Éducation Nationale Française · Terminale Technologie
Le logarithme népérien (STI2D, STL)
I
Le logarithme népérien, solution de \(e^x \equal a\)
Dans de nombreux domaines scientifiques, il faut résoudre des équations où l'inconnue est en exposant, comme \(e^x = a\). Pour ce faire, on utilise la fonction réciproque de l'exponentielle : le logarithme népérien. Alors que la fonction exponentielle croît extrêmement vite, le logarithme croît très lentement.
Définition — Logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction définie sur \(]0 ; +\infty[\) qui, à tout réel \(x > 0\), associe l'unique solution de l'équation \(e^y = x\) d'inconnue \(y\). On note :$$ y = \ln(x) $$ 
Proposition — Réciprocité
Pour tout \(x > 0\) et tout réel \(y\) : - \(e^y = x \iff y = \ln(x)\)
- \(e^{\ln(x)} = x\)
- \(\ln(e^y) = y\)
\(\ln(1) = 0\) (car \(e^0 = 1\)) et \(\ln(e) = 1\) (car \(e^1 = e\))
Exemple
Simplifier sans calculatrice, puis résoudre l'équation. - \(\ln\left(e^4\right)\) et \(e^{\ln 7}\)
- \(\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)\)
- Résoudre \(e^x = 5\), d'inconnue \(x\) réelle.
- Les deux règles se défont l'une l'autre, dans un sens comme dans l'autre : $$\ln\left(e^4\right) = 4 \qquad \text{et} \qquad e^{\ln 7} = 7.$$ La première n'exige rien de \(4\) ; la seconde exige \(7 > 0\), sans quoi \(\ln 7\) n'existerait pas.
- On écrit le quotient comme une puissance, puis on applique la même règle : $$\ln\left(\frac{1}{e}\right) = \ln\left(e^{-1}\right) = -1.$$
- \(5\) est strictement positif, donc l'équation a exactement une solution, et la réciprocité la nomme : $$e^x = 5 \iff x = \ln 5.$$ \(\ln 5\) est la réponse, et elle est exacte. Elle n'admet pas de forme plus simple — une calculatrice donne \(\ln 5 \approx 1{,}609\), mais cette valeur approchée répond à une autre question.
Proposition — Symétrie
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\). 
Proposition — Le logarithme népérien est strictement croissant
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\) : pour tous \(a \gt 0\) et \(b \gt 0\), $$\textcolor{colorprop}{a \lt b \iff \ln a \lt \ln b \qquad \text{et} \qquad a = b \iff \ln a = \ln b.}$$ En particulier, comme \(\ln 1 = 0\) : \(\ln x \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 1\), et \(\ln x \gt 0\) pour \(x \gt 1\).
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) : pour tous réels \(y\) et \(y'\), \(y \lt y'\) donne \(e^{y} \lt e^{y'}\) ; réciproquement, \(e^{y} \lt e^{y'}\) donne \(y \lt y'\), car \(y \geq y'\) donnerait \(e^{y} \geq e^{y'}\). Ainsi \(y \lt y' \iff e^{y} \lt e^{y'}\). On prend \(y = \ln a\) et \(y' = \ln b\) : $$\begin{aligned}\ln a \lt \ln b &\iff e^{\ln a} \lt e^{\ln b} &&\text{(exp strictement croissante)}\\
&\iff a \lt b. &&\text{(} e^{\ln x} = x \text{ pour } x \gt 0\text{)}\end{aligned}$$ L'égalité se traite de même : \(\ln a = \ln b\) donne \(e^{\ln a} = e^{\ln b}\), c'est-à-dire \(a = b\), et \(a = b\) donne \(\ln a = \ln b\). Enfin, pour \(0 \lt x \lt 1\), \(\ln x \lt \ln 1 = 0\), et pour \(x \gt 1\), \(\ln x \gt \ln 1 = 0\).
Compétences à pratiquer
- S'entraîner sur la définition et la réciprocité
- Calculer des logarithmes népériens
- Déterminer les ensembles de définition
- Utiliser la croissance de \(\ln\)
II
Propriétés algébriques
Neper, ou multiplier en additionnant
À la fin du seizième siècle, astronomes et navigateurs devaient multiplier et diviser à la main des nombres de huit ou dix chiffres, et en extraire les racines carrées : une erreur dans un long produit pouvait ruiner toute une table de positions. Le mathématicien écossais John Napier (1550-1617), que l'on appelle Neper en français, a cherché le moyen de remplacer les multiplications par des additions. Son idée part de deux suites écrites côte à côte : une suite géométrique \(1,\ q,\ q^2,\ q^3,\ \dots\) et la suite arithmétique de ses exposants \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots\) Multiplier deux termes de la première, \(q^p \times q^r = q^{p+r}\), revient à additionner les termes correspondants de la seconde. En choisissant \(q\) extrêmement proche de \(1\) (Neper prend \(q = 1 - 10^{-7}\)), la suite géométrique prend des valeurs si serrées que tout nombre d'une table peut être apparié, approximativement, à un exposant, les trous étant comblés par interpolation. Neper publie en 1614 la première table de logarithmes ; ses logarithmes, construits avec une normalisation qui lui est propre, transforment déjà les produits en sommes, mais à une constante près. Quelques années plus tard, Henry Briggs recalcule une table par une méthode de racines carrées, dans laquelle la règle « produit de la colonne de gauche \(=\) somme de la colonne de droite » est exacte, et pendant trois siècles les tables, puis la règle à calcul, furent la calculatrice de tous les scientifiques. Aujourd'hui la colonne de droite est la fonction \(\ln\) : pour \(a > 0\) et \(b > 0\), la règle de la table est la relation fonctionnelle \(\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\), un quotient se lit sur une différence, \(\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b\), et une racine carrée sur une moitié, \(\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a\). La table utilisée ci-dessous est une table moderne, qui donne \(\ln n\) arrondi à quatre décimales. La même idée survit dans les échelles logarithmiques d'aujourd'hui : sur l'échelle des décibels pour le son ou celle des magnitudes pour les séismes, multiplier une grandeur par un facteur fixe ajoute un pas fixe, exactement comme dans une table.
Exemple
Voici un extrait d'une table de logarithmes népériens, arrondis à quatre décimales. | \(n\) | \(\ln n\) | \(n\) | \(\ln n\) | \(n\) | \(\ln n\) |
| \(2\) | \(0{,}6931\) | \(8\) | \(2{,}0794\) | \(27\) | \(3{,}2958\) |
| \(3\) | \(1{,}0986\) | \(9\) | \(2{,}1972\) | \(81\) | \(4{,}3944\) |
| \(4\) | \(1{,}3863\) | \(10\) | \(2{,}3026\) | \(91\) | \(4{,}5109\) |
| \(5\) | \(1{,}6094\) | \(12\) | \(2{,}4849\) | \(2456\) | \(7{,}8063\) |
| \(6\) | \(1{,}7918\) | \(16\) | \(2{,}7726\) | \(2457\) | \(7{,}8067\) |
| \(7\) | \(1{,}9459\) | \(18\) | \(2{,}8904\) | \(2458\) | \(7{,}8071\) |
Les valeurs de la table sont arrondies à \(10^{-4}\), donc toute somme de deux d'entre elles n'est connue qu'à \(2 \times 10^{-4}\) près : les égalités ci-dessous valent à cette précision, ce qui suffit parce que le résultat cherché est un entier et que la table sépare les entiers voisins. Vérification. \(\ln 2 + \ln 3 \approx 0{,}6931 + 1{,}0986 = 1{,}7917\), et la table donne \(\ln 6 \approx 1{,}7918\) : les deux concordent à l'arrondi de la table près, comme le prévoit l'identité exacte \(\ln 6 = \ln 2 + \ln 3\). Produit. \(\ln(27 \times 91) = \ln 27 + \ln 91 \approx 3{,}2958 + 4{,}5109 = 7{,}8067\). En lisant la colonne de droite à l'envers, \(7{,}8067\) est en face de \(2457\), tandis que ses voisins \(2456\) et \(2458\) sont en face de \(7{,}8063\) et \(7{,}8071\), plus loin que l'erreur d'arrondi : le produit étant un entier, \(27 \times 91 = 2457\). Une multiplication de nombres à deux chiffres a été remplacée par une addition et deux lectures, et \(27 \times 91 = 2457\) est bien exact. Quotient. \(\ln\dfrac{81}{3} = \ln 81 - \ln 3 \approx 4{,}3944 - 1{,}0986 = 3{,}2958\), en face de \(27\) : on lit \(\dfrac{81}{3} \approx 27\), et comme ce quotient est connu pour être un entier, \(\dfrac{81}{3} = 27\). Racine carrée. \(\ln\sqrt{16} = \dfrac{1}{2}\ln 16 \approx \dfrac{2{,}7726}{2} = 1{,}3863\), en face de \(4\) : \(\sqrt{16} \approx 4\), exact ici parce que \(16\) est un carré parfait. En général une table ne donne le résultat d'une division ou d'une racine qu'à sa propre précision ; l'extraction d'une racine n'en est pas moins devenue une division par \(2\). Les lignes \(2456\), \(2457\), \(2458\) montrent le prix de la méthode : la table doit être assez fine pour distinguer \(7{,}8063\), \(7{,}8067\) et \(7{,}8071\), et c'est pourquoi les tables historiques comptaient des centaines de pages.
Proposition — Relation fonctionnelle
Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs :$$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$$ Proposition — Autres règles de calcul
Pour tous \(a > 0\), \(b > 0\) et tout entier relatif \(n\) : - Inverse : \(\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)\)
- Quotient : \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)
- Puissance : \(\ln(a^n) = n\ln(a)\)
- Racine carrée : \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\)
Exemple
- Exprimer \(\ln 12\), \(\ln\dfrac{8}{9}\) et \(\ln\sqrt{6}\) en fonction de \(\ln 2\) et de \(\ln 3\).
- Écrire \(A = 3\ln 2 + \ln 5 - \ln 10\) sous la forme d'un seul logarithme.
- Dans chaque cas, on décompose d'abord le nombre, puis on lit la règle qui s'applique. $$\begin{aligned} \ln 12 &= \ln(4 \times 3) = \ln 4 + \ln 3 &&\color{gray}\text{(Relation fonctionnelle)} \\ &= 2\ln 2 + \ln 3 &&\color{gray}\text{(Puissance, sur \(4 = 2^2\))} \\ \ln\frac{8}{9} &= \ln 8 - \ln 9 &&\color{gray}\text{(Quotient)} \\ &= 3\ln 2 - 2\ln 3 &&\color{gray}\text{(Puissance, deux fois)} \\ \ln\sqrt{6} &= \frac{1}{2}\ln 6 = \frac{1}{2}\bigl(\ln 2 + \ln 3\bigr) &&\color{gray}\text{(Racine, puis relation fonctionnelle)}. \end{aligned}$$
- On transforme chaque coefficient en puissance, puis on rassemble : $$A = \ln 8 + \ln 5 - \ln 10 = \ln\frac{8 \times 5}{10} = \ln 4.$$ La vérification vaut le détour : \(8 \times 5 = 40\) et \(40/10 = 4\), donc \(A = \ln 4 = 2\ln 2\).
Proposition — Logarithme d'une puissance d'exposant réel
Pour tout \(a \gt 0\) et tout réel \(x\) (\(a^x\) est la valeur en \(x\) de la fonction exponentielle de base \(a\), \(x \mapsto a^x\)) : $$\textcolor{colorprop}{\ln\left(a^x\right) = x\ln a \qquad \text{et donc} \qquad a^x = e^{x\ln a}.}$$ La première égalité est admise lorsque \(x\) n'est pas entier. La fonction \(x \mapsto a^x\) est donc la fonction \(x \mapsto e^{kx}\) avec \(k = \ln a\).
Lorsque \(x\) est un entier \(n\), la première égalité est la règle de la puissance \(\ln\left(a^n\right) = n\ln a\). Pour la seconde, \(a^x \gt 0\), donc par réciprocité \(a^x = e^{\ln\left(a^x\right)}\), et la première égalité donne \(a^x = e^{x\ln a}\).
Exemple
- Écrire \(2^x\) et \(0{,}8^x\) sous la forme \(e^{kx}\), puis donner le sens de variation des fonctions \(x \mapsto 2^x\) et \(x \mapsto 0{,}8^x\) sur \(\mathbb{R}\).
- Une culture de bactéries croît de sorte que son effectif est multiplié par \(1{,}05^x\) au bout de \(x\) heures. Résoudre \(1{,}05^x = 2\) et interpréter.
- \(2^x = e^{x\ln 2}\), avec \(k = \ln 2 \approx 0{,}693 \gt 0\) (car \(2 \gt 1\)). La dérivée de \(x \mapsto e^{kx}\) est \(x \mapsto ke^{kx}\), positive ici : \(x \mapsto 2^x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). De même \(0{,}8^x = e^{x\ln 0{,}8}\), avec \(k = \ln 0{,}8 \approx -0{,}223 \lt 0\) (car \(0{,}8 \lt 1\)) : la dérivée \(ke^{kx}\) est négative, \(x \mapsto 0{,}8^x\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- Les deux membres sont strictement positifs, et \(\ln\) conserve l'égalité : $$\begin{aligned} 1{,}05^x = 2 &\iff \ln\left(1{,}05^x\right) = \ln 2\\ &\iff x\ln 1{,}05 = \ln 2 &&\text{(} \ln(a^x) = x\ln a\text{)}\\ &\iff x = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. &&\text{(} \ln 1{,}05 \gt 0\text{)}\end{aligned}$$ L'effectif de la culture double au bout d'environ \(14{,}2\) heures.
Compétences à pratiquer
- Écrire sous la forme d'un seul logarithme népérien : niveau 1
- Écrire sous la forme d'un seul logarithme népérien : niveau 2
- Écrire sous la forme d'un seul logarithme népérien : niveau 3
- Compléter une table de logarithmes
III
Étude de la fonction logarithme népérien
Proposition — Dérivée et continuité
La fonction \(\ln\) est dérivable et continue sur \(]0 ; +\infty[\). Pour tout \(x > 0\) :$$\ln'(x) = \frac{1}{x}$$ Comme \(1/x > 0\) sur cet intervalle, le logarithme népérien est strictement croissant sur \(]0 ; +\infty[\). Exemple
Dériver sur \(]0\,;\,+\infty[\) : $$f(x) = 3\ln x - 2x, \qquad g(x) = x\ln x, \qquad h(x) = \frac{\ln x}{x}.$$
Chacune repose sur \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\) ; seule la règle qui l'entoure change. $$\begin{aligned} f'(x) &= 3 \times \frac{1}{x} - 2 = \frac{3}{x} - 2 &&\color{gray}\text{(Somme, et multiple d'une fonction)} \\
g'(x) &= 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1 &&\color{gray}\text{(Produit)} \\
h'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} &&\color{gray}\text{(Quotient)}. \end{aligned}$$ La deuxième mérite d'être retenue : \(x\ln x\) a pour dérivée \(\ln x + 1\), qui s'annule lorsque \(\ln x \equal -1\), c'est-à-dire en \(x \equal e^{-1}\). Donc \(x\ln x\) décroît sur \(]0\,;\,e^{-1}]\) puis croît, avec son minimum en \(x \equal e^{-1}\).
Proposition — Limites et asymptote
Le logarithme népérien admet les limites suivantes : - \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
Exemple
Donner les limites de \(\ln\) aux deux bornes de son domaine, nommer l'asymptote, et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de \(\ln x\) suivant \(x\).
Le domaine est \(]0\,;\,+\infty[\), donc il y a deux bornes, et elles ne sont pas de même nature : l'une est une borne finie que la fonction n'atteint jamais, l'autre est l'infini. $$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.$$ La première dit que la courbe plonge le long de l'axe des ordonnées : la droite \(x \equal 0\) est une asymptote verticale. La seconde dit qu'elle monte sans borne — lentement, mais sans borne. Comme \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0\) sur tout le domaine, \(\ln\) y est strictement croissante. 
Une fonction strictement croissante ne traverse zéro qu'une fois au plus, et \(\ln 1 = 0\) : cette traversée est \(x \equal 1\). D'où $$\ln x < 0 \text{ sur } ]0\,;\,1[, \qquad \ln 1 = 0, \qquad \ln x > 0 \text{ sur } ]1\,;\,+\infty[.$$ Ce signe sert constamment, et il se lit sur le tableau, il ne se retient pas.
Compétences à pratiquer
- Dériver \(\ln x\) et intégrer \(\dfrac{1}{x}\)
- Étudier une fonction logarithmique
IV
Équations et inéquations
Exemple
Résoudre chaque équation ou inéquation, en précisant d'abord le domaine. - \(\ln x = 5\)
- \(2\ln x + 1 = -3\)
- \(e^{2x-3} = 4\)
- \(\ln(1 - x) \le -1\)
- \(e^{x+1} \ge 2\)
Deux outils font tout le travail : la réciprocité, \(\ln x = y \iff x = e^{y}\) pour \(x > 0\), et le fait que \(\ln\) et \(\exp\) sont strictement croissantes, donc conservent le sens d'une inégalité.
- Domaine \(]0\,;\,+\infty[\). Par réciprocité, \(\ln x = 5 \iff x = e^{5}\), et \(e^{5} > 0\) est dans le domaine : \(S = \{e^{5}\}\).
- Domaine \(]0\,;\,+\infty[\). On isole d'abord le logarithme : $$2\ln x + 1 = -3 \iff \ln x = -2 \iff x = e^{-2}.$$ \(S = \{e^{-2}\}\), et \(e^{-2} \approx 0{,}14\) est bien positif.
- Domaine \(\mathbb{R}\), puisque \(e^{2x-3}\) existe toujours. On applique \(\ln\) aux deux membres (tous deux strictement positifs) : $$e^{2x-3} = 4 \iff 2x - 3 = \ln 4 \iff x = \frac{3 + \ln 4}{2}.$$ \(S = \left\{\dfrac{3 + \ln 4}{2}\right\}\), soit environ \(2{,}19\). On peut aussi écrire \(\ln 4 = 2\ln 2\), d'où \(x = \dfrac{3}{2} + \ln 2\).
- Domaine : \(1 - x > 0\), c'est-à-dire \(x < 1\). En écrivant \(-1 = \ln\left(e^{-1}\right)\), l'inéquation devient \(\ln(1-x) \le \ln\left(e^{-1}\right)\) ; comme \(\ln\) est strictement croissante, elle équivaut, pour \(1 - x > 0\), à $$1 - x \le e^{-1} \iff x \ge 1 - e^{-1}.$$ En croisant avec le domaine : \(S = \left[1 - e^{-1}\,;\,1\right[\), soit environ \([0{,}63\,;\,1[\).
- Domaine \(\mathbb{R}\). Comme \(\exp\) est strictement croissante, \(e^{x+1} \ge 2 = e^{\ln 2}\) équivaut à \(x + 1 \ge \ln 2\), c'est-à-dire \(x \ge \ln 2 - 1\). \(S = [\ln 2 - 1\,;\,+\infty[\), soit environ \([-0{,}31\,;\,+\infty[\).
Méthode — Résoudre \(\ln A \equal \ln B\) et \(\ln A \le \ln B\)
Cette méthode vaut pour un énoncé dont les deux membres se ramènent chacun à un seul logarithme. Elle ne couvre pas les énoncés comme \((\ln x)^2 + \ln x = 0\), où \(\ln x\) apparaît au carré : ceux-là appellent le changement de variable \(X = \ln x\), qui les ramène à une équation ordinaire en \(X\). - Le domaine d'abord. Chaque \(\ln\) de l'énoncé exige son argument strictement positif. On résout ces conditions ensemble et on garde leur intersection : en dehors, l'énoncé n'a pas de sens, et aucune solution ne peut en venir.
- Un seul logarithme de chaque côté. À l'aide des règles de calcul, on réécrit l'énoncé sous la forme \(\ln A \equal \ln B\), ou \(\ln A \le \ln B\).
- Enlever les logarithmes. \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc elle conserve l'égalité comme l'ordre. Pour \(A > 0\) et \(B > 0\) — ce que l'étape 1 a garanti : $$\ln A = \ln B \iff A = B \qquad \text{et} \qquad \ln A \le \ln B \iff A \le B.$$
- Croiser avec le domaine. Une valeur trouvée à l'étape 3 n'est solution que si elle appartient au domaine de l'étape 1.
Exemple
- Résoudre \(\ln(x-1) + \ln(x+2) = \ln 4\).
- Résoudre \(\ln(2x-1) \le \ln(x+3)\).
- Domaine. Il faut \(x - 1 > 0\) et \(x + 2 > 0\), c'est-à-dire \(x > 1\) et \(x > -2\) : le domaine est \(]1\,;\,+\infty[\). Un logarithme de chaque côté, par la relation fonctionnelle : $$\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4.$$ On les enlève, puisque \(\ln\) est strictement croissante : $$\begin{aligned} (x-1)(x+2) &= 4 &&\color{gray}\text{(Stricte croissance)} \\ x^2 + x - 2 &= 4 &&\color{gray}\text{(Développement)} \\ x^2 + x - 6 &= 0 &&\color{gray}\text{(Mise à zéro)} \\ (x - 2)(x + 3) &= 0. &&\color{gray}\text{(Factorisation : } (x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\text{)} \end{aligned}$$ Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul : \(x \equal 2\) ou \(x \equal -3\). On croise avec le domaine. \(2 > 1\), donc \(2\) est gardé. \(-3\) n'est pas dans \(]1\,;\,+\infty[\), et dans l'énoncé de départ \(\ln(-4)\) n'existe pas. Il faut voir d'où vient \(-3\) : non pas de la suppression des logarithmes, qui était une équivalence sur \(]1\,;\,+\infty[\), mais de la résolution de \(x^2 + x - 6 \equal 0\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier. D'où \(S = \{2\}\). Vérification : \(\ln 1 + \ln 4 = 0 + \ln 4 = \ln 4\). \checkmark
- Domaine. \(2x - 1 > 0\) et \(x + 3 > 0\) donnent \(x > \frac{1}{2}\) et \(x > -3\) : le domaine est \(\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\). \(\ln\) est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre : $$\ln(2x-1) \le \ln(x+3) \iff 2x - 1 \le x + 3 \iff x \le 4.$$ On croise : \(S = \left]\frac{1}{2}\,;\,4\right]\), ouvert à gauche parce que \(\frac{1}{2}\) est exclu par le domaine, fermé à droite parce que l'inégalité est large.
Exemple
Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que : - \(1{,}05^{\,n} \ge 1000\)
- \(0{,}9^{\,n} < 0{,}01\)
L'inconnue est en exposant : on applique \(\ln\) aux deux membres, ce qui est permis parce qu'ils sont strictement positifs et que \(\ln\) est strictement croissante, donc l'inégalité garde son sens. La règle \(\ln q^n = n\ln q\) fait alors descendre l'exposant. Le seul piège est la dernière étape, la division par \(\ln q\) : son signe dépend de la position de \(q\) par rapport à \(1\).
- \(q = 1{,}05 > 1\), donc \(\ln 1{,}05 > 0\) : $$\begin{aligned} 1{,}05^{\,n} \ge 1000 &\iff n\ln 1{,}05 \ge \ln 1000 &&\text{(\(\ln\) strictement croissante, puis \(\ln q^n = n\ln q\))} \\ &\iff n \ge \frac{\ln 1000}{\ln 1{,}05} &&\text{(division par \(\ln 1{,}05 > 0\) : sens conservé)}. \end{aligned}$$ La calculatrice donne \(\dfrac{\ln 1000}{\ln 1{,}05} \approx 141{,}58\), donc les solutions sont les entiers \(n \ge 142\). Vérification : \(1{,}05^{141} \approx 972 < 1000\) et \(1{,}05^{142} \approx 1020 \ge 1000\).
- \(q = 0{,}9 < 1\), donc \(\ln 0{,}9 < 0\) : $$\begin{aligned} 0{,}9^{\,n} < 0{,}01 &\iff n\ln 0{,}9 < \ln 0{,}01 &&\text{(\(\ln\) strictement croissante, puis \(\ln q^n = n\ln q\))} \\ &\iff n > \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} &&\text{(division par \(\ln 0{,}9 < 0\) : sens renversé)}. \end{aligned}$$ La calculatrice donne \(\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \approx 43{,}71\), donc les solutions sont les entiers \(n \ge 44\). Vérification : \(0{,}9^{43} \approx 0{,}0108 > 0{,}01\) et \(0{,}9^{44} \approx 0{,}0097 < 0{,}01\).
Compétences à pratiquer
- Résoudre \(e^{ax} \equal b\)
- Résoudre des équations par la réciprocité
- Résoudre des inéquations par la monotonie
- Résoudre des inéquations avec puissances
- Modéliser la croissance d'une suite avec les logarithmes
V
Logarithme décimal et logarithme népérien
Proposition — Lien avec le logarithme décimal
Le logarithme décimal de \(x \gt 0\), noté \(\log x\), est le réel tel que \(10^{\log x} = x\). Pour tout \(x \gt 0\) : $$\textcolor{colorprop}{\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}.}$$ Comme \(\ln 10 \approx 2{,}303 \gt 0\), la courbe de \(\log\) s'obtient à partir de celle de \(\ln\) en multipliant chaque ordonnée par \(\dfrac{1}{\ln 10} \approx 0{,}434\) : les deux fonctions s'annulent en \(1\) et ont le même sens de variation. 
Soit \(x \gt 0\). En appliquant \(\ln\) à \(10^{\log x} = x\) : $$\begin{aligned}\ln x &= \ln\left(10^{\log x}\right)\\
&= \log x \times \ln 10 &&\text{(} \ln(a^y) = y\ln a \text{, avec } a = 10\text{)}\end{aligned}$$ et \(\ln 10 \neq 0\), donc \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\).
Exemple
À l'aide de cette formule, calculer \(\log 1000\), puis donner une valeur de \(\log 2\) arrondie à \(10^{-3}\).
$$\begin{aligned}\log 1000 &= \frac{\ln\left(10^3\right)}{\ln 10} = \frac{3\ln 10}{\ln 10} &&\text{(règle de la puissance)}\\
&= 3,\end{aligned}$$ comme attendu puisque \(10^3 = 1000\). Et \(\log 2 = \dfrac{\ln 2}{\ln 10} \approx \dfrac{0{,}6931}{2{,}3026} \approx 0{,}301\).
Compétences à pratiquer
- Exprimer \(a^x\) et \(\log x\) à l'aide de \(\ln\)
VI
Modèles logarithmiques : magnitude, niveau sonore, pH
Les modèles logarithmiques sont souvent utilisés pour mesurer une magnitude ou une intensité. Exemples courants :
- \(M(I)\) : la magnitude d'un séisme d'intensité \(I\) (échelle de Richter).
- \(d(I)\) : le niveau sonore en décibels d'un bruit d'intensité \(I\).
- \(\text{pH}(H^+)\) : l'acidité d'une solution en fonction de la concentration en ions hydrogène.
Compétences à pratiquer
- Appliquer des modèles logarithmiques
VII
Demi-vie
Définition — Demi-vie
Soit \(N\) une grandeur qui décroît au cours du temps selon \(N(t) = N_0e^{-\lambda t}\), avec \(N_0 \gt 0\) et \(\lambda \gt 0\) — le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif, la concentration d'un médicament dans le sang. La demi-vie \(t_{1/2}\) de \(N\) est la durée au bout de laquelle la grandeur est divisée par \(2\) : $$N\left(t + t_{1/2}\right) = \frac{N(t)}{2} \quad \text{pour tout } t \geq 0.$$ Proposition — Demi-vie d'une décroissance exponentielle
$$\textcolor{colorprop}{t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.}$$ Elle ne dépend ni de l'instant \(t\) ni de la quantité initiale \(N_0\).
Soit \(t \geq 0\) et \(T \gt 0\). $$\begin{aligned} N(t + T) = \frac{N(t)}{2} &\iff N_0e^{-\lambda t}e^{-\lambda T} = \frac{N_0e^{-\lambda t}}{2} &&\text{(} e^{a+b} = e^a e^b\text{)}\\
&\iff e^{-\lambda T} = \frac{1}{2} &&\text{(on divise par } N_0e^{-\lambda t} \gt 0\text{)}\\
&\iff -\lambda T = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 &&\text{(} e^y = x \iff y = \ln x\text{)}\\
&\iff T = \frac{\ln 2}{\lambda}.\end{aligned}$$ La valeur trouvée ne contient ni \(t\) ni \(N_0\).
Exemple
Le nombre de noyaux de carbone 14 d'un échantillon décroît selon \(N(t) = N_0e^{-\lambda t}\), \(t\) en années, avec une demi-vie de \(5\,730\) ans. - Calculer \(\lambda\).
- Quelle fraction du carbone 14 initial reste-t-il au bout de trois demi-vies ?
- Un fossile contient \(30\pourcent\) du carbone 14 qu'il contenait de son vivant. Estimer son âge, à la dizaine d'années près.
- \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) donne \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}\) par an.
- Chaque demi-vie divise la quantité par \(2\) : au bout de trois, il reste \(\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) du carbone 14 initial, soit \(12{,}5\pourcent\).
- $$\begin{aligned} N(t) = 0{,}3N_0 &\iff e^{-\lambda t} = 0{,}3 &&\text{(on divise par } N_0 \gt 0\text{)}\\ &\iff -\lambda t = \ln 0{,}3 &&\text{(} e^y = x \iff y = \ln x\text{)}\\ &\iff t = \frac{-\ln 0{,}3}{\lambda} = \frac{\ln\frac{10}{3}}{\lambda} &&\text{(} -\ln b = \ln\frac{1}{b}\text{)}\\ &\iff t = \frac{5730\ln\frac{10}{3}}{\ln 2} \approx 9\,953. &&\text{(} \frac{1}{\lambda} = \frac{5730}{\ln 2}\text{)}\end{aligned}$$ Le fossile a environ \(9\,950\) ans.
Exemple
Un élément radioactif se désintègre selon la formule \(R(t) = 100 e^{-0{,}05t}\), où \(R\) est le rayonnement en coups par minute et \(t\) est le temps en années. - Donner le rayonnement initial.
- Trouver la demi-vie (temps nécessaire pour que le rayonnement diminue de moitié).
- Rayonnement initial : À \(t=0\), $$ R(0) = 100 e^0 = 100 \text{ cpm}. $$
- Demi-vie : On cherche \(t\) tel que \(R(t) = 50\). $$ 50 = 100 e^{-0{,}05t} \implies 0{,}5 = e^{-0{,}05t}. $$ En prenant le \(\ln\) des deux côtés : $$ \ln(0{,}5) = -0{,}05t \implies t = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}05} \approx 13{,}86 \text{ années}. $$
Compétences à pratiquer
- Calculer une demi-vie
- Appliquer des modèles exponentiels
VIII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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