Éducation Nationale Française · Terminale Technologie
La fonction exponentielle (STI2D, STL)
I
Définition et propriétés algébriques
I.1
Le nombre \(e\) : la base de pente 1 en 0
La fonction exponentielle est un outil mathématique unique utilisé pour modéliser des phénomènes dont l'évolution est proportionnelle à leur valeur, comme la croissance démographique, la désintégration radioactive ou les intérêts composés. Sa propriété la plus remarquable est d'être sa propre dérivée.
Le nombre \(e\) par la pente en 0
Les courbes des fonctions \(x \mapsto a^x\) (\(a \gt 0\)) passent toutes par le point \((0\,;\,1)\), mais elles ne le traversent pas avec la même pente : la pente de la tangente en ce point, approchée par le taux de variation \(\dfrac{a^{h} - 1}{h}\) pour un \(h\) petit, vaut environ \(0{,}69\) pour \(a = 2\) et environ \(1{,}10\) pour \(a = 3\). Entre \(2\) et \(3\), une base donne une tangente de pente exactement \(1\). Sur ce chemin, on n'utilise que les fonctions \(x \mapsto a^x\) et leur règle \(a^{x+y} = a^x \times a^y\).
Proposition — La base de pente 1 en 0
Il existe un et un seul nombre \(a \gt 0\) tel que la tangente en \(0\) à la courbe de \(x \mapsto a^x\) ait pour pente \(1\) (admis). Ce nombre est \(e \approx 2{,}718\), et la fonction est \(x \mapsto e^x\) : sa tangente en \(0\) est la droite \(y = x + 1\), et \(\dfrac{e^{h} - 1}{h}\) est aussi proche de \(1\) qu'on veut dès que \(h\) est assez proche de \(0\). Méthode — Approcher \(e\) par dichotomie
- Approcher la pente en \(0\) : la pente de la tangente en \(0\) à la courbe de \(x \mapsto a^x\) est approchée par le taux de variation \(s(a) = \dfrac{a^{h} - 1}{h}\) pour un \(h\) petit ; \(s(a)\) croît avec \(a\) (pour \(h \gt 0\), \(a^h\) croît avec \(a\)).
- Partir d'un intervalle qui contient \(e\) : \(s(2) \lt 1\) et \(s(3) \gt 1\), donc la base de pente \(1\) est dans \([2\,;\,3]\).
- Couper l'intervalle en deux : calculer \(s\) au milieu \(m\) ; si \(s(m) \lt 1\), la base est au-dessus de \(m\), garder \([m\,;\,\text{borne haute}]\) ; sinon garder \([\text{borne basse}\,;\,m]\).
- S'arrêter quand la largeur de l'intervalle ne dépasse plus la précision voulue : le dernier intervalle donne une valeur approchée de la base de pente \(1\). La pente n'étant qu'approchée par un taux de variation, cette base est obtenue à environ \(0{,}0002\) près avec \(h = 0{,}0001\) : la précision demandée doit rester au-dessus, par exemple \(0{,}01\) ou \(0{,}001\).
def slope(a, h=0.0001):
return (a**h - 1) / h
def approach_e(precision):
lo = 2
hi = 3
while hi - lo > precision:
m = (lo + hi) / 2
if slope(m) < 1:
lo = m
else:
hi = m
return [lo, hi]Exemple
On exécute l'appel approach_e(0.01). - Donner, pour chacun des trois premiers tours de la boucle, le milieu \(m\), la pente \(s(m)\) arrondie à \(10^{-4}\), et les nouvelles bornes.
- L'appel renvoie
[2.7109375, 2.71875]. Combien de tours la boucle a-t-elle faits, et que dit le résultat sur \(e\) ?
-
Tour \(m\) \(s(m)\) nouveau lonouveau hi1 \(2{,}5\) \(0{,}9163\) \(2{,}5\) \(3\) 2 \(2{,}75\) \(1{,}0117\) \(2{,}5\) \(2{,}75\) 3 \(2{,}625\) \(0{,}9651\) \(2{,}625\) \(2{,}75\) - La largeur part de \(1\) et est divisée par deux à chaque tour : \(1\), \(0{,}5\), \(0{,}25\), …, \(0{,}0078125\) après \(7\) tours, la première largeur qui ne dépasse pas \(0{,}01\). Donc la base de pente \(1\), approchée avec \(h = 0{,}0001\), est comprise entre \(2{,}7109\) et \(2{,}7188\) — et en effet \(e \approx 2{,}7183\) est dans cet intervalle.
Proposition — Dérivée de \(x \mapsto e^x\) à partir de la pente en 0
La fonction \(x \mapsto e^x\) est dérivable en tout réel \(x_0\), et $$\textcolor{colorprop}{\left(e^{x}\right)' = e^{x}}.$$
Soit \(x_0\) un réel et \(\Delta x \neq 0\). $$\begin{aligned}\frac{e^{x_0 + \Delta x} - e^{x_0}}{\Delta x} &= \frac{e^{x_0} \times e^{\Delta x} - e^{x_0}}{\Delta x} &&\text{(} a^{x+y} = a^x \times a^y\text{, avec } a = e\text{)}\\
&= e^{x_0} \times \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} &&\text{(on factorise } e^{x_0}\text{)}\end{aligned}$$ Quand \(\Delta x\) se rapproche de \(0\), le second facteur se rapproche de \(1\), la pente de la tangente en \(0\). Le taux de variation en \(x_0\) se rapproche donc de \(e^{x_0}\) : la dérivée de \(x \mapsto e^x\) en \(x_0\) est \(e^{x_0}\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer la base de pente 1 en 0
I.2
La fonction exponentielle, égale à sa dérivée
Définition — Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\), appelée fonction exponentielle et notée \(\exp\), telle que : - \(f'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (la fonction est égale à sa propre dérivée).
- \(f(0) = 1\).
Proposition — Propriété de la dérivée
Par définition, pour tout réel \(x\) :$$\exp'(x) = \exp(x)$$En particulier \(\exp'(0) = \exp(0) = 1\) : la tangente à la courbe au point \((0\,;\,1)\) a pour coefficient directeur \(1\).
Deux chemins, un seul nombre
La fonction \(x \mapsto e^x\) obtenue par la pente en \(0\) vérifie \(\left(e^x\right)' = e^x\) (proposition « Dérivée de \(x \mapsto e^x\) à partir de la pente en 0 ») et \(e^0 = 1\). La fonction \(\exp\) est la seule fonction égale à sa dérivée et qui vaut \(1\) en \(0\) (admis dans sa définition) : \(x \mapsto e^x\) est donc la fonction \(\exp\). En particulier \(e = \exp(1)\), et la notation \(\exp(x) = e^x\) vaut pour tout réel \(x\) : les deux chemins, par l'équation \(f' = f\) et par la pente en \(0\), mènent au même nombre et à la même fonction.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la définition
- Raisonner avec la définition
I.3
Propriétés algébriques
Proposition — Relation fonctionnelle fondamentale
Pour tous réels \(x\) et \(y\) :$$\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$$ Proposition — Exponentielle de l'opposé
Pour tous réels \(x\) et \(y\) : $$ \exp(x)\times\exp(-x) = 1, \qquad \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}, \qquad \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}. $$ Proposition — Stricte positivité
La fonction \(\exp\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\exp(x) > 0\). Proposition — Règles de calcul
Pour tous réels \(x, y\) et tout entier relatif \(n\) : - \(e^0 = 1\) et \(e^1 = e\)
- \(e^{x+y} = e^x \times e^y\)
- \(e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}\)
- \(e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}\)
- \((e^x)^n = e^{nx}\)
Compétences à pratiquer
- Démontrer avec la relation fonctionnelle
- Simplifier avec les règles des exposants
- Simplifier avec les règles des exposants : niveau 2
- Développer et simplifier
- Factoriser des expressions exponentielles
- Simplifier des quotients
- Transformer des expressions
I.4
Exponentielle et suites géométriques
La règle \(e^{x+y} = e^x e^y\) relie la fonction exponentielle aux suites géométriques : passer de \(n\) à \(n+1\) multiplie \(e^{na}\) par le même nombre \(e^a\).
Proposition — Exponentielle et suites géométriques
Soit \(a\) un réel. La suite \((u_n)\) définie pour \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = e^{na}\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(e^a\). Exemple
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = e^{2n}\) et \((v_n)\) la suite définie par \(v_n = 5e^{-0{,}3n}\). - Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont géométriques, et donner leurs raisons.
- La suite \((v_n)\) est-elle croissante ou décroissante ?
- \(u_n = e^{2n}\) est le cas \(a = 2\) de la proposition : \((u_n)\) est géométrique de raison \(e^2\) et de premier terme \(1\). Pour \((v_n)\) : \(v_{n+1} = 5e^{-0{,}3(n+1)} = 5e^{-0{,}3n}\times e^{-0{,}3} = e^{-0{,}3}\,v_n\), donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(e^{-0{,}3}\) et de premier terme \(v_0 = 5\).
- La raison \(e^{-0{,}3} = \dfrac{1}{e^{0{,}3}}\) est comprise entre \(0\) et \(1\) (car \(e^{0{,}3} \approx 1{,}35 > 1\)) et \(v_0 = 5 > 0\) : la suite \((v_n)\) est décroissante.
Compétences à pratiquer
- Relier l'exponentielle aux suites géométriques
II
Étude de la fonction exponentielle
II.1
Signe, variations et courbe
Proposition — Variations
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). 
Proposition — Courbe représentative de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe passe par les points \((0\,;\,1)\) et \((1\,;\,e)\), avec \(e \approx 2{,}718\) ; la tangente au point \((0\,;\,1)\) a pour pente \(\exp'(0) = 1\) et pour équation \(y = x + 1\). 
Compétences à pratiquer
- Dériver des fonctions avec l'exponentielle
- Appliquer les règles du produit et du quotient
- Étudier le signe et les variations avec l'exponentielle
- Calculer avec l'exponentielle et lire sa courbe
- Calculer des intégrales avec \(e^x\)
II.2
Dérivée de \(e^{ax+b}\)
Proposition — Dérivée de \(x \mapsto e^{ax+b}\)
Soit \(a\) et \(b\) deux réels. La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^{ax+b}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et $$ f'(x) = a\,e^{ax+b} = a\,f(x). $$
\(f(x) = g(ax+b)\) avec \(g = \exp\), dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g' = \exp\). D'après la formule de dérivation de \(g(ax+b)\), \(f'(x) = a \times g'(ax+b) = a\,e^{ax+b}\).
Exemple
Calculer la dérivée de chaque fonction définie sur \(\mathbb{R}\). - \(f(x) = e^{2x+1}\).
- \(g(x) = e^{-8x+2}\).
- \(h(x) = 3e^{-x} + x\).
- \(f'(x) = 2e^{2x+1}\) (\(a = 2\)).
- \(g'(x) = -8e^{-8x+2}\) (\(a = -8\)).
- \(\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}\) (\(a = -1\)), donc \(h'(x) = -3e^{-x} + 1\).
Compétences à pratiquer
- Dériver \(e^{ax+b}\)
- Dériver et étudier des variations avec \(e^{ax+b}\)
III
Fonctions \(t \mapsto e^{kt}\) et modélisation
III.1
Les fonctions \(e^{kt}\) et \(e^{-kt}\)
Pour \(f(t) = e^{kt}\), la dérivée est \(f'(t) = k\,e^{kt} = k\,f(t)\) : à chaque instant, le taux de variation est proportionnel à la valeur de la fonction, avec la constante \(k\). En particulier \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = k\) : la tangente au point \((0\,;\,1)\) a pour pente \(k\), ce qui permet de lire \(k\) sur un graphique. Plus \(|k|\) est grand, plus la croissance (pour \(k > 0\)) ou la décroissance (pour \(k < 0\)) est rapide.
Proposition — Modèles de croissance et décroissance
Soit \(k\) une constante réelle non nulle. Les variations de \(f : t \mapsto e^{kt}\) dépendent du signe de \(k\) : - Si \(\boldsymbol{k > 0}\), la fonction est strictement croissante (Croissance exponentielle).
- Si \(\boldsymbol{k < 0}\), la fonction est strictement décroissante (Décroissance exponentielle).
Exemple
Tracer sur le même graphique les courbes de \(f(t) = e^{0{,}5t}\) et \(g(t) = e^{-0{,}5t}\) pour \(t \in [-3\,;\,3]\), et donner l'équation de la tangente à chaque courbe en \(t = 0\).
Quelques valeurs (arrondies) : \(f(-2) = e^{-1} \approx 0{,}37\), \(f(0) = 1\), \(f(2) = e \approx 2{,}72\) ; \(g\) prend les mêmes valeurs dans l'ordre inverse, puisque \(g(t) = f(-t)\) : les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe vertical. Les tangentes en \(t = 0\) ont pour pentes \(f'(0) = 0{,}5\) et \(g'(0) = -0{,}5\) : leurs équations sont \(y = 0{,}5t + 1\) et \(y = -0{,}5t + 1\). 
Compétences à pratiquer
- Tracer et étudier \(t \mapsto e^{kt}\)
III.2
Croissance et décroissance exponentielles
Exemple
Un capital de \(1000~\Euro\) est placé à taux fixe avec capitalisation continue : sa valeur après \(t\) années est \(C(t) = 1000\,e^{0{,}03t}\). - Calculer \(C(0)\) et \(C(10)\) (arrondi au centime).
- Calculer \(C'(t)\) et interpréter la relation entre \(C'(t)\) et \(C(t)\).
- Montrer que \(C(t+1) = e^{0{,}03}\,C(t)\) et en déduire le taux d'évolution annuel, en pourcentage.
- \(C(0) = 1000\,e^0 = 1000\) et \(C(10) = 1000\,e^{0{,}3} \approx 1349{,}86\) : environ \(1349{,}86~\Euro\).
- \(C'(t) = 1000 \times 0{,}03\,e^{0{,}03t} = 0{,}03\,C(t)\) : à chaque instant, le capital croît à un rythme proportionnel à sa valeur, la constante étant \(0{,}03\).
- \(C(t+1) = 1000\,e^{0{,}03(t+1)} = 1000\,e^{0{,}03t}\,e^{0{,}03} = e^{0{,}03}\,C(t)\). Chaque année le capital est multiplié par \(e^{0{,}03} \approx 1{,}0305\) : le taux annuel est d'environ \(3{,}05\ \pourcent\), un peu plus que \(3\ \pourcent\) à cause de la capitalisation continue. Les valeurs \(C(0), C(1), C(2), \dots\) forment une suite géométrique de raison \(e^{0{,}03}\).
Exemple
La masse, en grammes, d'une substance radioactive après \(t\) jours est \(m(t) = 50\,e^{-0{,}1t}\). - Donner \(m(0)\) et le sens de variation de \(m\).
- Calculer \(m(20)\) (arrondi à \(0{,}01\)) et \(m'(t)\).
- Au bout de combien de jours, environ, la masse passe-t-elle sous \(25\) g ? Utiliser un tableau de valeurs.
- \(m(0) = 50\) g. Comme \(k = -0{,}1 < 0\), \(t \mapsto e^{-0{,}1t}\) est strictement décroissante, et \(m\) aussi : la substance se désintègre.
- \(m(20) = 50\,e^{-2} \approx 6{,}77\) g, et \(m'(t) = 50 \times (-0{,}1)\,e^{-0{,}1t} = -0{,}1\,m(t)\) : la masse décroît à un rythme proportionnel à la masse restante.
- \(m(t) < 25\) signifie \(e^{-0{,}1t} < 0{,}5\). Un tableau de valeurs donne \(m(6) = 50e^{-0{,}6} \approx 27{,}4\), \(m(7) = 50e^{-0{,}7} \approx 24{,}8\) : la masse passe sous \(25\) g au cours du septième jour, après environ \(6{,}9\) jours (cette durée est la demi-vie de la substance).
Compétences à pratiquer
- Modéliser des situations réelles
IV
Limites et croissances comparées
IV.1
Limites en l'infini
Les limites à l'infini décrivent le comportement à l'infini d'une fonction. Lorsque \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) (ou \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\)), la droite \(y=L\) est une asymptote horizontale de la courbe.
Définition — Limite à l'infini
Une fonction \(f\) a pour limite \(L\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) si les valeurs de \(f(x)\) sont aussi proches que l'on veut du réel \(L\) dès que \(x\) est suffisamment grand. On écrit :$$ \textcolor{colordef}{\lim_{x \to +\infty} f(x) = L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} L}. $$ 
Définition — Asymptote horizontale
La droite \(y=L\) est une asymptote horizontale de la courbe de la fonction \(f\) si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $$ Exemple
La courbe \(\mathcal{C}\) ci-dessous est celle d'une fonction \(f\) définie sur \(]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[\). Lire les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et donner l'asymptote horizontale de \(\mathcal{C}\). 
Lorsque \(x\) prend des valeurs de plus en plus grandes, les points de \(\mathcal{C}\) se rapprochent de plus en plus de la droite en pointillés \(y = 1\), par au-dessus : les valeurs \(f(x)\) sont aussi proches que l'on veut de \(1\) dès que \(x\) est assez grand. Donc \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\). De même, lorsque \(x\) prend des valeurs de plus en plus petites, les points de \(\mathcal{C}\) se rapprochent de plus en plus de la même droite, par au-dessous : \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Compétences à pratiquer
- Conjecturer des limites à l'infini
- Étudier numériquement les limites infinies
IV.2
Limites de référence et opérations
Proposition — Limites de référence
Les limites suivantes des fonctions usuelles servent de base aux calculs : | Fonction | \(\mathbf{x \to -\infty}\) | \(\mathbf{x \to +\infty}\) | \(\mathbf{x \to 0^-}\) | \(\mathbf{x \to 0^+}\) |
| \(1/x\) | \(0\) | \(0\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(+\infty\) (pair) / \(-\infty\) (impair) | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) |
| \(e^x\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\sqrt{x}\) | non définie | \(+\infty\) | non définie | \(0\) |
| \(1/\sqrt{x}\) | non définie | \(0\) | non définie | \(+\infty\) |
Les tableaux de valeurs et les graphiques aident à comprendre la notion de limite, mais ne sont pas un moyen efficace de la calculer. Les limites obéissent à des règles algébriques, les opérations sur les limites, qui permettent de les calculer directement.
Proposition — Opérations sur les limites
Soient \(L\) et \(L'\) des nombres réels. Les tableaux suivants résument les règles de calcul des limites de sommes, de produits et de quotients, y compris avec l'infini. - Somme et produit :
\(\lim f(x)\) \(\lim g(x)\) \(\lim (f(x)+g(x))\) \(\lim (f(x) \times g(x))\) \(L\) \(L'\) \(L+L'\) \(L \times L'\) \(L\neq 0\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) (si même signe) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(0\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) Forme indéterminée \(+\infty\) \(-\infty\) Forme indéterminée \(-\infty\) - Quotient :
\(\lim f(x)\) \(\lim g(x)\) \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\) \(L\) \(L' \neq 0\) \(\dfrac{L}{L'}\) \(L\) \(\pm \infty\) \(0\) \(L \neq 0\) \(0^+\) ou \(0^-\) (dénominateur de signe constant) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(\pm \infty\) \(L' \neq 0\) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(0\) \(0\) Forme indéterminée \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) Forme indéterminée
Compétences à pratiquer
- Évaluer des limites par opérations : QCM
- Déterminer des limites avec l'exponentielle
IV.3
Croissances comparées : exponentielle et puissances de \(x\)
Proposition — Croissances comparées
Pour tout entier \(n \geq 1\) : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0, \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^{x} = 0.$$ Exemple
Déterminer les limites suivantes : - \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x}\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^5\right)\).
- C'est la deuxième limite de la proposition avec \(n = 3\) : $$\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x} = 0.$$
- La forme est \(\infty - \infty\) : on factorise par le terme prépondérant \(e^x\) : $$e^x - x^5 = e^x\left(1 - x^5 e^{-x}\right).$$ D'après la proposition, \(x^5 e^{-x} \to 0\), donc la parenthèse tend vers \(1\), et \(e^x \to +\infty\). Par la règle du produit, $$\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^5\right) = +\infty.$$
Compétences à pratiquer
- Conjecturer les croissances comparées sur des tableaux
- Appliquer les croissances comparées
- Diagnostiquer et corriger
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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