Probabilités conditionnelles et indépendance

La probabilité conditionnelle met à jour une probabilité lorsqu’une information nouvelle est connue. Par exemple, la probabilité de pluie augmente dès que des nuages sombres apparaissent : l’information supplémentaire change la probabilité.
On considère un sac de \(5\) boules rouges, \(3\) bleues et \(2\) vertes (\(10\) en tout). La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Si l'on apprend que la boule tirée n'est pas bleue, seules les \(5\) rouges et les \(2\) vertes (\(7\) en tout) restent possibles, donc la probabilité qu'elle soit rouge devient \(\frac{5}{7}\). C’est la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (la boule tirée n'est pas bleue) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, par exemple \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCondFr{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.

Le tableau croisé des \(100\) élèves se lit en deux temps : d'abord le genre, puis, dans le genre choisi, le goût pour les maths. Dessinés en branches, ces deux temps font un arbre : un premier niveau avec \(P(\text{Fille}) = \frac{51}{100}\) et \(P(\text{Garçon}) = \frac{49}{100}\), puis, le long de la branche « Fille », \(\PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} = \frac{35}{51}\) et \(\PCondFr{\text{N'aime pas les maths}}{\text{Fille}} = \frac{16}{51}\). Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : c'est ce qui en fait un arbre de probabilités conditionnelles, et ce que fixe la Définition « Arbre pondéré ».

Parfois, on connaît \(P(E)\) et \(\PCondFr{F}{E}\), et l’on veut déterminer la probabilité que \(E\) et \(F\) se produisent ensemble — par exemple, la probabilité qu’un élève soit une fille qui aime les mathématiques. Cette probabilité s’appelle la probabilité conjointe \(P(E \cap F)\).

Dans un arbre à deux étapes, l'événement \(F\) apparaît au bout de deux chemins : en passant par \(E\), et en passant par \(\overline{E}\). Chaque chemin a sa probabilité, le produit le long de ses branches. Les deux chemins ne peuvent pas se réaliser ensemble, puisque \(E\) et \(\overline{E}\) sont incompatibles, et à eux deux ils couvrent toutes les façons pour \(F\) de se réaliser, puisque \(E\) et \(\overline{E}\) sont contraires. La probabilité de \(F\) est donc la somme des probabilités des deux chemins. Écrite avec des probabilités conditionnelles, c'est la loi de la probabilité totale.

\(\PCondFr{A}{B}\) et \(\PCondFr{B}{A}\) ne sont pas égales en général : elles ont le même numérateur \(\Cardfr{A \cap B}\), mais l'une divise par \(\Cardfr{B}\) et l'autre par \(\Cardfr{A}\). Les phrases de tous les jours glissent souvent de l'une à l'autre. On considère les trajets à vélo faits dans une ville pendant une année, et soient \(J\) « le trajet est fait de jour » et \(V\) « le cycliste est victime d'une blessure pendant le trajet ». « La plupart des cyclistes blessés roulaient de jour » parle de \(\PCondFr{J}{V}\), qui serait grande même si le jour n'était pas plus dangereux que la nuit, simplement parce que la plupart des trajets se font de jour ; à elle seule, elle ne dit rien de \(\PCondFr{V}{J}\), le risque d'un trajet de jour. Un tableau croisé d'effectifs tient les deux séparées : l'événement connu choisit la ligne ou la colonne, donc le dénominateur.

Deux événements sont indépendants quand la probabilité des deux est le produit de leurs probabilités. Les mots qui servent à l'expliquer, « savoir l'un ne change pas les chances de l'autre », peuvent maintenant devenir exacts : c'est une phrase sur une probabilité conditionnelle. L'indépendance ne doit pas être confondue avec l'incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \(E \cap F = \emptyset\) donne \(P(E \cap F) = P(\emptyset) = 0\), alors que \(P(E) \times P(F) \neq 0\).

Répéter l'épreuve. On répète maintenant \(n\) fois la même épreuve de Bernoulli, les répétitions étant identiques (la probabilité du succès est \(p\) à chaque épreuve) et indépendantes (quels que soient les résultats des épreuves précédentes, la probabilité de succès à la suivante reste \(p\)) — cette répétition est aussi appelée schéma de Bernoulli. Une issue de l'expérience entière est une liste de \(n\) lettres \(S\) ou \(E\), une par épreuve, et l'arbre de l'expérience a \(2^n\) chemins : \(4\) pour deux épreuves, \(8\) pour trois, \(16\) pour quatre. Par indépendance, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités écrites sur ses branches : un chemin à \(k\) succès et \(n - k\) échecs, dans n'importe quel ordre, a pour probabilité \(p^k (1 - p)^{n - k}\).