Éducation Nationale Française · Seconde

Tableaux croisés

⌚ ~90 min ▢ 9 blocs ✓ 36 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Statistiques

I Croiser deux variables qualitatives

Un fichier de données décrit des individus — personnes, animaux, villes, voitures — par plusieurs caractères : espèce, région, profession, niveau de satisfaction. Croiser deux de ces caractères dans un même tableau répond à des questions qu'une simple liste ne permet pas : les membres d'un groupe se comportent-ils comme ceux d'un autre ? quel groupe fournit la plupart d'une catégorie donnée ? Le tableau croisé d'effectifs est le premier outil de l'analyse de données, et sa lecture attentive est ce qui empêche de confondre « la plupart des accidents avec blessés ont lieu en ville » et « un accident en ville est plus souvent grave ».

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Définition — Variable qualitative

Une variable qualitative décrit les individus d'une population par une catégorie, et non par un nombre. Ses valeurs possibles sont ses modalités. La variable est nominale quand les modalités n'ont pas d'ordre naturel (espèce, profession, département de résidence) et ordinale quand elles en ont un (niveau d'étude, degré de satisfaction, tranche d'âge).

Définition — Tableau croisé d'effectifs

Deux variables qualitatives sont observées sur une même population de $N$ individus. Le tableau croisé d'effectifs a une ligne par modalité de la première variable et une colonne par modalité de la seconde ; la case de la ligne $A$ et de la colonne $B$ contient l'effectif des individus qui ont à la fois les modalités $A$ et $B$, noté $n(A \cap B)$.

La dernière colonne contient les totaux des lignes : $n(A)$ est le nombre d'individus de la modalité $A$.
La dernière ligne contient les totaux des colonnes : $n(B)$ est le nombre d'individus de la modalité $B$.
La case en bas à droite contient l'effectif total $N$, qui est la somme des totaux des lignes et la somme des totaux des colonnes.

Exemple

Un jardinier relève l'espèce et l'état de santé des $12$ arbres d'un parc :

Arbre	1	2	3	4	5	6
Espèce	chêne	érable	chêne	tilleul	chêne	érable
Santé	sain	malade	sain	sain	malade	sain
Arbre	7	8	9	10	11	12
Espèce	tilleul	chêne	érable	chêne	tilleul	érable
Santé	sain	sain	malade	sain	sain	sain

Dresser le tableau croisé d'effectifs de l'espèce et de l'état de santé.

Correction

Les deux variables sont qualitatives : l'espèce (nominale, trois modalités) et la santé (nominale, deux modalités). Chaque arbre est compté dans exactement une case. Les chênes sont les arbres $1$, $3$, $5$, $8$, $10$ : quatre sains, un malade. Les érables sont $2$, $6$, $9$, $12$ : deux et deux. Les tilleuls sont $4$, $7$, $11$ : tous sains.

	Sain	Malade	Total
Chêne	$4$	$1$	$5$
Érable	$2$	$2$	$4$
Tilleul	$3$	$0$	$3$
Total	$9$	$3$	$12$

Contrôle : les totaux des lignes $5 + 4 + 3$ et les totaux des colonnes $9 + 3$ donnent tous deux les $12$ arbres.

Compétences à pratiquer

Reconnaître les variables qualitatives
Dresser un tableau croisé à partir d'une liste d'individus

II Fréquences marginales

Définition — Fréquence marginale

Dans un tableau croisé d'effectif total $N$, les totaux des lignes et des colonnes sont les effectifs marginaux : ils se lisent dans les marges du tableau. La fréquence marginale d'une modalité $A$ est la proportion de la population entière qui a cette modalité : $$\textcolor{colordef}{f(A) = \frac{n(A)}{N}}.$$ De même la fréquence d'une case est $\dfrac{n(A \cap B)}{N}$, la proportion de la population entière qui a les deux modalités. Les fréquences marginales des modalités d'une même variable ont pour somme $1$, c'est-à-dire $100\pourcent$.

Exemple

Les $200$ adhérents d'un club sportif sont répartis selon le genre et le sport pratiqué :

	Natation	Athlétisme	Total
Femmes	$72$	$48$	$120$
Hommes	$32$	$48$	$80$
Total	$104$	$96$	$200$

Calculer les fréquences marginales des deux variables.

Correction

Les effectifs marginaux sont les totaux des lignes et des colonnes ; chacun est divisé par $N = 200$ : $$\begin{aligned} f(\text{Femmes}) &= \frac{120}{200} = 0{,}6, & f(\text{Hommes}) &= \frac{80}{200} = 0{,}4, \\ f(\text{Natation}) &= \frac{104}{200} = 0{,}52, & f(\text{Athlétisme}) &= \frac{96}{200} = 0{,}48. \end{aligned}$$ Contrôle : $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ et $0{,}52 + 0{,}48 = 1$. Les femmes sont $60\pourcent$ du club, et la natation est le sport de $52\pourcent$ des adhérents.

Compétences à pratiquer

Calculer des fréquences marginales

III Fréquences conditionnelles

Définition — Fréquence conditionnelle

La fréquence conditionnelle d'une modalité $B$ sachant une modalité $A$ observée au moins une fois ($n(A) > 0$) est la proportion des individus de $A$ qui ont aussi la modalité $B$ : $$\textcolor{colordef}{f_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}}.$$ Elle se calcule à l'intérieur de la sous-population $A$ : le numérateur est la case de la ligne $A$ et de la colonne $B$, le dénominateur est l'effectif marginal de $A$, et non l'effectif total. Les fréquences conditionnelles sachant $A$ de toutes les modalités de l'autre variable ont pour somme $1$.

Méthode — Profils en ligne et profils en colonne

Pour comparer les groupes définis par une variable :

Choisir la variable qui définit les groupes : ses modalités sont les lignes (ou les colonnes) du tableau.
Diviser chaque case d'une ligne par le total de cette ligne (une ligne observée au moins une fois) : la ligne se lit alors en fréquences conditionnelles, son profil en ligne — la liste des $f_A(B)$ pour la modalité $A$ de cette ligne — de somme $1$.
Comparer les profils ligne par ligne : deux groupes de même profil se répartissent de la même façon sur l'autre variable.

Les profils en colonne s'obtiennent de la même façon, en divisant chaque case par le total de sa colonne. Un profil en ligne et un profil en colonne répondent à deux questions différentes et ne se lisent pas l'un pour l'autre.

Exemple

Dans le club sportif de $200$ adhérents (femmes : $72$ nageuses et $48$ athlètes ; hommes : $32$ nageurs et $48$ athlètes) :

Calculer la fréquence de la natation parmi les femmes et parmi les hommes. Les deux groupes pratiquent-ils les mêmes sports dans les mêmes proportions ?
Calculer la fréquence des femmes parmi les nageurs et parmi les athlètes.

Correction

Les groupes sont les lignes. Chaque case est divisée par le total de sa ligne : $$\begin{aligned} f_{\text{Femmes}}(\text{Natation}) &= \frac{n(\text{Femmes} \cap \text{Natation})}{n(\text{Femmes})} = \frac{72}{120} = 0{,}6, \\ f_{\text{Hommes}}(\text{Natation}) &= \frac{n(\text{Hommes} \cap \text{Natation})}{n(\text{Hommes})} = \frac{32}{80} = 0{,}4. \end{aligned}$$ Les profils en ligne sont $(0{,}6\,;\,0{,}4)$ pour les femmes et $(0{,}4\,;\,0{,}6)$ pour les hommes : $60\pourcent$ des femmes nagent, contre $40\pourcent$ des hommes. Les deux groupes ne pratiquent pas les sports dans les mêmes proportions.
Les groupes sont maintenant les colonnes. Chaque case est divisée par le total de sa colonne : $$\begin{aligned} f_{\text{Natation}}(\text{Femmes}) &= \frac{72}{104} = \frac{9}{13} \approx 0{,}69, \\ f_{\text{Athlétisme}}(\text{Femmes}) &= \frac{48}{96} = 0{,}5. \end{aligned}$$ Environ $69\pourcent$ des nageurs sont des femmes, et exactement la moitié des athlètes. On remarque que $f_{\text{Femmes}}(\text{Natation}) = 0{,}6$ et $f_{\text{Natation}}(\text{Femmes}) \approx 0{,}69$ ont le même numérateur $72$ mais pas le même dénominateur : « $60\pourcent$ des femmes nagent » et « $69\pourcent$ des nageurs sont des femmes » sont deux faits différents.

Lire une phrase

Une phrase sur un tableau croisé nomme une fréquence, et les mots disent laquelle. « $60\pourcent$ des femmes nagent » : la population est restreinte aux femmes, puis on compte les nageuses parmi elles — une fréquence conditionnelle, $f_{\text{Femmes}}(\text{Natation})$. « $36\pourcent$ des adhérents sont des femmes qui nagent » : la population est le club entier et la catégorie est « femme et nageuse » — la fréquence d'une case, $\frac{72}{200}$. « $52\pourcent$ des adhérents nagent » : une fréquence marginale, $f(\text{Natation})$. Les mots des, parmi, sur introduisent le groupe qui sert de dénominateur. Beaucoup de phrases des médias sont vraies et pourtant mal lues, parce que le lecteur prend un profil en colonne pour un profil en ligne : « la plupart des nageurs sont des femmes » ne veut pas dire que la plupart des femmes nagent. Dans un club où $40$ des $100$ femmes et $10$ des $100$ hommes nagent, $80\pourcent$ des nageurs sont des femmes, alors que $40\pourcent$ seulement des femmes nagent.

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Compétences à pratiquer

Calculer des fréquences conditionnelles
Comparer des profils en ligne
Lire une phrase

IV Compléter un tableau croisé

Méthode — Compléter par un raisonnement sur les effectifs

Chaque total de ligne est la somme des cases de sa ligne, chaque total de colonne est la somme des cases de sa colonne, et l'effectif total est la somme des totaux des lignes comme la somme des totaux des colonnes. Pour remplir une case manquante :

Repérer une ligne (ou une colonne) où un seul nombre manque.
Soustraire les cases connues du total de cette ligne, ou additionner les cases si c'est le total qui manque.
Recommencer avec les lignes qui n'ont plus qu'une case manquante.
Contrôler que les totaux des lignes et les totaux des colonnes donnent tous deux l'effectif total.

Méthode — Compléter à l'aide de fréquences conditionnelles

Une fréquence donnée en mots se transforme en effectif en la multipliant par la taille du groupe auquel elle se rapporte :

une fréquence marginale donne un effectif marginal : $n(A) = f(A) \times N$ ;
une fréquence conditionnelle donne une case : $n(A \cap B) = f_A(B) \times n(A)$ — le groupe est $A$, celui qui suit « des » ou « parmi ».

Les cases ainsi obtenues sont ensuite complétées par un raisonnement sur les effectifs.

Exemple

Un magasin interroge $300$ clients sur leur satisfaction, chaque client étant classé selon le canal de son dernier achat, en ligne ou en magasin. $150$ d'entre eux ont acheté en ligne, et $80\pourcent$ des clients en ligne sont satisfaits. Parmi les clients qui ont acheté en magasin, $90$ sont satisfaits. Compléter le tableau croisé d'effectifs et calculer la fréquence marginale des clients satisfaits.

Correction

« $80\pourcent$ des clients en ligne » est une fréquence conditionnelle sachant le groupe « en ligne », de taille $150$ : $n(\text{en ligne} \cap \text{satisfait}) = 0{,}8 \times 150 = 120$. Le reste s'obtient par soustraction : en ligne non satisfaits $150 - 120 = 30$ ; en magasin $300 - 150 = 150$ clients, dont $90$ satisfaits et $150 - 90 = 60$ non satisfaits.

	Satisfait	Non satisfait	Total
En ligne	$120$	$30$	$150$
En magasin	$90$	$60$	$150$
Total	$210$	$90$	$300$

Contrôle : $210 + 90 = 300$. La fréquence marginale des clients satisfaits est $f(\text{Satisfait}) = \frac{210}{300} = 0{,}7$ : $70\pourcent$ des clients sont satisfaits, un chiffre situé entre les $80\pourcent$ des clients en ligne et les $60\pourcent$ des clients en magasin.

Compétences à pratiquer

Compléter par un raisonnement sur les effectifs
Compléter à l'aide de fréquences conditionnelles

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

	Sain	Malade	Total
Chêne	\(4\)	\(1\)	\(5\)
Érable	\(2\)	\(2\)	\(4\)
Tilleul	\(3\)	\(0\)	\(3\)
Total	\(9\)	\(3\)	\(12\)

	Natation	Athlétisme	Total
Femmes	\(72\)	\(48\)	\(120\)
Hommes	\(32\)	\(48\)	\(80\)
Total	\(104\)	\(96\)	\(200\)

	Satisfait	Non satisfait	Total
En ligne	\(120\)	\(30\)	\(150\)
En magasin	\(90\)	\(60\)	\(150\)
Total	\(210\)	\(90\)	\(300\)