Combinatoire et dénombrement

Urne avec 4 boules

• L’ordre dans lequel les boules sont tirées. Si l’ordre compte, c’est un « tirage avec ordre » ; sinon, c’est un « tirage sans ordre ». Par exemple, tirer les boules 7, 33 et 24 s’écrit \((7,33,24)\) avec ordre et \(\{7,33,24\}\) sans ordre. On remarque que \(\{7,33,24\} = \{33,24,7\}\), mais \((7,33,24) \neq (33,24,7)\).
• La remise. Si chaque boule est remise dans l'urne avant le tirage suivant, c’est un « tirage avec remise » ; sinon, c’est un « tirage sans remise ».

1. Écrire une issue. Une liste \((x_1\,;\,\dots\,;\,x_k)\) si l'ordre compte, un ensemble \(\{x_1\,;\,\dots\,;\,x_k\}\) sinon (alors sans répétition : dans ce chapitre, un tirage sans ordre est toujours sans remise).
2. Poser les deux questions. L'ordre compte-t-il (\((1\,;\,3)\) est-il une issue différente de \((3\,;\,1)\)) ? Y a-t-il remise (la même boule peut-elle apparaître deux fois) ?
3. Nommer l'objet dans le tableau.

   	avec remise	sans remise
   avec ordre	\(k\)-uplet	\(k\)-uplet d'éléments distincts
   sans ordre	(non étudié)	partie à \(k\) éléments

4. Compter. Avec un arbre ou un tableau à double entrée quand les nombres sont petits, avec la formule de l'objet sinon (les sections suivantes).

def pascal_row(n):
    row = [1]                      # row 0
    for i in range(n):
        previous = row
        row = [1]                  # first coefficient of the new row
        for k in range(len(previous) - 1):
            row.append(previous[k] + previous[k + 1])   # Pascal's relation
        row.append(1)              # last coefficient
    return row

print(pascal_row(5))               # [1, 5, 10, 10, 5, 1]

1. Nommer l'objet (\(k\)-uplet, \(k\)-uplet d'éléments distincts, partie) et compter tout l'univers \(\Omega\), l'ensemble de toutes les issues, avec sa formule.
2. Découper en cas disjoints quand la condition dépend d'une sorte de boule (une couleur, un numéro) : décrire chaque cas par « tant de cette sorte, tant de cette autre », le compter par le principe multiplicatif (un choix dans chaque sorte), puis additionner les cas par le principe additif. Vérifier que les cas sont deux à deux disjoints et qu'ensemble ils recouvrent la condition. Pour des tirages ordonnés, les positions occupées par chaque sorte sont un choix de plus à compter.
3. « Au moins un » : passer par le complémentaire. Les tirages avec au moins une boule d'une sorte sont tous les tirages moins ceux qui n'en ont aucune : \(\Cardfr{E} = \Cardfr{\Omega} - \Cardfr{\overline{E}}\). Une soustraction remplace plusieurs cas.
4. Une contrainte sur les positions (un premier élément imposé, deux éléments côte à côte) : satisfaire d'abord la contrainte, puis compter les choix restants, et multiplier.

1. Décrire l'expérience et écrire une issue.
2. Nommer le tirage : avec ou sans ordre, avec ou sans remise ; énoncer que toutes les issues sont équiprobables.
3. Compter l'univers \(\Omega\) avec la formule de l'objet.
4. Compter l'événement \(E\), par cas ou par le complémentaire.
5. Conclure : \(P(E) = \dfrac{\Cardfr{E}}{\Cardfr{\Omega}}\), en fraction, puis une valeur approchée si elle est demandée.