Éducation Nationale Française · Seconde

Statistiques

⌚ ~138 min ▢ 15 blocs ✓ 66 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Proportions et évolutions, Statistiques, Python : fonctions

I Résumer une série par des nombres

I.1 La moyenne et la médiane

Définition — Moyenne

La moyenne est la somme de toutes les valeurs numériques divisée par le nombre de valeurs.$$ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} \\ &= \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}\end{aligned}$$

Exemple

Pour l'ensemble de données $1\,;\,4\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,4\,;\,5\,;\,4\,;\,4$, quelle est la moyenne ?

Correction

$$ \text{Moyenne} = \frac{1 + 4 + 2 + 3 + 5 + 4 + 5 + 4 + 4}{9} = \frac{32}{9} \approx 3{,}56 $$

Définition — Médiane

La médiane est la valeur centrale d'un ensemble de données qui a été ordonné du plus petit au plus grand.

S’il y a un nombre impair de valeurs, la médiane est l'unique valeur du milieu.
S’il y a un nombre pair de valeurs, il y a deux valeurs centrales et la médiane est la moyenne de ces deux valeurs.

Exemple

Pour l'ensemble de données $1\,;\,4\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,4\,;\,5\,;\,4\,;\,4$, quelle est la médiane ?

Correction

Ordonner les données : $1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,4\,;\,4\,;\,4\,;\,5\,;\,5$.
Déterminer la valeur centrale : il y a 9 valeurs (un nombre impair), donc la valeur du milieu est la cinquième. $$1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,\underline{4}\,;\,4\,;\,4\,;\,5\,;\,5$$

La médiane est 4.

Compétences à pratiquer

Calculer la médiane

I.2 L'étendue et les quartiles

Définition — Mesures de dispersion

Une mesure de dispersion décrit à quel point les valeurs d'un ensemble de données sont variées ou « étalées ». Alors qu'une mesure de tendance centrale renseigne sur le centre, la dispersion renseigne sur la régularité des données, ce qui donne une image plus complète que la seule tendance centrale.

Exemple

On considère les notes de deux élèves :

Notes de l'élève A : 10 ; 50 ; 90
Notes de l'élève B : 45 ; 50 ; 55

Les deux élèves ont la même note moyenne (50), mais les notes de l'élève A sont très dispersées (grande dispersion), tandis que celles de l'élève B sont très regroupées (faible dispersion).

Définition — Étendue

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’un ensemble de données. Elle donne une mesure rapide de la dispersion totale. $$ \text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} $$

Exemple

Déterminer l’étendue pour les données : $1\,;\,19\,;\,10\,;\,2\,;\,18\,;\,10\,;\,5\,;\,15\,;\,10$.

Correction

La valeur minimale est 1 et la valeur maximale est 19.
L’étendue est $19 - 1 = 18$.

Définition — Quartiles comme valeurs de la série

Pour une série ordonnée de $N$ valeurs :

le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins un quart ($25\pourcent$) des valeurs lui soient inférieures ou égales ;
le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins les trois quarts ($75\pourcent$) des valeurs lui soient inférieures ou égales.

En pratique : $Q_1$ est la première valeur dont l’effectif cumulé atteint ou dépasse $\frac{N}{4}$, et $Q_3$ la première dont l’effectif cumulé atteint ou dépasse $\frac{3N}{4}$ (quand $\frac{N}{4}$ n’est pas entier, cela revient à prendre le rang entier suivant : pour $N = 10$, $\frac{N}{4} = 2{,}5$, donc $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ valeur ordonnée).

Exemple

Voici les nombres de buts marqués par une équipe de handball lors de ses $8$ matchs, dans l’ordre croissant : $$1\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,9\,;\,11\,;\,14$$ Déterminer $Q_1$ et $Q_3$ avec la convention des valeurs de la série.

Correction

$N = 8$, donc $\frac{N}{4} = 2$ et $\frac{3N}{4} = 6$.

$Q_1$ est la $2^{\text{e}}$ valeur ordonnée : $Q_1 = 3$ (en effet, $2$ valeurs sur $8$ — au moins $25\pourcent$ — sont $\leq 3$).
$Q_3$ est la $6^{\text{e}}$ valeur ordonnée : $Q_3 = 9$ ($6$ valeurs sur $8$ — au moins $75\pourcent$ — sont $\leq 9$).

(Quand $\frac{N}{4}$ n’est pas entier — par exemple $N = 10$, $\frac{N}{4} = 2{,}5$ — on prend le rang suivant : la $3^{\text{e}}$ valeur.)

Compétences à pratiquer

Trouver les quartiles d'une série simple

I.3 L'écart interquartile

Définition — Écart interquartile

L'écart interquartile (EIQ) d'une série est la différence entre ses quartiles : $$\text{EIQ} = Q_3 - Q_1.$$ C'est la largeur de la zone qui contient au moins la moitié centrale des valeurs. Contrairement à l'étendue, qui se lit sur les deux valeurs extrêmes, il se lit sur les rangs : rendre la plus petite valeur encore plus petite, ou la plus grande encore plus grande, ne le change pas — sauf si une moitié de la série compte si peu de valeurs que cette valeur entre dans le calcul d'un quartile.

Exemple

Les temps de trajet (en minutes) d'une navetteuse sur $12$ jours, dans l'ordre, sont : $$10\,;\,12\,;\,14\,;\,15\,;\,17\,;\,18\,;\,20\,;\,22\,;\,25\,;\,26\,;\,28\,;\,30.$$ Calculer l'écart interquartile des temps de trajet.

Correction

$N = 12$, donc $\frac{N}{4} = 3$ et $\frac{3N}{4} = 9$.

$Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ valeur ordonnée : $Q_1 = 14$.
$Q_3$ est la $9^{\text{e}}$ valeur ordonnée : $Q_3 = 25$.

$$\begin{aligned}[t] \text{EIQ} &= Q_3 - Q_1 \\ &= 25 - 14 \\ &= 11. \end{aligned}$$ Au moins la moitié des trajets, les plus centraux, tiennent dans une fenêtre de $11$ minutes.

Compétences à pratiquer

Calculer l'écart interquartile d'une série

I.4 L'écart-type

L'écart-type mesure la dispersion en utilisant toutes les valeurs de la série. Il donne l'ordre de grandeur de l'écart des valeurs à la moyenne (plus précisément, c'est la moyenne quadratique des écarts). Un petit écart-type signifie que les valeurs sont regroupées près de la moyenne, tandis qu'un grand écart-type signifie qu'elles sont dispersées.

Signaler une erreur

Définition — Écart-type

L'écart-type ($\sigma$) s'obtient en prenant la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$ où $\bar{x}$ est la moyenne et $n$ le nombre de valeurs. Il s'agit de l'écart-type de la population (descriptif) ; lorsqu'un échantillon sert à estimer une population, une variante divise par $n-1$ au lieu de $n$. Le symbole $\sum$ signifie « somme sur toutes les valeurs ».

Exemple

Calculer l’écart-type de la série suivante : $$2\ ;\ 4\ ;\ 4\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 9$$

Correction

Calculer la moyenne ($\bar{x}$) : $$ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5 $$
Calculer les carrés des écarts à la moyenne : $(2-5)^2 = 9$, $(4-5)^2 = 1$, $(4-5)^2 = 1$, $(4-5)^2 = 1$, $(5-5)^2 = 0$, $(5-5)^2 = 0$, $(7-5)^2 = 4$, $(9-5)^2 = 16$.
Calculer la moyenne des carrés des écarts (la variance) : $$ \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4 $$
Prendre la racine carrée pour obtenir l'écart-type ($\sigma$) : $$ \sigma = \sqrt{4} = 2 $$

L’écart-type est de 2.

Exemple

L'écart-type des notes est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. La fonction mark(k) rend la note du contrôle numéro k, et la fonction mean(n) rend la moyenne des n premières notes, pour n de 1 à 4. En Python, x ** 0.5 est la racine carrée d'un nombre positif x. Quelle est la valeur de chaque appel ?

def mark(k):
    if k == 1:
        return 7
    elif k == 2:
        return 13
    elif k == 3:
        return 13
    else:
        return 15

def mean(n):
    total = 0
    for k in range(1, n + 1):
        total = total + mark(k)
    return total / n

def standard_deviation(n):
    m = mean(n)
    total = 0
    for k in range(1, n + 1):
        total = total + (mark(k) - m) ** 2
    return (total / n) ** 0.5

>>> standard_deviation(4)
>>> standard_deviation(1)

Correction

>>> standard_deviation(4)
3.0
>>> standard_deviation(1)
0.0

Le corps de standard_deviation suit la définition, lue de son dernier mot à son premier. m = mean(n) obtient la moyenne, une fois, avant la boucle : la fonction ne refait pas la somme des notes, elle demande la moyenne à mean — une fonction par tâche. La boucle ajoute les carrés des écarts : par rapport à 12.0, les quatre notes s'écartent de -5.0, 1.0, 1.0 et 3.0, dont les carrés ont pour somme 36.0. Leur moyenne vaut 36.0 / 4, soit 9.0, et la puissance 0.5 en prend la racine carrée : 3.0. Avec une seule note, le seul écart vaut 0.0, et l'écart-type aussi : une seule note ne présente aucune dispersion.

Exemple

La fonction mark(k) rend la note d'un élève au contrôle numéro k, pour k de 1 à 4, mean(n) rend la moyenne des n premières notes et standard_deviation(n) leur écart-type. La fonction proportion_within(n) rend la proportion des notes situées à au plus deux écarts-types de la moyenne. Quelle est la valeur de l'appel ?

def mark(k):
    if k == 1:
        return 7
    elif k == 2:
        return 13
    elif k == 3:
        return 13
    else:
        return 15

def mean(n):
    total = 0
    for k in range(1, n + 1):
        total = total + mark(k)
    return total / n

def standard_deviation(n):
    m = mean(n)
    total = 0
    for k in range(1, n + 1):
        total = total + (mark(k) - m) ** 2
    return (total / n) ** 0.5

def proportion_within(n):
    m = mean(n)
    s = standard_deviation(n)
    count = 0
    for k in range(1, n + 1):
        if mark(k) >= m - 2 * s and mark(k) <= m + 2 * s:
            count = count + 1
    return count / n

>>> proportion_within(4)

Correction

>>> proportion_within(4)
1.0

La moyenne vaut 12.0 et l'écart-type 3.0, donc les notes retenues sont celles comprises entre 12.0 - 2 * 3.0 et 12.0 + 2 * 3.0, c'est-à-dire entre 6.0 et 18.0. Les quatre notes 7, 13, 13 et 15 sont toutes dans cet intervalle, donc count atteint 4 et la fonction rend 4 / 4, soit 1.0. Le corps est le schéma du compteur : une variable créée avant la boucle, augmentée de un chaque fois que la condition est vraie, et lue après la boucle. Les deux fonctions sont demandées avant la boucle, une fois chacune, parce que l'intervalle est le même à tous les tours. Avec quatre notes, la proportion vaut 1.0 quelles que soient les notes : une valeur ne peut tomber hors de l'intervalle que dans une série plus longue, à partir de six valeurs, où l'une d'elles se détache nettement de toutes les autres.

Compétences à pratiquer

Calculer l'écart-type
Lire un écart-type en Python

I.5 La linéarité de la moyenne

Proposition — Linéarité de la moyenne

On considère une série $x_1, x_2, \ldots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$, et deux nombres $a$ et $b$. Si chaque valeur est remplacée par $y_i = a x_i + b$, alors la nouvelle moyenne est $$\bar{y} = a\,\bar{x} + b.$$ La moyenne suit la transformation : aucun besoin de connaître les valeurs individuelles pour la mettre à jour.

Preuve

$$\begin{aligned}[t] \bar{y} &= \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} \\ &= \frac{(a x_1 + b) + (a x_2 + b) + \cdots + (a x_n + b)}{n} \\ &= \frac{a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) + n\,b}{n} && \text{(on regroupe les $a x_i$ et les $n$ copies de $b$)}\\ &= a\,\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} + b \\ &= a\,\bar{x} + b. \end{aligned}$$

Exemple

Le prix moyen des articles d'une boutique est $\bar{x} = 20~\Euro$. Chaque prix est doublé, puis réduit de $3~\Euro$. Calculer le nouveau prix moyen.

Correction

Chaque prix est remplacé par $y_i = 2 x_i - 3$, donc par linéarité $$\begin{aligned}[t] \bar{y} &= 2\,\bar{x} - 3 \\ &= 2 \times 20 - 3 \\ &= 37. \end{aligned}$$ Le nouveau prix moyen est $37~\Euro$.
Contrôle sur une petite série : des prix de $10~\Euro$ et $30~\Euro$ ont pour moyenne $20~\Euro$ ; les nouveaux prix $17~\Euro$ et $57~\Euro$ ont pour moyenne $\frac{17+57}{2} = 37~\Euro$.

Compétences à pratiquer

Mettre à jour une moyenne sans les données

I.6 Ajouter ou retirer une valeur

Proposition — L'effet d'une valeur extrême

Une valeur extrême (beaucoup plus grande ou beaucoup plus petite que les autres) tire la moyenne vers elle, car la moyenne utilise toutes les valeurs. Ajouter ou retirer une valeur décale la médiane d'au plus un rang dans la liste ordonnée : elle passe au plus à une valeur voisine — pour des valeurs resserrées, peu ou pas.
Quand une série contient une valeur extrême, la médiane décrit souvent mieux la valeur typique que ne le fait la moyenne.

Exemple

Les notes de cinq amis à un contrôle sont $9$, $10$, $11$, $12$, $13$.

Calculer la moyenne et la médiane de ces cinq notes.
Un sixième ami, absent ce jour-là, rend copie blanche : un $0$ rejoint la série. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane.
Quel indicateur a le plus changé ?

Correction

Moyenne : $\dfrac{9+10+11+12+13}{5} = \dfrac{55}{5} = \textcolor{colorprop}{11}$. La liste ordonnée compte $5$ valeurs, celle du milieu est la troisième : médiane $= \textcolor{colorprop}{11}$.
Nouvelle série, ordonnée : $0\,;\,9\,;\,10\,;\,11\,;\,12\,;\,13$. Moyenne : $\dfrac{55+0}{6} = \dfrac{55}{6} \approx \textcolor{colorprop}{9{,}2}$. Avec $6$ valeurs, la médiane est la moyenne de la troisième et de la quatrième : $\dfrac{10+11}{2} = \textcolor{colorprop}{10{,}5}$.
La moyenne a perdu presque $2$ points ; la médiane seulement $0{,}5$. La valeur extrême $0$ a tiré la moyenne, tandis que la médiane a résisté.

Proposition — Ajouter ou retirer une valeur

Soit une série de $n$ valeurs de moyenne $m$.

Ajouter une valeur $x$ donne une série de $n + 1$ valeurs dont la moyenne est $$m' = \frac{n\,m + x}{n + 1}, \qquad\text{et}\qquad m' - m = \frac{x - m}{n + 1}.$$ La moyenne se déplace vers la valeur ajoutée : elle augmente si $x > m$, diminue si $x < m$, et ne change pas si $x = m$. Le déplacement est une fraction $\dfrac{1}{n + 1}$ de l'écart $x - m$ : à écart donné, plus la série est grande, plus le déplacement est petit.
Retirer une valeur $x$ ($n \geq 2$) donne une série de $n - 1$ valeurs dont la moyenne est $$m' = \frac{n\,m - x}{n - 1}, \qquad\text{et}\qquad m' - m = \frac{m - x}{n - 1}.$$ La moyenne s'éloigne de la valeur retirée : elle augmente si $x < m$, diminue si $x > m$, et ne change pas si $x = m$.
La médiane se lit sur la liste ordonnée, au rang du milieu ; ajouter ou retirer une valeur décale le milieu d'un demi-rang. Si le nombre de valeurs était impair, la médiane était la valeur du milieu : la nouvelle médiane est la moyenne de l'ancienne médiane et de la valeur qui la suit ou la précède dans la nouvelle liste ordonnée (retirer la médiane elle-même laisse la moyenne de ses deux voisines). Si le nombre de valeurs était pair, la médiane était la moyenne des deux valeurs centrales : la nouvelle médiane est l'une de ces deux valeurs, ou la valeur ajoutée elle-même quand elle tombe entre elles. Dans les deux cas, dès que la valeur ajoutée ou retirée est au-delà des valeurs qui entourent le milieu (une valeur extrême, par exemple), sa taille exacte ne joue aucun rôle.

Preuve

La somme des $n$ valeurs est $n\,m$ (définition de la moyenne). Après ajout de $x$, la somme est $n\,m + x$ et il y a $n + 1$ valeurs, donc $m' = \dfrac{n\,m + x}{n + 1}$. Alors $$m' - m = \frac{n\,m + x}{n + 1} - \frac{(n + 1)\,m}{n + 1} = \frac{n\,m + x - n\,m - m}{n + 1} = \frac{x - m}{n + 1},$$ qui a le signe de $x - m$. Après retrait de $x$, la somme est $n\,m - x$ sur $n - 1$ valeurs, donc $m' = \dfrac{n\,m - x}{n - 1}$ et $$m' - m = \frac{n\,m - x - (n - 1)\,m}{n - 1} = \frac{m - x}{n - 1},$$ qui a le signe de $m - x$. Pour la médiane : dans la liste ordonnée des $n + 1$ valeurs, chaque valeur garde son rang sauf celles situées au-delà de la valeur insérée, qui reculent d'un rang. Si $n$ est impair, l'ancienne médiane reste l'une des deux valeurs centrales (elle garde son rang si $x$ est au-dessus d'elle, elle recule d'un rang si $x$ est en dessous), et la nouvelle médiane est la moyenne de celle-ci et de sa voisine du côté de $x$ (ou de celle-ci et de $x$, quand $x$ tombe entre elles) : au plus la moitié de l'écart. Si $n$ est pair, la nouvelle médiane est la valeur du rang du milieu : l'une des deux anciennes valeurs centrales, ou $x$ lui-même quand $x$ est entre elles. Retirer une valeur fonctionne de la même façon, les rangs au-delà de la valeur retirée avançant d'un cran.

Exemple

Les notes de cinq élèves à un contrôle sont $8$, $10$, $11$, $12$, $14$.

Calculer la moyenne et la médiane.
Une sixième note, $20$, est ajoutée. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane ; quel indicateur a le plus bougé ?
En repartant des cinq notes, la note $14$ est retirée. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane.
En partant des six notes $8$, $10$, $11$, $12$, $14$, $20$, une septième note, $11{,}8$, est ajoutée. Calculer la nouvelle médiane.

Correction

Somme $8 + 10 + 11 + 12 + 14 = 55$, donc $m = \dfrac{55}{5} = 11$. La liste est ordonnée et $n = 5$ est impair : la médiane est la troisième valeur, $11$.
Nouvelle moyenne : $m' = \dfrac{5 \times 11 + 20}{6} = \dfrac{75}{6} = 12{,}5$ ; on a bien $m' - m = \dfrac{20 - 11}{6} = 1{,}5$. Nouvelle médiane : la liste ordonnée $8\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 14\ ;\ 20$ a six valeurs, la médiane est $\dfrac{11 + 12}{2} = 11{,}5$. La moyenne a bougé de $1{,}5$, la médiane de $0{,}5$ seulement : la valeur ajoutée tire la moyenne, tandis que la médiane fait juste un demi-pas vers sa voisine.
Retrait de $14$ : $m' = \dfrac{5 \times 11 - 14}{4} = \dfrac{41}{4} = 10{,}25$ (la moyenne s'éloigne de $14$, vers le bas). Liste ordonnée $8\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 12$ : médiane $\dfrac{10 + 11}{2} = 10{,}5$.
Les six notes ont pour médiane $11{,}5$, entre les valeurs centrales $11$ et $12$. La liste ordonnée des sept notes est $$8\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 11{,}8\ ;\ 12\ ;\ 14\ ;\ 20$$ et la médiane est la quatrième valeur, $11{,}8$ : la note ajoutée est tombée entre les deux valeurs centrales et est devenue la médiane elle-même — toujours entre $11$ et $12$, comme le dit le cours.

Compétences à pratiquer

L'effet de l'ajout ou du retrait d'une valeur

II Regrouper une série en classes

II.1 Classes, histogramme et moyenne

Définition — Classes et histogramme

Lorsqu'une variable quantitative est continue ou prend de nombreuses valeurs distinctes, on range les données en classes (ou intervalles), comme $[150\,;160[$, $[160\,;170[$, chaque intervalle regroupant les valeurs qui s'y trouvent. Un histogramme représente des données groupées par des barres rectangulaires adjacentes : une barre par classe. Lorsque les classes ont toutes la même largeur, la hauteur de chaque barre est égale à l'effectif de la classe ; en général, c'est l'aire de chaque barre qui est proportionnelle à l'effectif. Contrairement à un diagramme en bâtons, les barres d'un histogramme se touchent sans espace, car les classes sont des intervalles consécutifs qui couvrent un axe continu et non des catégories séparées.

Méthode — Estimer la moyenne de données groupées

Les valeurs exactes à l'intérieur d'une classe sont inconnues : on estime donc la moyenne en représentant chaque classe par son centre (le milieu de l'intervalle).

Déterminer le centre $m_i$ de chaque classe : la moyenne des deux bornes de la classe.
Multiplier chaque centre par l'effectif $n_i$ de la classe pour obtenir $n_i m_i$.
Estimer la moyenne comme moyenne pondérée des centres : $$ \bar{x} \approx \frac{\sum n_i m_i}{N}, \qquad N = \sum n_i . $$

Exemple

Les tailles (en cm) de $20$ élèves ont été mesurées et groupées en classes. Tracer l'histogramme et estimer la taille moyenne.

Taille (cm)	$[150\,;160[$	$[160\,;170[$	$[170\,;180[$	$[180\,;190[$	Total
Effectif $n_i$	5	8	4	3	20

Correction

Histogramme. Les barres sont adjacentes (sans espace), puisque les classes sont des intervalles consécutifs.

Moyenne estimée. Les centres sont $m_i = 155\,;165\,;175\,;185$.

Classe	$[150\,;160[$	$[160\,;170[$	$[170\,;180[$	$[180\,;190[$	Total
Centre $m_i$	155	165	175	185
$n_i$	5	8	4	3	20
$n_i m_i$	775	1320	700	555	3350

$$ \begin{aligned} \bar{x} &\approx \frac{\sum n_i m_i}{N} &&\text{(estimation par les centres)} \\ &= \frac{155\times 5 + 165\times 8 + 175\times 4 + 185\times 3}{20} &&\text{(substitution)} \\ &= \frac{3350}{20} &&\text{(addition)} \\ &= 167{,}5 . &&\text{(division)} \end{aligned} $$ La taille moyenne estimée est d'environ $167{,}5$ cm.

Proposition — Moyenne à partir des moyennes des classes

Une série de $N$ valeurs est rangée en $k$ classes d'effectifs $n_1, n_2, \ldots, n_k$, et la moyenne des valeurs de chaque classe est connue : $\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_k$. La moyenne de la série entière est la moyenne pondérée des moyennes des classes, chaque moyenne étant pondérée par l'effectif de sa classe : $$\textcolor{colorprop}{\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2 + \cdots + n_k \bar{x}_k}{N}}, \qquad N = n_1 + n_2 + \cdots + n_k.$$ Cas particulier : quand on suppose les valeurs d'une classe réparties uniformément entre ses bornes — le modèle qui fonde l'estimation par les centres — la moyenne de la classe est prise égale à son centre, et la formule donne l'estimation de la moyenne par les centres.

Preuve

Par définition de la moyenne, la somme des $n_i$ valeurs de la classe numéro $i$ vaut $n_i \bar{x}_i$. La somme des $N$ valeurs est la somme de ces sommes par classe, donc $$\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\text{somme des } N \text{ valeurs}}{N} && \text{(définition de la moyenne)} \\ &= \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2 + \cdots + n_k \bar{x}_k}{N}. && \text{(somme classe par classe)} \end{aligned}$$ Quand on modélise les valeurs d'une classe comme réparties uniformément entre ses deux bornes, elles s'équilibrent autour du centre de la classe, qui est alors pris comme moyenne de la classe : la formule devient l'estimation par les centres.

Exemple

Les salaires mensuels (en euros) des $40$ salariés d'une entreprise sont regroupés en trois classes de même amplitude. La paie donne aussi le salaire moyen de chaque classe.

Salaire	$[1000\,;1500[$	$[1500\,;2000[$	$[2000\,;2500[$
Effectif $n_i$	$12$	$20$	$8$
Moyenne de la classe $\bar{x}_i$	$1320$	$1700$	$2300$

Calculer le salaire moyen de l'entreprise.
Le comparer à l'estimation par les centres des classes.

Correction

La moyenne de la série est la moyenne pondérée des moyennes des classes : $$\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2 + n_3 \bar{x}_3}{N} && \text{(Proposition « Moyenne à partir des moyennes des classes »)} \\ &= \frac{12 \times 1320 + 20 \times 1700 + 8 \times 2300}{40} && \text{(substitution)} \\ &= \frac{15\,840 + 34\,000 + 18\,400}{40} = \frac{68\,240}{40} && \text{(produits, somme)} \\ &= 1706. \end{aligned}$$ Le salaire moyen est de $1706$ euros. Il est exact, puisque la moyenne de chaque classe est connue.
Les centres sont $1250$, $1750$ et $2250$ ; l'estimation vaut $\dfrac{12 \times 1250 + 20 \times 1750 + 8 \times 2250}{40} = \dfrac{68\,000}{40} = 1700$ euros. L'estimation est $6$ euros sous la vraie moyenne. Classe par classe, le centre remplace la vraie moyenne : il est trop bas dans la première et la dernière classe ($1250$ pour $1320$, $2250$ pour $2300$) et trop haut dans celle du milieu ($1750$ pour $1700$), et le bilan, pondéré par les effectifs, vaut $\dfrac{12 \times (-70) + 20 \times 50 + 8 \times (-50)}{40} = \dfrac{-240}{40} = -6$ euros. L'estimation par les centres est exacte quand les valeurs sont réparties uniformément dans chaque classe ; sinon elle peut s'écarter dans un sens ou dans l'autre, et la moyenne obtenue à partir des moyennes des classes est la valeur à communiquer.

Compétences à pratiquer

Histogrammes et estimation par les centres
Calculer la moyenne à partir des moyennes des classes

II.2 Classe médiane et polygone des fréquences cumulées

Définition — Effectif cumulé

L'effectif cumulé d'une valeur (ou de la borne supérieure d'une classe) est le total cumulé de tous les effectifs jusqu'à cette valeur incluse. En lisant le tableau de haut en bas, chaque effectif cumulé ajoute l'effectif suivant au total précédent, de sorte que le dernier effectif cumulé est égal à l'effectif total $N$.

Définition — Courbe des effectifs cumulés (ogive)

Lorsque les données sont groupées en classes, les totaux cumulés se représentent graphiquement par la courbe des effectifs cumulés (ou ogive). On la construit en plaçant chaque effectif cumulé en face de la borne supérieure de sa classe, puis en reliant les points dans l'ordre par des segments, en partant de la borne inférieure de la première classe à la hauteur $0$. La courbe ne descend jamais : elle monte de $0$ jusqu'au total $N$, et le nombre de valeurs inférieures à un niveau donné s'y estime. En particulier, la médiane s'estime en lisant horizontalement depuis la hauteur $\dfrac{N}{2}$ jusqu'à la courbe, puis verticalement jusqu'à l'axe horizontal. De la même façon, le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ s'estiment en lisant horizontalement depuis les hauteurs $\dfrac{N}{4}$ et $\dfrac{3N}{4}$, ce qui donne une estimation de l'écart interquartile $Q_3 - Q_1$.

Exemple

Le tableau donne les notes (sur $100$) de $50$ élèves, groupées en classes. Tracer la courbe des effectifs cumulés et l'utiliser pour estimer la note médiane.

Note	$[0\,;20[$	$[20\,;40[$	$[40\,;60[$	$[60\,;80[$	$[80\,;100[$	Total
Effectif $n_i$	5	10	20	10	5	50

Correction

On forme les effectifs cumulés, chacun pris à la borne supérieure de sa classe :

Borne supérieure	20	40	60	80	100
Effectif cumulé	5	15	35	45	50

En plaçant ces points (avec $(0\,;0)$) et en les reliant, on obtient l'ogive :

Avec $N = 50$, on lit horizontalement depuis $\dfrac{N}{2} = 25$ jusqu'à la courbe, puis verticalement jusqu'à l'axe : la courbe atteint cette hauteur pour une note d'environ $50$, donc $$ \text{médiane} \approx 50 \text{ points.} $$

Définition — Classe médiane

Pour une série de $N$ valeurs regroupées en classes, la classe médiane est la classe où se situe la médiane : en lisant les effectifs cumulés dans l'ordre, c'est la première classe dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $\dfrac{N}{2}$. De façon équivalente, c'est la première classe dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse $50\pourcent$. Si un effectif cumulé vaut exactement $\dfrac{N}{2}$, le milieu de la série tombe sur la frontière entre cette classe et la suivante, et l'estimation ci-dessous renvoie cette frontière.

Méthode — Estimer la médiane par répartition uniforme dans la classe médiane

Les valeurs exactes à l'intérieur de la classe médiane sont inconnues. En supposant que ses $n_c$ valeurs sont réparties uniformément entre ses bornes $a$ et $b$ :

Calculer les effectifs cumulés et repérer la classe médiane $[a\,;b[$ ; noter $n_{\text{avant}}$ l'effectif cumulé des classes qui la précèdent.
Compter les valeurs nécessaires dans la classe médiane pour atteindre le milieu : $\dfrac{N}{2} - n_{\text{avant}}$, sur les $n_c$ valeurs de la classe.
Avancer dans la classe dans la même proportion : $$\text{médiane} \approx a + \frac{\dfrac{N}{2} - n_{\text{avant}}}{n_c} \times (b - a).$$

C'est la valeur lue sur la courbe des effectifs cumulés à la hauteur $\dfrac{N}{2}$ : sur la classe médiane, la courbe est un segment de droite, ce qui est exactement la répartition uniforme.

Polygone des fréquences cumulées

En divisant chaque effectif cumulé par $N$, on obtient les fréquences cumulées, qui vont de $0$ à $1$, c'est-à-dire de $0\pourcent$ à $100\pourcent$. Placées en face des bornes supérieures des classes et reliées par des segments depuis la borne inférieure de la première classe, elles forment le polygone des fréquences cumulées : la même ligne brisée que la courbe des effectifs cumulés, avec un axe vertical en pourcentages. Une estimation de la médiane se lit à la hauteur $50\pourcent$ ; la proportion des valeurs inférieures à une borne de classe se lit directement sur l'axe vertical, et entre deux bornes le polygone en donne une estimation, quel que soit l'effectif $N$ de la série — ce qui fait du polygone le bon outil pour comparer deux séries de tailles différentes.

Signaler une erreur

Exemple

Les durées (en minutes) de $80$ appels reçus par un service d'assistance sont regroupées en classes de même amplitude.

Durée	$[0\,;2[$	$[2\,;4[$	$[4\,;6[$	$[6\,;8[$
Effectif $n_i$	$16$	$28$	$20$	$16$

Déterminer la classe médiane.
Estimer la durée médiane, en supposant une répartition uniforme dans la classe médiane.
Tracer le polygone des fréquences cumulées et y contrôler l'estimation.

Correction

Les effectifs cumulés, pris aux bornes supérieures, sont $16$, $44$, $64$, $80$. Avec $N = 80$, le milieu est $\dfrac{N}{2} = 40$ : le premier effectif cumulé à atteindre $40$ est $44$, à la classe $[2\,;4[$. La classe médiane est $[2\,;4[$.
Avant la classe médiane, $n_{\text{avant}} = 16$ appels ; la classe contient $n_c = 28$ appels entre $a = 2$ et $b = 4$. $$\begin{aligned} \text{médiane} &\approx a + \frac{\dfrac{N}{2} - n_{\text{avant}}}{n_c} \times (b - a) && \text{(répartition uniforme dans la classe médiane)} \\ &= 2 + \frac{40 - 16}{28} \times 2 && \text{(substitution)} \\ &= 2 + \frac{24}{28} \times 2 = 2 + \frac{12}{7} && \text{(simplification)} \\ &\approx 3{,}7 \text{ min.} \end{aligned}$$
Les fréquences cumulées sont $\dfrac{16}{80} = 20\pourcent$, $\dfrac{44}{80} = 55\pourcent$, $\dfrac{64}{80} = 80\pourcent$ et $100\pourcent$. En lisant horizontalement depuis $50\pourcent$ jusqu'au polygone, puis verticalement jusqu'à l'axe, on obtient environ $3{,}7$ minutes, la même valeur : entre les points $(2\,;20\pourcent)$ et $(4\,;55\pourcent)$ le polygone est un segment de droite, et le point à $50\pourcent$ se trouve en $2 + \dfrac{50 - 20}{55 - 20} \times 2 = 2 + \dfrac{12}{7}$.

Compétences à pratiquer

Effectifs cumulés et classe médiane
Le polygone des fréquences cumulées

III Comparer deux séries

III.1 Les boîtes à moustaches

Définition — Diagramme en boîte

Un diagramme en boîte affiche visuellement le résumé à cinq nombres au-dessus d'une droite graduée.

Une boîte centrale est dessinée du premier quartile (Q1) au troisième quartile (Q3).
Une ligne à l'intérieur de la boîte marque la médiane (Q2).
Des moustaches (lignes) s'étendent de la boîte jusqu'aux valeurs minimale et maximale.

La boîte, dessinée de $Q_1$ à $Q_3$, contient au moins la moitié des données — la moitié centrale ; la ligne intérieure montre le centre, et les moustaches montrent l'étendue complète (quand il n'y a pas de valeur aberrante).

Exemple

Ce diagramme en boîte montre le nombre de minutes que des passagers ont passées dans une salle d'embarquement.

À partir du diagramme, déterminer la médiane, l'étendue et les deux quartiles $Q_1$ et $Q_3$.

Correction

En lisant le résumé à cinq nombres sur le diagramme :

Médiane (Q2) : La ligne à l'intérieur de la boîte est à 50 minutes.
Étendue : Maximum - Minimum = $72 - 30 = \textbf{42}$ minutes.
Quartiles : la boîte s'étend de $Q_1 = \textbf{39}$ à $Q_3 = \textbf{62}$ minutes.

Compétences à pratiquer

Interpréter les diagrammes en boîte

III.2 Comparer la position et la dispersion

Méthode — Comparer deux séries

Comparer un indicateur de position : les moyennes — ou les médianes si une série contient une valeur extrême.
Comparer un indicateur de dispersion : les étendues — ou un autre indicateur de dispersion connu.
Conclure dans le contexte : même position mais dispersions différentes signifie « même niveau typique, mais pas la même régularité ».

Exemple

Alice et Bilal ont chacun tiré cinq volées au club de tir à l'arc.

Alice	6	7	8	9	10
Bilal	2	8	8	8	14

Comparer les deux séries.

Correction

Position : Alice $\dfrac{6+7+8+9+10}{5} = \dfrac{40}{5} = \textcolor{colorprop}{8}$ ; Bilal $\dfrac{2+8+8+8+14}{5} = \dfrac{40}{5} = \textcolor{colorprop}{8}$ — et les deux médianes valent aussi $8$. Les deux archers ont le même niveau typique.
Dispersion : Alice $10-6 = \textcolor{colorprop}{4}$ ; Bilal $14-2 = \textcolor{colorprop}{12}$.
Dans le contexte : même niveau, mais l'étendue d'Alice est trois fois plus petite — c'est elle la plus régulière des deux ; Bilal peut tirer un $14$ — et un $2$.

Compétences à pratiquer

Comparer deux séries

III.3 Choisir les indicateurs à comparer

Méthode — Choisir les indicateurs pour comparer

Pour comparer deux séries, associer un indicateur de position à son indicateur de dispersion :

la moyenne $\bar{x}$ va avec l'écart-type $\sigma$ — ils utilisent toutes les valeurs, mais les valeurs extrêmes les tirent ;
la médiane va avec l'écart interquartile — ils se lisent sur les rangs, donc une valeur extrême ne les déplace presque pas.

Quand la série contient des valeurs extrêmes, préférer le couple médiane–EIQ ; sinon, préférer le couple moyenne–$\sigma$, qui tient compte de toutes les valeurs. Conclure par une phrase qui nomme les deux indicateurs.

Exemple

Deux vendeurs ont travaillé $9$ jours chacun. Leurs ventes quotidiennes sont : $$\text{Vendeur A : } 4\,;\,5\,;\,5\,;\,6\,;\,6\,;\,7\,;\,7\,;\,8\,;\,42 \qquad \text{Vendeur B : } 8\,;\,9\,;\,9\,;\,10\,;\,10\,;\,10\,;\,11\,;\,11\,;\,12.$$ Les deux moyennes valent $10$. Comparer les deux vendeurs avec le bon couple d'indicateurs.

Correction

La série du vendeur A contient la valeur extrême $42$ : les moyennes sont tirées, on choisit donc le couple médiane–EIQ. Avec $N = 9$ valeurs, la médiane est la $5^{\text{e}}$ valeur, et les quartiles sont les médianes des deux moitiés (sans la médiane).

Vendeur A : médiane $= 6$ ; la moitié inférieure $4\ ;\ 5\ ;\ 5\ ;\ 6$ donne $Q_1 = 5$ et la moitié supérieure $7\ ;\ 7\ ;\ 8\ ;\ 42$ donne $Q_3 = 7{,}5$, donc $\text{EIQ} = 7{,}5 - 5 = 2{,}5$.
Vendeur B : médiane $= 10$ ; la moitié inférieure $8\ ;\ 9\ ;\ 9\ ;\ 10$ donne $Q_1 = 9$ et la moitié supérieure $10\ ;\ 11\ ;\ 11\ ;\ 12$ donne $Q_3 = 11$, donc $\text{EIQ} = 11 - 9 = 2$.

(Avec la convention des valeurs de la série, $\frac{N}{4} = 2{,}25$ et $\frac{3N}{4} = 6{,}75$ : les quartiles sont les $3^{\text{e}}$ et $7^{\text{e}}$ valeurs, et les deux écarts interquartiles valent $2$.)
Des dispersions voisines (EIQ de $2{,}5$ et de $2$), mais la médiane de B ($10$) dépasse nettement celle de A ($6$) : un jour ordinaire, B vend plus — la moyenne de $10$ de A ne tient qu'à la journée exceptionnelle à $42$.

Compétences à pratiquer

Comparer avec les bons indicateurs

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

Taille (cm)	\([150\,;160[\)	\([160\,;170[\)	\([170\,;180[\)	\([180\,;190[\)	Total
Effectif \(n_i\)	5	8	4	3	20

Salaire	\([1000\,;1500[\)	\([1500\,;2000[\)	\([2000\,;2500[\)
Effectif \(n_i\)	\(12\)	\(20\)	\(8\)
Moyenne de la classe \(\bar{x}_i\)	\(1320\)	\(1700\)	\(2300\)

Durée	\([0\,;2[\)	\([2\,;4[\)	\([4\,;6[\)	\([6\,;8[\)
Effectif \(n_i\)	\(16\)	\(28\)	\(20\)	\(16\)

Note	\([0\,;20[\)	\([20\,;40[\)	\([40\,;60[\)	\([60\,;80[\)	\([80\,;100[\)	Total
Effectif \(n_i\)	5	10	20	10	5	50