Éducation Nationale Française · Première Spécialité

Produit scalaire

⌚ ~178 min ▢ 20 blocs ✓ 91 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les vecteurs, Vecteurs et repère, Trigonométrie

I Produit scalaire de deux vecteurs

Deux vecteurs, un seul nombre. On pousse un wagonnet le long d'un rail en tirant sa corde de biais : ce qui fait avancer le wagonnet n'est pas toute la traction, seulement son ombre sur le rail. On trace la traction $\Vect{F}$, on abaisse la perpendiculaire de son extrémité sur le rail, on obtient un point $H$. La longueur $OH$, comptée avec un signe, est la part de la traction qui travaille vraiment. On la multiplie par la longueur du déplacement $\Vect{d}$ et on tient un seul nombre : grand quand les deux vecteurs vont dans le même sens, nul quand ils sont perpendiculaires, négatif quand ils se contrarient. Ce nombre est le produit scalaire. On peut le lire sur une projection, le calculer avec l'angle, l'obtenir par les coordonnées, ou le retrouver à partir de longueurs seules. Quatre visages d'une même idée.

Signaler une erreur

Définition — Projeté orthogonal d'un point

Soient $d$ une droite et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH)$ soit perpendiculaire à $d$ (et $H = M$ si $M$ est sur $d$). C'est le point de $d$ le plus proche de $M$, et la distance $MH$ est appelée distance de $M$ à la droite $d$.

Définition — Produit scalaire géométrique

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ est défini par :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\| \|\Vect{v}\| \cos \theta$$ où $\|\Vect{u}\|$ est la norme de $\Vect{u}$, $\|\Vect{v}\|$ la norme de $\Vect{v}$, et $\theta$ l'angle entre les vecteurs. Si l'un des deux vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut $0$.

$\Vect{u} \cdot \Vect{v}$ se lit « $\Vect{u}$ scalaire $\Vect{v}$ ».
Le produit scalaire est un nombre réel (un scalaire), et non un vecteur. Il est :

strictement positif si $0^\circ \leq \theta < 90^\circ$, en radians $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ (angle nul ou aigu) ;
nul si $\theta = 90^\circ$, en radians $\theta = \frac{\pi}{2}$ (vecteurs orthogonaux), ou si au moins un des vecteurs est le vecteur nul ;
strictement négatif si $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$, en radians $\frac{\pi}{2}<\theta \leq \pi$ (angle obtus ou plat).

$\quad$

Signaler une erreur

Définition — Produit scalaire avec la notation des points

Pour trois points $A$, $B$, $C$ avec $A \neq B$ et $A \neq C$, le produit scalaire de $\Vect{AB}$ par $\Vect{AC}$ est défini par :$$\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = AB \times AC \times \cos(\AngleFr{BAC}),$$ où $AB$ et $AC$ désignent les longueurs des segments $\SegmentFr{AB}$ et $\SegmentFr{AC}$.

Sur une figure, les deux vecteurs d'un produit scalaire n'ont pas toujours la même origine, et ne sont pas toujours les deux vecteurs de l'angle marqué. Deux faits règlent tous les cas. Glisser un vecteur ne change ni sa longueur, ni sa direction, ni son sens, donc ne change aucun produit scalaire : on peut toujours ramener les deux vecteurs à une origine commune. Retourner l'un des deux remplace l'angle $\theta$ par $180^\circ - \theta$, et comme $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$, le produit scalaire change de signe : $$\Vect{u} \cdot (-\Vect{v}) = -\,\Vect{u} \cdot \Vect{v}.$$ Retourner les deux ramène l'angle, et le signe, à leur valeur de départ.

Signaler une erreur

Exemple

Pour $AB = 2$, $AC = 5$ et $\AngleFr{BAC} = 45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$ en radians), calculer $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC}$.

Correction

$$\begin{aligned}\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} &= AB \times AC \times \cos(\AngleFr{BAC}) \\ &= 2 \times 5 \times \cos(45^\circ)\\ &= 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\ &= 5 \sqrt{2}\\ \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer le produit scalaire à partir des normes et d'un angle
Calculer le produit scalaire à partir d'une figure géométrique
Repérer l'angle de deux vecteurs sur une figure

II Propriétés du produit scalaire

Proposition — Carré scalaire d'un vecteur

$$\Vect{u} \cdot \Vect{u} = \|\Vect{u}\|^2$$

Preuve

Si $\Vect{u} = \Vect{0}$, les deux membres sont nuls. Sinon l'angle de $\Vect{u}$ avec lui-même est nul, donc par la définition géométrique$$\Vect{u} \cdot \Vect{u} = \|\Vect{u}\|\,\|\Vect{u}\| \cos 0 = \|\Vect{u}\|^2.$$

Proposition — Symétrie

Le produit scalaire est commutatif :$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \Vect{v} \cdot \Vect{u}.$$

Preuve

Si l'un des vecteurs est $\Vect{0}$, les deux membres sont nuls. Sinon l'angle $\theta$ de $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ est aussi l'angle de $\Vect{v}$ et $\Vect{u}$, donc par la définition géométrique$$\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\,\|\Vect{v}\| \cos \theta = \|\Vect{v}\|\,\|\Vect{u}\| \cos \theta = \Vect{v} \cdot \Vect{u}.$$

Proposition — Bilinéarité

Le produit scalaire est linéaire par rapport à chacun de ses arguments vectoriels (propriété admise ici) :

$\Vect{u} \cdot (\Vect{v} + \Vect{w}) = \Vect{u} \cdot \Vect{v} + \Vect{u} \cdot \Vect{w}$ (distributivité par rapport au second argument) ;
$(\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot \Vect{w} = \Vect{u} \cdot \Vect{w} + \Vect{v} \cdot \Vect{w}$ (distributivité par rapport au premier argument) ;
$\Vect{u} \cdot (k\Vect{v}) = k(\Vect{u} \cdot \Vect{v})$ et $(k\Vect{u})\cdot\Vect{v} = k(\Vect{u}\cdot\Vect{v})$, où $k$ est un nombre réel.

Proposition — Identités remarquables

$\|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2 + 2\Vect{u} \cdot \Vect{v} + \|\Vect{v}\|^2$.
$\|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2 - 2\Vect{u} \cdot \Vect{v} + \|\Vect{v}\|^2$.
$(\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} - \Vect{v}) = \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2$.

Preuve

$$\begin{aligned}[t]\|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 &= (\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} + \Vect{v})\\ &= \Vect{u}\cdot\Vect{u} + \Vect{u}\cdot\Vect{v} + \Vect{v}\cdot\Vect{u} + \Vect{v}\cdot\Vect{v} && \text{(distributivité)} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 + 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) + \|\Vect{v}\|^2 && \text{(symétrie et $\Vect{u}\cdot\Vect{u}=\|\Vect{u}\|^2$)}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2 &= (\Vect{u} - \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} - \Vect{v})\\ &= \Vect{u}\cdot\Vect{u} - \Vect{u}\cdot\Vect{v} - \Vect{v}\cdot\Vect{u} + \Vect{v}\cdot\Vect{v} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 - 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) + \|\Vect{v}\|^2\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}(\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (\Vect{u} - \Vect{v}) &= \Vect{u}\cdot\Vect{u} - \Vect{u}\cdot\Vect{v} + \Vect{v}\cdot\Vect{u} - \Vect{v}\cdot\Vect{v} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 - \Vect{u}\cdot\Vect{v} + \Vect{u}\cdot\Vect{v} - \|\Vect{v}\|^2 && \text{(symétrie)} \\ &= \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2\end{aligned}$$

Exemple

Soient $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ deux vecteurs tels que $\|\Vect{u}\| = 3$, $\|\Vect{v}\| = 2$ et $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = -1$. Calculer $\|2\Vect{u} + \Vect{v}\|^2$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \|2\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 &= (2\Vect{u} + \Vect{v}) \cdot (2\Vect{u} + \Vect{v}) && \scriptscriptstyle\text{(carré scalaire)} \\ &= 4\,\Vect{u} \cdot \Vect{u} + 4\,\Vect{u} \cdot \Vect{v} + \Vect{v} \cdot \Vect{v} && \scriptscriptstyle\text{(bilinéarité et symétrie)} \\ &= 4\|\Vect{u}\|^2 + 4\,\Vect{u} \cdot \Vect{v} + \|\Vect{v}\|^2 \\ &= 4 \times 9 + 4 \times (-1) + 4 = 36 \end{aligned}$$ Donc $\|2\Vect{u} + \Vect{v}\| = 6$.

Proposition — Formule d'Al-Kashi

Dans tout triangle $ABC$, avec $a = BC$, $b = CA$ et $c = AB$ : $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \AngleFr{C},$$ et de même en chaque sommet : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \AngleFr{A}$ et $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos \AngleFr{B}$. Quand l'angle est droit, son cosinus est nul et la formule est le théorème de Pythagore.

Preuve

Le côté $c = AB$ est opposé à l'angle en $C$ : on l'exprime avec les deux vecteurs issus de $C$ et l'on élève sa norme au carré. Avec $a = CB$ et $b = CA$ : $$\begin{aligned}[t] c^2 &= \|\Vect{AB}\|^2 \\ &= \|\Vect{CB} - \Vect{CA}\|^2 && \scriptscriptstyle\text{(Chasles : } \Vect{AB} = \Vect{AC} + \Vect{CB} = \Vect{CB} - \Vect{CA}) \\ &= \|\Vect{CB}\|^2 - 2\,\Vect{CB} \cdot \Vect{CA} + \|\Vect{CA}\|^2 && \scriptscriptstyle\text{(carré d'une différence)} \\ &= a^2 + b^2 - 2\,\Vect{CB} \cdot \Vect{CA} \\ &= a^2 + b^2 - 2ab\cos \AngleFr{C} && \scriptscriptstyle\text{(définition géométrique, l'angle de } \Vect{CB}, \Vect{CA} \text{ est } \AngleFr{C}) \end{aligned}$$ Contrôle : quand $\AngleFr{C}$ est droit, $\cos \AngleFr{C} = 0$ et la formule est le théorème de Pythagore.

Exemple

Dans un triangle $ABC$, $AB = 4$, $AC = 6$ et $\AngleFr{A} = 50^\circ$. Calculer $BC$, puis l'angle $\AngleFr{B}$, au dixième de degré près.

Correction

L'angle connu est situé entre les deux côtés connus : Al-Kashi s'applique en $A$ : $$\begin{aligned}[t] BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \AngleFr{A} && \scriptscriptstyle\text{(Al-Kashi en } A) \\ &= 16 + 36 - 48\cos(50^\circ) \approx 21{,}15 \end{aligned}$$ donc $BC \approx 4{,}6$. Pour l'angle $\AngleFr{B}$, on écrit Al-Kashi en $B$, où les trois côtés sont désormais connus, et on isole le cosinus : $$\begin{aligned}[t] AC^2 &= BA^2 + BC^2 - 2 \times BA \times BC \times \cos \AngleFr{B} && \scriptscriptstyle\text{(Al-Kashi en } B) \\ \cos \AngleFr{B} &= \frac{BA^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times BA \times BC} = \frac{16 + 21{,}15 - 36}{2 \times 4 \times 4{,}6} \approx 0{,}031 \end{aligned}$$ donc $\AngleFr{B} \approx 88{,}2^\circ$. Contrôle : $\AngleFr{C} \approx 180 - 50 - 88{,}2 = 41{,}8^\circ$, et le plus grand angle fait face au plus grand côté $AC$, comme il se doit.

Proposition — Identité de polarisation

$$\Vect{u} \cdot \Vect{v}=\frac{1}{2}\left( \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2 \right).$$

Preuve

Cette identité est déduite directement des identités remarquables. En partant du développement de $\|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2$ :$$ \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 = \|\Vect{u}\|^2 + 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) + \|\Vect{v}\|^2.$$ On peut réarranger l'équation pour isoler $\Vect{u} \cdot \Vect{v}$ :$$ 2(\Vect{u} \cdot \Vect{v}) = \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2.$$ En divisant par 2, on obtient l'identité :$$ \Vect{u} \cdot \Vect{v} = \frac{1}{2} \left( \|\Vect{u} + \Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u}\|^2 - \|\Vect{v}\|^2 \right). $$ De manière équivalente, en utilisant $\|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2$, on obtient aussi$$ \Vect{u} \cdot \Vect{v} = \frac{1}{2} \left( \|\Vect{u}\|^2 + \|\Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2 \right). $$

Compétences à pratiquer

Calculer avec les propriétés du produit scalaire
Calculer le produit scalaire à partir des normes
Calculer une longueur avec la formule d'Al-Kashi
Calculer un angle avec la formule d'Al-Kashi

III Produit scalaire en base orthonormée

Proposition — Expressions analytiques

Dans une base orthonormée, pour des vecteurs $\Vect{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

Produit scalaire : $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = xx' + yy'$.
Norme : $\|\Vect{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Distance (dans un repère orthonormé) : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.

Preuve

Dans la base orthonormée $(\Vect{i}, \Vect{j})$, les quatre produits scalaires des vecteurs de base sont connus : les vecteurs sont unitaires, donc $\Vect{i} \cdot \Vect{i} = \|\Vect{i}\|^2 = 1$ et $\Vect{j} \cdot \Vect{j} = 1$, et ils sont orthogonaux, donc $\Vect{i} \cdot \Vect{j} = \Vect{j} \cdot \Vect{i} = 0$.

$\cdot$	$\Vect{i}$	$\Vect{j}$
$\Vect{i}$	$1$	$0$
$\Vect{j}$	$0$	$1$

On écrit $\Vect{u} = x\Vect{i} + y\Vect{j}$ et $\Vect{v} = x'\Vect{i} + y'\Vect{j}$ et l'on développe, la bilinéarité permettant de distribuer exactement comme avec des nombres : $$\begin{aligned}[t] \Vect{u} \cdot \Vect{v} &= (x\Vect{i} + y\Vect{j}) \cdot (x'\Vect{i} + y'\Vect{j}) \\ &= xx'\,(\Vect{i} \cdot \Vect{i}) + xy'\,(\Vect{i} \cdot \Vect{j}) + yx'\,(\Vect{j} \cdot \Vect{i}) + yy'\,(\Vect{j} \cdot \Vect{j}) && \scriptscriptstyle\text{(bilinéarité)} \\ &= xx' + yy' && \scriptscriptstyle\text{(table ci-dessus)} \end{aligned}$$ Pour la norme, on prend $\Vect{v} = \Vect{u}$ : $\|\Vect{u}\|^2 = \Vect{u} \cdot \Vect{u} = x^2 + y^2$, donc $\|\Vect{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Pour la distance, on applique ce résultat à $\Vect{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.

Convention. Quand des coordonnées sont données sans autre précision, elles le sont dans une base ou un repère orthonormé. Important : Si la base n'est pas orthonormée, la formule $xx' + yy'$ ne peut pas être utilisée pour calculer le produit scalaire. Dans ce cas, il faut utiliser la définition géométrique ou les identités de polarisation.

Signaler une erreur

Proposition — Coordonnées et produits scalaires

Soit $(\Vect{i}, \Vect{j})$ une base orthonormée du plan. Pour tout vecteur $\Vect{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $$\textcolor{colorprop}{x = \Vect{u} \cdot \Vect{i} \qquad \text{et} \qquad y = \Vect{u} \cdot \Vect{j}},$$ de sorte que $\Vect{u} = (\Vect{u} \cdot \Vect{i})\,\Vect{i} + (\Vect{u} \cdot \Vect{j})\,\Vect{j}$. Chaque coordonnée d'un vecteur est son produit scalaire avec le vecteur de base correspondant.

Preuve

Par définition des coordonnées, $\Vect{u} = x\,\Vect{i} + y\,\Vect{j}$. Par bilinéarité du produit scalaire, $$\Vect{u} \cdot \Vect{i} = x\,(\Vect{i} \cdot \Vect{i}) + y\,(\Vect{j} \cdot \Vect{i}) = x \times 1 + y \times 0 = x,$$ puisque la base est orthonormée : $\Vect{i} \cdot \Vect{i} = \|\Vect{i}\|^2 = 1$ et $\Vect{j} \cdot \Vect{i} = 0$. De même, $\Vect{u} \cdot \Vect{j} = x\,(\Vect{i} \cdot \Vect{j}) + y\,(\Vect{j} \cdot \Vect{j}) = 0 + y = y$.

Lecture géométrique. Pour un vecteur $\Vect{u}$ non nul (le vecteur nul a ses deux coordonnées nulles), comme $\|\Vect{i}\| = 1$, le produit scalaire $\Vect{u} \cdot \Vect{i} = \|\Vect{u}\| \cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre $\Vect{i}$ et $\Vect{u}$, est la longueur signée du projeté orthogonal de $\Vect{u}$ sur l'axe porté par $\Vect{i}$ : les coordonnées d'un vecteur sont les longueurs signées de ses projetés orthogonaux sur les deux axes. C'est ce qui rend une base orthonormée si commode — dans une base qui n'est pas orthonormée, projeter ne donne plus les coordonnées.

Signaler une erreur

Exemple

Le plan est muni d'une base orthonormée $(\Vect{i}, \Vect{j})$.

Un vecteur $\Vect{u}$ vérifie $\Vect{u} \cdot \Vect{i} = 3$ et $\Vect{u} \cdot \Vect{j} = -2$. Donner ses coordonnées, puis contrôler le premier produit avec l'expression analytique.
Un vecteur $\Vect{v}$ a pour norme $4$ et fait un angle de $60^\circ$ avec $\Vect{i}$, du côté de $\Vect{j}$. Calculer ses coordonnées à l'aide de produits scalaires.

Correction

Les coordonnées sont les deux produits scalaires : $\Vect{u} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Contrôle : $\Vect{i} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc $\Vect{u} \cdot \Vect{i} = 3 \times 1 + (-2) \times 0 = 3$.
$x = \Vect{v} \cdot \Vect{i} = \|\Vect{v}\| \times \|\Vect{i}\| \times \cos 60^\circ = 4 \times 1 \times \dfrac{1}{2} = 2$. L'angle entre $\Vect{v}$ et $\Vect{j}$ vaut $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$, donc $y = \Vect{v} \cdot \Vect{j} = 4 \cos 30^\circ = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. D'où $\Vect{v} \begin{pmatrix} 2 \\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$ ; contrôle par la norme : $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Proposition — Calculer un angle à partir des coordonnées

Dans une base orthonormée, pour deux vecteurs non nuls $\Vect{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, l'angle $\theta$ qu'ils forment vérifie $$\cos\theta = \frac{\Vect{u} \cdot \Vect{v}}{\|\Vect{u}\|\,\|\Vect{v}\|} = \frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2 + y^2}\,\sqrt{x'^2 + y'^2}},$$ et $\theta$ est l'unique angle de $[0^\circ\,;\,180^\circ]$ ayant ce cosinus : $\theta = \arccos\left(\dfrac{\Vect{u} \cdot \Vect{v}}{\|\Vect{u}\|\,\|\Vect{v}\|}\right)$.

Exemple

Dans une base orthonormée, $\Vect{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Calculer $\Vect{u} \cdot \Vect{v}$, les deux normes, et l'angle des deux vecteurs, au dixième de degré près.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \Vect{u} \cdot \Vect{v} &= 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 1 && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\ \|\Vect{u}\| &= \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}, \qquad \|\Vect{v}\| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \\ \cos\theta &= \frac{1}{\sqrt{10}\,\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}} \approx 0{,}059 && \scriptscriptstyle\text{(angle par les coordonnées)} \end{aligned}$$ donc $\theta \approx 86{,}6^\circ$. Le cosinus est petit et positif : les vecteurs sont presque perpendiculaires, et l'angle est bien juste en dessous de $90^\circ$. C'est le cosinus, et non le produit scalaire seul, qui le mesure : le même produit scalaire $1$ entre deux vecteurs bien plus courts donnerait un cosinus bien plus grand.

Pour utiliser des coordonnées sur une figure qui n'en a pas, on choisit un repère orthonormé adapté à elle : l'origine en un sommet, les deux axes le long de deux droites perpendiculaires de la figure, l'unité égale à une longueur qui y est donnée. Dans un rectangle ou un carré, les côtés conviennent ; dans un losange, les côtés ne sont pas perpendiculaires mais les diagonales le sont ; dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit. Le repère choisi, chaque point a des coordonnées, chaque vecteur aussi, et l'expression analytique prend le relais.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Calculer des produits scalaires avec les coordonnées
Calculer un angle à partir des coordonnées
Calculer des angles dans des figures planes
Exprimer des coordonnées par des produits scalaires

IV Interprétations géométriques

Proposition — Produit scalaire de vecteurs colinéaires

Soient $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ deux vecteurs non nuls.

Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires et de même sens, alors $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.
Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires et de sens opposés, alors $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = -\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.

Preuve

Ceci découle directement de la définition géométrique $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|\cos\theta$.

Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens, l'angle $\theta$ entre eux est $0^\circ$ ($0$ en radians). Comme $\cos(0^\circ) = 1$, le résultat est $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = \|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.
S'ils sont colinéaires et de sens opposés, l'angle $\theta$ est $180^\circ$ ($\pi$ en radians). Comme $\cos(180^\circ) = -1$, le résultat est $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = -\|\Vect{u}\|\|\Vect{v}\|$.

Définition — Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul :$$\Vect{u} \perp \Vect{v} \iff \Vect{u} \cdot \Vect{v} = 0.$$

Proposition — Droites perpendiculaires

Soient $A \neq B$ et $C \neq D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul :$$(AB) \perp (CD) \iff \Vect{AB} \cdot \Vect{CD} = 0.$$

Preuve

Un vecteur directeur de $(AB)$ est un vecteur $k\,\Vect{AB}$ avec $k \neq 0$, et un vecteur directeur de $(CD)$ est $k'\,\Vect{CD}$ avec $k' \neq 0$. Par bilinéarité, $(k\,\Vect{AB}) \cdot (k'\,\Vect{CD}) = kk'\,(\Vect{AB} \cdot \Vect{CD})$, qui est nul exactement lorsque $\Vect{AB} \cdot \Vect{CD} = 0$ : la condition ne dépend pas des vecteurs directeurs choisis. Enfin, deux droites sont perpendiculaires exactement lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, et par la définition des vecteurs orthogonaux cela signifie que leur produit scalaire est nul.

Exemple

Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(2\,;\,5)$ et $D(3\,;\,2)$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

Correction

$\Vect{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\Vect{CD}\begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 2 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$, donc $$\begin{aligned}[t] \Vect{AB} \cdot \Vect{CD} &= 3 \times 1 + 1 \times (-3) && \scriptscriptstyle\text{(base orthonormée)} \\ &= 0 \end{aligned}$$ Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc $(AB) \perp (CD)$.

Proposition — Critère d'orthogonalité en base orthonormée

Dans une base orthonormée, deux vecteurs $\Vect{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont orthogonaux si et seulement si $$xx' + yy' = 0.$$

Preuve

Par définition, $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont orthogonaux lorsque $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = 0$ ; en base orthonormée ce produit scalaire vaut $xx' + yy'$. Les deux énoncés n'en font qu'un.

Proposition — Projection orthogonale

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points avec $A \neq B$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $\LineFr{AB}$. Alors :$$\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = \Vect{AB} \cdot \Vect{AH}.$$

Ceci implique :

Si $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$ sont de même sens, $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = AB \times AH$.
Si $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$ sont de sens opposés, $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = -AB \times AH$ ;
Si $H = A$, alors $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = 0$.

Preuve

En utilisant la relation de Chasles, on peut écrire $\Vect{AC} = \Vect{AH} + \Vect{HC}$ :$$\begin{aligned}\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} &= \Vect{AB} \cdot (\Vect{AH} + \Vect{HC}) \\ &= \Vect{AB} \cdot \Vect{AH} + \Vect{AB} \cdot \Vect{HC}.\end{aligned}$$ Puisque $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{HC}$ sont orthogonaux. Par conséquent, leur produit scalaire est nul : $\Vect{AB} \cdot \Vect{HC} = 0$. Il reste donc$$\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = \Vect{AB} \cdot \Vect{AH}.$$ La deuxième partie de la proposition découle de la condition de colinéarité appliquée à $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$.

Compétences à pratiquer

Calculer le produit scalaire par projection orthogonale
Démontrer l'orthogonalité
Déterminer une inconnue pour l'orthogonalité
Lire le signe et la nature du produit scalaire

V Théorème de la médiane et applications

Proposition — Théorème de la médiane

Étant donné deux points $A$ et $B$ et leur milieu $I$ (c'est-à-dire $I$ milieu de $\SegmentFr{AB}$), pour tout point $M$ du plan, on a :$$\Vect{MA} \cdot \Vect{MB}=MI^2-\frac{1}{4} AB^2.$$

Preuve

En utilisant la relation de Chasles, on introduit le point milieu $I$ :$$\begin{aligned}\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} &= (\Vect{MI}+\Vect{IA}) \cdot (\Vect{MI}+\Vect{IB})\\ &= (\Vect{MI}+\Vect{IA}) \cdot (\Vect{MI}-\Vect{IA}) && \text{(car $I$ est le milieu, $\Vect{IB}=-\Vect{IA}$)}\\ &= MI^2-IA^2 && \text{(identité remarquable)}\\ &= MI^2-\left(\frac{1}{2}AB\right)^2 && \text{(car $IA = \frac{1}{2}AB$)} \\ &= MI^2-\frac{1}{4} AB^2\end{aligned}$$

Exemple

$I$ est le milieu de $[AB]$, $AB = 12$ et $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 28$. Calculer $MI$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \Vect{MA} \cdot \Vect{MB} &= MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 && \scriptscriptstyle\text{(théorème de la médiane)} \\ 28 &= MI^2 - 36 \\ MI^2 &= 64 \end{aligned}$$ donc $MI = 8$. Le théorème transforme un produit scalaire en une distance au milieu : c'est ainsi qu'il mesure des longueurs.

Proposition — Cercle défini par l'orthogonalité

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $\SegmentFr{AB}$.

Preuve

On applique le théorème de la médiane, qui énonce $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = MI^2 - \frac{1}{4}AB^2$. La condition pour l'orthogonalité est $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0$. En substituant, on obtient :$$\begin{aligned}MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 &= 0 \\ MI^2 &= \frac{1}{4}AB^2 \\ MI &= \sqrt{\frac{1}{4}AB^2} \\ MI &= \frac{1}{2}AB.\end{aligned}$$ Ce résultat signifie que la distance de tout point $M$ au point milieu $I$ est constante et égale à la moitié de la longueur du segment $\SegmentFr{AB}$. C'est le cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{1}{2}AB$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $\SegmentFr{AB}$.

Exemple

Dans un repère orthonormé, $A(-2\,;\,1)$ et $B(4\,;\,-3)$. Décrire l'ensemble des points $M$ tels que $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = 0$.

Correction

L'ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$. Son centre est le milieu $I\left(\dfrac{-2 + 4}{2}\,;\,\dfrac{1 - 3}{2}\right) = I(1\,;\,-1)$ et son rayon est la moitié de $AB$ : $$\begin{aligned}[t] AB &= \sqrt{(4 + 2)^2 + (-3 - 1)^2} && \scriptscriptstyle\text{(distance en repère orthonormé)} \\ &= \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$ donc l'ensemble est le cercle de centre $I(1\,;\,-1)$ et de rayon $\sqrt{13}$. Contrôle : $M(1\,;\,-1 + \sqrt{13})$ est dessus, et $\Vect{MA} \cdot \Vect{MB} = (-3)(3) + (2 - \sqrt{13})(-2 - \sqrt{13}) = -9 + (13 - 4) = 0$.

Quatre façons de calculer un produit scalaire ont été rencontrées, et ce sont les données qui décident de celle à employer.

Deux longueurs et l'angle des vecteurs : la définition géométrique, $\|\Vect{u}\|\,\|\Vect{v}\|\cos\theta$.
Une figure avec un angle droit, où l'on lit le pied d'une perpendiculaire : la projection orthogonale, $\Vect{AB} \cdot \Vect{AC} = \Vect{AB} \cdot \Vect{AH}$.
Des coordonnées en repère orthonormé : l'expression analytique, $xx' + yy'$.
Trois longueurs et aucun angle : l'identité de polarisation, $\frac{1}{2}\left(\|\Vect{u}\|^2 + \|\Vect{v}\|^2 - \|\Vect{u} - \Vect{v}\|^2\right)$, ou sa cousine Al-Kashi.

Choisir le chemin le plus court fait partie du travail, et c'est la première question à se poser avant tout calcul.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Calculer une longueur avec le théorème de la médiane
Déterminer un lieu géométrique
Choisir la méthode

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

\(\cdot\)	\(\Vect{i}\)	\(\Vect{j}\)
\(\Vect{i}\)	\(1\)	\(0\)
\(\Vect{j}\)	\(0\)	\(1\)