Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Intégration (STI2D, STL)

⌚ ~186 min ▢ 21 blocs ✓ 90 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Primitives et méthode d'Euler (STI2D, STL), Dérivation (STI2D, STL), Suites : sommes et moyennes

I Définir et calculer une intégrale

I.1 L'intégrale, une aire

La mesure des aires est un besoin fondamental pour la science et la société depuis l'Antiquité. Dans l'Égypte ancienne, les arpenteurs utilisaient des cordes à nœuds pour construire des angles droits, leur permettant de mesurer et de rétablir les limites des champs rectangulaires emportées par les crues annuelles du Nil. Si l'aire d'une figure aux côtés rectilignes se calcule simplement, le calcul intégral offre un outil révolutionnaire pour déterminer l'aire de domaines délimités par des courbes.

On cherche une méthode pour calculer l'aire exacte $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe d'une fonction positive $y=f(x)$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=a$ et $x=b$. On note cette aire à l'aide d'une intégrale :

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Définition — Intégrale d'une fonction continue positive

Dans un repère orthogonal d'origine $O$, on note $I(1 ; 0)$ et $J(0 ; 1)$. L'unité d'aire, notée u.a., est l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a ; b]$ (c'est-à-dire $f(x) \ge 0$ pour tout $x$ de $[a ; b]$), et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. On la note $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. $$

Remarques

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est un nombre réel positif, qui ne dépend que de $f$, $a$ et $b$.
La variable est muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ : le domaine se réduit à un segment.
Pour une fonction constante $x \mapsto k$ avec $k \ge 0$, le domaine est un rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $k$ : $\displaystyle\int_a^b k\,\mathrm{d}x = k(b - a)$.

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Exemple

Déterminer l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{2} 1\,\mathrm{d}x$ en l'interprétant comme une aire.

Correction

L'intégrale représente l'aire sous la courbe de la fonction constante $f(x)=1$ de $x=-1$ à $x=2$ : ce domaine est un rectangle de largeur $2 - (-1) = 3$ et de hauteur $1$.

Donc $\displaystyle\int_{-1}^{2}1\,\mathrm{d}x= 3$.

Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales avec des formules d'aire
Identifier l'intégrale d'une aire donnée

I.2 Approcher une aire par des rectangles

Méthode — Approximation de l'aire par des sommes de Riemann

On cherche à mesurer l'aire hachurée, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$, sous la courbe d'une fonction continue et positive $y=f(x)$.

L'idée clé, développée par Bernhard Riemann, est d'approcher cette aire par une somme de rectangles fins, connue sous le nom de Somme de Riemann.

Approximation avec 1 rectangle : On peut faire une première approximation grossière en remplissant l'aire avec un unique rectangle de largeur $(b-a)$ et de hauteur $f(a)$ (la valeur de la fonction à l'extrémité gauche de l'intervalle). L'aire est approximée par : $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx (b-a)f(a)$$ Pour une fonction croissante, comme celle représentée, il s'agit d'une sous-estimation.
Approximation avec 4 rectangles : Pour améliorer l'approximation, on divise l'intervalle $[a ; b]$ en 4 sous-intervalles égaux, chacun de largeur $\frac{b-a}{4}$. On construit un rectangle sur chaque sous-intervalle, en utilisant la valeur de la fonction à l'extrémité gauche comme hauteur. L'aire totale de ces quatre rectangles donne ici, pour la fonction croissante représentée, une bien meilleure approximation : $$\begin{aligned}[t]\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &\approx \frac{b-a}{4}f(x_0)+\frac{b-a}{4}f(x_1)+\frac{b-a}{4}f(x_2)+\frac{b-a}{4}f(x_3) \\ &\approx \frac{b-a}{4} \left[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right]\end{aligned}$$
Approximation avec $n$ rectangles : On peut généraliser cela en divisant l'intervalle en $n$ sous-intervalles égaux, chacun de largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. En notant $x_i=a+i\Delta x$ pour $i=0,1,\dots,n-1$, la somme des aires des $n$ rectangles est : $$ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x. $$ Lorsqu'on augmente le nombre de rectangles ($n \to \infty$), la largeur de chaque rectangle devient infiniment petite, et la somme de leurs aires correspond parfaitement à l'aire sous la courbe : $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n\to\infty} S_n.$$

Proposition — Encadrement par la méthode des rectangles

Soit $a < b$ et $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a ; b]$, $n$ un entier naturel non nul, $h = \frac{b-a}{n}$ et $x_k = a + kh$ pour $0 \le k \le n$. On note $$ s_n = h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \qquad \text{et} \qquad S_n = h\sum_{k=1}^{n} f(x_k) $$ les sommes des aires des rectangles construits sur les extrémités gauches et droites. Alors $$ s_n \le \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \le S_n \qquad \text{et} \qquad S_n - s_n = \frac{(b-a)\big(f(b) - f(a)\big)}{n}, $$ un écart qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Pour une fonction décroissante, les deux inégalités s'inversent.

Compétences à pratiquer

Encadrer une aire avec des rectangles

I.3 Algorithmes des rectangles et de Monte-Carlo

Méthode — Méthode des rectangles

On somme les aires de $n$ rectangles de largeur $h=\frac{b-a}{n}$ et de hauteur $f(x_k)$ aux extrémités gauches $x_k=a+kh$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\,h$. Ici $f$ est continue sur $[a ; b]$, avec $a < b$, et $n$ est un entier naturel non nul. Là où $f$ est positive, $f(x_k)\,h$ est l'aire d'un rectangle ; là où $f$ est négative, il compte négativement, comme dans l'intégrale. Quand $n$ tend vers $+\infty$, ces sommes tendent vers l'intégrale (admis) ; cela ne veut pas dire que chaque augmentation de $n$ réduit l'erreur.

h = (b - a) / n
S = 0
for k in range(n):
    S = S + f(a + k*h) * h

Méthode — Méthode de Monte-Carlo

On tire $N$ points au hasard dans un rectangle englobant $[a ; b]\times[0 ; M]$ (avec $0\le f(x)\le M$ sur $[a ; b]$). Si $c$ tombent sous la courbe, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx (b-a)\,M\cdot\frac{c}{N}$.

import random
c = 0
for i in range(N):
    x = random.uniform(a, b)
    y = random.uniform(0, M)
    if y <= f(x):
        c = c + 1
aire = (b - a) * M * c / N

Compétences à pratiquer

Lire et modifier un algorithme d'approximation
Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo

I.4 La fonction aire et le calcul d'une intégrale

De l'aire à la primitive

Les rectangles donnent un encadrement d'une aire, de plus en plus fin quand $n$ grandit, mais en général pas sa valeur exacte en un nombre fini d'étapes. Pour obtenir la valeur exacte, on regarde l'aire de $a$ à $x$ comme une fonction de $x$, et l'on se demande à quelle vitesse elle croît quand $x$ bouge un peu : pour une fonction continue et positive, le théorème sur la fonction aire répond qu'elle croît à la vitesse $f(x)$ elle-même. Calculer une aire revient alors à chercher une primitive.

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Théorème — La fonction aire est une primitive

Soit $a < b$ et $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$. La fonction $F_a$ définie sur $[a ; b]$ par $$ F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t $$ est dérivable sur $[a ; b]$ (à droite en $a$, à gauche en $b$) et $F_a' = f$ : c'est la primitive de $f$ sur $[a ; b]$ qui s'annule en $a$.

Preuve

On admet le théorème dans le cas général ; on le démontre lorsque $f$ est de plus croissante sur $[a ; b]$.
Soit $x_0 \in [a ; b]$ et $h > 0$ tel que $x_0 + h \le b$. Le nombre $F_a(x_0 + h) - F_a(x_0)$ est l'aire du domaine sous $\mathcal{C}_f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$, car les aires s'ajoutent. Comme $f$ est croissante, ce domaine contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0)$, et il est contenu dans le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0 + h)$. Ainsi $$\begin{aligned} h\,f(x_0) &\le F_a(x_0+h) - F_a(x_0) \le h\,f(x_0+h) &&\text{(comparaison des aires)}\\ f(x_0) &\le \frac{F_a(x_0+h) - F_a(x_0)}{h} \le f(x_0+h) &&\text{(division par } h > 0\text{)} \end{aligned}$$ Comme $f$ est continue en $x_0$, $f(x_0 + h) \xrightarrow[h \to 0^+]{} f(x_0)$ ; par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f(x_0)$. Pour $h < 0$ tel que $x_0 + h \ge a$, la même comparaison sur $[x_0 + h ; x_0]$ donne $$ f(x_0 + h) \le \frac{F_a(x_0+h) - F_a(x_0)}{h} \le f(x_0), $$ avec la même limite. Ainsi $F_a$ est dérivable en $x_0$ et $F_a'(x_0) = f(x_0)$. En $a$, seul $h > 0$ est possible, et en $b$, seul $h < 0$ : en ces points, la dérivée est une dérivée à droite, respectivement à gauche. Enfin, $F_a(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$.

Proposition — Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$, et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a ; b]$. Alors $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a). $$ La différence $F(b) - F(a)$ se note $\left[F(x)\right]_a^b$.

Exemple

Calculer $\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm{d}x$.

Correction

Déterminer une primitive : Une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.
Calculer l'intégrale à l'aide de la primitive : $$\begin{aligned}\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm{d}x &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = F(2) - F(0) \\ &=\frac{2^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}\end{aligned}$$

Autrement dit, l'aire exacte sous la courbe $y=x^2$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ vaut $\dfrac 8 3$.

Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales à l'aide d'une primitive
Comparer Monte-Carlo, rectangles et valeur exacte

I.5 Intégrale d'une fonction de signe quelconque

Définition — Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est le nombre réel $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_a^b. $$ Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante, qui disparaît dans la différence. Aucun ordre n'est exigé entre $a$ et $b$.

Remarques

Lorsque $f$ est positive et $a \le b$, cette définition redonne l'aire, d'après le calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$, car $F(a) - F(b) = -\big(F(b) - F(a)\big)$.

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Proposition — Intégrale d'une fonction négative

Soit $f$ une fonction continue et négative sur $[a ; b]$, et $\mathcal{A}$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. Alors $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\mathcal{A}. $$

L'intégrale $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire algébrique entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses. Cela signifie que les aires au-dessus de l'axe sont positives, tandis que les aires en dessous sont négatives.
Cependant, lorsqu'un problème demande de calculer l'aire géométrique ou simplement l'aire d'une région, il se réfère à l'espace physique, toujours positif, que cette région occupe. Dans ce cas, il faut s'assurer que toutes les parties de la région, qu'elles soient au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, contribuent de manière positive à l'aire totale. Cette aire géométrique totale demande sa propre méthode.

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Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales de fonctions de signe quelconque
Interpréter le signe d'une intégrale

II Propriétés et valeur moyenne

II.1 Linéarité et relation de Chasles

Des primitives aux propriétés

L'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle se calcule à l'aide d'une primitive : $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a). $$ Les règles des primitives deviennent donc des règles pour les intégrales. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ une primitive de $kf$ : c'est la linéarité de l'intégrale. Et la différence se découpe en tout point $c$ : $$ F(b) - F(a) = \big(F(c) - F(a)\big) + \big(F(b) - F(c)\big), $$ c'est la relation de Chasles.

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Proposition — Propriétés de l'intégration

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$, $c$ trois réels de $I$, et $k$ un réel.

Intervalle de longueur nulle : $$\displaystyle\int_a^a f(x) \;\mathrm{d}x= 0.$$
Relation de Chasles (additivité) : Pour tout $c$ entre $a$ et $b$ : $$\displaystyle\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \; \mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\;\mathrm{d}x$$
Linéarité : $$\displaystyle\int_a^b (f(x)+g(x)) \; \mathrm{d}x= \int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x+ \int_a^b g(x) \; \mathrm{d}x$$ $$\displaystyle\int_a^b k f(x) \; \mathrm{d}x= k \int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x.$$

Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales avec la linéarité
Appliquer les propriétés

II.2 Intégrales et inégalités

Proposition — Propriété : positivité

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$ avec $a \le b$.

Si pour tout réel $x$ de $[a ; b]$, $f(x) \ge 0$, alors $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \ge 0$.
Si pour tout réel $x$ de $[a ; b]$, $f(x) \le 0$, alors $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \le 0$.

Proposition — Propriété : intégration des inégalités

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$ avec $a \le b$.
Si pour tout réel $x$ de $[a ; b]$, $f(x) \le g(x)$, alors :$$ \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_{a}^{b} g(x) \,\mathrm{d}x $$

Compétences à pratiquer

Étudier le signe d'une intégrale et l'encadrer

II.3 Valeur moyenne d'une fonction

Définition — Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a ; b]$ (avec $a\neq b$) est le nombre réel $\mu$ défini par :$$ \mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x $$

Interprétation graphique

Dans le cas où $f$ est positive sur $[a ; b]$, l'égalité $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \mu(b - a)$ signifie que l'aire du domaine situé sous la courbe représentative de $f$ est égale à l'aire du rectangle de dimensions $\mu$ et $b - a$.

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Proposition — Encadrement de la valeur moyenne

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$ (avec \(a

Exemple

Puissance active. Une résistance chauffante est alimentée par le secteur, dont le courant a pour période $T = 0{,}02$ s. La puissance qu'elle reçoit, en watts, est $p(t) = 400\left(1 + \cos(200\pi t)\right)$ pour $t$ en secondes ; sa courbe sur une période $[0 ; T]$ du courant est tracée ci-dessous (la puissance, elle, se répète deux fois plus vite). La puissance active $P$ de la résistance est sa puissance moyenne sur une période du courant : $$P = \frac{1}{T}\int_0^T p(t)\,\mathrm{d}t.$$

Lire la courbe : autour de quelle valeur $p$ oscille-t-elle ? Conjecturer $P$ en comparant les parties de la courbe situées au-dessus et au-dessous de la droite en pointillés.
Calculer $P$.

Correction

$p$ oscille entre $0$ et $800$ W autour de $400$ W. Les parties de la courbe situées au-dessus de la droite $p = 400$ et celles situées au-dessous ont la même forme : l'excédent au-dessus comble exactement le déficit au-dessous, donc le rectangle de hauteur $400$ et de largeur $T$ a la même aire que le domaine sous la courbe. Conjecture : $P = 400$ W.
Une primitive de $t \mapsto \cos(200\pi t)$ est $t \mapsto \dfrac{\sin(200\pi t)}{200\pi}$ (pour $\omega \neq 0$, une primitive de $A\cos(\omega t + \varphi)$ est $\dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)$). $$\begin{aligned}\int_0^{0{,}02} p(t)\,\mathrm{d}t &= \left[400t + \frac{400\sin(200\pi t)}{200\pi}\right]_0^{0{,}02} &&\text{(primitive)}\\ &= 400 \times 0{,}02 + \frac{2}{\pi}\left(\sin(4\pi) - \sin 0\right) &&\text{(} 200\pi \times 0{,}02 = 4\pi\text{)}\\ &= 8 \text{ J} &&\text{(} \sin(4\pi) = \sin 0 = 0\text{)}\end{aligned}$$ Cette intégrale de la puissance est l'énergie reçue pendant une période du courant, $8$ J. Donc $P = \dfrac{8}{0{,}02} = 400$ W, comme conjecturé. La puissance active vaut la moitié de la puissance de crête $800$ W : c'est $P$, et non la crête, qui mesure l'échauffement.

Compétences à pratiquer

Calculer et interpréter une valeur moyenne
Calculer des valeurs moyennes et une puissance active

III Intégrer un taux de variation

III.1 Débit, énergie et coût

L'intégrale d'un taux de variation

Beaucoup de grandeurs sont connues par leur taux de variation : une vitesse est le taux de variation d'une distance, un débit celui d'un volume, une puissance celui d'une énergie, un coût marginal celui d'un coût total. Si une grandeur $Q$ a un taux de variation $q = Q'$ continu sur $[a ; b]$, alors $Q$ est une primitive de $q$, et le calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive donne $$ \int_a^b q(t)\,\mathrm{d}t = Q(b) - Q(a) : $$ l'intégrale du taux de variation entre $a$ et $b$ est la variation nette de la grandeur entre $a$ et $b$, ce qui a été gagné moins ce qui a été perdu, et non la grandeur elle-même, qui dépend aussi de $Q(a)$. Lorsque le taux est positif, cette variation nette est la quantité accumulée, et c'est l'aire sous la courbe du taux. Pour $a < b$, en divisant par $b - a$, on obtient le taux moyen sur $[a ; b]$ : le taux constant qui produirait la même variation nette.

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Exemple

Un robinet remplit une cuve. Son débit, en litres par minute, $t$ minutes après l'ouverture, est $q(t) = 2 + 0{,}5t$ pour $t$ dans $[0 ; 10]$.

Déterminer le volume d'eau qui entre dans la cuve pendant les dix premières minutes.
Déterminer le débit moyen sur ces dix minutes, et vérifier qu'il est compris entre la plus petite et la plus grande valeur de $q$.

Correction

Le débit est le taux de variation du volume $V$ dans la cuve : le volume qui entre entre $0$ et $10$ est $V(10) - V(0) = \displaystyle\int_0^{10} q(t)\,\mathrm{d}t$. Une primitive de $q$ est $t \mapsto 2t + 0{,}25t^2$ : $$\begin{aligned} \int_0^{10} (2 + 0{,}5t)\,\mathrm{d}t &= \left[2t + 0{,}25t^2\right]_0^{10} \\ &= 20 + 25 = 45. \end{aligned}$$ $45$ litres entrent dans la cuve pendant les dix premières minutes : sur le graphique, c'est l'aire sous la droite $y = 2 + 0{,}5t$ entre $t = 0$ et $t = 10$ (un trapèze de côtés parallèles $2$ et $7$ et de largeur $10$, d'aire $\frac{(2 + 7) \times 10}{2} = 45$ : les deux calculs concordent).
Le débit moyen est la valeur moyenne de $q$ sur $[0 ; 10]$ : $\mu = \dfrac{45}{10} = 4{,}5$ litres par minute. Un robinet au débit constant de $4{,}5$ L/min remplirait les mêmes $45$ litres en dix minutes. Comme $q$ est croissante, sa plus petite valeur est $q(0) = 2$ et sa plus grande $q(10) = 7$, et on a bien $2 \le 4{,}5 \le 7$.

Exemple

L'énergie lue sur une courbe de puissance. On recharge une voiture électrique. La puissance $p(t)$ qu'elle absorbe, en kilowatts, $t$ heures après le début de la charge, est représentée ci-dessous : elle croît linéairement de $0$ à $7$ kW pendant la première demi-heure, reste égale à $7$ kW jusqu'à $t = 3{,}5$, puis décroît linéairement jusqu'à $0$ en $t = 4{,}5$.

La puissance est le taux de variation de l'énergie reçue : l'énergie reçue entre les instants $t_1$ et $t_2$ est donc $E = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} p(t)\,\mathrm{d}t$, en kilowattheures (kWh) lorsque $p$ est en kW et $t$ en heures.

Calculer l'énergie reçue par la voiture pendant toute la charge, en kWh.
La convertir en joules, sachant que $1$ kWh $= 3{,}6 \times 10^6$ J.
En déduire la puissance moyenne sur la charge, arrondie à $0{,}01$ kW.

Correction

$p$ est positive, donc $E$ est l'aire sous la courbe entre $0$ et $4{,}5$. Par la relation de Chasles, elle se découpe en un triangle, un rectangle et un triangle : $$\begin{aligned} E &= \int_0^{0{,}5} p(t)\,\mathrm{d}t + \int_{0{,}5}^{3{,}5} p(t)\,\mathrm{d}t + \int_{3{,}5}^{4{,}5} p(t)\,\mathrm{d}t &&\text{(relation de Chasles)}\\ &= \frac{0{,}5 \times 7}{2} + 3 \times 7 + \frac{1 \times 7}{2} &&\text{(aires des triangles et du rectangle)}\\ &= 1{,}75 + 21 + 3{,}5 = 26{,}25 \text{ kWh.}\end{aligned}$$
$E = 26{,}25 \times 3{,}6 \times 10^6 = 9{,}45 \times 10^7$ J, soit $94{,}5$ millions de joules.
La puissance moyenne est la valeur moyenne de $p$ sur $[0 ; 4{,}5]$ : $\mu = \dfrac{1}{4{,}5}\displaystyle\int_0^{4{,}5} p(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{26{,}25}{4{,}5} \approx 5{,}83$ kW. Une borne délivrant $5{,}83$ kW constants pendant $4{,}5$ heures donnerait à la voiture la même énergie.

Compétences à pratiquer

Calculer une grandeur à partir de son taux de variation

III.2 Déplacement et distance parcourue

Proposition — Déplacement à partir de la vitesse

La variation de position sur l'intervalle $[t_1 ; t_2]$ est donnée par l'intégrale définie de la fonction vitesse : $$ s(t_2) - s(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,\mathrm{d}t. $$

Définition — Vitesse (scalaire)

La vitesse (scalaire) d'un objet est la valeur absolue de sa vitesse : $S(t) = |v(t)|$.

Proposition — Distance

La distance totale parcourue sur $[t_1 ; t_2]$ est l'intégrale définie de la vitesse scalaire : $$ \text{Distance} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \,\mathrm{d}t. $$

Compétences à pratiquer

Déterminer un déplacement à partir d'un graphique vitesse-temps
Déterminer la distance totale parcourue
Rédiger : déplacement, distance et vitesse moyenne

IV Calculer des aires

IV.1 Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Méthode — Calcul de l'aire géométrique délimitée par une courbe et l'axe des abscisses

Pour calculer l'aire géométrique totale $\mathcal{A}$ délimitée par une courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses entre $x=a$ et $x=b$ ($f$ continue sur $[a ; b]$ et ne s'annulant qu'un nombre fini de fois sur cet intervalle) :

Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses : Résoudre $f(x)=0$ pour savoir où la courbe coupe l'axe des abscisses, et retenir les racines $c_1, c_2, \dots$ situées dans l'intervalle $[a ; b]$.
Découper l'intégrale : Découper, à chacune de ces racines, l'intégrale sur $[a ; b]$ en intégrales sur des intervalles plus petits : sur chaque sous-intervalle, $f$ garde un signe constant (elle est continue et ne s'annule pas à l'intérieur de chaque sous-intervalle).
Calculer chaque intégrale : Calculer l'intégrale sur chaque sous-intervalle. Certaines sont positives (là où $f(x) \ge 0$), d'autres négatives (là où $f(x) \le 0$).
Additionner les valeurs absolues : L'aire géométrique totale est la somme des valeurs absolues de ces intégrales. Si l'intégrale sur un sous-intervalle est négative, on prend son opposé avant de l'ajouter au total.

Exemple

Calculer l'aire géométrique totale entre la courbe $y=x^2-1$ et l'axe des abscisses de $x=0$ à $x=2$.

Correction

Déterminer les racines : On résout $f(x)=x^2-1=0$ : $x=1$ ou $x=-1$. La seule racine dans l'intervalle $[0 ; 2]$ est $x=1$.
Découper l'intégrale : On découpe le calcul de l'aire en $x=1$.
- Sur $[0 ; 1]$, la courbe est sous l'axe des abscisses (aire $\mathcal{A}_1$).
- Sur $[1 ; 2]$, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (aire $\mathcal{A}_2$).
Calculer chaque intégrale : $$ \int_0^1 (x^2-1)\, \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3}-1\right) - 0 = -\frac{2}{3} $$ $$ \int_1^2 (x^2-1)\, \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3}-2\right) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} $$
Additionner les valeurs absolues : $$ \text{Aire totale} = \left|-\frac{2}{3}\right| + \left|\frac{4}{3}\right| = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $$

L'aire géométrique totale est de 2 unités d'aire.

Compétences à pratiquer

Calculer une aire totale à l'aide de primitives

IV.2 Aire entre deux courbes

Le calcul de l'aire sous une courbe s'étend à l'aire d'un domaine délimité par deux courbes. L'aire sous une courbe $y=f(x)$ en est un cas particulier, où la deuxième courbe est l'axe des abscisses, $y=0$.
L'idée est intuitive : lorsque $0 \le g(x) \le f(x)$ sur $[a ; b]$, l'aire du domaine délimité par la courbe du dessus, celle de $f$, et la courbe du dessous, celle de $g$, est l'aire sous la courbe de $f$ moins l'aire sous la courbe de $g$. Par linéarité, cette différence est une seule intégrale, et la formule reste valable dès que $g \le f$ sur $[a ; b]$, même si les courbes passent sous l'axe des abscisses, puisque c'est l'aire sous la courbe de la fonction positive $f - g$ : $$\begin{aligned} \textcolor{olive}{\mathcal{A}} &= \textcolor{colordef}{ \int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x} - \textcolor{colorprop}{ \int_a^b g(x)\; \mathrm{d}x} \\ &= \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm{d}x \end{aligned} $$

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Proposition — Aire entre deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$. Si $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a ; b]$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par les courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par : $$ \mathcal{A} = \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm{d}x $$

À retenir : l'intégrale de la fonction du dessus moins la fonction du dessous.

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Méthode — Calculer l'aire entre deux courbes

Pour calculer l'aire géométrique totale délimitée par deux courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ ($f$ et $g$ continues, avec un nombre fini de points d'intersection sur l'intervalle considéré) :

Déterminer les points d'intersection. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ pour savoir où les courbes se coupent : ces points donnent les bornes $a$ et $b$ lorsqu'elles ne sont pas données et, lorsqu'elles le sont, les points de $[a ; b]$ où la fonction du dessus et la fonction du dessous peuvent s'échanger. Retenir les points d'intersection consécutifs qui délimitent le domaine cherché.
Identifier la fonction du dessus et la fonction du dessous. Sur chaque intervalle entre deux points d'intersection, déterminer quelle courbe est au-dessus de l'autre. Entre deux points d'intersection consécutifs, $f - g$ est continue et ne s'annule pas : elle garde un signe constant, et le calcul en un point suffit (un croquis rapide aide).
Poser et calculer la ou les intégrales. Sur chaque intervalle $[c ; d]$ entre deux points d'intersection ou bornes consécutifs, calculer $\int_c^d (\text{fonction du dessus} - \text{fonction du dessous}) \, \mathrm{d}x$, qui est positive. L'aire totale est la somme de ces intégrales.

Exemple

Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $y=x+1$ et $y=x^2-1$.

Correction

Déterminer les points d'intersection : On écrit l'égalité des deux expressions : $$ x+1 = x^2-1 \iff x^2-x-2=0 \iff(x-2)(x+1)=0 $$ Les courbes se coupent en $x=-1$ et $x=2$. Ce sont les bornes d'intégration.
Identifier la fonction du dessus : Les courbes ne se rencontrent pas entre $x=-1$ et $x=2$ : la différence $(x+1)-(x^2-1)$, continue, garde donc un signe constant sur $]-1 ; 2[$, et le calcul en un point suffit. On compare les deux expressions en $x=0$ : pour $y=x+1$, $y(0)=1$ ; pour $y=x^2-1$, $y(0)=-1$. Comme $1 > -1$, la droite $y=x+1$ est au-dessus de la parabole sur $[-1 ; 2]$ : $x+1$ est la fonction du dessus.
Poser et calculer : $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_{-1}^2 \left( (x+1) - (x^2-1) \right)\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{-1}^2 (-x^2+x+2)\, \mathrm{d}x \\ &= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 \\ &= \left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) \\ &= \left(-\frac{16}{6} + \frac{12}{6} + \frac{24}{6}\right) - \left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right) \\ &= \frac{20}{6} - \left(-\frac{7}{6}\right) \\ &= \frac{27}{6} \\ &= \frac{9}{2} \end{aligned}$$

L'aire du domaine délimité est de $\frac{9}{2}$ unités d'aire.

Compétences à pratiquer

Calculer l'aire entre deux courbes

V Pour aller plus loin

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