sinusoïdal
Un signal sinusoïdal de pulsation \(\omega\) est périodique, de période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) : il reprend les mêmes valeurs toutes les \(T\) secondes. Sa fréquence est le nombre de périodes par seconde : $$\textcolor{colorprop}{f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}}, \quad \text{en hertz (Hz)}.$$
Phase à l'origine et translation horizontale
Un signal sinusoïdal est une fonction \(y = a\cos\big(b(x - c)\big)\) écrite avec le temps \(t\) : $$A\cos(\omega t + \varphi) = A\cos\left(\omega\left(t + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right),$$ donc \(a = A\), \(b = \omega\) et le décalage horizontal (une durée, que l'écriture générale des fonctions sinus et cosinus appelle déphasage) est \(c = -\dfrac{\varphi}{\omega}\). La courbe de \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) est la courbe de \(t \mapsto A\cos(\omega t)\) translatée vers la gauche de \(\dfrac{\varphi}{\omega}\) quand \(\varphi \gt 0\), vers la droite de \(-\dfrac{\varphi}{\omega}\) quand \(\varphi \lt 0\).
Méthode — Lire un signal sinusoïdal sur sa courbe
Pour déterminer \(A\), \(\omega\) et \(\varphi\) à partir de la courbe de \(u(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\) : - Amplitude : \(A\) est la valeur maximale du signal.
- Période : \(T\) est la durée entre deux maxima consécutifs ; alors \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\).
- Phase à l'origine : si le signal atteint son maximum à l'instant \(t_0\), alors \(\cos(\omega t_0 + \varphi) = 1\), donc \(\omega t_0 + \varphi\) est un multiple de \(2\pi\) : \(\varphi = -\omega t_0 + 2k\pi\), \(k\) entier relatif. Prendre la valeur qui appartient à \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\) ; quand \(0 \leq t_0 \lt \dfrac{T}{2}\), c'est \(\varphi = -\omega t_0\).
- Vérifier : \(u(0) = A\cos\varphi\) doit être la valeur lue sur la courbe en \(t = 0\).
Exemple
La tension du secteur, en volts, vaut \(u(t) = 325\cos(100\pi t)\), avec \(t\) en secondes. Donner son amplitude, sa pulsation, sa période, sa fréquence et sa phase à l'origine.
Ici \(A = 325\) V et \(\omega = 100\pi\) rad/s, et \(\varphi = 0\) (rien n'est ajouté à \(100\pi t\)). $$\begin{aligned}[t] T &= \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} = 0{,}02 \text{ s}\\
f &= \frac{1}{T} = 50 \text{ Hz.}\end{aligned}$$ La tension reprend les mêmes valeurs cinquante fois par seconde.
Exemple
La courbe ci-dessous est celle d'un signal \(u(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\), avec \(t\) en secondes. Lire \(A\) et \(T\), en déduire \(\omega\), puis déterminer \(\varphi\) dans \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\). 
- La valeur maximale est \(2\) : \(A = 2\).
- Deux maxima consécutifs sont en \(t = 1\) et \(t = 5\) : \(T = 4\) s, donc \(\omega = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\) rad/s.
- Le maximum en \(t_0 = 1\) donne \(\varphi = -\dfrac{\pi}{2} \times 1 + 2k\pi\) ; la valeur dans \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\) est \(\varphi = -\dfrac{\pi}{2}\). Vérification : \(u(0) = 2\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\), comme sur la courbe. Donc \(u(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t - \dfrac{\pi}{2}\right)\) : cette courbe est aussi celle de \(t \mapsto 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)\).
Compétences à pratiquer
- Identifier les propriétés à partir d'une équation
- Esquisser des fonctions transformées
- Déterminer l'équation à partir d'un graphe
- Décrire un signal sinusoïdal
III.2
Modéliser un phénomène périodique
Méthode — Modélisation de données périodiques avec une fonction sinus
Pour trouver un modèle sinusoïdal de la forme \(y = a\sin(b(x-c)) + d\) qui correspond à un ensemble de données périodiques : - Trouver le décalage vertical, \(d\) : Calculer l'axe principal, qui est la moyenne des valeurs maximale et minimale. $$d = \frac{\text{valeur max} + \text{valeur min}}{2}$$
- Trouver l'amplitude, \(a\) : Calculer la moitié de la distance entre les valeurs maximale et minimale. $$a = \frac{\text{valeur max} - \text{valeur min}}{2}$$
- Trouver la période et le paramètre \(b\) : Déterminer la période, \(P\), qui est la longueur d'un cycle complet des données. Utiliser la formule \(P = \frac{2\pi}{b}\) pour trouver \(b\). $$b = \frac{2\pi}{P}$$
- Trouver le déphasage, \(c\) : Substituer un point de données \((x,y)\) dans l'équation \(y = a\sin(b(x-c))+d\) et résoudre pour le décalage horizontal \(c\). Il est souvent plus simple de choisir un point où la fonction croise son axe principal.
Exemple
Les températures maximales moyennes mensuelles pour Le Cap, en Afrique du Sud, sont indiquées ci-dessous : | Mois (\(t\)) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Temp (\(T\)) | 28 | 27 | 25{,}5 | 22 | 18{,}5 | 16 | 15 | 16 | 18 | 21{,}5 | 24 | 26 |
- Trouver le décalage vertical (\(d\)) : La valeur max est 28 et la min est 15. $$ d = \frac{28+15}{2} = 21{,}5 $$
- Trouver l'amplitude (\(a\)) : $$ a = \frac{28-15}{2} = 6{,}5 $$
- Trouver la période (\(b\)) : Les données se répètent tous les 12 mois, donc la période \(P=12\). $$ b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} $$
- Trouver le déphasage (\(c\)) : Le modèle est \(T = 6{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t-c)) + 21{,}5\). Une fonction sinus standard commence à son axe principal en montant. D'après les données, la température est de 21{,}5 (valeur de l'axe principal) à \(t=10\) et est en augmentation. On peut donc choisir un déphasage de \(c=10\).
- Modèle final : $$ T(t) = 6{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-10)\right) + 21{,}5 $$
Compétences à pratiquer
- Modéliser des phénomènes du monde réel
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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