Éducation Nationale Française · Première Spécialité
Géométrie repérée
I
Vecteur normal à une droite
Une droite du plan peut se donner de deux façons. Par sa direction : un point et un vecteur directeur. Ou par ce qu'elle refuse : un point et un vecteur auquel la droite est perpendiculaire. On trace la hauteur d'un triangle issue de \(A\) : c'est la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \(\Vect{BC}\), et tout point \(M\) de cette droite vérifie \(\Vect{AM} \cdot \Vect{BC} = 0\). Le vecteur \(\Vect{BC}\) ne suit pas la hauteur, il se dresse en travers. Un tel vecteur est dit normal à la droite, et le produit scalaire en fait le moyen le plus direct d'écrire l'équation d'une droite. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. 
Définition — Vecteur normal
Un vecteur non nul \(\Vect{n}\) est un vecteur normal à une droite \(d\) s'il est orthogonal à un vecteur directeur de \(d\). Une droite a une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux. 
Proposition — Vecteur normal et équation cartésienne
Dans un repère orthonormé, soit \(d\) la droite d'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\), avec \((a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)\). Alors le vecteur \(\Vect{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \(d\), et \(\Vect{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) en est un vecteur directeur. Réciproquement, toute droite de vecteur normal \(\Vect{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) a une équation cartésienne de la forme \(ax + by + c = 0\). De même, si \(\Vect{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\) dirige une droite, alors \(\Vect{n}\begin{pmatrix} -\beta \\ \alpha \end{pmatrix}\) lui est normal : on échange les coordonnées et l'on change un signe.
Comme pour toute équation cartésienne, \(\Vect{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(ax + by + c = 0\). Dans un repère orthonormé, $$\begin{aligned}[t] \Vect{n} \cdot \Vect{u} &= a \times (-b) + b \times a && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&= 0 \end{aligned}$$ donc \(\Vect{n}\) est orthogonal à un vecteur directeur de \(d\) : c'est un vecteur normal. Réciproquement, soit \(d\) de vecteur normal \(\Vect{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et passant par \(A(x_A\,;\,y_A)\). Un point \(M(x\,;\,y)\) est sur \(d\) exactement quand \(\Vect{AM}\) est orthogonal à \(\Vect{n}\) : $$\begin{aligned}[t] M \in d &\iff \Vect{AM} \cdot \Vect{n} = 0 \\
&\iff a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&\iff ax + by + c = 0 \quad \text{avec } c = -ax_A - by_A. \end{aligned}$$
Exemple
Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite \(d : 4x - 5y + 2 = 0\), puis de la droite \(d' : y = -4x + 3\).
Pour \(d\), les coefficients de \(x\) et de \(y\) donnent directement le vecteur normal : \(\Vect{n}\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix}\), et un vecteur directeur est \(\Vect{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\). Contrôle : \(4 \times 5 + (-5) \times 4 = 0\). Pour \(d'\), on écrit d'abord une équation cartésienne, \(4x + y - 3 = 0\) : alors \(\Vect{n'}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\Vect{u'}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\).
Proposition — Droites perpendiculaires et vecteurs normaux
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. De façon équivalente, un vecteur normal de l'une est un vecteur directeur de l'autre.
Soient \(\Vect{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \(\Vect{n'}\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}\) des vecteurs normaux de \(d\) et \(d'\), et l'on choisit les vecteurs directeurs \(\Vect{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) et \(\Vect{u'}\begin{pmatrix} -b' \\ a' \end{pmatrix}\) donnés par la proposition précédente. Alors $$\Vect{u} \cdot \Vect{u'} = (-b)(-b') + aa' = aa' + bb' = \Vect{n} \cdot \Vect{n'},$$ donc les vecteurs normaux sont orthogonaux exactement quand les vecteurs directeurs le sont, c'est-à-dire quand les droites sont perpendiculaires. Dans ce cas \(\Vect{n}\), orthogonal à \(\Vect{n'}\), est colinéaire à \(\Vect{u'}\) (deux vecteurs du plan orthogonaux à un même vecteur non nul sont colinéaires) : c'est un vecteur directeur de \(d'\).
Exemple
\(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,3)\). Donner un vecteur normal à la droite \((AB)\).
\(\Vect{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((AB)\). On échange les coordonnées et l'on change un signe : \(\Vect{n}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Contrôle : \(\Vect{n} \cdot \Vect{AB} = -1 \times 3 + 3 \times 1 = 0\), donc \(\Vect{n}\) est orthogonal à \(\Vect{AB}\) : c'est un vecteur normal à \((AB)\). Il en va de même de \(-\Vect{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\), ou de tout multiple non nul.
Compétences à pratiquer
- Lire un vecteur normal sur une équation cartésienne
- Déterminer un vecteur normal à partir d'une équation réduite
- Déterminer un vecteur normal à une droite (AB)
- Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
II
Équation cartésienne par un point et un vecteur normal
Méthode — Déterminer une équation cartésienne par un point et un vecteur normal
Pour déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(x_A\,;\,y_A)\) et de vecteur normal \(\Vect{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) : - écrire que \(M(x\,;\,y) \in d\) exactement quand \(\Vect{AM} \cdot \Vect{n} = 0\) ;
- développer avec les coordonnées \(\Vect{AM}\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}\) : \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\) ;
- réduire à la forme \(ax + by + c = 0\).
Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(2\,;\,3)\) et de vecteur normal \(\Vect{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).
$$\begin{aligned}[t] M(x\,;\,y) \in d &\iff \Vect{AM} \cdot \Vect{n} = 0 && \scriptscriptstyle\text{(} \Vect{n} \text{ normal à } d) \\
&\iff 1 \times (x - 2) + (-2) \times (y - 3) = 0 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&\iff x - 2y + 4 = 0 \end{aligned}$$ Contrôle : \(A(2\,;\,3)\) donne \(2 - 6 + 4 = 0\), et les coefficients \((1\,;\,-2)\) sont ceux de \(\Vect{n}\).
Exemple
Dans le triangle \(A(1\,;\,4)\), \(B(-2\,;\,0)\), \(C(4\,;\,1)\), déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de \(A\).
La hauteur issue de \(A\) est la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\) : le vecteur \(\Vect{BC}\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}\) en est un vecteur normal. $$\begin{aligned}[t] M(x\,;\,y) \text{ sur la hauteur} &\iff \Vect{AM} \cdot \Vect{BC} = 0 \\
&\iff 6(x - 1) + 1 \times (y - 4) = 0 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&\iff 6x + y - 10 = 0 \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Déterminer une équation cartésienne par un point et un vecteur normal
- Déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire
III
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Méthode — Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal
Pour déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur la droite \(d : ax + by + c = 0\) (si \(M\) est sur \(d\), alors \(H = M\) ; sinon) : - lire un vecteur normal \(\Vect{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) de \(d\) ; c'est un vecteur directeur de la perpendiculaire à \(d\) passant par \(M\), donc \(\Vect{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à cette perpendiculaire ;
- écrire une équation cartésienne de cette perpendiculaire : la droite passant par \(M\) et de vecteur normal \(\Vect{u}\) ;
- résoudre le système formé par les deux équations : sa solution est \(H\).
Exemple
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M(3\,;\,4)\) sur la droite \(d : 2x - y + 1 = 0\).
Un vecteur normal de \(d\) est \(\Vect{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) : il dirige \((MH)\), donc \(\Vect{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((MH)\). Équation de \((MH)\) : $$\begin{aligned}[t] P(x\,;\,y) \in (MH) &\iff \Vect{MP} \cdot \Vect{u} = 0 \\
&\iff 1 \times (x - 3) + 2(y - 4) = 0 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&\iff x + 2y - 11 = 0 \end{aligned}$$ \(H\) est le point commun de \(d\) et de \((MH)\). D'après \(d\), \(y = 2x + 1\) ; en substituant, $$\begin{aligned}[t] x + 2(2x + 1) - 11 &= 0 \\
5x &= 9 \\
x &= \frac{9}{5}, \qquad y = 2 \times \frac{9}{5} + 1 = \frac{23}{5} \end{aligned}$$ donc \(H\left(\frac{9}{5}\,;\,\frac{23}{5}\right)\). Contrôle : \(\Vect{MH}\begin{pmatrix} -\frac{6}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix} = -\frac{3}{5}\,\Vect{n}\) est bien colinéaire au vecteur normal de \(d\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal
- Calculer la distance d'un point à une droite
IV
Équation d'un cercle
Une droite a une équation parce que ses points partagent une propriété, un produit scalaire nul. Un cercle en a une pour la même raison : ses points sont tous à la même distance du centre. Dans un repère, cette distance est une racine carrée, et l'élever au carré transforme le cercle en une équation du second degré. Dès lors, un cercle se manipule comme une droite : savoir si un point est dessus, le couper par une droite, le reconnaître sous une autre forme. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. 
Proposition — Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et de rayon \(r > 0\) est l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$ Cette équation est appelée une équation du cercle.
Un point \(M\) est sur le cercle exactement quand \(\Omega M = r\). Les deux membres sont positifs, donc c'est équivalent à \(\Omega M^2 = r^2\), et dans un repère orthonormé $$\begin{aligned}[t] \Omega M^2 &= (x - a)^2 + (y - b)^2 && \scriptscriptstyle\text{(distance en repère orthonormé)} \end{aligned}$$ ce qui donne l'équation.
Exemple
Donner une équation du cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\Omega(1\,;\,-2)\) et de rayon \(3\), puis dire si les points \(A(4\,;\,-2)\) et \(B(3\,;\,1)\) sont sur \(\mathcal{C}\).
$$\begin{aligned}[t] M(x\,;\,y) \in \mathcal{C} &\iff (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 && \scriptscriptstyle\text{(équation d'un cercle)} \end{aligned}$$ Pour \(A\) : \((4 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 = 9 + 0 = 9\), donc \(A \in \mathcal{C}\). Pour \(B\) : \((3 - 1)^2 + (1 + 2)^2 = 4 + 9 = 13 \neq 9\), donc \(B \notin \mathcal{C}\) : \(B\) est à l'extérieur, puisque \(\Omega B = \sqrt{13} > 3\). En général, un point est à l'intérieur du cercle quand le membre de gauche est inférieur à \(r^2\), à l'extérieur quand il est supérieur.
Méthode — Équation du cercle de diamètre donné
Soient \(A \neq B\). Le cercle de diamètre \([AB]\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0\) (angle droit en \(M\)). D'où deux voies vers son équation : - développer \(\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0\) avec \(\Vect{MA}\begin{pmatrix} x_A - x \\ y_A - y \end{pmatrix}\) et \(\Vect{MB}\begin{pmatrix} x_B - x \\ y_B - y \end{pmatrix}\) ;
- ou calculer le centre, milieu \(I\) de \([AB]\), et le rayon \(\frac{1}{2}AB\), puis écrire \((x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 = \left(\frac{1}{2}AB\right)^2\).
Exemple
\(A(3\,;\,2)\) et \(B(-2\,;\,1)\). Déterminer une équation du cercle de diamètre \([AB]\) par chacune des deux voies.
Première voie : \(\Vect{MA}\begin{pmatrix} 3 - x \\ 2 - y \end{pmatrix}\) et \(\Vect{MB}\begin{pmatrix} -2 - x \\ 1 - y \end{pmatrix}\), donc $$\begin{aligned}[t] \Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0 &\iff (3 - x)(-2 - x) + (2 - y)(1 - y) = 0 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&\iff x^2 - x - 6 + y^2 - 3y + 2 = 0 \\
&\iff x^2 + y^2 - x - 3y - 4 = 0 \end{aligned}$$ Seconde voie : \(I\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)\) et \(AB = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\), donc le rayon vaut \(\frac{\sqrt{26}}{2}\) et $$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}.$$ En développant cette seconde équation : \(x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{13}{2} = x^2 + y^2 - x - 3y - 4 = 0\) : les deux voies concordent.
Méthode — Intersection d'un cercle et d'une droite parallèle à un axe
Pour déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite \(x = k\) (ou \(y = k\)) : - substituer \(x = k\) dans l'équation du cercle : il ne reste que \(y\), dans un carré \((y - b)^2 = \text{valeur}\) ;
- discuter le signe de cette valeur : si elle est positive, deux solutions \(y = b \pm \sqrt{\text{valeur}}\), donc deux points ; si elle est nulle, un seul point, et la droite est tangente au cercle ; si elle est négative, aucun point.
Exemple
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle d'équation \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\). Déterminer son intersection avec la droite \(x = 3\), puis avec la droite \(y = 1\).
Avec \(x = 3\) : \((3 - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\), donc \((y + 2)^2 = 5\) et \(y = -2 + \sqrt5\) ou \(y = -2 - \sqrt5\) : deux points, \(\left(3\,;\,-2 + \sqrt5\right)\) et \(\left(3\,;\,-2 - \sqrt5\right)\). Avec \(y = 1\) : \((x - 1)^2 + 9 = 9\), donc \((x - 1)^2 = 0\) et \(x = 1\) : un seul point \((1\,;\,1)\), la droite \(y = 1\) est tangente à \(\mathcal{C}\). Contrôle : le centre \(\Omega(1\,;\,-2)\) est à distance \(3\) de la droite \(y = 1\), exactement le rayon.
Compétences à pratiquer
- Écrire l'équation d'un cercle à partir de son centre et de son rayon
- Décider si un point est sur un cercle
- Écrire l'équation du cercle de diamètre donné
- Déterminer l'intersection d'un cercle et d'une droite parallèle à un axe
V
Reconnaître une équation de cercle
Développer \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) donne une équation de la forme \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) : les carrés de \(x\) et de \(y\) y figurent avec le même coefficient \(1\), et il n'y a pas de terme en \(xy\). Réciproquement, une telle équation peut décrire un cercle, un seul point, ou rien du tout : pour trancher, on revient à la forme centre et rayon en complétant les carrés, exactement comme pour la forme canonique d'un trinôme.
Méthode — Reconnaître une équation de cercle
Soit \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) : - regrouper les termes en \(x\) et compléter le carré : \(x^2 + \alpha x = \left(x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 - \frac{\alpha^2}{4}\) ; faire de même pour \(y\) ;
- passer les constantes à droite : \(\left(x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\beta}{2}\right)^2 = k\) ;
- conclure : si \(k > 0\), c'est le cercle de centre \(\left(-\frac{\alpha}{2}\,;\,-\frac{\beta}{2}\right)\) et de rayon \(\sqrt{k}\) ; si \(k = 0\), l'ensemble est le seul point \(\left(-\frac{\alpha}{2}\,;\,-\frac{\beta}{2}\right)\) ; si \(k < 0\), l'ensemble est vide.
Exemple
Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\).
$$\begin{aligned}[t] x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 &\iff (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) - 3 = 0 \\
&\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0 && \scriptscriptstyle\text{(on complète les carrés)} \\
&\iff (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \end{aligned}$$ L'ensemble est le cercle de centre \(\Omega(3\,;\,-2)\) et de rayon \(4\).
Exemple
Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(x^2 + y^2 + 2x - 8y + 20 = 0\).
$$\begin{aligned}[t] x^2 + y^2 + 2x - 8y + 20 = 0 &\iff (x + 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 + 20 = 0 && \scriptscriptstyle\text{(on complète les carrés)} \\
&\iff (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = -3 \end{aligned}$$ Une somme de deux carrés n'est jamais négative : aucun point ne vérifie l'équation. L'ensemble est vide ; ce n'est pas un cercle.
Exemple
Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0\).
$$\begin{aligned}[t] x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0 &\iff (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 5 = 0 && \scriptscriptstyle\text{(on complète les carrés)} \\
&\iff (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0 \end{aligned}$$ Une somme de deux carrés n'est nulle que si les deux carrés le sont : \(x = 1\) et \(y = -2\). L'ensemble est le seul point \((1\,;\,-2)\), un « cercle de rayon \(0\) », qui n'est pas un cercle.
Compétences à pratiquer
- Déterminer le centre et le rayon d'un cercle
- Décider si une équation décrit un cercle
VI
Médiatrice
Méthode — Déterminer une équation cartésienne d'une médiatrice
Soit \(A \neq B\). La médiatrice de \([AB]\) est la droite passant par le milieu \(I\) de \([AB]\) et perpendiculaire à \((AB)\) : le vecteur \(\Vect{AB}\) en est un vecteur normal. D'où : - calculer \(I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)\) et \(\Vect{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\) ;
- écrire \(M(x\,;\,y)\) sur la médiatrice \(\iff \Vect{IM} \cdot \Vect{AB} = 0\) et développer.
Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de \([AB]\), avec \(A(1\,;\,5)\) et \(B(3\,;\,1)\).
\(I(2\,;\,3)\) et \(\Vect{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\), vecteur normal de la médiatrice. $$\begin{aligned}[t] M(x\,;\,y) \text{ sur la médiatrice} &\iff \Vect{IM} \cdot \Vect{AB} = 0 \\
&\iff 2(x - 2) - 4(y - 3) = 0 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&\iff x - 2y + 4 = 0 && \scriptscriptstyle\text{(division par } 2) \end{aligned}$$ Contrôle : \(A\) donne \(1 - 10 + 4 = -5\) et \(B\) donne \(3 - 2 + 4 = 5\), deux valeurs opposées.
Compétences à pratiquer
- Déterminer une équation cartésienne d'une médiatrice
VII
Utiliser un repère pour étudier une configuration
Un repère transforme une question de géométrie en un calcul : une perpendicularité devient un produit scalaire nul, une distance devient une racine carrée, un point commun devient la solution d'un système. Pour étudier une configuration, on choisit un repère orthonormé adapté, on calcule les coordonnées des points en jeu, puis on traduit chaque affirmation en une équation. Vecteurs normaux, équations cartésiennes et projetés sont le dictionnaire de cette traduction.
Exemple
\(ABCD\) est un rectangle avec \(AB = 4\) cm et \(AD = 2\) cm. En choisissant un repère adapté, montrer que ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont la même longueur.
Comme l'angle en \(A\) est droit, le repère \((A\,;\,\Vect{i},\,\Vect{j})\) avec \(\Vect{i}\) porté par \([AB)\), \(\Vect{j}\) porté par \([AD)\) et le centimètre pour unité est orthonormé. Dans ce repère, \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(D(0\,;\,2)\) et \(C(4\,;\,2)\). $$\begin{aligned}[t] AC^2 &= (4 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = 20 && \scriptscriptstyle\text{(formule de la distance)} \\
BD^2 &= (0 - 4)^2 + (2 - 0)^2 = 20 \end{aligned}$$ D'où \(AC = BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm. Le choix du repère a fait la géométrie : l'angle droit en \(A\) est devenu les axes.
Exemple
\(A(1\,;\,0)\), \(B(5\,;\,2)\), \(C(4\,;\,4)\) et \(D(0\,;\,2)\). Montrer que \(ABCD\) est un rectangle. 
\(\Vect{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\Vect{DC}\begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) : vecteurs égaux, donc \(ABCD\) est un parallélogramme. Puis, avec \(\Vect{AD}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), $$\begin{aligned}[t] \Vect{AB} \cdot \Vect{AD} &= 4 \times (-1) + 2 \times 2 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\
&= 0 \end{aligned}$$ l'angle en \(A\) est droit. Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle. Le repère a fait tout le travail : deux égalités de vecteurs et un produit scalaire.
Exemple
\(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,2)\) et \(C(2\,;\,6)\). Déterminer les coordonnées de l'orthocentre \(H\) du triangle \(ABC\), point commun de ses trois hauteurs. 
Deux hauteurs suffisent : \(H\) est leur point commun, et la troisième passe par lui. La hauteur issue de \(C\) est perpendiculaire à \((AB)\), donc \(\Vect{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\) lui est normal ; la hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire à \((BC)\), donc \(\Vect{BC}\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) lui est normal. $$\begin{aligned}[t] M(x\,;\,y) \text{ sur la hauteur issue de } C &\iff \Vect{CM} \cdot \Vect{AB} = 0 && \scriptscriptstyle\text{(vecteur normal)} \\
&\iff 6(x - 2) + 2(y - 6) = 0 \iff 3x + y - 12 = 0 \\
M(x\,;\,y) \text{ sur la hauteur issue de } A &\iff \Vect{AM} \cdot \Vect{BC} = 0 && \scriptscriptstyle\text{(vecteur normal)} \\
&\iff -4x + 4y = 0 \iff y = x \end{aligned}$$ En reportant \(y = x\) dans \(3x + y - 12 = 0\) : \(4x = 12\), donc \(x = 3\) : \(H(3\,;\,3)\). Contrôle avec la troisième hauteur, issue de \(B\), de vecteur normal \(\Vect{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) : \(\Vect{BH}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\Vect{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) donnent \(-3 \times 2 + 1 \times 6 = 0\), donc \(H\) est aussi sur elle.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la nature d'une figure
- Déterminer un point remarquable d'un triangle
VIII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
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