Éducation Nationale Française · Seconde

Le langage des ensembles

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I Les ensembles

I.1 Ensembles et appartenance

Définition — Ensemble

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments.
On liste ses éléments entre des accolades, chacun une seule fois et dans n'importe quel ordre : $\{3, 8, 9\} = \{9, 3, 8\}$.

Exemple

Lister les éléments de l’ensemble $E$, qui inclut toutes les issues possibles lorsque l'on lance un dé standard

Correction

$E=\{1,2,3,4,5,6\}=\{$

$\}$.

Définition — Élément

Un élément est un objet appartenant à un ensemble.
$\in$ signifie « est un élément de » ou « appartient à ».
$\notin$ signifie « n'est pas un élément de » ou « n'appartient pas à ».

Exemple

$2\in \{1,2,3,4,5,6\}$ et $7\notin \{1,2,3,4,5,6\}$.

Définition — Ensembles égaux

Deux ensembles sont égaux s'ils possèdent exactement les mêmes éléments.

Exemple

Déterminer si les ensembles $\{2,6,4\}$ et $\{2,4,6\}$ sont égaux.

Correction

Oui, les ensembles $\{2,6,4\}$ et $\{2,4,6\}$ sont égaux car ils contiennent les mêmes éléments : $2$, $4$ et $6$.

Définition — Ensemble vide

L'ensemble vide est un ensemble sans aucun élément. Il est noté $\{\}$ ou $\emptyset$.

Compétences à pratiquer

Identifier des ensembles

I.2 Les entiers naturels

Définition — Nombres naturels

L’ensemble des nombres naturels, noté $\N$, est l’ensemble des nombres utilisés pour compter, commençant par zéro :$$\N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$$

Compétences à pratiquer

Vérifier l'appartenance

I.3 L'inclusion

Définition — Sous-ensemble

Un ensemble $A$ est un sous-ensemble d’un ensemble $B$ si chaque élément de $A$ est aussi dans $B$. On note $A \subseteq B$. On écrit aussi $A \subset B$, comme pour l'emboîtement des ensembles de nombres.

Si au moins un élément de $A$ n'est pas dans $B$, alors $A$ n'est pas un sous-ensemble de $B$, et on note $A \not\subseteq B$.
Tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même : $A \subseteq A$.
L'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble : il n'a aucun élément en dehors de $A$, donc $\emptyset \subseteq A$.

Exemple

Soit $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{2, 4, 6\}$ et $C = \{2, 7\}$. $A$ est-il un sous-ensemble de $B$ ? $C$ est-il un sous-ensemble de $B$ ?

Correction

On vérifie chaque élément : $2$, $4$ et $6$ de $A$ sont tous dans $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Puisque chaque élément de $A$ est dans $B$, $A \subseteq B$.
Dans $C$, l'élément $2$ est dans $B$, mais l'élément $7$ n'y est pas. Un seul élément en dehors de $B$ suffit : $C \not\subseteq B$.

Compétences à pratiquer

Déterminer des inclusions

I.4 La notation en compréhension

Définition — Notation par compréhension

La notation par compréhension est une manière de décrire un ensemble en donnant une règle que ses éléments doivent respecter. Elle s’écrit ainsi :$$\{x \in E \mid \text{condition sur } x\}$$ Dans cette notation, $x$ représente un élément d’un ensemble $E$, et le symbole $\mid$ (ou parfois $:$) sépare $x$ de la condition qu’il doit remplir.
Elle se lit : « l’ensemble de tous les $x$ dans $E$ tels que $x$ satisfait la condition. »

Exemple

Soit $E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ l’ensemble des résultats possibles en lançant un dé standard à six faces

.
Quels sont les éléments de l’ensemble $\{x \in E \mid x \text{ est pair}\}$ ?

Correction

L’ensemble $\{x \in E \mid x \text{ est pair}\}$ contient tous les nombres pairs dans $E$. Étant donné $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, les nombres pairs sont $2$, $4$ et $6$, donc :$$\{x \in E \mid x \text{ est pair}\} = \{2, 4, 6\}$$

Compétences à pratiquer

Lire la notation en compréhension

II Couples et produit cartésien

II.1 Les couples

Définition — Couple ordonné/n-uplet

Un couple ordonné, noté $(a, b)$, est une collection de deux éléments où l'un est désigné comme le premier élément ($a$) et l'autre comme le second élément ($b$). Deux couples ordonnés $(a, b)$ et $(c, d)$ sont égaux si et seulement si $a=c$ et $b=d$.
Plus généralement, un n-uplet, noté $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, est une suite finie de $n$ éléments. Deux n-uplets $(a_1, \dots, a_n)$ et $(b_1, \dots, b_n)$ sont égaux si et seulement si leurs éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire $a_i = b_i$ pour tout $i=1, \dots, n$.

Exemple

Dans une course de relais, deux coureurs forment une équipe. Soient $L$ Louis et $H$ Hugo..
Le couple ordonné $(L, H)$ signifie que Louis court en premier et passe le témoin à Hugo.
Le couple ordonné $(H, L)$ signifie qu'Hugo court en premier et passe le témoin à Louis.
Ce sont deux ordres différents.

Compétences à pratiquer

Comparer les couples et les ensembles

II.2 Le cardinal

Définition — Cardinal

Le cardinal, noté $\Cardfr{A}$, représente le nombre d'éléments de l'ensemble $A$.

Exemple

$\Cardfr{\{1,2,3,4,5,6\}}=6$

Compétences à pratiquer

Déterminer le cardinal d'un ensemble

II.3 Le produit cartésien

Définition — Produit cartésien

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. Le produit cartésien de $A$ et $B$, noté $A \times B$, est l'ensemble de tous les couples $(a\ ;\ b)$ dont le premier élément appartient à $A$ et le second à $B$ : $$A \times B = \{(a\ ;\ b) \text{ avec } a \in A \text{ et } b \in B\}.$$ L'ordre compte : $A \times B$ et $B \times A$ sont en général des ensembles différents. Le produit $A \times A$ se note aussi $A^2$ ; par exemple $\mathbb{R}^2$ est l'ensemble des couples de réels — les coordonnées des points d'un plan muni d'un repère.

Proposition — Cardinal d'un produit cartésien

Si $A$ et $B$ sont des ensembles finis, alors $$\textcolor{colorprop}{\Cardfr{A \times B} = \Cardfr{A} \times \Cardfr{B}}.$$ Compter les couples, c'est multiplier : c'est la règle derrière le nombre d'issues d'une expérience aléatoire à deux épreuves (un dé puis une pièce, deux dés), le nombre de menus faits d'une entrée et d'un plat, et tout tableau d'issues — pourvu que tout couple soit possible, c'est-à-dire que le second choix ne dépende pas du premier.

Preuve

On range les couples dans un tableau : une ligne pour chaque élément $a$ de $A$, une colonne pour chaque élément $b$ de $B$, et le couple $(a\ ;\ b)$ dans la case de la ligne $a$ et de la colonne $b$. Chaque couple de $A \times B$ apparaît exactement une fois, et le tableau a $\Cardfr{A}$ lignes de $\Cardfr{B}$ cases chacune : il contient $\Cardfr{A} \times \Cardfr{B}$ couples.

Exemple

Soient $A = \{1\ ;\ 2\ ;\ 3\}$ et $B = \{P\ ;\ F\}$ (les deux faces d'une pièce). Lister les éléments de $A \times B$ dans un tableau et donner $\Cardfr{A \times B}$.
Un restaurant propose $3$ entrées et $4$ plats. Combien de menus différents (une entrée, un plat) peut-on composer ?

Correction

$P$ $F$

$1$ $(1\ ;\ P)$ $(1\ ;\ F)$

$2$ $(2\ ;\ P)$ $(2\ ;\ F)$

$3$ $(3\ ;\ P)$ $(3\ ;\ F)$

$A \times B = \{(1\ ;\ P),\ (1\ ;\ F),\ (2\ ;\ P),\ (2\ ;\ F),\ (3\ ;\ P),\ (3\ ;\ F)\}$ et $\Cardfr{A \times B} = 3 \times 2 = 6$. Ces six couples sont les issues de l'expérience « choisir un nombre de $1$ à $3$, puis lancer une pièce ».
Un menu est un couple (entrée, plat) : un élément de $E \times M$ avec $\Cardfr{E} = 3$ et $\Cardfr{M} = 4$. Il y a $3 \times 4 = 12$ menus.

Compétences à pratiquer

Calculer avec le produit cartésien

III La logique

III.1 Propositions et implication

« S'il pleut, alors le sol est mouillé. » La langue de tous les jours est pleine de phrases construites sur si … alors …, et les mathématiques aussi : tout théorème dit que si des hypothèses sont vérifiées, alors une conclusion en découle. Ce chapitre regarde ces phrases pour elles-mêmes. Quand une phrase « si … alors … » est-elle vraie, et comment montrer qu'elle est fausse ? Que se passe-t-il quand on la lit à l'envers ? Et quelle autre phrase dit exactement la même chose ? Trois mots répondent à ces questions : implication, réciproque, contraposée.

Signaler une erreur

Définition — Proposition

Une proposition est une phrase qui est soit vraie, soit fausse. Quand la phrase contient une variable, elle peut être vraie pour certaines valeurs de la variable et fausse pour d'autres.

Exemple

« $7$ est un nombre premier » est une proposition vraie ; « $2 + 2 = 5$ » est une proposition fausse ; « Résoudre l'équation » n'est pas une proposition (c'est une consigne, ni vraie ni fausse). La proposition « $x^2 = 9$ » contient une variable : elle est vraie pour $x = 3$ et pour $x = -3$, et fausse pour tout autre réel.

Définition — Implication

Soient $P$ et $Q$ deux propositions. L'implication « si $P$, alors $Q$ », notée $P \Rightarrow Q$, affirme que chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ est vraie aussi. $P$ est l'hypothèse et $Q$ est la conclusion.
Quand $P$ et $Q$ contiennent une variable, l'implication est une affirmation sur toutes les valeurs de la variable (« pour tout réel $x$, si $x > 3$, alors $x > 1$ »). L'implication ne dit rien des cas où $P$ est fausse. Elle est fausse exactement lorsqu'il existe un cas où $P$ est vraie et $Q$ est fausse : un tel cas est un contre-exemple.

Méthode — Décider si une implication est vraie

Repérer l'hypothèse $P$ et la conclusion $Q$, même quand la phrase cache le mot « si » (« un multiple de $10$ est pair » signifie « si un nombre est un multiple de $10$, alors il est pair »).
Pour montrer que l'implication est fausse, un contre-exemple suffit : un seul cas où $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
Pour montrer que l'implication est vraie, des exemples ne suffisent pas : une démonstration doit couvrir tous les cas où $P$ est vraie.

Exemple

Pour un réel $x$, décider si chaque implication est vraie.

Si $x > 3$, alors $x > 1$.
Si $x^2 = 4$, alors $x = 2$.

Correction

Vraie. Soit $x$ un réel quelconque tel que $x > 3$. Comme $3 > 1$, on obtient $x > 3 > 1$, donc $x > 1$ : la conclusion est vérifiée dans tous les cas où l'hypothèse l'est. (L'implication ne dit rien d'un nombre comme $x = 2$, pour lequel l'hypothèse est fausse.)
Fausse. Contre-exemple : $x = -2$. L'hypothèse est vraie, puisque $(-2)^2 = 4$, et la conclusion est fausse, puisque $-2 \neq 2$. Un seul contre-exemple suffit.

Compétences à pratiquer

Repérer l'hypothèse et la conclusion
Vrai ou faux : le contre-exemple

III.2 Réciproque et équivalence

Définition — Réciproque

La réciproque de l'implication « si $P$, alors $Q$ » est l'implication « si $Q$, alors $P$ » : l'hypothèse et la conclusion sont échangées. Une implication et sa réciproque sont deux propositions différentes : l'une peut être vraie et l'autre fausse.

Exemple

Écrire la réciproque de chaque implication et décider si la réciproque est vraie.

Si un quadrilatère est un carré, alors c'est un rectangle.
Si $x = 2$, alors $x^2 = 4$.

Correction

Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré ». Elle est fausse : un rectangle de côtés $2$ et $3$ est un contre-exemple. L'implication, elle, est vraie (un carré a quatre angles droits).
Réciproque : « si $x^2 = 4$, alors $x = 2$ ». Elle est fausse : $x = -2$ est un contre-exemple. L'implication, elle, est vraie, puisque $2^2 = 4$.

Dans les deux cas l'implication est vraie et sa réciproque est fausse : lire une implication à l'envers donne un autre énoncé, qui demande sa propre démonstration.

Définition — Équivalence

Lorsque l'implication « si $P$, alors $Q$ » et sa réciproque « si $Q$, alors $P$ » sont toutes deux vraies, les propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes. On écrit $P \Leftrightarrow Q$ et on dit « $P$ si et seulement si $Q$ » : $P$ et $Q$ sont vraies exactement dans les mêmes cas.

Exemple

Pour un réel $x$ : « $2x + 1 = 7$ » et « $x = 3$ » sont-elles équivalentes ?
Pour un triangle $ABC$ : « $ABC$ est rectangle en $A$ » et « $BC^2 = AB^2 + AC^2$ » sont-elles équivalentes ?

Correction

Oui. Si $2x + 1 = 7$, alors $2x = 6$ et $x = 3$ ; réciproquement, si $x = 3$, alors $2x + 1 = 7$. Les deux implications sont vraies : $2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3$. Une équation peut se résoudre par une chaîne de telles équivalences, pourvu que chaque étape soit réversible.
Oui. L'implication « si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ » est le théorème de Pythagore, et sa réciproque « si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ est rectangle en $A$ » est aussi un théorème. Les deux propositions sont équivalentes : $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Compétences à pratiquer

Écrire la réciproque
Implication ou équivalence ?

III.3 Contraposée

Définition — Contraposée

La contraposée de l'implication « si $P$, alors $Q$ » est l'implication « si $Q$ est fausse, alors $P$ est fausse », c'est-à-dire « si non $Q$, alors non $P$ » : l'hypothèse et la conclusion sont échangées et toutes deux niées.

Proposition — Une implication et sa contraposée

Une implication et sa contraposée sont équivalentes : elles sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses. Elles disent la même chose de deux façons différentes.

Preuve

L'implication « si $P$, alors $Q$ » est fausse exactement lorsqu'il existe un cas où $P$ est vraie et $Q$ est fausse. La contraposée « si non $Q$, alors non $P$ » est fausse exactement lorsqu'il existe un cas où son hypothèse « non $Q$ » est vraie et sa conclusion « non $P$ » est fausse — c'est-à-dire un cas où $Q$ est fausse et $P$ est vraie. Ce sont les mêmes cas : un contre-exemple à l'une est un contre-exemple à l'autre. Les deux implications sont donc fausses ensemble, et par conséquent vraies ensemble.

Réciproque ou contraposée ?

Supposons vraie l'implication « s'il pleut, alors le sol est mouillé ».

Sa contraposée, « si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas », est alors vraie aussi : un sol sec prouve qu'il ne pleut pas.
Sa réciproque, « si le sol est mouillé, alors il pleut », ne peut pas en être déduite : le sol peut être mouillé parce que quelqu'un a arrosé le jardin.

La contraposée est la même information lue par l'autre bout ; la réciproque est une information nouvelle, qui peut être fausse.

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Méthode — Démontrer par contraposée

Pour démontrer « si $P$, alors $Q$ » quand une démonstration directe est malaisée :

Écrire la contraposée « si non $Q$, alors non $P$ », en soignant les négations (la négation de « $x > 3$ » est « $x \leq 3$ » ; la négation de « $n$ est pair » est « $n$ est impair »).
Démontrer la contraposée par une démonstration directe : supposer « non $Q$ » et en déduire « non $P$ ».
Conclure : comme une implication et sa contraposée sont équivalentes, « si $P$, alors $Q$ » est démontrée.

Exemple

Soit $n$ un entier. Démontrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Correction

Une démonstration directe partirait de « $n^2$ est pair », ce qui dit peu de chose sur $n$ lui-même. On démontre plutôt la contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ».
Supposons $n$ impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. Alors $$\begin{aligned} n^2 &= (2k + 1)^2 && \text{(substitution)} \\ &= 4k^2 + 4k + 1 && \text{(développement)} \\ &= 2(2k^2 + 2k) + 1. && \text{(mise en facteur de $2$)} \end{aligned}$$ Comme $2k^2 + 2k$ est un entier, $n^2$ est de la forme $2m + 1$ : il est impair. La contraposée est démontrée, donc l'implication « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair » est démontrée.

Compétences à pratiquer

Écrire la contraposée
Démontrer par contraposée

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

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\(2\)	\((2\ ;\ P)\)	\((2\ ;\ F)\)
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