Éducation Nationale Française · Seconde
Puissances et racines
I
Les puissances
I.1
La notation puissance
Définition — Puissance
Une puissance est l'écriture d'une multiplication répétée d'un nombre par lui-même : Pour un nombre \(a\) et un entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\), $$ a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}. $$
Exemple
Écrire sous forme de puissance : \(5 \times 5 \times 5\).
\(5 \times 5 \times 5 = 5^3\)
Compétences à pratiquer
- Calculer des puissances
I.2
Les exposants négatifs
Définition — Exposants négatifs et exposant nul
Pour un nombre non nul \(a\) et un entier positif non nul \(n\), on prolonge la définition de la puissance aux exposants négatifs en posant : $$\begin{aligned}[t] a^{-n} &= \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}} \\
&= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \qquad \text{et} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0).$$ En particulier, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\). Un exposant négatif signifie donc que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante. Exemple
Écrire \(3^{-2}\) sous forme de fraction.
$$\begin{aligned}[t] 3^{-2} &= \dfrac{1}{3 \times 3} \\
&= \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Écrire une puissance d'exposant négatif sous forme de fraction
- Écrire une fraction sous forme de puissance d'exposant négatif
I.3
Produit et quotient de puissances
Proposition — Loi des exposants 1
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}$$
$$\begin{aligned} \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} &= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}\ \text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\
&= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\
&= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}} \end{aligned}$$ Ici \(m\) et \(n\) sont des entiers strictement positifs ; la formule s'étend à tous les entiers grâce à la définition des exposants négatifs (admis).
Exemple
Simplifier \(5^2\times 5^4\).
$$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}} \times \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{4}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{olive}{4}} && \text{(même base, on ajoute les exposants)} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{6}. \end{aligned} $$
Proposition — Loi des exposants 2
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Simplifier \(\dfrac{5^7}{5^3}\).
$$\begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7}}}{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{3}}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7} - \textcolor{olive}{3}} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{4} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des produits de puissances
- Simplifier des quotients de puissances
- Simplifier avec des exposants négatifs
I.4
Puissance d'une puissance
Proposition — Loi des exposants 3
Pour \(a\neq 0\) et pour des entiers \(m\) et \(n\), $$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Simplifier \(\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}}\).
$$\begin{aligned}[t] \left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}} &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{5}} \\
&= \textcolor{colordef}{5}^{10} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des puissances de puissances
I.5
Puissance d'un produit et d'un quotient
Proposition — Loi des exposants 4
Pour des nombres non nuls \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\), $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}$$ Exemple
Écrire \((\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}\) avec une puissance de chaque facteur.
$$(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}} = \textcolor{colordef}{2}^{\textcolor{olive}{3}} \times \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{3}}$$
Proposition — Loi des exposants 5
Pour des nombres non nuls \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\), $$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}$$ Exemple
Calculer \(\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}\).
$$\begin{aligned}[t] \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}} &= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}} \\
&= \dfrac{25}{9} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Simplifier des puissances de produits
- Simplifier des puissances de quotients
- Choisir la bonne loi
II
Les racines carrées
II.1
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
Définition — Racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif ou nul \(a\) (c'est-à-dire \(a \ge 0\)), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne \(a\). $$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$ Exemple
Les carrés parfaits des entiers de \(0\) à \(12\) sont : $$ 0\,;\,1\,;\,4\,;\,9\,;\,16\,;\,25\,;\,36\,;\,49\,;\,64\,;\,81\,;\,100\,;\,121\,;\,144. $$ Leurs racines carrées sont ces entiers eux-mêmes : $$ \sqrt{0} = 0\,; \quad \sqrt{1} = 1\,; \quad \sqrt{4} = 2\,; \quad \sqrt{9} = 3\,; \quad \sqrt{16} = 4\,; \quad \dots $$ $$ \sqrt{81} = 9\,; \quad \sqrt{100} = 10\,; \quad \sqrt{121} = 11\,; \quad \sqrt{144} = 12. $$ Compétences à pratiquer
- Calculer des racines carrées de carrés parfaits
II.2
Les lois des radicaux
Les expressions contenant des racines carrées sont appelées des expressions radicales (ou simplement des radicaux). Pour simplifier et manipuler ces expressions, on utilise un ensemble de règles importantes.
Proposition — Règle de multiplication
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a,b \ge 0\) : $$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}} $$
Par définition, élever une racine carrée au carré donne le nombre d'origine. On élève au carré l'expression \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) : $$\begin{aligned}[t] \left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 &= (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) && \text{(définition du carré)} \\
&= (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) \times (\sqrt{b} \times \sqrt{b}) && \text{(commutativité)} \\
&= a \times b && \text{(\((\sqrt{a})^2 = a\) et \((\sqrt{b})^2 = b\))} \\
&= ab. \end{aligned}$$ De plus \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} \ge 0\), comme produit de deux nombres positifs. Donc \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) est le nombre positif dont le carré est \(ab\) : c'est la racine carrée de \(ab\).
Exemple
Vérifier que \(\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36}\) en calculant chaque membre.
On calcule chaque membre séparément, sans utiliser la règle de multiplication. $$\begin{aligned}[t] \sqrt{4} \times \sqrt{9} &= 2 \times 3 && \text{(\(2^2 = 4\) et \(3^2 = 9\))} \\
&= 6 \\
\sqrt{36} &= 6. && \text{(\(6^2 = 36\))} \end{aligned}$$ Les deux membres valent \(6\) : l'égalité est vraie, comme l'affirme la règle de multiplication, puisque \(4 \times 9 = 36\).
Proposition — Racine carrée d'un carré
Pour tout nombre réel \(a \ge 0\) : $$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a^2} = a} $$
Par définition, \(\sqrt{a^2}\) est le nombre positif dont le carré est \(a^2\). Le nombre \(a\) est positif et son carré est \(a^2\). Donc : $$\sqrt{a^2} = a$$
Exemple
Déterminer \(\sqrt{13^2}\) et \(\sqrt{0{,}7^2}\) sans calculer les carrés.
$$\begin{aligned}[t] \sqrt{13^2} &= 13 && \text{(racine carrée d'un carré, \(13 \geq 0\))} \\
\sqrt{0{,}7^2} &= 0{,}7. && \text{(racine carrée d'un carré, \(0{,}7 \geq 0\))} \end{aligned}$$ Il n'est pas nécessaire de calculer \(13^2 = 169\) ni \(0{,}7^2 = 0{,}49\) : la racine carrée défait le carré d'un nombre positif.
Proposition — Règle de simplification
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a,b \ge 0\) : $$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}} $$
$$\begin{aligned}[t] \sqrt{a^2 b} &= \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} && \text{(par la règle de multiplication)} \\
&= a \times \sqrt{b} && \text{(par la règle de la racine d'un carré)} \\
&= a\sqrt{b} \end{aligned}$$
Définition — Forme simplifiée des racines carrées
Une racine carrée est écrite en forme simplifiée lorsque le nombre sous le signe de la racine carrée n'a aucun facteur carré parfait autre que \(1\). Par exemple, \(\sqrt{12}\) n'est pas en forme simplifiée, car \(12 = 4 \times 3\) et \(4\) est un carré parfait ; sa forme simplifiée est \(2\sqrt{3}\). Méthode — Écrire une racine carrée sous forme simplifiée
Soit \(n \geq 1\) un nombre entier. Pour écrire \(\sqrt{n}\) sous forme simplifiée : - Déterminer le plus grand carré parfait qui divise \(n\), puis écrire \(n = a^2 \times b\) avec \(a > 0\).
- Séparer la racine avec la règle de multiplication : \(\sqrt{n} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\).
- Extraire le carré : \(\sqrt{a^2} = a\) (car \(a > 0\)), donc \(\sqrt{n} = a\sqrt{b}\).
Exemple
Simplifier \(\sqrt{72}\).
On détermine d'abord le plus grand carré parfait qui divise \(72\) : c'est \(36\). $$\begin{aligned}[t] \sqrt{72} &= \sqrt{36 \times 2} && \text{(\(36\) est le plus grand facteur carré)} \\
&= \sqrt{6^2 \times 2} && \text{(\(36 = 6^2\))} \\
&= 6\sqrt{2}. && \text{(par la règle de simplification)} \end{aligned}$$ Avec le facteur carré plus petit \(4\), le résultat \(\sqrt{72} = \sqrt{4 \times 18} = 2\sqrt{18}\) n'est pas encore sous forme simplifiée, car \(18 = 9 \times 2\) contient encore un carré parfait : prendre le plus grand facteur carré permet de conclure en une seule étape.
Proposition — Règle de division
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a \ge 0\) et \(b>0\) : $$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}} $$
On élève au carré l'expression \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) : $$\begin{aligned}[t] \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} && \text{(définition du carré)} \\
&= \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} && \text{(produit des fractions)} \\
&= \frac{a}{b}. && \text{(\((\sqrt{a})^2 = a\) et \((\sqrt{b})^2 = b\))} \end{aligned}$$ De plus \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0\), comme quotient de nombres positifs (avec \(\sqrt{b} > 0\)). Donc c'est le nombre positif dont le carré est \(\dfrac{a}{b}\) : c'est la racine carrée de \(\dfrac{a}{b}\).
Exemple
Simplifier \(\sqrt{\dfrac{5}{9}}\).
$$\begin{aligned}[t] \sqrt{\frac{5}{9}} &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} && \text{(par la règle de division)} \\
&= \frac{\sqrt{5}}{3}. && \text{(\(\sqrt{9} = 3\))} \end{aligned}$$ Le numérateur \(5\) n'est pas un carré parfait : la règle de division s'applique quand même, et seul le dénominateur devient un nombre entier.
Compétences à pratiquer
- Écrire sous une seule racine
- Simplifier des racines carrées
- Simplifier des quotients de racines carrées
II.3
La racine d'un carré et la racine d'une somme
Proposition — Racine carrée d'un carré — le cas général
Pour tout nombre réel \(a\) : $$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0,\\
-a & \text{si } a < 0. \end{cases}$$ Ce résultat unique — celui de \(a\) et \(-a\) qui est positif ou nul — se note \(\lvert a \rvert\), la valeur absolue de \(a\). En résumé : $$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert.$$ En particulier, \(\sqrt{x^2} = x\) est fausse lorsque \(x\) est strictement négatif.
Par définition, \(\sqrt{a^2}\) est le nombre positif ou nul dont le carré est \(a^2\). On distingue deux cas.
- Si \(a \geq 0\) : le nombre \(a\) est positif ou nul et son carré est \(a^2\), donc \(\sqrt{a^2} = a\).
- Si \(a < 0\) : le nombre \(-a\) est strictement positif, et \((-a)^2 = a^2\), donc \(\sqrt{a^2} = -a\).
Exemple
Calculer \(\sqrt{(-5)^2}\), et expliquer pourquoi le résultat n'est pas \(-5\).
$$\begin{aligned}[t] \sqrt{(-5)^2} &= \sqrt{25} \\
&= 5 \\
&= \lvert -5 \rvert. \end{aligned}$$ Une racine carrée est positive ou nulle par définition : elle ne peut pas valoir \(-5\). La règle \(\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert\) donne le bon signe automatiquement.
Proposition — Comparer deux nombres positifs par leurs carrés
Pour tous nombres réels positifs \(a\) et \(b\) : $$a < b \quad \text{si et seulement si} \quad a^2 < b^2.$$ Deux nombres positifs sont rangés comme leurs carrés : pour les comparer, il suffit de comparer leurs carrés.
La clé est la factorisation \(b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\).
- Si \(a < b\) : alors \(b - a > 0\), et \(b + a > 0\) puisque \(b > a \geq 0\). Le produit \((b - a)(b + a)\) est strictement positif, donc \(b^2 - a^2 > 0\), c'est-à-dire \(a^2 < b^2\).
- Si \(a^2 < b^2\) : alors \(b^2 > 0\), donc \(b > 0\) et \(b + a > 0\). Le produit \((b - a)(b + a) = b^2 - a^2\) est strictement positif et son second facteur est strictement positif, donc \(b - a > 0\), c'est-à-dire \(a < b\).
Exemple
Comparer \(\sqrt{7}\) et \(2{,}7\) sans calculatrice.
Les deux nombres sont positifs, donc on compare leurs carrés : $$\begin{aligned}[t] \left(\sqrt{7}\right)^2 &= 7 \\
2{,}7^2 &= 7{,}29. \end{aligned}$$ Comme \(7 < 7{,}29\) : \(\quad \sqrt{7} < 2{,}7\).
Proposition — La racine d'une somme
Pour tous nombres réels \(a > 0\) et \(b > 0\) : $$\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}.$$ La racine carrée n'est pas additive : \(\sqrt{a+b}\) n'est jamais égal à \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) lorsque \(a\) et \(b\) sont strictement positifs.
Les deux nombres \(\sqrt{a+b}\) et \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) sont strictement positifs ; pour les comparer, on compare leurs carrés. $$\begin{aligned}[t] \left(\sqrt{a+b}\right)^2 &= a + b \\
\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 &= a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b && \text{(développement du carré)}\\
&= (a + b) + 2\sqrt{ab}. && \text{(loi de multiplication)} \end{aligned}$$ Comme \(a > 0\) et \(b > 0\), on a \(\sqrt{ab} > 0\), donc $$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = (a+b) + 2\sqrt{ab} > \left(\sqrt{a+b}\right)^2.$$ Deux nombres positifs sont rangés comme leurs carrés, donc \(\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}\).
Exemple
Vérifier la proposition avec \(a = 16\) et \(b = 9\).
$$\begin{aligned}[t] \sqrt{16 + 9} &= \sqrt{25} = 5 \\
\sqrt{16} + \sqrt{9} &= 4 + 3 = 7 \end{aligned}$$ On a bien \(5 < 7\) : prendre la racine de la somme donne un nombre plus petit que sommer les racines.
Compétences à pratiquer
- Simplifier la racine d'un carré parfait
- Décider si une égalité de racines est vraie
- Calculer des racines de carrés
- Comparer racines et sommes
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Comparer des expressions avec radicaux
- Problèmes sur les puissances et les racines carrées
- Quiz
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