Éducation Nationale Française · Première Technologie

Fonction dérivée et variations

⌚ ~162 min ▢ 18 blocs ✓ 84 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Nombre dérivé et tangente

I Variations et tableau de variations

Définition — Fonctions croissantes et décroissantes

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ est croissante sur $I$ si pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \leq f(v)$$ Une fonction croissante conserve l'ordre.
On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \geq f(v)$$ Une fonction décroissante inverse l'ordre.

Lorsque la seconde inégalité est stricte, on dit plus précisément que $f$ est strictement croissante sur $I$ (si $u \lt v$, alors $f(u) \lt f(v)$) ou strictement décroissante sur $I$ (si $u \lt v$, alors $f(u) \gt f(v)$). Une fonction dont les images ne changent pas est constante sur $I$.

Définition — Tableau de variations

Pour résumer les variations d'une fonction, on utilise un tableau de variations. Des flèches sont utilisées pour indiquer si la fonction est croissante ($\nearrow$) ou décroissante ($\searrow$). Les flèches d'un tableau de variations indiquent une monotonie stricte sur chaque intervalle ; une phase où la fonction est constante se représente par un segment horizontal.

Définition — Maximum et minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre de $I$.

On dit que $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ de $I$ : $f(x) \leq f(a)$.
On dit que $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ de $I$ : $f(x) \geq f(a)$.

Un extrémum est soit un maximum, soit un minimum.

Compétences à pratiquer

Déterminer graphiquement des variations

II La fonction dérivée

En calculant la dérivée en un point quelconque $x$ plutôt qu'en un point particulier $a$, on construit une nouvelle fonction, $f'(x)$, dont la valeur en tout $x$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ en ce point.
Le calcul de la dérivée à l'aide de cette limite est appelé la dérivation à partir de la définition.

Signaler une erreur

Définition — La fonction dérivée

La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction définie par :$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Exemple

Pour $f(x)=x^2$, déterminer sa fonction dérivée $f'$.

Correction

On évalue la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\ &= \dfrac{2xh+h^2}{h}\\ &= \dfrac{h(2x+h)}{h}\\ & = 2x+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\\ &\xrightarrow[h \to 0]{ } 2x.\end{aligned}$$ Donc$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 2x $$

Compétences à pratiquer

Lire la pente d'une tangente avec la fonction dérivée
Déterminer la fonction dérivée à partir de la définition

III Dériver un polynôme

Bien que le calcul d'une dérivée à partir de la définition par la limite soit fondamental pour comprendre le concept, c'est souvent un processus long et répétitif. Pour dériver des fonctions plus complexes de manière efficace, les mathématiciens ont développé un ensemble de règles puissantes. Ces règles essentielles constituent le fondement de la dérivation pratique. Elles permettent de déterminer la dérivée de presque toutes les fonctions usuelles.

Signaler une erreur

Proposition — Dérivée d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

Les fonctions suivantes sont dérivables sur $\mathbb{R}$ : \renewcommand{\arraystretch}{1.4}

$f(x)$	$k$ (constante)	$x$	$x^2$	$x^3$
$f'(x)$	$0$	$1$	$2x$	$3x^2$

Si $u$ et $v$ sont dérivables et si $k$ est un nombre réel :

Somme : $(u + v)' = u' + v'$ ;
Produit par une constante : $(k\,u)' = k\,u'$.

Par conséquent, toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à $3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : si $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, alors $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c.$$

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2$.

Correction

On applique les règles à chaque terme :$$\begin{aligned}f'(x) &= 4(x^3)' - 5(x^2)' + 7(x)' - (2)' \\ &= 4(3x^2) - 5(2x) + 7(1) - 0 \\ &= 12x^2 - 10x + 7\end{aligned}$$

Exemple

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Calculer $f'(x)$.
Donner la pente de la tangente à la courbe de $f$ aux points d'abscisse $0$, $1$ et $2$.
Vérifier que $f'(x) = 3x(x - 2)$, puis donner les points de la courbe où la tangente est horizontale.

Correction

$\begin{aligned}[t]f'(x) &= 3x^2 - 3 \times 2x + 0 &&\text{(somme et produit par une constante)}\\ &= 3x^2 - 6x\end{aligned}$
La pente de la tangente au point d'abscisse $a$ est $f'(a)$ : $f'(0) = 0$, $f'(1) = 3 - 6 = -3$ et $f'(2) = 12 - 12 = 0$.
$3x(x - 2) = 3x^2 - 6x = f'(x)$. La tangente est horizontale quand $f'(x) = 0$, c'est-à-dire $3x(x - 2) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 2$. Comme $f(0) = 2$ et $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$, la tangente est horizontale aux points $(0\,;\,2)$ et $(2\,;\,-2)$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître la dérivée d'un polynôme
Dériver un polynôme de degré au plus 3
Dériver des fonctions polynômes
Déterminer l'équation d'une tangente avec les règles
Démontrer les dérivées de référence par la définition
Rédiger la dérivée d'un polynôme et une tangente

IV Signe de la dérivée et variations

La dérivée d'une fonction, $f'$, donne la pente de la tangente en n'importe quel point de la courbe $y=f(x)$. Cela permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Une fonction est croissante là où la pente de sa tangente est positive, et décroissante là où la pente de sa tangente est négative.

Signaler une erreur

Proposition — Des variations au signe de la dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est décroissante sur $I$, alors $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est constante sur $I$, alors $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.

Preuve

Soit $a \in I$ ; on suppose $f$ croissante sur $I$. Pour $x \in I$ avec $x \neq a$, on considère le taux de variation $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

Si $x < a$ : comme $f$ est croissante, $f(x) \leq f(a)$, donc $f(x) - f(a) \leq 0$ et $x - a < 0$. Le quotient de deux nombres de même signe est positif ou nul.
Si $x > a$ : $f(x) \geq f(a)$, donc $f(x) - f(a) \geq 0$ et $x - a > 0$. Le quotient est encore positif ou nul.

Le taux de variation est donc positif ou nul pour tout $x \neq a$. On admet que cette inégalité se conserve lorsque $x$ se rapproche de $a$ : sa limite $f'(a)$ vérifie $f'(a) \geq 0$. Comme $a$ est un point quelconque de $I$, on obtient $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est décroissante, le même raisonnement donne un quotient négatif ou nul, d'où $f'(a) \leq 0$. Si $f$ est constante, $f(x) - f(a) = 0$ : le taux de variation vaut $0$, et $f'(a)$ aussi.

Proposition — Signe strict de la dérivée et sens de variation

Pour une fonction $f$ qui est dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Méthode — Tableau de signes et de variations

Le tableau de signes de la dérivée $f'$ indique où la fonction est croissante ou décroissante. On rassemble ces informations dans un tableau de variations.

Exemple

Déterminer les variations de la fonction $f(x)=x^2$.

Correction

La dérivée de la fonction $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$.

La dérivée $f'(x)$ est négative sur $]-\infty\,;\,0[$, donc la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.
La dérivée $f'(x)$ est positive sur $]0\,;\,+\infty[$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Ceci est résumé dans le tableau de variations :

Compétences à pratiquer

Déterminer les variations à partir du graphe de la dérivée
Étudier les variations d'une fonction : niveau 1

V Extremums

Définition — Extremum global

Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D$.

$f$ admet un maximum global en $x=c$ si $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $D$. La valeur $f(c)$ est la valeur maximale de $f$.
$f$ admet un minimum global en $x=c$ si $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $D$. La valeur $f(c)$ est la valeur minimale de $f$.

Définition — Extremum local

Soit $f$ une fonction.

$f$ admet un maximum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.
$f$ admet un minimum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.

Le maximum (ou le minimum) de $f$ sur tout son intervalle de définition est dit global.

Exemple

La fonction $f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ a un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=1$.

Définition — Point stationnaire

Un point stationnaire d'une fonction $f$ est un point $(c\,;\,f(c))$ sur la courbe où la tangente est horizontale, c'est-à-dire $f^{\prime}(c)=0$. On dit aussi point à tangente horizontale.

Proposition — Extrema locaux et points stationnaires

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$, et soit $c\in I$.Si $f$ admet un maximum local ou un minimum local en $x=c$ et si $f$ est dérivable en $c$, alors$$ f'(c)=0. $$

La condition $f'(x_0) = 0$ est nécessaire pour un extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable, mais elle n'est pas suffisante : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ et pourtant $f$ n'a pas d'extremum en $0$, puisqu'elle continue de croître. Une fonction peut aussi avoir un extremum en un point où elle n'est pas dérivable ($|x|$ en $0$) ou en une borne de son intervalle ($x^2$ sur $[1\,;\,3]$ a son minimum en $1$ et son maximum en $3$) : la proposition ne concerne que les points intérieurs où $f$ est dérivable.

Signaler une erreur

Proposition — Extremum local et changement de signe de la dérivée

Soit $c$ un nombre tel que $f'(c) = 0$.

Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de positif à négatif en $x=c$, alors $f$ a un maximum local en $c$.
Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de négatif à positif en $x=c$, alors $f$ a un minimum local en $c$.

Exemple

Déterminer les points stationnaires et leur nature de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$.

Correction

Calculer la dérivée :$$ f'(x) = x^2 - 1. $$
Déterminer les points stationnaires en résolvant $f'(x)=0$ :$$ \begin{aligned} x^2 - 1 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0.\end{aligned}$$ Les points stationnaires sont en $x=-1$ et $x=1$.
Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ :
La dérivée $f'(x)=x^2-1$ est une parabole tournée vers le haut avec des racines en $-1$ et $1$. Elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
Dresser le tableau de variations et déterminer la nature des points :
- En $x=-1$, le signe de $f'(x)$ change de $+$ à $-$. Il y a donc un maximum local en $x=-1$.$$f(-1) = \frac{2}{3}.$$
- En $x=1$, le signe de $f'(x)$ change de $-$ à $+$. Il y a donc un minimum local en $x=1$.$$f(1) = -\frac{2}{3}.$$

Exemple

Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations de $f$ et donner son extremum.

Correction

$f'(x) = -4x + 8 = -4(x - 2)$, qui s'annule en $x_0 = 2$. Comme $-4 < 0$, $f'(x) > 0$ pour $x < 2$ et $f'(x) < 0$ pour $x > 2$. Avec $f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$ :

$f$ admet un maximum, égal à $5$, en $x = 2$ : c'est le sommet $(2\,;\,5)$ de la parabole, tournée vers le bas puisque $a = -2 < 0$.

Compétences à pratiquer

Identifier des extremums sur un graphique
Déterminer et classer des extremums

VI Optimisation

L'optimisation est l'une des applications les plus importantes du calcul différentiel. Elle consiste à trouver la plus grande ou la plus petite valeur qu'une fonction puisse prendre sous certaines conditions. Dans de nombreux problèmes, cela revient à rechercher le maximum ou le minimum global de cette fonction sur un domaine donné.

Signaler une erreur

Définition — Optimisation

L'optimisation est le processus de recherche d'une valeur maximale ou minimale d'une fonction, appelée fonction objectif, soumise à un ensemble de contraintes. La solution qui réalise cette valeur est appelée la solution optimale.

Méthode — Résolution de problèmes d'optimisation

Modéliser : Identifier la quantité à optimiser et l'exprimer comme une fonction d'une seule variable, par exemple $f(x)$. Utiliser les contraintes données pour éliminer les autres variables. Déterminer les valeurs possibles de $x$ (le domaine de définition retenu compte tenu du contexte).
Dériver : Calculer la dérivée première de la fonction, $f'(x)$.
Déterminer les points stationnaires : Résoudre l'équation $f'(x)=0$ dans le domaine.
Tester et justifier : Utiliser le signe de la dérivée (tableau de signes de $f'$, tableau de variations) pour décider si chaque point stationnaire est un maximum local, un minimum local ou aucun des deux.
Vérifier les bornes : Si le domaine est un intervalle fermé $[a\,;\,b]$, calculer les valeurs de la fonction aux points stationnaires ainsi qu'aux bornes, $f(a)$ et $f(b)$, pour obtenir l'extremum global sur cet intervalle.
Conclusion : Énoncer clairement la réponse finale dans le contexte du problème, en incluant les unités.

Exemple

Un rectangle a un périmètre de 12 cm. Déterminer ses dimensions pour maximiser l'aire.

Correction

Modèle : Soit la longueur $x$ et la largeur $y$. Le périmètre est $2x+2y=12$, donc $x+y=6$ et $y=6-x$. L'aire est $$A(x) = x(6-x) = 6x-x^2.$$ Puisque les longueurs doivent être positives, $x\geq 0$ et $y=6-x\geq 0 \implies x\leq 6$. Le domaine est donc $x \in [0 ; 6]$.
Dérivée : $$A'(x) = 6-2x.$$
Point stationnaire : $$A'(x)=0 \implies 6-2x=0 \implies x=3.$$
Justification : signe de $A'$. $A'(x) = 6 - 2x$ est positif pour $x < 3$ et négatif pour $x > 3$, donc $A$ est croissante sur $[0\,;\,3]$ et décroissante sur $[3\,;\,6]$ : $x = 3$ donne le maximum de $A$.
Vérifier les bornes : Le domaine est $[0 ; 6]$. On vérifie l'aire au point critique et aux bornes :
- $A(0) = 0$
- $A(3) = 9$
- $A(6) = 0$
L'aire est donc maximale pour $x=3$.
Conclusion : L'aire est maximale pour une longueur de $x=3$ cm. La largeur est $y=6-3=3$ cm. Le rectangle d'aire maximale est donc un carré de 3 cm de côté, avec une aire de $9\text{ cm}^2$.

Compétences à pratiquer

Vérifier la méthode
Résoudre un problème d'optimisation
Résoudre des problèmes en contexte : coûts, bénéfices et mesures

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Diagnostiquer et corriger
Problèmes
Quiz

\(f(x)\)	\(k\) (constante)	\(x\)	\(x^2\)	\(x^3\)
\(f'(x)\)	\(0\)	\(1\)	\(2x\)	\(3x^2\)