Éducation Nationale Française · Seconde
Signe d'une fonction
I
Le signe d'une fonction
Définition — Signe d'une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\) et \(I\) un intervalle contenu dans \(D\). - \(f\) est positive sur \(I\) si \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) de \(I\) : la courbe est sur l'axe des abscisses ou au-dessus.
- \(f\) est négative sur \(I\) si \(f(x) \leq 0\) pour tout \(x\) de \(I\) : la courbe est sur l'axe des abscisses ou en dessous.
Méthode — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
- Repérer les points où la courbe rencontre l'axe des abscisses : en ces valeurs, \(f\) s'annule (\(f(x) = 0\)).
- Là où la courbe est au-dessus de l'axe, \(f(x) \gt 0\) ; là où elle est en dessous, \(f(x) \lt 0\).
- Résumer dans un tableau de signes : les valeurs où \(f\) s'annule sur la première ligne, les symboles \(+\), \(0\) et \(-\) sur la seconde.
Exemple
La fonction \(f\) de la définition ci-dessus est tracée sur \([-3\,;\,4]\) et s'annule en \(-1\) et \(2\). Dresser le tableau de signes de \(f\).
La courbe est au-dessus de l'axe avant \(-1\), en dessous entre \(-1\) et \(2\), au-dessus après \(2\) : 
Compétences à pratiquer
- Lire le signe d'une fonction sur la courbe
- Dresser le tableau de signes d'une fonction depuis sa courbe
II
Le signe des fonctions de référence
Proposition — Signe des fonctions de référence
Le signe de chaque fonction de référence se lit sur une ligne d'un tableau de signes. | \(x\) | \(x < 0\) | \(x = 0\) | \(x > 0\) |
| \(x^2\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
| \(\sqrt{x}\) | non définie | \(0\) | \(+\) |
| \(x^3\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\) | non définie | \(+\) |
| \(|x|\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
- Le carré et la valeur absolue sont positifs ou nuls sur \(\mathbb{R}\), et nuls seulement en \(0\).
- La racine carrée est positive ou nulle sur son ensemble de définition \([0\,;+\infty[\), et nulle seulement en \(0\).
- Le cube et l'inverse ont le signe de \(x\) : strictement négatifs pour \(x < 0\), strictement positifs pour \(x > 0\) ; le cube est nul en \(0\), l'inverse n'est jamais nul (et n'est pas défini en \(0\)).
- \(x^2 = x \times x\) est le produit de deux nombres de même signe, donc \(x^2 \geq 0\) ; il est nul seulement quand \(x = 0\).
- \(|x|\) est la distance de \(x\) à \(0\) : une distance est positive ou nulle, et nulle seulement quand \(x = 0\).
- Pour \(x \geq 0\), \(\sqrt{x}\) est par définition le nombre positif ou nul dont le carré est \(x\) : il est positif ou nul, et \(\sqrt{x} = 0\) seulement quand \(x = 0\).
- \(x^3 = x^2 \times x\) : pour \(x \neq 0\), \(x^2 > 0\), donc \(x^3\) a le signe de \(x\) ; et \(0^3 = 0\).
- Pour \(x \neq 0\), \(\dfrac{1}{x} \times x = 1 > 0\) : un produit n'est positif que si ses deux facteurs sont de même signe, donc \(\dfrac{1}{x}\) a le signe de \(x\) ; il n'est jamais nul, puisqu'un quotient de numérateur \(1\) ne peut pas s'annuler.
Exemple
- Sans calcul, donner le signe de \((-2{,}7)^3\), de \(\dfrac{1}{-0{,}4}\), de \((-5)^2\) et de \(\sqrt{3{,}1}\).
- Résoudre les inéquations \(x^3 \leq 0\) et \(\dfrac{1}{x} > 0\).
- \((-2{,}7)^3 < 0\) (le cube a le signe de \(-2{,}7\)) ; \(\dfrac{1}{-0{,}4} < 0\) (l'inverse a le signe de \(-0{,}4\)) ; \((-5)^2 > 0\) (un carré est strictement positif pour \(x \neq 0\)) ; \(\sqrt{3{,}1} > 0\) (une racine carrée est strictement positive pour \(x > 0\)).
- \(x^3 \leq 0\) exactement quand \(x \leq 0\) (le cube a le signe de \(x\) et s'annule en \(0\)) : \(S = \,]-\infty\,;0]\). \(\dfrac{1}{x} > 0\) exactement quand \(x > 0\) (l'inverse a le signe de \(x\) et n'est pas défini en \(0\)) : \(S = \,]0\,;+\infty[\).
Compétences à pratiquer
- Lire le signe d'une fonction de référence
III
Le signe d'une expression affine
Proposition — Signe d'une expression affine
Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a \neq 0\). L'expression \(ax + b\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\) ; elle est du signe de \(a\) pour \(x \gt -\dfrac{b}{a}\), et du signe contraire pour \(x \lt -\dfrac{b}{a}\). 
On résout \(ax + b \gt 0\), c'est-à-dire \(ax \gt -b\).
- Si \(a \gt 0\), diviser par \(a\) conserve le sens : \(x \gt -\dfrac{b}{a}\). Donc \(ax+b\) est strictement positif exactement pour \(x \gt -\dfrac{b}{a}\) — le signe de \(a\).
- Si \(a \lt 0\), diviser par \(a\) renverse le sens : \(x \lt -\dfrac{b}{a}\). Donc \(ax+b\) est strictement positif exactement pour \(x \lt -\dfrac{b}{a}\) — de nouveau d'un seul côté de \(x_0\), avec le signe de \(a\) de l'autre côté.
Exemple
Dresser le tableau de signes de \(3 - 2x\) sur \(\R\).
Ici \(a = -2\) et \(b = 3\) : l'expression s'annule en \(x_0 = -\dfrac{3}{-2} = \dfrac{3}{2}\). Comme \(a = -2 \lt 0\), l'expression est positive avant \(\dfrac{3}{2}\) et négative après : 
Vérification : \(3 - 2 \times 0 = 3 \gt 0\) et \(3 - 2 \times 2 = -1 \lt 0\).
Compétences à pratiquer
- Compléter des tableaux de signes pour des expressions affines
IV
Le signe d'un produit
Lorsqu'une inéquation implique un produit de facteurs, comme \((x-2)(x-1) > 0\), on ne peut pas simplement isoler \(x\). On doit plutôt déterminer où l'expression est positive ou négative. Le tableau de signes est un outil utilisé pour organiser cette analyse.
Méthode — Construire un tableau de signes
Pour créer le tableau de signes d'une expression factorisée : - Chercher les valeurs de \(x\) qui annulent chaque facteur : ce sont les valeurs critiques, les seuls points où l'expression peut changer de signe.
- Créer le tableau : écrire ces valeurs par ordre croissant sur la première ligne du tableau, puis chaque facteur sur une ligne séparée à gauche, avec l'expression complète sur la dernière ligne.
- Déterminer le signe de chaque facteur dans les intervalles délimités par ces valeurs. Un facteur du premier degré \((x-a)\) est négatif pour \(x
- Déterminer le signe de l'expression complète dans chaque intervalle en multipliant les signes des facteurs de cette colonne.
Exemple
Résoudre l'inéquation \((x-2)(x-1) \ge 0\). - Valeurs critiques : Les facteurs sont \((x-1)\) et \((x-2)\).
- \(x-1=0 \implies x=1\)
- \(x-2=0 \implies x=2\)
- Construire le tableau de signes :
- Conclusion : L'inéquation demande \((x-1)(x-2) \ge 0\), ce qui signifie que le produit doit être positif ou nul. D'après la dernière ligne du tableau, cela se produit lorsque \(x \le 1\) ou \(x \ge 2\). En notation d'intervalle : \(x \in ]-\infty ; 1] \cup [2 ; +\infty[\).
Proposition — Où une expression peut changer de signe
Un produit de facteurs du premier degré ne peut changer de signe qu'en une valeur critique — une valeur qui annule l'un des facteurs. Entre deux valeurs critiques consécutives, chaque facteur garde un signe constant, donc l'expression entière garde aussi un signe constant.
Un facteur du premier degré \(x - a\) est strictement négatif pour \(x < a\) et strictement positif pour \(x > a\) : il ne change de signe qu'en son propre zéro \(a\) ; un facteur général \(ax+b = a\left(x + \frac{b}{a}\right)\) se comporte de même autour de son zéro, la constante \(a\) ne changeant jamais de signe. Sur un intervalle ne contenant aucune valeur critique, aucun facteur ne change de signe ; un produit de facteurs de signes fixés a un signe fixé. Voilà pourquoi, dans le tableau, chaque ligne garde un seul signe sur chaque intervalle entre deux valeurs critiques consécutives — tester une seule valeur par intervalle donnerait le même résultat.
Compétences à pratiquer
- Lire un tableau de signes
- Identifier le tableau de signes d'expressions
- Compléter des tableaux de signes pour des expressions quadratiques factorisées
V
Le signe d'un quotient
Pour les signes, un quotient se comporte exactement comme un produit : \(\frac{A}{B}\) est strictement positif quand \(A\) et \(B\) ont le même signe, strictement négatif quand ils ont des signes opposés. Une nouveauté : les valeurs qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites — le quotient n'y est pas défini, elles ne peuvent donc jamais être solutions, quel que soit le symbole de l'inéquation.
Méthode — Tableau de signes d'un quotient
Construire le tableau comme pour un produit, avec deux règles supplémentaires : - Dans la dernière ligne, marquer chaque zéro du dénominateur d'une double barre : le quotient n'y est pas défini.
- Au moment de conclure, une valeur à double barre est exclue de l'ensemble des solutions même pour \(\le\) ou \(\ge\) ; un zéro du numérateur est inclus (si le dénominateur n'y est pas nul) pour \(\le\) ou \(\ge\), exclu pour \(<\) ou \(>\).
Exemple
Résoudre l'inéquation \(\dfrac{x+1}{x-2} \ge 0\). - Valeurs critiques : \(x + 1 = 0\) donne \(x = -1\) (zéro du numérateur) ; \(x - 2 = 0\) donne \(x = 2\) (valeur interdite).
- Tableau de signes :
- Conclusion : le quotient est positif ou nul pour \(x \le -1\) ou \(x > 2\). La valeur \(-1\) est incluse (\(\ge\), zéro du numérateur) ; la valeur \(2\) est exclue (valeur interdite), malgré le \(\ge\). En notation d'intervalle : \(x \in ]-\infty \; ; -1] \cup ]2 \; ; +\infty[\).
Compétences à pratiquer
- Résoudre des inéquations avec quotient
VI
Le facteur au carré
Proposition — Un carré ne change jamais de signe
Pour tout nombre \(a\), le facteur \((x-a)^2\) est positif : il est nul en \(x = a\) et strictement positif partout ailleurs. Dans un tableau de signes, sa ligne se lit \(+, 0, +\) — l'expression complète ne change donc pas de signe en \(x = a\) (si aucun autre facteur ne s'y annule) : elle y touche zéro, sans plus. Exemple
Résoudre \((x-3)^2(x+1) \ge 0\), puis \((x-3)^2(x+1) > 0\). 
Compétences à pratiquer
- Résoudre des inéquations avec un facteur au carré
VII
Inéquations et positions relatives
Méthode — Comparer deux courbes par un tableau de signes
La courbe de \(f\) est au-dessous de celle de \(g\) exactement là où \(f(x) - g(x) \leq 0\) : comparer deux courbes, c'est étudier le signe de la différence. - Ramener tout d'un côté : étudier \(d(x) = f(x) - g(x)\).
- Factoriser la différence, ou la réduire en un seul quotient.
- Dresser le tableau de signes de \(d(x)\).
- Conclure : \(f(x) \leq g(x)\) sur les intervalles où le tableau affiche \(-\) ou \(0\) — là, la courbe de \(f\) est au-dessous de celle de \(g\).
Deux opérations familières peuvent changer silencieusement les solutions — la première sur les inéquations, la seconde sur les équations :
- Multiplier par une expression de signe inconnu. Multiplier une inéquation par un nombre strictement négatif la renverse ; si le signe du facteur dépend de \(x\), le sens ne peut pas être choisi. Par exemple, multiplier \(\frac{1}{x} < 1\) par \(x\) pour obtenir \(1 < x\) est faux : \(x = -2\) vérifie \(\frac{1}{x} = -0{,}5 < 1\) mais pas \(1 < x\). La voie sûre : tout ramener d'un côté et utiliser un tableau de signes.
- Élever les deux membres au carré. Élever au carré n'est pas réversible : de \(x = -3\), le carré donne \(x^2 = 9\), dont les solutions sont \(x = -3\) et \(x = 3\) — une solution a été créée. Après un passage au carré, toujours vérifier les candidats dans l'équation d'origine.
Exemple
Résoudre l'inéquation \(x^2 \le x + 2\) par le calcul. - Tout ramener d'un côté : \(x^2 - x - 2 \le 0\).
- Factoriser : \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\), donc il faut \((x-2)(x+1) \le 0\).
- Tableau de signes : chaque facteur change de signe en sa racine :
- Conclure : le produit est négatif ou nul sur \(\boldsymbol{[-1 ; 2]}\).
Compétences à pratiquer
- Comparer deux expressions par un tableau de signes
VIII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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