Éducation Nationale Française · Première Technologie

Nombres complexes (STI2D, STL)

⌚ ~218 min ▢ 25 blocs ✓ 106 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Trigonométrie (STI2D, STL), Les vecteurs, Vecteurs et repère

I La forme algébrique

I.1 L'ensemble des nombres complexes

Découverte

En 1572, l'ingénieur italien Rafael Bombelli étudie l'équation $$x^3 = 15x + 4.$$

Vérifier que $x = 4$ est une solution.
La formule de Cardan, grande découverte de son siècle, donne une solution de cette équation sous la forme $$x = \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}.$$ Le symbole $\sqrt{-121}$ (notation historique de Cardan, bientôt abandonnée) désigne un nombre impossible : aucun nombre réel n'a un carré négatif. Pourtant l'équation possède bien la solution réelle $4$. L'idée de Bombelli : oser calculer avec un nombre « impossible » $i$ vérifiant $i^2 = -1$, en écrivant $\sqrt{-121} = 11i$, et regarder si la formule dit secrètement $4$.
En admettant les règles usuelles de l'algèbre ainsi que $i^2=-1$, développer $(2+i)^3$. Que remarque-t-on ? Conclure sur la valeur produite par la formule lorsque ses deux racines cubiques sont choisies égales à $2+i$ et $2-i$, qui ne diffèrent que par le signe devant $i$, comme la formule l'exige.

Le système de nombres dans lequel le calcul de Bombelli est légitime est celui des nombres complexes.

Définition — L'unité imaginaire $i$

L'unité imaginaire, notée $i$, est définie comme un nombre tel que : $$\textcolor{colordef}{i^2 = -1}$$

Pourquoi on écrit $i^2 \equal -1$ et jamais $i \equal \sqrt{-1}$

La tentation est grande d'écrire $i = \sqrt{-1}$. La chaîne d'égalités suivante montre pourquoi ce chapitre n'emploie pas cette notation : $$1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)\times(-1)} = \sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.$$ Chaque étape semble légale, et pourtant la conclusion $1 = -1$ est absurde. L'étape fautive est la troisième : la règle $\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ n'est valable que pour $a, b \ge 0$ — exactement l'hypothèse qui l'accompagne pour les racines carrées. Le symbole $\sqrt{\ }$ ne garde son sens que pour les nombres réels positifs.

On définit $i$ par la propriété $\textcolor{colordef}{i^2 = -1}$, et on n'applique jamais les règles de $\sqrt{\ }$ à des nombres négatifs.
De plus, $-1$ possède deux racines carrées dans les nombres complexes, $i$ et $-i$, et rien ne distingue l'une de l'autre : un symbole $\sqrt{-1}$ prétendrait choisir entre deux nombres indiscernables.

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Définition — Nombre complexe et forme algébrique

Un nombre complexe est un nombre de la forme $z = a + ib$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ est l'unité imaginaire. Cette écriture de $z$ s'appelle sa forme algébrique. L'ensemble de tous les nombres complexes est noté $\C$.

Remarques

$i$ ne peut pas être un nombre réel, car aucun nombre réel au carré n'est égal à $-1$.
Un nombre réel $a$ est un nombre complexe pour lequel $b=0$, écrit sous la forme $a = a+0i$. Ainsi, on peut voir $\R$ comme une partie de $\C$.
Un nombre pour lequel $a=0$, tel que $ib$, est appelé un nombre imaginaire pur.

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Définition — Partie réelle et partie imaginaire

Pour un nombre complexe $z = a + ib$ (avec $a,b \in \R$) :

$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$.
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\Im(z)$.

Par définition, $\Re(z)$ et $\Im(z)$ sont des nombres réels.

Exemple

Pour $z = 2+3i$ :

$\Re(2+3i)=2$
$\Im(2+3i)=3$

Compétences à pratiquer

Reconnaître la partie réelle et la partie imaginaire
Classer des nombres complexes
Identifier la partie réelle et la partie imaginaire

I.2 Opérations dans $\mathbb{C}$

L'arithmétique des nombres complexes suit les règles usuelles de l'algèbre, en utilisant la relation fondamentale $i^2=-1$.

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Définition — Opérations algébriques

Soient $z = a+ib$ et $w = c+id$, où $a,b,c,d \in \R$.

Addition : $$\begin{aligned}[t] z + w &= (a+ib) + (c+id) \\ &= (a+c)+i(b+d). \end{aligned}$$
Soustraction : $$\begin{aligned}[t] z - w &= (a+ib) - (c+id) \\ &= (a-c)+i(b-d). \end{aligned}$$
Multiplication : $$\begin{aligned}[t] z \times w &= (a+ib)(c+id) \\ &= ac+iad +ibc+i^2bd \\ &= ac+iad +ibc-bd && \text{($i^2=-1$)}\\ &= (ac-bd)+ i(ad+bc). \end{aligned}$$
Division (avec $w \neq 0$, donc $c^2+d^2 \neq 0$ car $c$ et $d$ ne sont pas tous deux nuls) : $$\begin{aligned}[t] \dfrac{z}{w} &= \frac{a+ib}{c+id} \\ &= \left(\frac{a+ib}{c+id}\right)\left(\frac{c-id}{c-id}\right) && \text{(multiplier par 1)}\\ &= \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} \\ &= \frac{ac-iad+ibc-i^2bd}{c^2-(id)^2} && \text{(développement)}\\ &= \frac{ac-iad+ibc+bd}{c^2+d^2} && \text{($i^2 = -1$)}\\ &= \frac{(ac+bd) + i(bc-ad)}{c^2+d^2}. \end{aligned}$$

Exemple

Écrire $(2+3i)(4-i)$ sous la forme $a+ib$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] (2+3i)(4-i) &= 8 - 2i + 12i - 3i^2 && \text{(développement)}\\ &= 8 + 10i - 3i^2 && \text{(réduction)}\\ &= 8 + 10i - 3 \times (-1) && \text{($i^2 = -1$)}\\ &= 11 + 10i. \end{aligned}$$

Proposition — Inverse d'un nombre complexe non nul et produit nul

Soit $z = a + ib$ avec $a, b \in \R$ et $z \neq 0$ (de sorte que $a^2 + b^2 \neq 0$). Alors $z$ admet un inverse, le nombre complexe $\dfrac{1}{z}$ tel que $z \times \dfrac{1}{z} = 1$, et $$\textcolor{colorprop}{\frac{1}{z} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} - i\,\frac{b}{a^2+b^2}.}$$ Produit nul. Pour tous nombres complexes $z$ et $w$ : $$zw = 0 \;\Leftrightarrow\; z = 0 \text{ ou } w = 0.$$

Exemple

Écrire $\dfrac{1}{2+3i}$ et $\dfrac{1}{2i}$ sous forme algébrique.

Correction

Pour $z = 2 + 3i$, $a = 2$ et $b = 3$, donc $a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13$ : $$\begin{aligned}[t] \frac{1}{2+3i} &= \frac{2 - 3i}{13} && \text{(inverse de $a + ib$)}\\ &= \frac{2}{13} - i\,\frac{3}{13}. \end{aligned}$$ Pour $z = 2i = 0 + 2i$, $a = 0$ et $b = 2$, donc $a^2 + b^2 = 4$ : $$\begin{aligned}[t] \frac{1}{2i} &= \frac{0 - 2i}{4} && \text{(inverse de $a + ib$)}\\ &= -\frac{1}{2}\,i. \end{aligned}$$ Contrôle : $(2+3i)\left(\frac{2}{13} - i\frac{3}{13}\right) = \frac{4 + 9}{13} + i\,\frac{-6 + 6}{13} = 1$, et $2i \times \left(-\frac{1}{2}i\right) = -i^2 = 1$.

Exemple

Écrire $\dfrac{3+2i}{1-2i}$ sous la forme $a+ib$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \frac{3+2i}{1-2i} &= \frac{(3+2i)}{(1-2i)} \times \frac{(1+2i)}{(1+2i)} && \text{(multiplier par 1)}\\ &= \frac{3 + 6i + 2i + 4i^2}{1^2 - (2i)^2} && \text{(développement ; $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$)}\\ &= \frac{-1 + 8i}{1 + 4} && \text{($i^2 = -1$)}\\ &= -\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i. \end{aligned}$$

Proposition — Puissances de $i$

Les puissances de $i$ se répètent selon un cycle de longueur $4$ : $$\textcolor{colorprop}{i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \;\dots}$$ Pour tout entier naturel $n$, la valeur de $i^n$ ne dépend que du reste de la division euclidienne de $n$ par $4$ : en écrivant $n = 4q + r$ avec $q$ le quotient et $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ le reste, $$i^n = i^{4q+r} = \left(i^4\right)^q \times i^r = 1^q \times i^r = i^r.$$

Exemple

Calculer $i^{2026}$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] i^{2026} &= i^{4 \times 506 + 2} && \text{($2026 = 4 \times 506 + 2$)}\\ &= \left(i^4\right)^{506} \times i^2 && \text{($x^{m+n} = x^m x^n$)}\\ &= 1^{506} \times (-1) && \text{($i^4 = 1$, $i^2 = -1$)}\\ &= -1. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer avec des nombres complexes
Évaluer des expressions polynomiales d'un nombre complexe
Calculer des puissances de $i$

I.3 Égalité de deux nombres complexes

Proposition — Égalité des nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales : pour $a, b, c, d \in \R$, $$ a+ib=c+id \;\Leftrightarrow\; a=c \text{ et } b=d. $$

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations en identifiant les parties réelle et imaginaire

I.4 Le conjugué d'un nombre complexe

Définition — Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + ib$ (avec $a,b\in\R$) est $\conjugate{z} = a - ib$. Le conjugué de $z$ est souvent noté $\conjugate{z}$ ou $z^{*}$.

Exemple

Le conjugué de $2+3i$ est $\conjugate{2+3i} = 2-3i$.

Proposition — Conjugué et parties réelle et imaginaire

Pour tout nombre complexe $z = a+ib$ (avec $a, b \in \R$) : $$\begin{aligned}[t] z\conjugate{z} &= a^2 + b^2, \\ z + \conjugate{z} &= 2\,\Re(z), \\ z - \conjugate{z} &= 2i\,\Im(z). \end{aligned}$$ En particulier :

$z$ est un nombre réel si et seulement si $\conjugate{z} = z$ ;
$z$ est imaginaire pur si et seulement si $\conjugate{z} = -z$.

Remarque

L'identité $z\conjugate{z} = a^2+b^2$ est le moteur de la division complexe : multiplier un dénominateur par son conjugué produit toujours un nombre réel positif (nul seulement pour $z=0$). Le point de vue géométrique sur les nombres complexes appellera cette quantité le carré du module de $z$.

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Méthode — Diviser par un nombre complexe

Pour écrire un quotient $\dfrac{z}{w}$ (avec $w \neq 0$) sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (pour $w = c + id$, le nombre $c - id$) : le dénominateur devient le nombre réel $w\conjugate{w} = c^2 + d^2$. C'est la même technique que pour rationaliser un dénominateur binomial tel que $3+\sqrt{5}$, et le même calcul que celui de l'inverse $\dfrac{1}{w} = \dfrac{c - id}{c^2 + d^2}$, puisque $\dfrac{z}{w} = z \times \dfrac{1}{w}$.

Méthode — Résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\conjugate{z}$

Si seul $\conjugate{z}$ apparaît (par exemple $-\conjugate{z} = 5 - i$) : isoler $\conjugate{z}$, puis prendre le conjugué des deux membres, puisque $\conjugate{\conjugate{z}} = z$.
Si $z$ et $\conjugate{z}$ apparaissent tous deux (par exemple $2z + \conjugate{z} = 3 - 2i$) : poser $z = a + ib$ avec $a, b$ réels, de sorte que $\conjugate{z} = a - ib$ ; développer et regrouper les parties réelle et imaginaire ; identifier avec celles du membre de droite, ce qui donne un système de deux équations d'inconnues $a$ et $b$.
Contrôler la solution dans l'équation.

Proposition — Propriétés du conjugué

Pour tous nombres complexes $z$ et $w$ : $$\begin{aligned}[t] \conjugate{\conjugate{z}} &= z, \qquad \conjugate{-z} = -\conjugate{z},\\ \conjugate{z + w} &= \conjugate{z} + \conjugate{w}, \qquad \conjugate{z - w} = \conjugate{z} - \conjugate{w},\\ \conjugate{zw} &= \conjugate{z} \; \conjugate{w},\\ \conjugate{\left(\frac{1}{z}\right)} &= \frac{1}{\conjugate{z}} \quad \text{si } z \neq 0, \qquad \conjugate{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\conjugate{z}}{\conjugate{w}} \quad \text{si } w \neq 0,\\ \conjugate{z^{\,n}} &= \left(\conjugate{z}\right)^{n} \quad \text{pour tout entier naturel } n. \end{aligned}$$ Comme $z^{-n} = \dfrac{1}{z^{n}}$ pour $z \neq 0$, la dernière propriété s'étend à tout entier relatif $n$ lorsque $z \neq 0$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître les propriétés du conjugué
Déterminer le conjugué d'un nombre complexe
Diviser des nombres complexes
Simplifier des expressions pour trouver les parties réelle et imaginaire
Résoudre des équations linéaires
Résoudre des équations faisant intervenir le conjugué
Démontrer les propriétés du conjugué

II Représentation géométrique

II.1 Le plan complexe

Découverte

L'algèbre calcule avec les nombres complexes ; la géométrie les représente dans le plan. On représente chaque nombre complexe $a+ib$ par le point de coordonnées $(a; b)$.

Placer les points représentant $z_0 = 1$, puis $z_1 = i \times z_0$, puis $z_2 = i \times z_1$, puis $z_3 = i \times z_2$, puis $z_4 = i \times z_3$. Que constate-t-on ?
Repartir maintenant de $w_0 = 2+i$ et recommencer : placer $w_0$, $iw_0$, $i^2w_0$, $i^3w_0$. Quelle transformation géométrique « multiplier par $i$ » semble-t-elle réaliser ?
Sachant que $i^2 = -1$, expliquer pourquoi cette transformation, appliquée deux fois, doit envoyer chaque point sur son symétrique par rapport à l'origine.

Chaque opération algébrique sur les nombres complexes a une telle signification géométrique, et la géométrie rend les calculs visibles.

On a vu qu'un nombre complexe peut s'écrire sous forme algébrique $z = a+ib$ où $a = \Re(z)$ et $b = \Im(z)$ sont deux nombres réels.
Il existe une correspondance biunivoque entre tout nombre complexe $a+ib$ et le point $(a ; b)$.
On peut donc représenter tout nombre complexe dans un plan en lui associant un point unique, ce qui donne une représentation géométrique à ce qui n'était jusqu'alors qu'un objet algébrique. Ce plan est appelé le plan complexe.

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Définition — Plan complexe

Le plan complexe est le plan rapporté à un repère orthonormé tel que :

l'axe horizontal, appelé l'axe des réels, est l'ensemble des nombres réels ;
l'axe vertical, appelé l'axe des imaginaires purs, est l'ensemble des nombres imaginaires purs.

Définition — Correspondance entre représentations cartésienne et complexe

Le point $M(a; b)$ est le point image du nombre complexe $z=a+ib$.
Le vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est le vecteur image du nombre complexe $z=a+ib$.
Le nombre complexe $z=a+ib$ est l'affixe du point $M(a; b)$ et du vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.

Compétences à pratiquer

Lire l'affixe d'un point
Conjecturer la nature d'une figure

II.2 Géométrie dans le plan complexe

Proposition — Addition et soustraction

Additionner ou soustraire des nombres complexes est équivalent à l'addition ou la soustraction vectorielle de leurs vecteurs images, selon la règle du parallélogramme.

Addition ($z_1+z_2$) : le vecteur image de la somme est la diagonale principale du parallélogramme formé par les vecteurs images de $z_1$ et $z_2$.
Soustraction ($z_1-z_2$) : le vecteur image de la différence est le vecteur reliant le point d'affixe $z_2$ au point d'affixe $z_1$.

Proposition — Affixe du milieu d'un segment

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes $z_A$ et $z_B$.
Le milieu $M$ du segment $\SegmentFr{AB}$ a pour affixe $$ z_M = \frac{z_A + z_B}{2}. $$

Proposition — Transformations géométriques fondamentales

Conjugué ($z \to \conjugate{z}$) : une symétrie par rapport à l'axe des réels.
Opposé ($z \to -z$) : une rotation de $180^\circ$ (ou $\pi$ radians) autour de l'origine.
Multiplication par $i$ ($z \to iz$) : une rotation de $90^\circ$ (ou $\pi/2$ radians) dans le sens anti-horaire autour de l'origine.
Ajout de $b$ ($z \to z + b$) : la translation de vecteur d'affixe $b$.
Multiplication par un réel $k$ non nul ($z \to kz$) : l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

Compétences à pratiquer

Visualiser les transformations fondamentales

II.3 Module et argument

Géométriquement, un nombre complexe possède deux caractéristiques essentielles : sa distance à l'origine et, s'il est non nul, sa direction par rapport à l'axe des réels positifs.

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Définition — Module

Le module d'un nombre complexe $z = x+iy$, noté $|z|$, est la distance de l'origine à son point image dans le plan complexe. D'après le théorème de Pythagore, il est défini par : $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$ Le module est un nombre réel positif ou nul.

Proposition — Affixe d'un vecteur et distance entre deux points

Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

Le vecteur $\Vect{AB}$ a pour affixe $z_{\Vect{AB}} = z_B - z_A$.
La distance entre les points $A$ et $B$ est le module de cette affixe : $$ AB = |z_B - z_A|. $$

Définition — Angle orienté de deux vecteurs

Soient $\vec{w_1}$ et $\vec{w_2}$ deux vecteurs non nuls, et $M$ et $N$ les points tels que $\vec{w_1} = \Vect{OM}$ et $\vec{w_2} = \Vect{ON}$, où $O$ est l'origine du repère. La demi-droite $[OM)$ coupe le cercle trigonométrique en un point $M'$, et la demi-droite $[ON)$ le coupe en un point $N'$. Si $M'$ est le point image d'un réel $x$ sur le cercle trigonométrique (le point atteint à partir du point d'affixe $1$ en parcourant sur le cercle une longueur $|x|$, dans le sens direct si $x \ge 0$ et dans le sens indirect si $x < 0$) et $N'$ le point image d'un réel $y$, alors le réel $y - x$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{w_1}, \vec{w_2})$.
Les mesures de $(\vec{w_1}, \vec{w_2})$ sont les réels $y - x + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ : un angle orienté est défini à $2\pi$ près, et l'on écrit $(\vec{w_1}, \vec{w_2}) \equiv y - x \pmod{2\pi}$.

Définition — Argument

On appelle argument d'un nombre complexe non nul $z$, noté $\arg(z)$, toute mesure $\theta$ de l'angle orienté entre l'axe des réels positifs et le vecteur image de $z$.

Remarque

Un argument d'un nombre complexe n'est pas unique, car on peut ajouter n'importe quel multiple de $2\pi$ à l'angle. Pour le rendre unique, on définit la valeur principale de l'argument, aussi appelée argument principal, comme l'unique argument $\theta$ appartenant à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$.
L'argument du nombre complexe $0$ n'est pas défini.

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Exemple

Un nombre imaginaire pur non nul $ib$, avec $b$ réel, a pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ si $b > 0$, et $-\dfrac{\pi}{2}$ si $b < 0$.

Méthode — Calculer l'argument

Pour déterminer un argument $\theta$ d'un nombre complexe non nul $z=a+ib$ :

Calculer le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$.
Factoriser par le module pour identifier les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique : $$ z = |z| \left( \frac{a}{|z|} + i \frac{b}{|z|} \right). $$
Identifier l'angle. On cherche un angle $\theta$ qui vérifie le système d'équations : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|} \\ \sin(\theta) = \dfrac{b}{|z|} \end{cases} $$ Cette valeur de $\theta$ est un argument de $z$.

Exemple

Déterminer un argument du nombre complexe $z = -1+i\sqrt{3}$.

Correction

On calcule d'abord le module de $z$ : $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.$$ On factorise le module : $$z = 2 \times \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
On cherche un réel $\theta$ tel que : $$ \begin{cases} \cos(\theta) = -\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ vérifie les deux équations.
Donc un argument de $z$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

Proposition — Propriétés du module

$|\conjugate{z}| = |z|$
$|z|^2 = z\conjugate{z}$
$|z_1 z_2| = |z_1|\, |z_2|$
$\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ pour $z_2 \neq 0$
$|z^n| = |z|^n$ pour tout entier $n$ (avec $z \neq 0$ si $n < 0$).

Compétences à pratiquer

Calculer le module d'un nombre complexe
Calculer des distances et des milieux
Calculer l'argument d'un nombre complexe

II.4 La forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul peut être représenté en partant d'un nombre sur le cercle trigonométrique et en le dilatant par son module.

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Définition — Forme trigonométrique

Un nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d'argument $\theta$ peut s'écrire sous forme trigonométrique : $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta). $$

Proposition — Égalité sous forme trigonométrique

Soient $r > 0$ et $r' > 0$, et soient $\theta$ et $\theta'$ deux réels. Alors $$\textcolor{colorprop}{r(\cos\theta + i\sin\theta) = r'(\cos\theta' + i\sin\theta') \iff r = r' \text{ et } \theta \equiv \theta' \pmod{2\pi}.}$$ En particulier, si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$, alors $r = |z|$ et $\theta$ est un argument de $z$.

Compétences à pratiquer

Déterminer l'affixe d'un point sur le cercle trigonométrique
Convertir de la forme trigonométrique à la forme algébrique
Convertir de la forme algébrique à la forme trigonométrique

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Diagnostiquer et corriger
Problèmes
Quiz

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