Statistiques à deux variables

1. Identifier les variables : déterminer quelle variable est indépendante (\(x\)) et laquelle est dépendante (\(y\)).
2. Préparer les axes : tracer et légender l'axe horizontal pour la variable \(x\) et l'axe vertical pour la variable \(y\), et choisir sur chaque axe une échelle adaptée à l'étendue des données.
3. Placer les points : pour chaque couple \((x ; y)\) de la série, placer le point de coordonnées \((x ; y)\).

1. Sens : la tendance est-elle croissante (corrélation positive), décroissante (corrélation négative), ou ni l'une ni l'autre ?
2. Forme : est-elle linéaire, non linéaire, ou sans forme nette ?
3. Force : est-elle forte, modérée ou faible ?
4. Données aberrantes : y a-t-il des données aberrantes ?

• Calculatrice : entrer les valeurs de \(x\) et de \(y\) dans deux listes, ouvrir le menu des statistiques à deux variables et choisir la régression linéaire \(y = ax + b\). L'écran donne \(a\), \(b\) et, souvent, le coefficient \(r\) de la sous-section suivante.
• Tableur : avec les valeurs de \(x\) en A2:A6 et celles de \(y\) en B2:B6, les formules =PENTE(B2:B6;A2:A6), =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B6;A2:A6) et =COEFFICIENT.CORRELATION(A2:A6;B2:B6) donnent \(a\), \(b\) et \(r\).
• Python : les formules du chapitre deviennent de courtes fonctions sur deux listes.

from math import sqrt

def mean(values):
    return sum(values) / len(values)

def covariance(xs, ys):
    mx = mean(xs)
    my = mean(ys)
    total = 0
    for i in range(len(xs)):
        total = total + (xs[i] - mx) * (ys[i] - my)
    return total / len(xs)

def least_squares(xs, ys):
    """slope a, intercept b and correlation coefficient r
    (neither the xs nor the ys may be all equal)"""
    a = covariance(xs, ys) / covariance(xs, xs)
    b = mean(ys) - a * mean(xs)
    r = covariance(xs, ys) / sqrt(covariance(xs, xs) * covariance(ys, ys))
    return a, b, r

masses = [50, 100, 150, 200, 250]
lengths = [12.1, 13.9, 16.2, 17.8, 20.0]
print(least_squares(masses, lengths))   # about (0.0394, 10.09, 0.9988)

• \(-1 \leq r \leq 1\) ;
• \(|r| = 1\) si et seulement si tous les points du nuage sont sur une même droite, qui est alors la droite des moindres carrés (cette droite n'est ni horizontale ni verticale, puisque \(V(y) > 0\) et \(V(x) > 0\)).

1. Transformer : calculer \(z_i = \ln y_i\) pour chaque \(i\).
2. Vérifier : les points \((x_i ; z_i)\) sont presque alignés, et le coefficient \(r\) de la série \((x ; z)\) est proche de \(1\) ou de \(-1\).
3. Ajuster : déterminer la droite des moindres carrés \(z = ax + b\) de \(z\) en \(x\).
4. Revenir : \(\ln y = ax + b\) équivaut à \(y = e^{ax + b} = e^{b} \times \left(e^{a}\right)^{x}\), c'est-à-dire \(y = k\,q^{x}\) avec \(k = e^{b} > 0\) et \(q = e^{a} > 0\).