Éducation Nationale Française · Terminale Technologie
Nombres complexes : forme exponentielle (STI2D, STL)
I
Forme algébrique et forme trigonométrique
I.1
Le plan complexe
Définition — Plan complexe
Le plan complexe est le plan rapporté à un repère orthonormé tel que : - l'axe horizontal, appelé l'axe des réels, est l'ensemble des nombres réels ;
- l'axe vertical, appelé l'axe des imaginaires purs, est l'ensemble des nombres imaginaires purs.
Définition — Correspondance entre représentations cartésienne et complexe
- Le point \(M(a; b)\) est le point image du nombre complexe \(z=a+ib\).
- Le vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est le vecteur image du nombre complexe \(z=a+ib\).
- Le nombre complexe \(z=a+ib\) est l'affixe du point \(M(a; b)\) et du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\).
Compétences à pratiquer
- Lire l'affixe d'un point
I.2
Le conjugué
Définition — Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe \(z = a + ib\) (avec \(a,b\in\R\)) est \(\conjugate{z} = a - ib\). Le conjugué de \(z\) est souvent noté \(\conjugate{z}\) ou \(z^{*}\). Méthode — Résoudre une équation faisant intervenir \(z\) et \(\conjugate{z}\)
- Si seul \(\conjugate{z}\) apparaît (par exemple \(-\conjugate{z} = 5 - i\)) : isoler \(\conjugate{z}\), puis prendre le conjugué des deux membres, puisque \(\conjugate{\conjugate{z}} = z\).
- Si \(z\) et \(\conjugate{z}\) apparaissent tous deux (par exemple \(2z + \conjugate{z} = 3 - 2i\)) : poser \(z = a + ib\) avec \(a, b\) réels, de sorte que \(\conjugate{z} = a - ib\) ; développer et regrouper les parties réelle et imaginaire ; identifier avec celles du membre de droite, ce qui donne un système de deux équations d'inconnues \(a\) et \(b\).
- Contrôler la solution dans l'équation.
Compétences à pratiquer
- Résoudre des équations complexes impliquant le conjugué
I.3
Module et argument
Définition — Module
Le module d'un nombre complexe \(z = x+iy\), noté \(|z|\), est la distance de l'origine à son point image dans le plan complexe. D'après le théorème de Pythagore, il est défini par : $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$ Le module est un nombre réel positif ou nul. 
Définition — Argument
On appelle argument d'un nombre complexe non nul \(z\), noté \(\arg(z)\), toute mesure \(\theta\) de l'angle orienté entre l'axe des réels positifs et le vecteur image de \(z\). 
Remarque
Un argument d'un nombre complexe n'est pas unique, car on peut ajouter n'importe quel multiple de \(2\pi\) à l'angle. Pour le rendre unique, on définit la valeur principale de l'argument, aussi appelée argument principal, comme l'unique argument \(\theta\) appartenant à l'intervalle \(]-\pi ; \pi]\).
L'argument du nombre complexe \(0\) n'est pas défini.
L'argument du nombre complexe \(0\) n'est pas défini.
Méthode — Calculer l'argument
Pour déterminer un argument \(\theta\) d'un nombre complexe non nul \(z=a+ib\) : - Calculer le module \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\).
- Factoriser par le module pour identifier les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique : $$ z = |z| \left( \frac{a}{|z|} + i \frac{b}{|z|} \right). $$
- Identifier l'angle. On cherche un angle \(\theta\) qui vérifie le système d'équations : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|} \\ \sin(\theta) = \dfrac{b}{|z|} \end{cases} $$ Cette valeur de \(\theta\) est un argument de \(z\).
Compétences à pratiquer
- Calculer le module d'un nombre complexe
- Calculer l'argument d'un nombre complexe
I.4
La forme trigonométrique
Définition — Forme trigonométrique
Un nombre complexe non nul \(z\) de module \(r = |z|\) et d'argument \(\theta\) peut s'écrire sous forme trigonométrique : $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta). $$ 
Compétences à pratiquer
- Convertir de la forme trigonométrique à la forme algébrique
- Convertir de la forme algébrique à la forme trigonométrique
II
La forme exponentielle
II.1
Exponentielle imaginaire et forme exponentielle
Définition — Cercle unité dans le plan complexe
On note \(\mathbb{U}\) l'ensemble des nombres complexes de module \(1\) : $$\mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C} \mid |z |=1\}.$$ Les points images des éléments de \(\mathbb{U}\) forment le cercle unité, cercle de rayon \(1\) centré à l'origine ; parcouru dans le sens direct, c'est le cercle trigonométrique. 
Proposition — Forme trigonométrique des nombres de module 1
Si \(z\in \mathbb{U}\), alors il existe \(\theta\in \R\) tel que $$z=\cos \theta+i \sin \theta.$$ Ici, \(\theta\) est un argument de \(z\). 
Pourquoi une exponentielle ?
Soit \(f(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta\) pour tout réel \(\theta\). Alors \(f(0) = \cos 0 + i\sin 0 = 1\), et en dérivant sa partie réelle et sa partie imaginaire : $$\begin{aligned}[t] f'(\theta) &= -\sin\theta + i\cos\theta\\
&= i\cos\theta + i^2\sin\theta &&\text{(} i^2 = -1\text{)}\\
&= i\,(\cos\theta + i\sin\theta) = i\,f(\theta).\end{aligned}$$ Ainsi \(f' = i f\) et \(f(0) = 1\) : ce sont les deux propriétés de \(x \mapsto e^{kx}\) (dérivée \(k\,e^{kx}\), valeur \(1\) en \(0\)), avec \(k = i\) — une simple analogie, puisque \(i\) n'est pas un réel. Voilà une raison, qui n'utilise pas les formules d'addition, d'écrire \(\cos\theta + i\sin\theta\) sous la forme \(e^{i\theta}\). Ces deux propriétés motivent la notation mais ne démontrent pas les règles de l'exponentielle réelle pour \(e^{i\theta}\) : ces règles sont ici admises, en particulier $$e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}.$$
Définition — Exponentielle imaginaire
Pour tout nombre réel \(\theta\), on définit l'exponentielle imaginaire, notée \(e^{i\theta}\), comme le nombre complexe $$e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta.$$ Proposition — Propriétés de l'exponentielle imaginaire
Pour tous nombres réels \(\theta\) et \(\theta'\), et pour tout entier \(n\), l'exponentielle imaginaire vérifie les propriétés fondamentales suivantes : - Module : \(|e^{i\theta}| = 1\)
- Argument : \(\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta \pmod{2\pi}\)
- Conjugué : \(\conjugate{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}\)
- Produit : \(e^{i(\theta+\theta')} = e^{i\theta}\, e^{i\theta'}\)
- Quotient : \(\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}\)
- Puissance : \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\)
Tout nombre complexe non nul peut être représenté en partant d'un nombre sur le cercle trigonométrique et en le dilatant par son module.
Définition — Forme exponentielle
En utilisant l'exponentielle imaginaire, un nombre complexe non nul \(z\) de module \(r = |z|\) et d'argument \(\theta\) peut s'écrire sous forme exponentielle : $$ z = re^{i\theta}. $$ 
Remarque
Cette forme rend les règles géométriques de la multiplication particulièrement intuitives : $$(r_1 e^{i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = (r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$$ Multiplier des nombres complexes revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs arguments.
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'affixe d'un point sur le cercle trigonométrique
- Évaluer des exponentielles complexes
- Appliquer les propriétés de l'exponentielle
- Reconnaître une forme trigonométrique ou exponentielle
- Convertir de la forme trigonométrique à la forme exponentielle
- Comprendre le module et l'argument
II.2
Formules d'addition et de duplication ; signaux sinusoïdaux
Proposition — Formules d'addition et de duplication par l'exponentielle imaginaire
En admettant la règle \(e^{ia} \times e^{ib} = e^{i(a + b)}\), pour tous réels \(a\) et \(b\) : $$\textcolor{colorprop}{\begin{aligned}\cos(a + b) &= \cos a\cos b - \sin a\sin b, & \sin(a + b) &= \sin a\cos b + \cos a\sin b,\\
\cos(a - b) &= \cos a\cos b + \sin a\sin b, & \sin(a - b) &= \sin a\cos b - \cos a\sin b,\\
\cos(2a) &= \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a, & \sin(2a) &= 2\sin a\cos a.\end{aligned}}$$
Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Par définition, \(e^{i(a + b)} = \cos(a + b) + i\sin(a + b)\). D'autre part, $$\begin{aligned}[t] e^{ia} \times e^{ib} &= (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)\\
&= \cos a\cos b + i\cos a\sin b + i\sin a\cos b + i^2\sin a\sin b &&\text{(on développe)}\\
&= (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + i\,(\sin a\cos b + \cos a\sin b). &&\text{(} i^2 = -1\text{)}\end{aligned}$$ Les deux nombres complexes sont égaux, donc ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : on obtient \(\cos(a + b)\) et \(\sin(a + b)\). En remplaçant \(b\) par \(-b\), avec \(\cos(-b) = \cos b\) et \(\sin(-b) = -\sin b\), on obtient \(\cos(a - b)\) et \(\sin(a - b)\). En prenant \(b = a\), on obtient \(\cos(2a)\) et \(\sin(2a)\) ; avec \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), \(\cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\).
Exemple
À l'aide de \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}\), calculer les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).
$$\begin{aligned}[t]\cos\frac{\pi}{12} &= \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} &&\text{(} \cos(a - b)\text{)}\\
&= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.\\
\sin\frac{7\pi}{12} &= \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} &&\text{(} \sin(a + b)\text{)}\\
&= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.\end{aligned}$$ Les deux valeurs sont égales : \(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{12}\), et la formule de \(\sin(a + b)\) avec \(a = \dfrac{\pi}{2}\) donne \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \sin\dfrac{\pi}{2}\cos x + \cos\dfrac{\pi}{2}\sin x = \cos x\).
Méthode — Écrire \(a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)\) sous la forme \(A\cos(\omega t + \varphi)\)
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non tous deux nuls, et \(\omega \gt 0\). Le signal \(s(t) = a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)\) est une seule sinusoïde de même pulsation \(\omega\) : - Amplitude : \(A = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- Phase : prendre \(\varphi\) tel que \(\cos\varphi = \dfrac{a}{A}\) et \(\sin\varphi = -\dfrac{b}{A}\). Un tel \(\varphi\) existe, car \(\left(\dfrac{a}{A}\right)^2 + \left(-\dfrac{b}{A}\right)^2 = 1\) : c'est un argument du nombre complexe \(a - ib = Ae^{i\varphi}\). En effet \(a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) = \mathrm{Re}\left((a - ib)e^{i\omega t}\right) = \mathrm{Re}\left(Ae^{i(\omega t + \varphi)}\right) = A\cos(\omega t + \varphi)\).
- Vérifier avec la formule d'addition \(\cos(x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\) : $$A\cos(\omega t + \varphi) = A\cos\varphi\cos(\omega t) - A\sin\varphi\sin(\omega t) = a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t).$$
Exemple
Écrire les deux premiers signaux sous la forme \(A\cos(\omega t + \varphi)\) avec \(A \gt 0\), puis développer le troisième. - \(s(t) = \sqrt{3}\cos t - \sin t\).
- \(u(t) = 5\cos(50t) - 5\sqrt{3}\sin(50t)\).
- \(v(t) = 2\cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{3}\right)\), à écrire sous la forme \(a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)\).
- Ici \(a = \sqrt{3}\) et \(b = -1\). $$\begin{aligned}[t] A &= \sqrt{3 + 1} = 2\\ \cos\varphi &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\varphi = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} &&\text{donc } \varphi = \frac{\pi}{6}\end{aligned}$$ Donc \(s(t) = 2\cos\left(t + \dfrac{\pi}{6}\right)\). Vérification : \(2\cos\left(t + \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t - \frac{1}{2}\sin t\right) = \sqrt{3}\cos t - \sin t\).
- Ici \(a = 5\) et \(b = -5\sqrt{3}\). $$\begin{aligned}[t] A &= \sqrt{25 + 75} = 10\\ \cos\varphi &= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad \sin\varphi = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} &&\text{donc } \varphi = \frac{\pi}{3}\end{aligned}$$ Donc \(u(t) = 10\cos\left(50t + \dfrac{\pi}{3}\right)\).
- $$\begin{aligned}[t] v(t) &= 2\left(\cos(\omega t)\cos\frac{\pi}{3} + \sin(\omega t)\sin\frac{\pi}{3}\right) &&\text{(} \cos(x - y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\text{)}\\ &= 2\left(\frac{1}{2}\cos(\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\omega t)\right) &&\text{(} \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\text{, } \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{)}\\ &= \cos(\omega t) + \sqrt{3}\sin(\omega t).\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Démontrer et utiliser les formules d'addition
- Simplifier des expressions trigonométriques
- Calculer une valeur exacte avec les formules d'addition et de duplication
- Écrire une somme de sinusoïdes comme une seule sinusoïde
II.3
Formules d'Euler, linéarisation et primitives
Proposition — Formules d'Euler
Pour tout nombre réel \(\theta\) : $$\textcolor{colorprop}{\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.}$$ Méthode — Primitives de \(\cos^2\) et \(\sin^2\) par linéarisation
Un carré de cosinus ou de sinus n'a pas de primitive qui se lise directement ; sa linéarisation le transforme en une somme de termes qui en ont une : - Linéariser (formules d'Euler, ou \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\)) : $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}, \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.$$
- Prendre une primitive terme à terme : \(x \mapsto \dfrac{\sin(2x)}{2}\) est une primitive de \(x \mapsto \cos(2x)\), car sa dérivée vaut \(\dfrac{2\cos(2x)}{2} = \cos(2x)\).
Exemple
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x \,\mathrm{d}x\).
$$\begin{aligned}[t]\int_0^{\pi} \sin^2 x \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,\mathrm{d}x &&\text{(linéarisation)}\\
&= \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi} &&\text{(primitive terme à terme)}\\
&= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\sin(2\pi)}{4}\right) - \left(0 - \frac{\sin 0}{4}\right)\\
&= \frac{\pi}{2}. &&\text{(} \sin(2\pi) = \sin 0 = 0\text{)}\end{aligned}$$ L'aire sous la courbe de \(\sin^2\) sur une arche est la moitié de l'aire du rectangle \(\pi \times 1\).
Compétences à pratiquer
- Linéariser les puissances de cosinus et de sinus
- Déterminer des primitives par linéarisation
III
Équations et transformations
III.1
Équations du premier degré
Méthode — Diviser par un nombre complexe
Pour écrire un quotient \(\dfrac{z}{w}\) (avec \(w \neq 0\)) sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (pour \(w = c + id\), le nombre \(c - id\)) : le dénominateur devient le nombre réel \(w\conjugate{w} = c^2 + d^2\). C'est la même technique que pour rationaliser un dénominateur binomial tel que \(3+\sqrt{5}\), et le même calcul que celui de l'inverse \(\dfrac{1}{w} = \dfrac{c - id}{c^2 + d^2}\), puisque \(\dfrac{z}{w} = z \times \dfrac{1}{w}\). Compétences à pratiquer
- Résoudre des équations du premier degré
III.2
L'équation \(z^2 \equal k\)
Une équation du second degré peut ne pas avoir de solution réelle. Par exemple, \(x^2 =-1\) n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel est toujours positif.
Proposition — Résolution d'une équation de la forme \(z^2 \equal k\)
On considère l'équation \(z^2 = k\), où \(k\) est un nombre réel. - Si \(k > 0\), alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$ z_1 = \sqrt{k} \quad \text{et} \quad z_2 = -\sqrt{k} $$
- Si \(k = 0\), alors l'équation admet une unique solution réelle : $$ z_0 = 0 $$
- Si \(k < 0\), alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées (imaginaires pures) : $$ z_1 = i\sqrt{-k} \quad \text{et} \quad z_2 = -i\sqrt{-k} $$
Compétences à pratiquer
- Résoudre \(z^2 \equal k\) et factoriser
III.3
Nombres complexes et transformations
Proposition — Addition et soustraction
Additionner ou soustraire des nombres complexes est équivalent à l'addition ou la soustraction vectorielle de leurs vecteurs images, selon la règle du parallélogramme. - Addition (\(z_1+z_2\)) : le vecteur image de la somme est la diagonale principale du parallélogramme formé par les vecteurs images de \(z_1\) et \(z_2\).
- Soustraction (\(z_1-z_2\)) : le vecteur image de la différence est le vecteur reliant le point d'affixe \(z_2\) au point d'affixe \(z_1\).
Proposition — Multiplication et division
Soient \(z_1\) et \(z_2\) deux nombres complexes non nuls. Les multiplier ou les diviser agit sur leurs modules et sur leurs arguments : - Multiplication (\(z_1 z_2\)) : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
- Division (\(\dfrac{z_1}{z_2}\)) : on divise les modules et on soustrait les arguments.
Proposition — Transformations géométriques fondamentales
- Conjugué (\(z \to \conjugate{z}\)) : une symétrie par rapport à l'axe des réels.
- Opposé (\(z \to -z\)) : une rotation de \(180^\circ\) (ou \(\pi\) radians) autour de l'origine.
- Multiplication par \(i\) (\(z \to iz\)) : une rotation de \(90^\circ\) (ou \(\pi/2\) radians) dans le sens anti-horaire autour de l'origine.
- Ajout de \(b\) (\(z \to z + b\)) : la translation de vecteur d'affixe \(b\).
- Multiplication par un réel \(k\) non nul (\(z \to kz\)) : l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
Compétences à pratiquer
- Visualiser les transformations fondamentales
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
Aller à la section