Éducation Nationale Française · Seconde

Les vecteurs

⌚ ~114 min ▢ 12 blocs ✓ 51 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Puissances et racines, Intervalles et inéquations

I Les translations et les vecteurs

I.1 La translation et son vecteur

Définition — Translation

Une translation de vecteur $\Vect{v}$ associe à un point $M$ son image $M'$ telle que $\Vect{MM'} = \Vect{v}$.
Tous les points du plan sont déplacés du même vecteur $\Vect{v}$.

Définition — Vecteur

Un vecteur non nul $\vec{u}$ se définit géométriquement par une direction, un sens et une longueur.

Un vecteur ne dépend pas du point de départ : deux flèches ayant la même direction, le même sens et la même longueur représentent le même vecteur.

Exemple

Décrire le vecteur $\vec{w}$ tracé ci-dessous : donner sa direction, son sens et sa longueur.

Correction

Le vecteur $\vec{w}$ a une direction oblique (celle de la droite qui le porte), son sens est vers le bas à droite, et sa longueur est celle de la flèche — repérée par ses déplacements sur le quadrillage : $4$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le bas (avec le théorème de Pythagore, $\sqrt{4^2 + 2^2} \approx 4{,}5$ carreaux). Toute flèche ayant ces trois caractéristiques représente le même vecteur $\vec{w}$.

Définition — Notation à deux points

La notation $\Vect{AB}$ désigne le vecteur d'origine $A$ et d'extrémité $B$ : la flèche qui part de $A$ et arrive en $B$.

Définition — Égalité géométrique de vecteurs

Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont :

la même direction (droites parallèles),
le même sens (même orientation),
et la même longueur.

$\textcolor{olive}{\Vect{u}} = \textcolor{olive}{\Vect{v}}$

Proposition — Critère du parallélogramme

Deux vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{DC}$ sont égaux si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Compétences à pratiquer

Identifier les vecteurs
Construire un parallélogramme

I.2 La somme de deux vecteurs

Définition — Addition de vecteurs

On appelle somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+ \vec{v}$, le vecteur associé à la translation obtenue en enchaînant la translation de vecteur $\vec{u}$ puis celle de vecteur $\vec{v}$.

Proposition — Relation de Chasles

Pour tous points $A$, $B$, $C$ :$$\Vect{AB} + \Vect{BC} = \Vect{AC}$$

Définition — Vecteur nul

Le vecteur associé à la translation qui transforme un point quelconque en lui-même est le vecteur nul, noté $\Vect{0}$.$$\Vect{v} + \Vect{0} = \Vect{0} + \Vect{v} = \Vect{v}$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître la somme de vecteurs
Tracer la somme de deux vecteurs

I.3 L'opposé d'un vecteur et la différence

Définition — Vecteur opposé

Le vecteur opposé à un vecteur non nul $\vec{u}$ est le vecteur ayant la même direction, la même longueur, mais le sens contraire. On le note $-\vec{u}$. L'opposé du vecteur nul est le vecteur nul.

Proposition — Vecteur opposé à $\Vect{AB}$

Le vecteur $\Vect{BA}$ (de $B$ vers $A$) est le vecteur opposé au vecteur $\Vect{AB}$ (de $A$ vers $B$) :$$\Vect{BA} = -\Vect{AB}$$

Définition — Soustraction de vecteurs

La soustraction de vecteurs $\Vect{u} - \Vect{v}$ se définit comme l'addition de l'opposé du second vecteur :$$\Vect{u}-\Vect{v} = \Vect{u} + (-\Vect{v})$$

Exemple

Calculer $\Vect{AB}-\Vect{CB}$.

Correction

$$\begin{aligned}\Vect{AB}-\Vect{CB} &= \Vect{AB} + (-\Vect{CB})\\ &= \Vect{AB} + \Vect{BC}\\ &= \Vect{AC}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître le vecteur opposé
Soustraire deux vecteurs

II Le produit par un réel et la colinéarité

II.1 Le produit d'un vecteur par un réel

Définition — Multiplication géométrique par un réel

Soient $k$ un réel non nul et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ est défini par :

sa direction : celle de $\vec{u}$ ;
son sens : celui de $\vec{u}$ si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$ ;
sa longueur : $|k|$ fois la longueur de $\vec{u}$.

Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$, alors $k\vec{u} = \vec{0}$.

Exemple

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, dans cet ordre, avec $AB = 2$~cm et $BC = 4$~cm. Exprimer $\Vect{AC}$ et $\Vect{BA}$ comme multiples de $\Vect{AB}$.

Correction

$AC = AB + BC = 6$~cm, et $\Vect{AC}$ a la même direction et le même sens que $\Vect{AB}$ : donc $\Vect{AC} = 3\Vect{AB}$. $\Vect{BA}$ a la même longueur que $\Vect{AB}$ mais le sens contraire : $\Vect{BA} = -\Vect{AB}$.

Remarque

$2\Vect{v}$ a la même direction et le même sens que $\Vect{v}$, et est deux fois plus long.
$-2\Vect{v}$ a la même direction mais le sens opposé à $\Vect{v}$, et est deux fois plus long.
Si $0 < k < 1$, le vecteur $k\Vect{v}$ a la même direction et le même sens que $\Vect{v}$, mais il est plus court.
$0\Vect{v} = \Vect{0}$, le vecteur nul.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Reconnaître les multiples d'un vecteur
Tracer des multiples d'un vecteur

II.2 La colinéarité

Définition — Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que :$$\Vect{u} = k \Vect{v}$$ Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Proposition — Caractérisation vectorielle des droites parallèles

Deux droites $\LineFr{AB}$ et $\LineFr{CD}$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{CD}$ sont colinéaires.
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{AC}$ sont colinéaires.

Exemple

Sur le quadrillage, les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{CD}$ sont tracés. Les droites $\LineFr{AB}$ et $\LineFr{CD}$ sont-elles parallèles ?

Correction

$\Vect{AB}$ avance de $4$ vers la droite et $2$ vers le haut ; $\Vect{CD}$ de $2$ vers la gauche et $1$ vers le bas : même direction, deux fois plus court, sens contraire — $\Vect{CD} = -\dfrac{1}{2}\Vect{AB}$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites $\LineFr{AB}$ et $\LineFr{CD}$ sont parallèles.

Compétences à pratiquer

Conclure à partir d'une relation vectorielle
Justifier un alignement ou un parallélisme

II.3 La caractérisation vectorielle du milieu

Proposition — Caractérisation vectorielle du milieu

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ un point du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :

$I$ est le milieu du segment $\SegmentFr{AB}$ ;
$\Vect{AI} = \Vect{IB}$ ;
$\Vect{AI} = \dfrac{1}{2}\Vect{AB}$ ;
$\Vect{IA} + \Vect{IB} = \Vect{0}$.

De plus, lorsque $I$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$, pour tout point $M$ du plan : $$\textcolor{colorprop}{\Vect{MA} + \Vect{MB} = 2\,\Vect{MI}}.$$

Preuve

(Quand $A = B$, le segment est le seul point $A$ et chacun des quatre énoncés dit $I = A$ ; on suppose $A \neq B$, de sorte que la droite $\LineFr{AB}$ existe.)

(1) $\Leftrightarrow$ (2). Si $I$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$, les vecteurs $\Vect{AI}$ et $\Vect{IB}$ ont la même direction (la droite $\LineFr{AB}$), le même sens (de $A$ vers $B$) et la même longueur ($AI = IB$) : ils sont égaux. Réciproquement, si $\Vect{AI} = \Vect{IB}$, les deux flèches ont la même direction, donc $I$ est sur la droite $\LineFr{AB}$ ; le même sens, donc $I$ est entre $A$ et $B$ ; et la même longueur, donc $AI = IB$ : $I$ est le milieu.
(2) $\Leftrightarrow$ (3). Par la relation de Chasles, $\Vect{AB} = \Vect{AI} + \Vect{IB}$. Si $\Vect{AI} = \Vect{IB}$, alors $\Vect{AB} = 2\,\Vect{AI}$, c'est-à-dire $\Vect{AI} = \dfrac{1}{2}\Vect{AB}$. Réciproquement, si $\Vect{AI} = \dfrac{1}{2}\Vect{AB}$, alors $\Vect{IB} = \Vect{AB} - \Vect{AI} = \Vect{AB} - \dfrac{1}{2}\Vect{AB} = \dfrac{1}{2}\Vect{AB} = \Vect{AI}$.
(2) $\Leftrightarrow$ (4). Comme $\Vect{IA} = -\Vect{AI}$, la relation $\Vect{IA} + \Vect{IB} = \Vect{0}$ signifie $-\Vect{AI} + \Vect{IB} = \Vect{0}$, c'est-à-dire $\Vect{AI} = \Vect{IB}$.
La relation avec $M$. En coupant chaque vecteur en $I$ par la relation de Chasles : $$\Vect{MA} + \Vect{MB} = (\Vect{MI} + \Vect{IA}) + (\Vect{MI} + \Vect{IB}) = 2\,\Vect{MI} + (\Vect{IA} + \Vect{IB}) = 2\,\Vect{MI},$$ puisque $\Vect{IA} + \Vect{IB} = \Vect{0}$ d'après (4).

Exemple

$ABCD$ est un parallélogramme, de sorte que $\Vect{AB} = \Vect{DC}$. Soit $I$ le milieu de la diagonale $\SegmentFr{AC}$. Montrer, avec des vecteurs, que $I$ est aussi le milieu de l'autre diagonale $\SegmentFr{BD}$.

Correction

Comme $I$ est le milieu de $\SegmentFr{AC}$, $\Vect{IA} + \Vect{IC} = \Vect{0}$ (caractérisation (4)). On calcule $\Vect{IB} + \Vect{ID}$ en passant par $A$ et par $C$ : $$\begin{aligned} \Vect{IB} + \Vect{ID} &= (\Vect{IA} + \Vect{AB}) + (\Vect{IC} + \Vect{CD}) && \text{(relation de Chasles)} \\ &= (\Vect{IA} + \Vect{IC}) + (\Vect{AB} + \Vect{CD}) && \text{(regroupement)} \\ &= \Vect{0} + (\Vect{AB} - \Vect{DC}) && \text{($I$ milieu de $\SegmentFr{AC}$ ; $\Vect{CD} = -\Vect{DC}$)} \\ &= \Vect{0}. && \text{($\Vect{AB} = \Vect{DC}$)} \end{aligned}$$ Par la caractérisation (4), $I$ est le milieu de $\SegmentFr{BD}$ : les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.

Compétences à pratiquer

Utiliser la caractérisation vectorielle du milieu

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes avec les vecteurs
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