Calcul littéral

• \(5(x+1)\) : on calcule la parenthèse, puis on multiplie par \(5\) — un produit.
• \(5x+1\) : on calcule \(5x\), puis on ajoute \(1\) — une somme.
• \(2(x+3)+1\) : on calcule la parenthèse, on multiplie par \(2\), puis on ajoute \(1\) — les parenthèses suggèrent un produit, mais la dernière opération est l'addition du \(1\) : une somme.

Donc \((x+4)(2x+2)=2x^2+10x+8\).

$$\begin{aligned}[t](2x+3)(x-5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) && \text{(Chaque terme se distribue avec son signe)} \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 && \text{(Calculer chaque produit)} \\ &= 2x^2 - 7x - 15 && \text{(Regrouper les termes semblables)}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{3})(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{3}) & = \textcolor{colordef}{x}^2-\textcolor{colorprop}{3}^2 \\ & = x^2-9. \end{aligned}$$ Donc \((x-3)(x+3)=x^2-9\).

En utilisant la formule \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=2\) : $$\begin{aligned} (\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{2})^{2} &=\textcolor{colordef}{x}^{2}+2 \times \textcolor{colordef}{x} \times \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}^{2} \\ &=x^{2}+4 x+4. \end{aligned}$$ Donc \((x+2)^2=x^2+4x+4\).

Avec \(a = x\) et \(b = 3\) dans \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) : $$(x-3)^2 = x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9.$$ Le terme du milieu est soustrait — son coefficient est négatif : seul le double produit change de signe, le carré \(b^2\) reste positif.

L'expression est une différence de deux produits. On développe d'abord chaque produit en le gardant entre parenthèses : le signe moins placé devant le second produit porte sur tous ses termes. $$\begin{aligned} (x+3)^2 - (x+1)(x-4) &= \left(x^2 + 6x + 9\right) - \left(x^2 - 4x + x - 4\right) && \text{(carré d'une somme ; double distributivité)} \\ &= \left(x^2 + 6x + 9\right) - \left(x^2 - 3x - 4\right) && \text{(réduire dans la parenthèse)} \\ &= x^2 + 6x + 9 - x^2 + 3x + 4 && \text{(opposé d'une expression)} \\ &= 9x + 13. && \text{(réduire)} \end{aligned}$$ Vérification avec \(x = 1\) : \((1+3)^2 - (1+1)(1-4) = 16 + 6 = 22\), et \(9 \times 1 + 13 = 22\).

$$\begin{aligned} 2x+2&=\textcolor{colorprop}{2}\times x +\textcolor{colorprop}{2}\times 1\\ &=\textcolor{colorprop}{2}(x+1). \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}[t] x^2 + 6x &= \textcolor{colorprop}{x} \times x + \textcolor{colorprop}{x} \times 6 && {\scriptstyle\text{(le facteur commun est } \textcolor{colorprop}{x})}\\ &= \textcolor{colorprop}{x}(x + 6) \end{aligned}$$

La parenthèse \(\textcolor{colorprop}{(x+2)}\) est présente dans les deux termes : c'est le facteur commun. $$\begin{aligned}[t] &(x+2)(3x-1) + (x+2)(x+5) \\ &= \textcolor{colorprop}{(x+2)}\left[(3x-1) + (x+5)\right] && {\scriptstyle\text{(parenthèse commune)}} \\ &= \textcolor{colorprop}{(x+2)}(3x-1+x+5) \\ &= \textcolor{colorprop}{(x+2)}(4x+4). \end{aligned}$$ La seconde parenthèse contient encore le facteur commun \(4\) : la factorisation complète est donc \(4(x+2)(x+1)\).

$$\begin{aligned} x^2-9&= \textcolor{colordef}{x}^2-\textcolor{colorprop}{3}^2\\ &= (\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{3})(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{3}). \end{aligned}$$

On peut écrire \(3\) sous la forme \((\sqrt{3})^2\) pour créer une différence de carrés. $$\begin{aligned} x^2-3 &= \textcolor{colordef}{x}^2 - \left(\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \left(\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right)\left(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{\sqrt{3}}\right). \end{aligned}$$

On vérifie si cela correspond à la forme \(a^2+2ab+b^2\).

• Le premier terme est \(x^2\) : on pose \(a=x\).
• Le dernier terme est \(1=1^2\) : on pose \(b=1\).
• On vérifie si le terme du milieu est \(2ab\) : \(2(x)(1) = 2x\). Cela correspond.

L'expression est donc un carré parfait : $$\begin{aligned} x^2+2x+1 &= \textcolor{colordef}{x}^{2}+2(\textcolor{colordef}{x})(\textcolor{colorprop}{1})+\textcolor{colorprop}{1}^{2}\\ &= (\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{1})^{2}. \end{aligned}$$

L'expression est déjà factorisée et égale à zéro, donc on peut appliquer directement la règle du produit nul en posant que chaque facteur est égal à zéro : $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{x}\,\textcolor{colorprop}{(x+1)} &= 0 \\ \textcolor{colordef}{x=0} &\text{ ou }\textcolor{colorprop}{(x+1)=0} &&\text{(règle du produit nul)}\\ \textcolor{colordef}{x=0} &\text{ ou }\textcolor{colorprop}{x=-1}\,. \end{aligned} $$ L'équation a deux solutions : \(x=0\) et \(x=-1\).

$$\begin{aligned}(x-1)(x+2) &= 0\\ x-1 = 0 &\quad \text{ou} \quad x+2=0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = 1 &\quad \text{ou} \quad x = -2 &&\color{gray}\text{(Résoudre chaque équation)}\\ \end{aligned}$$

1. $$\begin{aligned}[t] E(x) &= (x+3)^2 - 25 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 && \text{(carré d'une somme)}\\ &= x^2 + 6x - 16. \end{aligned}$$
2. $$\begin{aligned}[t] E(x) &= (x+3)^2 - 5^2 \\ &= (x+3-5)(x+3+5) && \text{(différence de deux carrés)}\\ &= (x-2)(x+8). \end{aligned}$$
3. Pour résoudre \(E(x) = 0\) : la forme factorisée donne \((x-2)(x+8) = 0\), donc \(x = 2\) ou \(x = -8\) (produit nul). Pour calculer \(E(0)\) : la forme développée donne \(E(0) = -16\) d'un coup d'œil.

$$\begin{aligned}x^2 - 2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 &&\color{gray}\text{(Mettre en facteur le facteur commun }x\text{)} \\ x = 0 &\quad \text{ou} \quad x-2=0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = 0 &\quad \text{ou} \quad x=2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \\ x^2 - 3^2 &= 0 \\ (x - 3)(x + 3) &= 0 &&\color{gray}\text{(Différence de deux carrés)} \\ x - 3 = 0 &\quad \text{ou} \quad x + 3 = 0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = 3 &\quad \text{ou} \quad x = -3 \end{aligned}$$

Comme \(7 > 0\), l'équation \(x^2 = 7\) admet deux solutions : \(S = \left\{-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\right\}\) — \(7\) n'est pas un carré parfait, les solutions restent donc écrites avec la racine carrée. Comme \(-5 < 0\) et qu'un carré est toujours positif, l'équation \(x^2 = -5\) n'admet aucune solution : \(S = \emptyset\).

• Valeur interdite : \(x + 3 = 0\) pour \(x = -3\), donc \(-3\) est interdite.
• Numérateur : \(x - 2 = 0\) pour \(x = 2\).
• \(2\) n'est pas une valeur interdite, donc \(S = \{2\}\).

1. Valeur interdite : \(x - 1 = 0\), c'est-à-dire \(x = 1\). Pour \(x \neq 1\) : $$\begin{aligned} \frac{x + 4}{x - 1} = 3 &\iff x + 4 = 3(x - 1) && \text{(on multiplie par \(x - 1 \neq 0\))} \\ &\iff x + 4 = 3x - 3 && \text{(développement)} \\ &\iff 7 = 2x && \text{(regroupement)} \\ &\iff x = \dfrac{7}{2}. && \text{(division par \(2\))} \end{aligned}$$ Comme \(\dfrac{7}{2} \neq 1\), la valeur est autorisée : \(S = \left\{\dfrac{7}{2}\right\}\).
2. Valeur interdite : \(x = 3\). Pour \(x \neq 3\) : \(2x + 1 = 2(x - 3) = 2x - 6\), c'est-à-dire \(1 = -6\), ce qui est faux pour tout \(x\). L'équation n'a pas de solution : \(S = \varnothing\).
3. Valeur interdite : \(x = 2\). Pour \(x \neq 2\) : \(3x - 6 = 3(x - 2) = 3x - 6\), ce qui est vrai pour tout \(x\). Toute valeur autorisée est solution : \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) — la valeur interdite \(2\) vérifie \(A(x) = k \cdot B(x)\) mais n'est pas solution, puisque le quotient n'y est pas défini.