Probabilités conditionnelles et probabilités totales

• Univers : \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), 6 issues équiprobables.
• Événement \(E\) (la face est bleue) : \(\{2, 4, 6\}\), donc \(P(E) = \frac{3}{6} \).
• Événement \(F\) (obtenir 6) : \(\{6\}\).
• Intersection \(E \cap F\) : \(\{6\}\), donc \(P(E \cap F) = \frac{1}{6}\).
• Probabilité conditionnelle : $$\begin{aligned} \PCondFr{F}{E} &= \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\\ &= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}\\ &= \frac{1}{6} \times \frac{6}{3}\\ &= \frac{1}{3}. \end{aligned}$$
• La probabilité d'obtenir un 6, sachant que la face est bleue, est \(\frac{1}{3}\).

Les élèves sont équiprobables. D'après le tableau : $$\begin{aligned} P(S) &= \frac{\Cardfr{S}}{\Cardfr{\Omega}} = \frac{240}{600} = \frac{2}{5}, \\ \PCondFr{D}{S} &= \frac{\Cardfr{S \cap D}}{\Cardfr{S}} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}, \\ \PCondFr{S}{D} &= \frac{\Cardfr{S \cap D}}{\Cardfr{D}} = \frac{180}{390} = \frac{6}{13}. \end{aligned}$$ \(\PCondFr{D}{S} = \frac{3}{4}\) : parmi les élèves de moins de 16 ans, trois sur quatre sont demi-pensionnaires. \(\PCondFr{S}{D} = \frac{6}{13}\) : parmi les demi-pensionnaires, six sur treize ont moins de 16 ans. Les deux probabilités ont le même numérateur \(180\) mais pas le même dénominateur, et elles répondent à deux questions différentes.

1. Sur \(10\,000\) personnes, \(1\pourcent\) sont malades : \(100\) malades et \(9\,900\) personnes saines. Le test est positif pour \(99\pourcent\) des \(100\) malades, soit \(99\) vrais positifs, et négatif pour l'autre, un faux négatif. Il est négatif pour \(95\pourcent\) des \(9\,900\) personnes saines, soit \(9\,405\), et positif pour les \(495\) autres.

   	Test positif \(T\)	Test négatif \(\overline{T}\)	Total
   Malade \(M\)	\(99\)	\(1\)	\(100\)
   Sain \(\overline{M}\)	\(495\)	\(9\,405\)	\(9\,900\)
   Total	\(594\)	\(9\,406\)	\(10\,000\)

2. L'événement connu choisit le dénominateur : $$\begin{aligned} \PCondFr{T}{M} &= \frac{\Cardfr{M \cap T}}{\Cardfr{M}} = \frac{99}{100}, \\ \PCondFr{M}{T} &= \frac{\Cardfr{M \cap T}}{\Cardfr{T}} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$$ Parmi les \(100\) malades, \(99\) sont testés positifs ; mais parmi les \(594\) personnes testées positives, seules \(99\) sont malades, une sur six, parce que les \(495\) faux positifs sont plus nombreux que les \(99\) vrais positifs : la maladie est rare, donc les personnes saines, même avec un petit taux d'erreur, fournissent la plupart des résultats positifs.

• Définir les événements :
  • \(S\) : Sam entraîne.
  • \(G\) : Le joueur est gardien.
• Définir les probabilités :
  • \(P(S) = \frac{6}{10}\) et \(P(\overline{S}) = 1 - P(S) = \frac{4}{10}\).
  • \(\PCondFr{G}{S} = \frac{1}{2}\) et \(\PCondFr{\overline{G}}{S} = 1 - \PCondFr{G}{S} = \frac{1}{2}\).
  • \(\PCondFr{G}{\overline{S}} = \frac{2}{3}\) et \(\PCondFr{\overline{G}}{\overline{S}} = 1 - \PCondFr{G}{\overline{S}} = \frac{1}{3}\).
• Diagramme en arbre :

1. Chemin : de \(S\) à \(G\) (mis en évidence) :
2. Calculer : $$\begin{aligned} P(S \cap G) &= P(S) \times \PCondFr{G}{S}\\ &= \frac{6}{10} \times \frac{1}{2}\\ &= \frac{3}{10}. \end{aligned}$$

1. Chemins vers \(G\) :
2. Calculer : $$\begin{aligned} P(G) &= \textcolor{colordef}{\frac{6}{10} \times \frac{1}{2}} + \textcolor{colorprop}{\frac{4}{10} \times \frac{2}{3}} \\ &= \textcolor{colordef}{\frac{3}{10}} + \textcolor{colorprop}{\frac{8}{30}} \\ &= \textcolor{colordef}{\frac{9}{30}} + \textcolor{colorprop}{\frac{8}{30}} \\ &= \frac{17}{30}. \end{aligned}$$

Oui. Aucun couple parmi les trois événements n'a d'issue commune (\(E_1 \cap E_2 = \emptyset\), \(E_1 \cap E_3 = \emptyset\) et \(E_2 \cap E_3 = \emptyset\)), et ensemble ils redonnent toutes les issues : \(E_1 \cup E_2 \cup E_3 = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\} = \Omega\). Chaque face du dé appartient donc à exactement un d'entre eux, donc \(\{E_1\,;\,E_2\,;\,E_3\}\) est une partition de \(\Omega\).

\(\PCondFr{F}{E} = 0{,}95\) est donné : la probabilité d'un test positif sachant que la personne est malade. L'autre, \(\PCondFr{E}{F}\), est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ; elle n'est pas donnée, et c'est elle qu'une personne testée veut connaître. $$\begin{aligned}[t] P(\overline{E}) &= 1 - P(E) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98 && \scriptscriptstyle\text{(règle du contraire)} \\ P(E \cap F) &= P(E) \times \PCondFr{F}{E} && \scriptscriptstyle\text{(règle du produit)} \\ &= 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019 \\ P(F) &= P(E)\,\PCondFr{F}{E} + P(\overline{E})\,\PCondFr{F}{\overline{E}} && \scriptscriptstyle\text{(probabilités totales)} \\ &= 0{,}019 + 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}117 \\ \PCondFr{E}{F} &= \frac{P(E \cap F)}{P(F)} && \scriptscriptstyle\text{(définition)} \\ &= \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}16 \end{aligned}$$ Donc \(\PCondFr{F}{E} = 0{,}95\) mais \(\PCondFr{E}{F} \approx 0{,}16\) : parmi les tests positifs, seulement un sur six environ vient d'un malade, parce que les personnes saines sont bien plus nombreuses et que \(10~\pourcent\) d'entre elles sont aussi positives. Les deux probabilités conditionnelles répondent à deux questions différentes. Renverser ainsi le conditionnement porte un nom et une formule : le théorème de Bayes.

1. 
2. \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) forment une partition (chaque boulon vient d'exactement une machine). Trois chemins mènent à \(D\) :
   \(\begin{aligned}[t]P(D) &= P(M_1)\PCondFr{D}{M_1} + P(M_2)\PCondFr{D}{M_2} + P(M_3)\PCondFr{D}{M_3} &&\text{(probabilités totales)}\\ &= 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}05\\ &= 0{,}01 + 0{,}009 + 0{,}01\\ &= 0{,}029\end{aligned}\)
3. \(\begin{aligned}[t]\PCondFr{M_3}{D} &= \dfrac{P(M_3 \cap D)}{P(D)} &&\text{(définition)}\\ &= \dfrac{0{,}2 \times 0{,}05}{0{,}029}\\ &= \dfrac{0{,}01}{0{,}029}\\ &\approx 0{,}345\end{aligned}\)
   \(M_3\) ne fabrique que \(20\pourcent\) des boulons, mais environ \(34{,}5\pourcent\) des boulons défectueux.

1. Premier niveau : \(M\) avec \(P(M) = 0{,}02\) et \(\overline{M}\) avec \(P(\overline{M}) = 0{,}98\). Second niveau : sous \(M\), \(T\) avec \(0{,}9\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}1\) ; sous \(\overline{M}\), \(\overline{T}\) avec \(0{,}95\) et \(T\) avec \(0{,}05\).
2. Les vrais positifs ont la probabilité \(P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}9 = 0{,}018\), les faux positifs \(P(\overline{M} \cap T) = 0{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}049\), donc \(P(T) = 0{,}067\) et $$\PCondFr{M}{T} = \frac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}269.$$
3. Les vrais négatifs ont la probabilité \(P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}98 \times 0{,}95 = 0{,}931\), les faux négatifs \(P(M \cap \overline{T}) = 0{,}02 \times 0{,}1 = 0{,}002\), donc \(P(\overline{T}) = 0{,}933\) et $$\PCondFr{\overline{M}}{\overline{T}} = \frac{0{,}931}{0{,}933} \approx 0{,}998.$$
4. Un résultat négatif est très fiable. Un résultat positif ne l'est pas : environ \(27\pourcent\) seulement des personnes testées positives portent le virus, parce que les \(5\pourcent\) de faux positifs sont pris sur la grande majorité saine. Un résultat positif appelle un second test, pas un verdict.

Avec la forme conditionnelle : \(P(M) = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4}\) et, parmi les \(240\) demi-pensionnaires, \(60\) jouent, donc \(\PCondFr{M}{S} = \dfrac{60}{240} = \dfrac{1}{4}\). Comme \(\PCondFr{M}{S} = P(M)\), les événements sont indépendants : savoir que l'élève est demi-pensionnaire ne change pas la chance qu'il joue.
Avec le produit : \(P(S) \times P(M) = \dfrac{240}{400} \times \dfrac{100}{400} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}\) et \(P(S \cap M) = \dfrac{60}{400} = \dfrac{3}{20}\). Même conclusion.