Éducation Nationale Française · Seconde
Intervalles et inéquations
I
Les intervalles de la droite réelle
I.1
Les intervalles et la notation infini
Définition — Intervalle
Un intervalle est l’ensemble de tous les nombres réels situés entre deux bornes, qui peuvent ou non être incluses dans l’ensemble, ou l’ensemble de tous les nombres réels situés au-delà d’une borne (sans fin, jusqu’à \(+\infty\) ou \(-\infty\)), ou l’ensemble \(\R\) de tous les nombres réels. Exemple
L’ensemble de tous les nombres réels entre \(0\) et \(1\), incluant \(1\) mais pas \(0\), est un intervalle. Il s’écrit \(\{x \in \R \mid 0 < x \leq 1\}\). Méthode — Représentation des intervalles sur une droite numérique
Les intervalles sont souvent représentés sur une droite numérique selon ces conventions : - Un point ouvert (cercle vide) ou un crochet ouvert vers l'extérieur signifie que la borne n’est pas incluse.
- Un point fermé (cercle plein) ou un crochet fermé vers l'intérieur signifie que la borne est incluse.
- Une flèche indique que l’intervalle s’étend jusqu’à \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Exemple
La représentation sur une droite numérique de \(\{x \in \R \mid 0 < x \leq 1\}\) est : 
Définition — Notation des intervalles
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a < b\). | Notation des intervalles | Notation par compréhension | Représentation sur la droite numérique |
| \([ a \,;\, b ]\) | \(\{x \in \R \mid a \leq x \leq b\}\) |  |
| \([ a \,;\, b [\) | \(\{x \in \R \mid a \leq x < b\}\) |  |
| \(] a \,;\, b ]\) | \(\{x \in \R \mid a < x \leq b\}\) |  |
| \(] a \,;\, b [\) | \(\{x \in \R \mid a < x < b\}\) |  |
| \([ a \,;\, +\infty [\) | \(\{x \in \R \mid a \leq x\}\) |  |
| \(] a \,;\, +\infty [\) | \(\{x \in \R \mid a < x\}\) |  |
| \(] -\infty \,;\, a ]\) | \(\{x \in \R \mid x \leq a\}\) |  |
| \(] -\infty \,;\, a [\) | \(\{x \in \R \mid x < a\}\) |  |
L'infini n'est pas un nombre
Les symboles \(-\infty\) et \(+\infty\) ne sont pas des nombres réels : ils indiquent seulement que l'intervalle se poursuit sans fin. C'est pourquoi le crochet du côté de \(\infty\) est toujours ouvert : on écrit \([2\,;\,+\infty[\), jamais \([2\,;\,+\infty]\).
Compétences à pratiquer
- Écrire des ensembles en notation d'intervalle
- Tester l'appartenance à un intervalle
I.2
Réunion et intersection de deux ensembles
Définition — Intersection
L’intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cap B\), est l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B\). Exemple
Quelle est l’intersection \(\{1, 2, 3\} \cap \{2, 3, 4\}\) ?
Pour l’intersection \(\cap\), on inclut tous les éléments communs : \(\textcolor{colorprop}{2}\) et \(\textcolor{olive}{3}\). Donc $$\{\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3}\} \cap \{ \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\} = \{\textcolor{colorprop}{2},\textcolor{olive}{3}\}$$
Définition — Réunion
La réunion de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cup B\), est l’ensemble de tous les éléments dans \(A\) ou dans \(B\) (ou dans les deux). Exemple
Quelle est la réunion \(\{1, 2, 3\} \cup \{2, 3, 4\}\) ?
Pour la réunion \(\cup\), on inclut tous les éléments des deux ensembles sans répétition : \(\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\). Donc, $$\{\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3}\} \cup \{ \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\} = \{\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\}$$
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'intersection ou la réunion de deux ensembles
I.3
Réunion et intersection de deux intervalles
Méthode — Réunion et intersection de deux intervalles
Pour combiner deux intervalles, les représenter sur la même droite graduée, l'un au-dessus de l'autre. - L'intersection \(I \cap J\) est la zone couverte par les deux coloriages — là où les intervalles se chevauchent. Elle peut être vide.
- La réunion \(I \cup J\) est la zone couverte par au moins un coloriage. S’il reste un trou entre les deux zones — elles ne se chevauchent pas et n’ont pas de borne commune incluse dans l’une d’elles, comme dans \(\left[0\,;\,1\right[ \cup \left]1\,;\,2\right]\) — la réunion n’est pas un intervalle et reste écrite avec le symbole \(\cup\).
Exemple
Soit \(I = [-1\,;\,4]\) et \(J = \left]2\,;\,+\infty\right[\). Déterminer \(I \cap J\) et \(I \cup J\). 
Sur la droite graduée, les deux intervalles se chevauchent entre \(2\) et \(4\).
- \(I \cap J = \left]2\,;\,4\right]\) : la borne \(2\) est exclue (\(2 \notin J\)), la borne \(4\) est incluse (\(4 \in I\) et \(4 \in J\)).
- \(I \cup J = [-1\,;\,+\infty[\) : les deux zones réunies couvrent tout à partir de \(-1\), sans trou.
Compétences à pratiquer
- Combiner des intervalles avec la réunion et l'intersection
II
Les inéquations du premier degré
II.1
Comparer deux nombres par la différence ou par le rapport
Méthode — Comparer deux nombres par leur différence ou par leur rapport
Pour comparer deux nombres \(a\) et \(b\) sans les placer sur une droite graduée, on dispose de deux outils. - Par la différence (comparaison additive) : calculer \(a - b\) et déterminer son signe. $$a - b > 0 \iff a > b, \qquad a - b = 0 \iff a = b, \qquad a - b < 0 \iff a < b.$$ La différence dit de combien en plus : \(a = b + (a - b)\).
- Par le rapport (comparaison multiplicative), lorsque \(a\) et \(b\) sont strictement positifs : calculer \(\dfrac{a}{b}\) et le comparer à \(1\). $$\frac{a}{b} > 1 \iff a > b, \qquad \frac{a}{b} = 1 \iff a = b, \qquad \frac{a}{b} < 1 \iff a < b.$$ Le rapport dit combien de fois l'un vaut l'autre : \(a = b \times \dfrac{a}{b}\).
Exemple
- Comparer \(\dfrac{3}{7}\) et \(\dfrac{2}{5}\) par leur différence.
- Comparer \(2\sqrt{2}\) et \(3\) par leur rapport.
- Une ville compte \(120\,000\) habitants, une autre \(80\,000\). Comparer les deux populations de façon additive, puis multiplicative.
- \(\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{35} - \dfrac{14}{35} = \dfrac{1}{35} > 0\), donc \(\dfrac{3}{7} > \dfrac{2}{5}\) : la première fraction dépasse la seconde de \(\dfrac{1}{35}\).
- Les deux nombres sont strictement positifs. \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{4} \times \sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\), et \(8 < 9\) donne \(\sqrt{8} < \sqrt{9}\) (la fonction racine carrée est croissante), donc le rapport est inférieur à \(1\) : \(2\sqrt{2} < 3\).
- De façon additive : \(120\,000 - 80\,000 = 40\,000 > 0\) ; la première ville a \(40\,000\) habitants de plus. De façon multiplicative : \(\dfrac{120\,000}{80\,000} = 1{,}5 > 1\) ; la première ville compte \(1{,}5\) fois la population de la seconde, soit \(50\pourcent\) de plus. Les deux comparaisons décrivent la même situation : une variation additive de \(+40\,000\), une variation multiplicative de facteur \(1{,}5\).
Compétences à pratiquer
- Comparer deux nombres par la différence ou par le rapport
II.2
Qu'est-ce qu'une inéquation ?
Définition — Inéquation
Une inéquation est une affirmation qui compare deux expressions en utilisant l'un des symboles suivants : - \(<\) (inférieur à)
- \(>\) (supérieur à)
- \(\leq\) (inférieur ou égal à)
- \(\geq\) (supérieur ou égal à)
Exemple
Le nombre \(2\) est-il solution de l'inéquation \(3x - 1 < 5\) ? De l'inéquation \(3x - 1 \leq 5\) ?Pour \(x = 2\) : \(3 \times 2 - 1 = 5\). L'affirmation \(5 < 5\) est fausse : \(2\) n'est pas solution de \(3x - 1 < 5\) ; avec un signe strict, l'égalité ne suffit pas. L'affirmation \(5 \leq 5\) est vraie : \(2\) est solution de \(3x - 1 \leq 5\) ; avec un signe large, l'égalité suffit.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les inéquations
II.3
Résoudre une inéquation
Méthode — Règles pour la résolution d'inéquations
La résolution d'inéquations est presque identique à la résolution d'équations. On peut effectuer la même opération sur les deux membres pour isoler l'inconnue, à une exception cruciale près. - Ajouter un nombre quelconque aux deux membres, ou le soustraire des deux membres, conserve le sens de l'inégalité.
- Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement positif conserve le sens de l'inégalité.
- Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif inverse le sens du symbole d'inégalité. Par exemple, \(<\) devient \(>\).
Exemple
Résoudre l'inéquation \(8 - 2x < 12\).
$$\begin{aligned} 8 - 2x &< 12 \\
8 - 2x - 8 &< 12 - 8 && \text{(On soustrait 8 des deux membres ; le sens de l'inégalité est conservé)} \\
-2x &< 4 && \\
\frac{-2x}{-2} &> \frac{4}{-2} && \text{(On divise par \(-2\) ; on change le sens de l'inégalité)}\\
x &> -2 && \end{aligned} $$ La solution est l'ensemble de tous les réels supérieurs à \(-2\). En notation d'intervalle : \(x \in ]-2 ; +\infty[\).
Compétences à pratiquer
- Trouver l'ensemble des solutions
- Résoudre des inéquations
- Résoudre des inéquations : niveau 2
II.4
Les encadrements
Définition — Encadrement
Un encadrement tel que \(a < E \le b\) énonce deux conditions à la fois : \(a < E\) et \(E \le b\). Une valeur est solution lorsqu'elle vérifie les deux conditions. Méthode — Résoudre un encadrement
Opérer sur les trois membres à la fois, exactement comme sur les deux membres d'une inéquation simple : - ajouter ou soustraire un nombre préserve les deux symboles ;
- multiplier ou diviser par un nombre strictement positif préserve les deux symboles ;
- multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif inverse les deux symboles — et les deux bornes échangent leurs rôles.
Exemple
Résoudre \(-3 \le 2x + 1 < 7\). $$\begin{aligned}[t] -3 &\le 2x + 1 < 7 \\
-4 &\le 2x < 6 && \text{(on soustrait 1 des trois membres)} \\
-2 &\le x < 3. && \text{(on divise les trois membres par 2)} \end{aligned}$$ L'ensemble des solutions est l'intervalle \([-2 \; ; 3[\). Exemple
Résoudre \(1 < 3 - 2x \le 5\). $$\begin{aligned}[t] 1 &< 3 - 2x \le 5 \\
-2 &< -2x \le 2 && \text{(on soustrait 3 des trois membres)} \\
1 &> x \ge -1 && \text{(on divise par \(-2\) : les deux symboles s'inversent)} \\
-1 &\le x < 1. && \text{(on réécrit dans l'ordre croissant)} \end{aligned}$$ L'ensemble des solutions est \([-1 \; ; 1[\). Remarque : les deux symboles d'inégalité se sont inversés, et le symbole strict a suivi la borne à laquelle il appartenait. Compétences à pratiquer
- Résoudre des encadrements
III
La valeur absolue
III.1
Valeur absolue et distance
Définition — Valeur absolue d'un réel
La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(|x|\), est la distance de \(x\) à 0 sur la droite numérique.$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\
-x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$ Exemple
\(|5| = 5\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|\pi - 4| = 4 - \pi\) (car \(\pi \approx 3{,}14 < 4\)). Définition — Distance entre deux réels
La distance entre deux nombres réels \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est donnée par \(|b-a|\) (qui est égale à \(|a-b|\)). Exemple
La distance entre \(-2\) et \(3\) est \(|3 - (-2)| = |5| = 5\). Compétences à pratiquer
- Calculer avec la valeur absolue
- Calculer avec la distance entre deux réels
III.2
Les intervalles centrés
Proposition — Distance à un centre
Soit \(a\) et \(r\) deux nombres réels avec \(r > 0\). Le nombre \(|x - a|\) est la distance de \(x\) au centre \(a\), donc : - \(|x - a| = r\) équivaut à \(x = a - r\) ou \(x = a + r\) ;
- \(|x - a| \leq r\) équivaut à \(x \in [a - r\,;\,a + r]\) ;
- \(|x - a| < r\) équivaut à \(x \in \left]a - r\,;\,a + r\right[\).
Exemple
\(|x-3| \leq 2\) signifie que la distance de \(x\) à 3 est inférieure ou égale à 2. Cela correspond à l'intervalle \([3-2\,;\,3+2] = [1\,;\,5]\). Compétences à pratiquer
- Traduire un intervalle centré
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes sur les inéquations et les encadrements
- Raisonner et résoudre
- Problèmes sur les intervalles et la valeur absolue
- Quiz
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