Éducation Nationale Française · Première Technologie
Nombre dérivé et tangente
I
La pente d'une droite
Définition — Pente
La pente (également appelée coefficient directeur) d'une droite non verticale est définie comme le rapport du changement vertical (\(\Delta y\)) sur le changement horizontal (\(\Delta x\)), pour deux points distincts quelconques de la droite. Ce rapport est le même quels que soient les deux points choisis sur la droite :$$\text{pente} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\text{changement vertical}}}{\textcolor{colordef}{\text{changement horizontal}}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{\Delta x} \neq 0$$ 
Dans le cas particulier où \(x\) augmente d'exactement \(1\) — c'est-à-dire \(\Delta x = 1\) — la pente vaut simplement \(\Delta y\) : la pente dit de combien \(y\) varie pour un pas de \(1\) en \(x\).
Proposition — Formule de la pente
La pente (ou coefficient directeur) d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}\,;\textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}\,;\textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$ L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre. 
Compétences à pratiquer
- Calculer la pente d'une droite
II
L'équation réduite d'une droite
Proposition — Équation réduite d'une droite
Toute droite du plan admet une unique équation réduite : - Si la droite \(d\) n'est pas verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées), son équation réduite est de la forme : \(\boldsymbol{y = mx + p}\).
- Si la droite \(d\) est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), son équation réduite est de la forme : \(\boldsymbol{x = k}\) (où \(k\) est une constante).
Définition — Forme point-pente
Une droite de pente \(m\) passant par le point \((x_1\,;y_1)\) a pour équation $$y - y_1 = m(x - x_1),$$ appelée sa forme point-pente. C'est la formule de la pente déguisée : un point \((x\,;y)\) avec \(x \neq x_1\) appartient à la droite exactement lorsque \(\dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m\). Compétences à pratiquer
- Lire la pente et l'ordonnée à l'origine
- Déterminer l'équation d'une droite par un point et sa pente
III
Le nombre dérivé
Pour déterminer le taux de variation en un unique point \(A\), on peut examiner le taux de variation moyen sur un très petit intervalle. Soit le second point \(B(a+h\,;f(a+h))\), où \(h\) est une petite variation en \(x\). Le coefficient directeur de la sécante \((AB)\) est donné par :$$ \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ Lorsqu'on laisse \(B\) se rapprocher de \(A\), la valeur de \(h\) tend vers 0. La droite sécante s'approche de la droite tangente au point A. La limite des coefficients directeurs des sécantes est le coefficient directeur de la tangente, défini comme le nombre dérivé. 
Définition — La dérivée en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle contenant \(a\). Lorsque la limite du taux de variation ci-dessous existe et est un nombre réel, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\), et cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\), notée \(f'(a)\) :$$ \textcolor{colordef}{f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}} $$ Géométriquement, \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point \((a\,;\,f(a))\). C'est aussi le taux de variation instantané de \(f\) en \(a\).Lorsque cette limite n'existe pas, ou est infinie, \(f\) n'est pas dérivable en \(a\) : la courbe n'admet pas en ce point de tangente de pente finie.
Exemple
Déterminer le nombre dérivé en \(x=1\) de \(f(x)=x^2\).
On évalue la limite du taux de variation lorsque \(h \to 0\).$$\begin{aligned}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \dfrac{(1+h)^2 - 1^2}{h} \\
&= \dfrac{1+2h+h^2 - 1}{h} \\
&= \dfrac{2h+h^2}{h} \\
&= 2+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\end{aligned}$$ On prend la limite :$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} (2+h) = 2 $$ La dérivée en \(x=1\) est 2. Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de \(f(x)=x^2\) au point \((1 ; 1)\) est 2. La figure ci-dessous montre comment la pente de la droite sécante de \((1 ; 1)\) à \((1+h\,;\,f(1+h))\) s'approche de la pente de la tangente à mesure que \(h\) diminue. 
Compétences à pratiquer
- Vérifier la définition
- Déterminer un nombre dérivé comme limite du taux de variation
- Lire le nombre dérivé sur une tangente
- Rédiger le calcul d'un nombre dérivé par la définition
IV
Tangente à la courbe
L'interprétation géométrique la plus directe de la dérivée est qu'elle donne la pente de la droite tangente. Déterminer l'équation de cette droite est une application fondamentale de la dérivation.
Proposition — Équation de la tangente
On suppose que \(f\) est dérivable en \(x=a\) et que la tangente n'est pas verticale. L'équation de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point \((a\,;\,f(a))\) est donnée par :$$\textcolor{colorprop}{y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$$ 
Exemple
Soit \(f(x) = x^2 + 1\). - À l'aide de la définition du nombre dérivé, calculer \(f'(2)\).
- En déduire l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(2\).
- \(f(2) = 5\) et \(f(2+h) = (2+h)^2 + 1 = 5 + 4h + h^2\). Pour \(h \neq 0\), $$ \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h \to 0]{} 4. $$ Donc \(f'(2) = 4\).
- La tangente passe par le point \((2\,;\,f(2)) = (2\,;\,5)\) avec la pente \(f'(2) = 4\) : $$ y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 4(x-2) + 5 = 4x - 3. $$
Méthode — Construire une tangente à partir du nombre dérivé
Pour tracer la tangente à la courbe de \(f\) au point \(A(a\,;\,f(a))\) lorsque le nombre \(f'(a)\) est connu : - Placer le point \(A\) sur la courbe.
- Utiliser la pente \(f'(a)\) pour obtenir un second point : à partir de \(A\), se déplacer de \(1\) unité vers la droite et de \(f'(a)\) unités vers le haut (vers le bas si \(f'(a) < 0\)). Si \(f'(a) = \dfrac{p}{q}\) est une fraction, se déplacer plutôt de \(q\) unités vers la droite et de \(p\) unités vers le haut.
- Tracer la droite passant par \(A\) et ce second point : c'est la tangente.
Exemple
La courbe d'une fonction \(f\) est tracée ci-dessous. On sait que \(f(1) = 2\) et \(f'(1) = -\dfrac{1}{2}\). Construire la tangente à la courbe au point d'abscisse \(1\). 
La tangente passe par \(A(1\,;\,2)\) avec la pente \(f'(1) = -\dfrac{1}{2}\) : à partir de \(A\), on se déplace de \(2\) unités vers la droite et de \(1\) unité vers le bas, ce qui donne le second point \(B(3\,;\,1)\). La tangente est la droite \((AB)\). 
Vérification : la droite \((AB)\) a pour équation \(y = -\dfrac{1}{2}(x-1) + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\), ce qui est bien \(y = f'(1)(x-1) + f(1)\).
Compétences à pratiquer
- Écrire l'équation d'une tangente à partir de \(f(a)\) et de \(f'(a)\)
- Déterminer et construire une tangente
V
Vitesse instantanée et coût marginal
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est un taux de variation instantané : il indique à quelle vitesse \(f(x)\) varie à l'instant précis où \(x = a\). Selon ce que mesure \(f\), ce nombre a un sens concret.
- Géométrie : \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).
- Mouvement : si \(d(t)\) est la distance parcourue après \(t\) secondes, le taux de variation \(\dfrac{d(t_0+h)-d(t_0)}{h}\) est la vitesse moyenne entre les instants \(t_0\) et \(t_0+h\), et \(d'(t_0)\) est la vitesse instantanée à l'instant \(t_0\) (celle qu'affiche le compteur).
- Économie : si \(C(q)\) est le coût de production de \(q\) objets, \(C'(q)\) est le coût marginal : approximativement le coût de production d'un objet supplémentaire au-delà de \(q\), puisque \(C(q+1)-C(q) = \dfrac{C(q+1)-C(q)}{1}\) est un taux de variation avec \(h = 1\), proche de \(C'(q)\) quand un objet est petit devant les quantités produites, de sorte que \(C'\) varie peu entre \(q\) et \(q+1\).
Exemple
On lâche une bille du haut d'une tour. La distance parcourue après \(t\) secondes est \(d(t) = 5t^2\) (en mètres). - Calculer la vitesse moyenne de la bille entre \(t = 2\) et \(t = 3\).
- À l'aide de la définition du nombre dérivé, calculer \(d'(2)\) et interpréter ce nombre.
- La vitesse moyenne est le taux de variation de \(d\) entre \(2\) et \(3\) : $$ \dfrac{d(3)-d(2)}{3-2} = \dfrac{45 - 20}{1} = 25\ \text{m/s}. $$
- Pour \(h \neq 0\), $$\begin{aligned} \dfrac{d(2+h)-d(2)}{h} &= \dfrac{5(2+h)^2 - 20}{h} \\ &= \dfrac{20 + 20h + 5h^2 - 20}{h} \\ &= \dfrac{h(20 + 5h)}{h} \\ &= 20 + 5h \xrightarrow[h \to 0]{} 20. \end{aligned}$$ Donc \(d'(2) = 20\) : à l'instant \(t = 2\), la bille tombe à la vitesse instantanée de \(20\ \text{m/s}\). Elle est inférieure à la vitesse moyenne sur \([2\,;\,3]\) car la bille continue d'accélérer.
Exemple
Le coût, en euros, de la production de \(q\) objets dans un atelier est \(C(q) = 0{,}1q^2 + 20q + 500\). - Calculer \(C(101) - C(100)\), le coût du \(101^{\text{e}}\) objet.
- À l'aide de la définition du nombre dérivé, calculer \(C'(100)\) et comparer avec le résultat précédent.
- \(C(100) = 0{,}1 \times 10\,000 + 2000 + 500 = 3500\) et \(C(101) = 0{,}1 \times 10\,201 + 2020 + 500 = 3540{,}1\). Le \(101^{\text{e}}\) objet coûte \(C(101) - C(100) = 40{,}1~\Euro\).
- Pour \(h \neq 0\), $$\begin{aligned} \dfrac{C(100+h)-C(100)}{h} &= \dfrac{0{,}1(100+h)^2 + 20(100+h) + 500 - 3500}{h} \\ &= \dfrac{1000 + 20h + 0{,}1h^2 + 2000 + 20h + 500 - 3500}{h} \\ &= \dfrac{h(40 + 0{,}1h)}{h} \\ &= 40 + 0{,}1h \xrightarrow[h \to 0]{} 40. \end{aligned}$$ Donc \(C'(100) = 40\) : le coût marginal en \(q = 100\) est de \(40~\Euro\), très proche du coût réel du \(101^{\text{e}}\) objet (\(40{,}1~\Euro\)). Le coût marginal est un taux de variation instantané ; il approche le coût d'un objet de plus, qui est le taux de variation avec \(h = 1\).
Compétences à pratiquer
- Interpréter le nombre dérivé dans un contexte
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Diagnostiquer et corriger
- Problèmes
- Quiz
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