Éducation Nationale Française · Seconde

Vecteurs et repère

⌚ ~234 min ▢ 27 blocs ✓ 109 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les vecteurs, Puissances et racines

I Base et coordonnées

I.1 La base et les coordonnées d'un vecteur

Découverte

Un téléphérique se déplace le long d'un câble de $A$ à $B$ :

Dessiner le téléphérique lorsqu'il arrive en $B$.

Correction

Le déplacement du téléphérique se lit sur le quadrillage : $3$ carreaux vers la droite et $3$ carreaux vers le haut. Deux nombres suffisent à décrire tout le déplacement — et la flèche de $A$ à $B$ les rassemble en un seul objet : un vecteur.

Définition — Base orthonormée

Soient $\Vect{i}$ et $\Vect{j}$ deux vecteurs du plan perpendiculaires et de longueur $1$ (vecteurs unitaires). Le couple $(\Vect{i},\,\Vect{j})$ est une base orthonormée du plan. Avec un point $O$, le triplet $(O,\,\Vect{i},\,\Vect{j})$ est un repère orthonormé.

Proposition — Coordonnées dans une base

Tout vecteur $\Vect{u}$ du plan s'écrit de façon unique sous la forme $$\Vect{u} = x\,\Vect{i} + y\,\Vect{j},$$ où $x$ et $y$ sont des réels : les coordonnées de $\Vect{u}$ dans la base, notées $\Vect{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Exemple

Sur le quadrillage, la base $(\Vect{i},\,\Vect{j})$ et le vecteur $\Vect{v}$ sont tracés. Écrire $\Vect{v}$ sous la forme $x\,\Vect{i} + y\,\Vect{j}$ et donner ses coordonnées.

Correction

Pour suivre $\Vect{v}$, on avance de $3$ carreaux dans la direction de $\Vect{i}$ et de $2$ carreaux dans la direction de $\Vect{j}$ : $$\Vect{v} = 3\,\Vect{i} + 2\,\Vect{j}, \qquad \Vect{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Compétences à pratiquer

Donner les coordonnées à partir de l'écriture dans la base
Écrire un vecteur dans la base
Lire un vecteur sur le quadrillage
Représenter des vecteurs sur un quadrillage

I.2 Les coordonnées du vecteur AB

Proposition — Coordonnées de $\Vect{AB}$

Soient deux points $A(x_A ;\, y_A)$ et $B(x_B ;\, y_B)$. Les coordonnées du vecteur $\Vect{AB}$ sont :$$\Vect{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}$$ Les coordonnées $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$ correspondent exactement au pas en $x$ et au pas en $y$ pour aller de $A$ à $B$.

Vecteur déplacement et vecteur position

Deux noms empruntés à la physique rendent visibles les deux rôles d'un vecteur.

Le vecteur $\Vect{AB}$ peut être appelé vecteur déplacement de $A$ à $B$ : il enregistre le déplacement de $A$ vers $B$ — ses coordonnées $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$ sont les pas horizontal et vertical de ce déplacement. Deux déplacements de mêmes pas, depuis des points de départ différents, sont le même déplacement : le même vecteur.
Une fois une origine $O$ choisie, le vecteur $\Vect{OM}$ peut être appelé vecteur position du point $M$ (relativement à $O$). Ses coordonnées sont $x_M - 0 = x_M$ et $y_M - 0 = y_M$ : les coordonnées du vecteur position sont les coordonnées du point. Un point est ainsi repéré par un vecteur, et le déplacement de $A$ à $B$ se lit sur les deux vecteurs position : les coordonnées de $\Vect{AB}$ sont celles de $\Vect{OB}$ moins celles de $\Vect{OA}$.

Sur la figure, $\Vect{OA}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\Vect{OB}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ sont les vecteurs position de $A$ et de $B$, et $\Vect{AB}\begin{pmatrix} 6 - 2 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ est le déplacement de $A$ à $B$.

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Compétences à pratiquer

Calculer les coordonnées du vecteur AB
Distinguer vecteurs déplacement et vecteurs position
Déterminer les coordonnées du vecteur
Placer un point à l'aide d'un vecteur

I.3 Le calcul en coordonnées

Les opérations géométriques sur les vecteurs — somme, opposé, différence, multiplication par un réel — se mènent toutes directement sur les coordonnées : chaque règle ci-dessous calcule, coordonnée par coordonnée, le vecteur que la construction géométrique produirait.

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Définition — Égalité algébrique de vecteurs

Deux vecteurs $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont égaux si et seulement si $x = x'$ et $y = y'$.

Définition — Somme de deux vecteurs algébriques

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+x'\\ y +y' \\ \end{pmatrix}$$

Définition — Vecteur algébrique opposé

$$-\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\ -y \\ \end{pmatrix}$$

Définition — Soustraction de deux vecteurs algébriques

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x'\\ y-y' \\ \end{pmatrix}$$

Définition — Multiplication par un réel

Soit $k$ un nombre réel. Le produit $k\Vect{v}$ est défini par :$$k\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}kx\\ ky\end{pmatrix}$$

Exemple

Soient $\Vect{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$. Calculer les coordonnées de $\Vect{u} + \Vect{v}$, de $-\Vect{v}$ et de $2\Vect{u} - 3\Vect{v}$.

Correction

$$\Vect{u} + \Vect{v} = \begin{pmatrix} -2+4 \\ 3+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad -\Vect{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix},$$ $$2\Vect{u} - 3\Vect{v} = \begin{pmatrix} 2\times(-2) - 3\times 4 \\ 2\times 3 - 3\times(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 \\ 9 \end{pmatrix}.$$ Gare aux signes : $2 \times (-2) - 3 \times 4 = -4 - 12 = -16$ et $6 - (-3) = 9$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les coordonnées d'un point par un vecteur
Calculer la somme de vecteurs
Calculer l'opposé d'un vecteur
Calculer la différence de vecteurs
Multiplier un vecteur par un réel
Calculer des combinaisons linéaires de vecteurs

II Milieu et norme

II.1 Les coordonnées du milieu

Proposition — Coordonnées du milieu

Soient $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ deux points. Le milieu $M$ du segment $\SegmentFr{AB}$ a pour coordonnées $$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Preuve

$M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$ exactement lorsque $\Vect{AM} = \dfrac{1}{2}\Vect{AB}$. En lisant les premières coordonnées : $$x_M - x_A = \dfrac{1}{2}(x_B - x_A) \quad\text{donc}\quad x_M = x_A + \dfrac{x_B - x_A}{2} = \dfrac{x_A+x_B}{2},$$ et le même calcul sur les secondes coordonnées donne $y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2}$.

Exemple

Soient $A(1\ ;\ 5)$ et $B(7\ ;\ 1)$. Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $\SegmentFr{AB}$.

Correction

$$M\left(\dfrac{1+7}{2}\ ;\ \dfrac{5+1}{2}\right) = M(4\ ;\ 3).$$

Compétences à pratiquer

Calculer les coordonnées du milieu
Retrouver une extrémité à partir du milieu
Justifier avec les milieux des diagonales

II.2 La norme et la distance

Proposition — Longueur d'un vecteur

Si $\Vect{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans une base orthonormée, la norme ou longueur de $\Vect{v}$ est$$\|\Vect{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Exemple

Calculer la longueur du vecteur $\Vect{v}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$.

Correction

$$\begin{aligned}[t]\|\Vect{v}\| & = \sqrt{4^2 + 3^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5\ \text{unités}\end{aligned}$$

Proposition — Distance entre deux points

La distance entre deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ dans un repère orthonormé est la norme du vecteur $\Vect{AB}$ :$$AB = \|\Vect{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Exemple

Calculer la distance entre les points $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,5)$.

Correction

$$\begin{aligned}[t]AB &= \|\Vect{AB}\|\\ &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 2)^2} \\ &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{16 + 9} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\ \text{unités}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer la longueur d'un vecteur
Calculer la distance entre deux points
Déterminer la nature d'un triangle par les coordonnées

III Colinéarité et décomposition

III.1 Le déterminant et le critère

Définition — Déterminant de deux vecteurs

Soient $\Vect{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs du plan. Le déterminant de $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$, noté $\det(\Vect{u},\,\Vect{v})$, est défini par :$$\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) =\begin{vmatrix}x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}= x \cdot y' - y \cdot x'$$

Proposition — Colinéarité et déterminant

Deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires si et seulement si$$\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) = 0$$

Preuve

Soient $\Vect{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$. Si $\Vect{u} = \Vect{0}$, les deux affirmations sont vraies : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, et $\det(\Vect{u},\Vect{v}) = 0 \cdot y' - 0 \cdot x' = 0$. On suppose maintenant $\Vect{u} \neq \Vect{0}$.

Si les vecteurs sont colinéaires, alors $\Vect{v} = k\,\Vect{u}$ pour un réel $k$, donc $x' = kx$ et $y' = ky$, et $$\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) = x \cdot ky - y \cdot kx = k(xy - yx) = 0.$$
Réciproquement, on suppose $\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) = x\,y' - y\,x' = 0$. Comme $\Vect{u} \neq \Vect{0}$, l'une de ses coordonnées n'est pas nulle.
- Si $x \neq 0$ : on pose $k = \dfrac{x'}{x}$. Alors $x' = kx$, et $x\,y' = y\,x' = ykx$ donne $y' = ky$ : donc $\Vect{v} = k\,\Vect{u}$.
- Si $x = 0$, alors $y \neq 0$ et $0 = x\,y' - y\,x' = -y\,x'$ donne $x' = 0$ : on pose $k = \dfrac{y'}{y}$, alors $\Vect{v} = k\,\Vect{u}$.
Dans les deux cas, les vecteurs sont colinéaires.

Exemple

Soient $A(1\,;\,2)$, $B(5\,;\,4)$, $C(-1\,;\,-1)$ et $D(5\,;\,2)$.
Les droites $\LineFr{AB}$ et $\LineFr{CD}$ sont-elles parallèles ?

Correction

On calcule les vecteurs :$$\Vect{AB} = \begin{pmatrix}5-1 \\ 4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}, \quad\Vect{CD} = \begin{pmatrix}5-(-1) \\ 2-(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}$$ On calcule le déterminant :$$\det(\Vect{AB},\,\Vect{CD}) =\begin{vmatrix}4 & 6 \\ 2 & 3\end{vmatrix}= 4\times 3 - 6\times 2 = 12 - 12 = 0$$ Le déterminant est nul : par le critère $\det = 0$, les vecteurs sont colinéaires, donc les droites $\LineFr{AB}$ et $\LineFr{CD}$ sont parallèles. (Vérification : $\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5$, on a bien $\Vect{CD} = 1{,}5\,\Vect{AB}$.)

Proposition — Alignement et parallélisme

Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des points, avec $A \neq B$ et $C \neq D$.

Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\det(\Vect{AB},\,\Vect{AC}) = 0$.
Les droites $\LineFr{AB}$ et $\LineFr{CD}$ sont parallèles si et seulement si $\det(\Vect{AB},\,\Vect{CD}) = 0$.

Compétences à pratiquer

Calculer le déterminant
Tester le parallélisme et l'alignement
Trouver une coordonnée pour la colinéarité

III.2 Colinéarité et proportionnalité des coordonnées

Proposition — Colinéarité et proportionnalité des coordonnées

Soient $\Vect{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls. Les énoncés suivants sont équivalents :

$\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires ;
les coordonnées de $\Vect{v}$ sont proportionnelles à celles de $\Vect{u}$ : il existe un réel $k$ tel que $x' = kx$ et $y' = ky$ ;
les produits en croix sont égaux : $x\,y' = y\,x'$.

Dans un tableau de proportionnalité dont les lignes sont les deux vecteurs, la ligne de $\Vect{v}$ est $k$ fois la ligne de $\Vect{u}$ — $k$ est le coefficient du tableau — et l'égalité des produits en croix est la règle de ce tableau. C'est exactement $\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) = x\,y' - y\,x' = 0$.

	première coordonnée	seconde coordonnée
$\Vect{u}$	$x$	$y$
$\Vect{v}$	$x' = kx$	$y' = ky$

Preuve

(1) $\Rightarrow$ (2). Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires et non nuls, alors par définition il existe un réel $k'$ tel que $\Vect{u} = k'\,\Vect{v}$ ; comme $\Vect{u} \neq \Vect{0}$, $k' \neq 0$, et $\Vect{v} = \dfrac{1}{k'}\Vect{u} = k\,\Vect{u}$ avec $k = \dfrac{1}{k'}$. Les coordonnées de $k\,\Vect{u}$ sont $kx$ et $ky$, donc $x' = kx$ et $y' = ky$.
(2) $\Rightarrow$ (1). Si $x' = kx$ et $y' = ky$, alors $\Vect{v}$ et $k\,\Vect{u}$ ont les mêmes coordonnées : $\Vect{v} = k\,\Vect{u}$. Comme $\Vect{v} \neq \Vect{0}$, $k \neq 0$ et $\Vect{u} = \dfrac{1}{k}\Vect{v}$ : les vecteurs sont colinéaires.
(2) $\Rightarrow$ (3). Si $x' = kx$ et $y' = ky$, alors $x\,y' = x \cdot ky = y \cdot kx = y\,x'$ : les produits en croix sont égaux.
(3) $\Rightarrow$ (2). On suppose $x\,y' = y\,x'$. Comme $\Vect{u} \neq \Vect{0}$, l'une de ses coordonnées n'est pas nulle.
- Si $x \neq 0$, on pose $k = \dfrac{x'}{x}$ : alors $x' = kx$, et $y' = \dfrac{x\,y'}{x} = \dfrac{y\,x'}{x} = ky$.
- Si $x = 0$, alors $y \neq 0$, et l'égalité donne $y\,x' = 0$, donc $x' = 0$ ; on pose $k = \dfrac{y'}{y}$ : alors $x' = 0 = kx$ et $y' = ky$.
Dans les deux cas les coordonnées sont proportionnelles. (L'égalité $x\,y' = y\,x'$ est le critère $\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) = 0$ de la Proposition « Colinéarité et déterminant », lu sur les produits en croix.)

Exemple

Dans chaque cas, décider si les deux vecteurs sont colinéaires en comparant les produits en croix, puis donner le coefficient $k$ tel que $\Vect{v} = k\,\Vect{u}$ lorsqu'ils le sont.

$\Vect{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix}$ ;
$\Vect{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix}$ ;
$\Vect{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\Vect{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}$.

Correction

Produits en croix : $x\,y' = 6 \times 6 = 36$ et $y\,x' = (-4) \times (-9) = 36$. Ils sont égaux : les vecteurs sont colinéaires. Le coefficient est $k = \dfrac{x'}{x} = \dfrac{-9}{6} = -\dfrac{3}{2}$, et on a bien $-\dfrac{3}{2} \times (-4) = 6 = y'$ : $\Vect{v} = -\dfrac{3}{2}\Vect{u}$.
Produits en croix : $0 \times (-5) = 0$ et $3 \times 0 = 0$ : égaux, les vecteurs sont colinéaires (tous deux verticaux). Ici $k$ ne se lit pas sur les premières coordonnées ($\dfrac{0}{0}$ n'est pas un nombre) : il se lit sur les secondes, $k = \dfrac{-5}{3}$, et $\Vect{v} = -\dfrac{5}{3}\Vect{u}$. Les produits en croix décident même quand une coordonnée est nulle.
Produits en croix : $2 \times 9 = 18$ et $5 \times 4 = 20$. Ils diffèrent : les vecteurs ne sont pas colinéaires. (De façon équivalente, $\det(\Vect{u},\,\Vect{v}) = 18 - 20 = -2 \neq 0$.)

Compétences à pratiquer

Tester la colinéarité par la proportionnalité des coordonnées

III.3 Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires

Proposition — Décomposition selon deux vecteurs non colinéaires

Soient $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ deux vecteurs non colinéaires du plan (aucun n'est nul, et ils n'ont pas la même direction). Tout vecteur $\Vect{w}$ du plan s'écrit de façon unique sous la forme $$\textcolor{colorprop}{\Vect{w} = a\,\Vect{u} + b\,\Vect{v}}, \qquad a \text{ et } b \text{ réels.}$$ Le couple $(\Vect{u},\,\Vect{v})$ est une base du plan et $(a\,;\,b)$ sont les coordonnées de $\Vect{w}$ dans cette base. La base orthonormée $(\Vect{i},\,\Vect{j})$ et l'écriture $\Vect{w} = x\,\Vect{i} + y\,\Vect{j}$ sont le cas particulier où les deux vecteurs sont perpendiculaires et de longueur $1$.

Preuve

Existence. On trace des représentants de même origine $O$ : $\Vect{u} = \Vect{OA}$, $\Vect{v} = \Vect{OB}$ et $\Vect{w} = \Vect{OM}$. Les droites $\LineFr{OA}$ et $\LineFr{OB}$ sont sécantes en $O$, puisque $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ n'ont pas la même direction. Si $M$ est sur la droite $\LineFr{OA}$, alors $\Vect{OM}$ est colinéaire à $\Vect{OA} \neq \Vect{0}$, donc $\Vect{OM} = a\,\Vect{u}$ pour un réel $a$, et $\Vect{w} = a\,\Vect{u} + 0\,\Vect{v}$ ; de même, si $M$ est sur $\LineFr{OB}$, alors $\Vect{w} = 0\,\Vect{u} + b\,\Vect{v}$ (et $\Vect{w} = 0\,\Vect{u} + 0\,\Vect{v}$ quand $M = O$). Sinon, la parallèle à $\LineFr{OB}$ passant par $M$ coupe $\LineFr{OA}$ en un point $P$, et la parallèle à $\LineFr{OA}$ passant par $M$ coupe $\LineFr{OB}$ en un point $Q$ : $OPMQ$ est un parallélogramme, donc $\Vect{PM} = \Vect{OQ}$ (critère du parallélogramme), et $\Vect{OM} = \Vect{OP} + \Vect{PM} = \Vect{OP} + \Vect{OQ}$ (relation de Chasles). Or $P$ est sur la droite $\LineFr{OA}$, donc $\Vect{OP} = a\,\Vect{u}$ pour un réel $a$ ; de même $\Vect{OQ} = b\,\Vect{v}$. D'où $\Vect{w} = a\,\Vect{u} + b\,\Vect{v}$.
Unicité. On suppose $\Vect{w} = a\,\Vect{u} + b\,\Vect{v} = a'\,\Vect{u} + b'\,\Vect{v}$. Alors $(a - a')\,\Vect{u} = (b' - b)\,\Vect{v}$. Si $a \neq a'$, en divisant par $a - a'$ on obtient $\Vect{u} = \dfrac{b' - b}{a - a'}\,\Vect{v}$ : les vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ seraient colinéaires, ce qui est exclu. Donc $a = a'$, et alors $(b' - b)\,\Vect{v} = \Vect{0}$ avec $\Vect{v} \neq \Vect{0}$ impose $b' = b$.

Méthode — Exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires

Dans une figure, deux vecteurs non colinéaires — typiquement deux côtés d'un triangle ou d'un parallélogramme issus du même sommet — servent de base : tout vecteur de la figure est une combinaison des deux ; comparer deux telles combinaisons démontre des alignements et des parallélismes.

Choisir les deux vecteurs de référence, par exemple $\Vect{AB}$ et $\Vect{AD}$ issus du sommet $A$, puis vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires.
Aller de l'origine à l'extrémité du vecteur cherché en passant par des points connus, avec la relation de Chasles : $\Vect{AI} = \Vect{AB} + \Vect{BI}$.
Remplacer chaque étape par son expression : un côté du parallélogramme ($\Vect{BC} = \Vect{AD}$), un milieu ($\Vect{BI} = \dfrac{1}{2}\Vect{BC}$), un multiple donné ($\Vect{AE} = \dfrac{2}{3}\Vect{AB}$), un opposé ($\Vect{DA} = -\Vect{AD}$).
Regrouper les termes en $\Vect{AB}$ et en $\Vect{AD}$ : le résultat est $a\,\Vect{AB} + b\,\Vect{AD}$, et il est unique.

Exemple

Sur le quadrillage, les vecteurs $\Vect{u}$, $\Vect{v}$ et $\Vect{w}$ sont tracés. Écrire $\Vect{w}$ comme combinaison de $\Vect{u}$ et de $\Vect{v}$, puis contrôler avec les coordonnées.

Correction

Lecture du quadrillage : $\Vect{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\Vect{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\Vect{w}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ ; $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ ne sont pas colinéaires ($2 \times 2 \neq 1 \times (-1)$). Depuis l'origine de $\Vect{w}$, avancer de $3$ fois $\Vect{u}$ mène $6$ à droite et $3$ en haut ; le déplacement restant jusqu'à l'extrémité de $\Vect{w}$ est $2$ à gauche et $4$ en haut, c'est-à-dire $2\,\Vect{v}$ : $$\Vect{w} = 3\,\Vect{u} + 2\,\Vect{v}.$$

Contrôle avec les coordonnées : $3\,\Vect{u} + 2\,\Vect{v} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 + 2 \times (-1) \\ 3 \times 1 + 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 2 \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} = \Vect{w}$. Les coordonnées de $\Vect{w}$ dans la base $(\Vect{u},\,\Vect{v})$ sont $(3\,;\,2)$.

Exemple

$ABCD$ est un parallélogramme et $I$ est le milieu de $\SegmentFr{BC}$. Exprimer les vecteurs $\Vect{AI}$ et $\Vect{DI}$ en fonction de $\Vect{AB}$ et $\Vect{AD}$.

Correction

Les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{AD}$ ne sont pas colinéaires (les côtés d'un parallélogramme issus de $A$ ne sont pas sur la même droite), donc ils peuvent servir de base. Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\Vect{BC} = \Vect{AD}$ ; comme $I$ est le milieu de $\SegmentFr{BC}$, $\Vect{BI} = \dfrac{1}{2}\Vect{BC}$. $$\begin{aligned} \Vect{AI} &= \Vect{AB} + \Vect{BI} && \text{(relation de Chasles par $B$)} \\ &= \Vect{AB} + \dfrac{1}{2}\Vect{BC} && \text{($I$ milieu de $\SegmentFr{BC}$)} \\ &= \Vect{AB} + \dfrac{1}{2}\Vect{AD}. && \text{($\Vect{BC} = \Vect{AD}$)} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \Vect{DI} &= \Vect{DA} + \Vect{AI} && \text{(relation de Chasles par $A$)} \\ &= -\Vect{AD} + \Vect{AB} + \dfrac{1}{2}\Vect{AD} && \text{(opposé ; expression de $\Vect{AI}$)} \\ &= \Vect{AB} - \dfrac{1}{2}\Vect{AD}. && \text{(regroupement des termes en $\Vect{AD}$)} \end{aligned}$$ Les coordonnées de $\Vect{AI}$ et de $\Vect{DI}$ dans la base $(\Vect{AB},\,\Vect{AD})$ sont $\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$ et $\left(1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$.

Compétences à pratiquer

Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

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	première coordonnée	seconde coordonnée
\(\Vect{u}\)	\(x\)	\(y\)
\(\Vect{v}\)	\(x' = kx\)	\(y' = ky\)