Éducation Nationale Française · Première Technologie
Probabilités conditionnelles, indépendance et probabilités totales
I
Du tableau croisé à la probabilité conditionnelle
I.1
Croiser deux variables qualitatives
Un fichier de données décrit des individus — personnes, animaux, villes, voitures — par plusieurs caractères : espèce, région, profession, niveau de satisfaction. Croiser deux de ces caractères dans un même tableau répond à des questions qu'une simple liste ne permet pas : les membres d'un groupe se comportent-ils comme ceux d'un autre ? quel groupe fournit la plupart d'une catégorie donnée ? Le tableau croisé d'effectifs est le premier outil de l'analyse de données, et sa lecture attentive est ce qui empêche de confondre « la plupart des accidents avec blessés ont lieu en ville » et « un accident en ville est plus souvent grave ».
Définition — Variable qualitative
Une variable qualitative décrit les individus d'une population par une catégorie, et non par un nombre. Ses valeurs possibles sont ses modalités. La variable est nominale quand les modalités n'ont pas d'ordre naturel (espèce, profession, département de résidence) et ordinale quand elles en ont un (niveau d'étude, degré de satisfaction, tranche d'âge). 
Définition — Tableau croisé d'effectifs
Deux variables qualitatives sont observées sur une même population de \(N\) individus. Le tableau croisé d'effectifs a une ligne par modalité de la première variable et une colonne par modalité de la seconde ; la case de la ligne \(A\) et de la colonne \(B\) contient l'effectif des individus qui ont à la fois les modalités \(A\) et \(B\), noté \(n(A \cap B)\). - La dernière colonne contient les totaux des lignes : \(n(A)\) est le nombre d'individus de la modalité \(A\).
- La dernière ligne contient les totaux des colonnes : \(n(B)\) est le nombre d'individus de la modalité \(B\).
- La case en bas à droite contient l'effectif total \(N\), qui est la somme des totaux des lignes et la somme des totaux des colonnes.
Exemple
Un jardinier relève l'espèce et l'état de santé des \(12\) arbres d'un parc : | Arbre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Espèce | chêne | érable | chêne | tilleul | chêne | érable |
| Santé | sain | malade | sain | sain | malade | sain |
| Arbre | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Espèce | tilleul | chêne | érable | chêne | tilleul | érable |
| Santé | sain | sain | malade | sain | sain | sain |
Les deux variables sont qualitatives : l'espèce (nominale, trois modalités) et la santé (nominale, deux modalités). Chaque arbre est compté dans exactement une case. Les chênes sont les arbres \(1\), \(3\), \(5\), \(8\), \(10\) : quatre sains, un malade. Les érables sont \(2\), \(6\), \(9\), \(12\) : deux et deux. Les tilleuls sont \(4\), \(7\), \(11\) : tous sains.
Contrôle : les totaux des lignes \(5 + 4 + 3\) et les totaux des colonnes \(9 + 3\) donnent tous deux les \(12\) arbres.
| Sain | Malade | Total | |
| Chêne | \(4\) | \(1\) | \(5\) |
| Érable | \(2\) | \(2\) | \(4\) |
| Tilleul | \(3\) | \(0\) | \(3\) |
| Total | \(9\) | \(3\) | \(12\) |
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les variables qualitatives
- Dresser un tableau croisé à partir d'une liste d'individus
I.2
Fréquences marginales
Définition — Fréquence marginale
Dans un tableau croisé d'effectif total \(N\), les totaux des lignes et des colonnes sont les effectifs marginaux : ils se lisent dans les marges du tableau. La fréquence marginale d'une modalité \(A\) est la proportion de la population entière qui a cette modalité : $$\textcolor{colordef}{f(A) = \frac{n(A)}{N}}.$$ De même la fréquence d'une case est \(\dfrac{n(A \cap B)}{N}\), la proportion de la population entière qui a les deux modalités. Les fréquences marginales des modalités d'une même variable ont pour somme \(1\), c'est-à-dire \(100\pourcent\). Exemple
Les \(200\) adhérents d'un club sportif sont répartis selon le genre et le sport pratiqué : | Natation | Athlétisme | Total | |
| Femmes | \(72\) | \(48\) | \(120\) |
| Hommes | \(32\) | \(48\) | \(80\) |
| Total | \(104\) | \(96\) | \(200\) |
Les effectifs marginaux sont les totaux des lignes et des colonnes ; chacun est divisé par \(N = 200\) : $$\begin{aligned} f(\text{Femmes}) &= \frac{120}{200} = 0{,}6, & f(\text{Hommes}) &= \frac{80}{200} = 0{,}4, \\
f(\text{Natation}) &= \frac{104}{200} = 0{,}52, & f(\text{Athlétisme}) &= \frac{96}{200} = 0{,}48. \end{aligned}$$ Contrôle : \(0{,}6 + 0{,}4 = 1\) et \(0{,}52 + 0{,}48 = 1\). Les femmes sont \(60\pourcent\) du club, et la natation est le sport de \(52\pourcent\) des adhérents.
Compétences à pratiquer
- Calculer des fréquences marginales
I.3
Fréquences conditionnelles
Définition — Fréquence conditionnelle
La fréquence conditionnelle d'une modalité \(B\) sachant une modalité \(A\) observée au moins une fois (\(n(A) > 0\)) est la proportion des individus de \(A\) qui ont aussi la modalité \(B\) : $$\textcolor{colordef}{f_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}}.$$ Elle se calcule à l'intérieur de la sous-population \(A\) : le numérateur est la case de la ligne \(A\) et de la colonne \(B\), le dénominateur est l'effectif marginal de \(A\), et non l'effectif total. Les fréquences conditionnelles sachant \(A\) de toutes les modalités de l'autre variable ont pour somme \(1\). Méthode — Profils en ligne et profils en colonne
Pour comparer les groupes définis par une variable : - Choisir la variable qui définit les groupes : ses modalités sont les lignes (ou les colonnes) du tableau.
- Diviser chaque case d'une ligne par le total de cette ligne (une ligne observée au moins une fois) : la ligne se lit alors en fréquences conditionnelles, son profil en ligne — la liste des \(f_A(B)\) pour la modalité \(A\) de cette ligne — de somme \(1\).
- Comparer les profils ligne par ligne : deux groupes de même profil se répartissent de la même façon sur l'autre variable.
Exemple
Dans le club sportif de \(200\) adhérents (femmes : \(72\) nageuses et \(48\) athlètes ; hommes : \(32\) nageurs et \(48\) athlètes) : - Calculer la fréquence de la natation parmi les femmes et parmi les hommes. Les deux groupes pratiquent-ils les mêmes sports dans les mêmes proportions ?
- Calculer la fréquence des femmes parmi les nageurs et parmi les athlètes.
- Les groupes sont les lignes. Chaque case est divisée par le total de sa ligne : $$\begin{aligned} f_{\text{Femmes}}(\text{Natation}) &= \frac{n(\text{Femmes} \cap \text{Natation})}{n(\text{Femmes})} = \frac{72}{120} = 0{,}6, \\ f_{\text{Hommes}}(\text{Natation}) &= \frac{n(\text{Hommes} \cap \text{Natation})}{n(\text{Hommes})} = \frac{32}{80} = 0{,}4. \end{aligned}$$ Les profils en ligne sont \((0{,}6\,;\,0{,}4)\) pour les femmes et \((0{,}4\,;\,0{,}6)\) pour les hommes : \(60\pourcent\) des femmes nagent, contre \(40\pourcent\) des hommes. Les deux groupes ne pratiquent pas les sports dans les mêmes proportions.
- Les groupes sont maintenant les colonnes. Chaque case est divisée par le total de sa colonne : $$\begin{aligned} f_{\text{Natation}}(\text{Femmes}) &= \frac{72}{104} = \frac{9}{13} \approx 0{,}69, \\ f_{\text{Athlétisme}}(\text{Femmes}) &= \frac{48}{96} = 0{,}5. \end{aligned}$$ Environ \(69\pourcent\) des nageurs sont des femmes, et exactement la moitié des athlètes. On remarque que \(f_{\text{Femmes}}(\text{Natation}) = 0{,}6\) et \(f_{\text{Natation}}(\text{Femmes}) \approx 0{,}69\) ont le même numérateur \(72\) mais pas le même dénominateur : « \(60\pourcent\) des femmes nagent » et « \(69\pourcent\) des nageurs sont des femmes » sont deux faits différents.
Lire une phrase
Une phrase sur un tableau croisé nomme une fréquence, et les mots disent laquelle. « \(60\pourcent\) des femmes nagent » : la population est restreinte aux femmes, puis on compte les nageuses parmi elles — une fréquence conditionnelle, \(f_{\text{Femmes}}(\text{Natation})\). « \(36\pourcent\) des adhérents sont des femmes qui nagent » : la population est le club entier et la catégorie est « femme et nageuse » — la fréquence d'une case, \(\frac{72}{200}\). « \(52\pourcent\) des adhérents nagent » : une fréquence marginale, \(f(\text{Natation})\). Les mots des, parmi, sur introduisent le groupe qui sert de dénominateur. Beaucoup de phrases des médias sont vraies et pourtant mal lues, parce que le lecteur prend un profil en colonne pour un profil en ligne : « la plupart des nageurs sont des femmes » ne veut pas dire que la plupart des femmes nagent. Dans un club où \(40\) des \(100\) femmes et \(10\) des \(100\) hommes nagent, \(80\pourcent\) des nageurs sont des femmes, alors que \(40\pourcent\) seulement des femmes nagent.
Compétences à pratiquer
- Calculer des fréquences conditionnelles
- Comparer des profils en ligne
- Lire une phrase
I.4
La probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle met à jour une probabilité lorsqu’une information nouvelle est connue. Par exemple, la probabilité de pluie augmente dès que des nuages sombres apparaissent : l’information supplémentaire change la probabilité.
On considère un sac de \(5\) boules rouges, \(3\) bleues et \(2\) vertes (\(10\) en tout). La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Si l'on apprend que la boule tirée n'est pas bleue, seules les \(5\) rouges et les \(2\) vertes (\(7\) en tout) restent possibles, donc la probabilité qu'elle soit rouge devient \(\frac{5}{7}\). C’est la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (la boule tirée n'est pas bleue) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, par exemple \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCondFr{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.
On considère un sac de \(5\) boules rouges, \(3\) bleues et \(2\) vertes (\(10\) en tout). La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Si l'on apprend que la boule tirée n'est pas bleue, seules les \(5\) rouges et les \(2\) vertes (\(7\) en tout) restent possibles, donc la probabilité qu'elle soit rouge devient \(\frac{5}{7}\). C’est la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (la boule tirée n'est pas bleue) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, par exemple \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCondFr{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.
On explore la probabilité conditionnelle avec un tableau croisé qui montre les préférences de 100 élèves pour les mathématiques, selon leur genre :
On choisit un élève au hasard, tous les élèves étant équiprobables. On calcule quelques probabilités :
| Aime les maths | N’aime pas les maths | Total | |
| Filles | 35 | 16 | 51 |
| Garçons | 30 | 19 | 49 |
| Total | 65 | 35 | 100 |
- Probabilité que l’élève soit une fille : $$\begin{aligned} P(\text{Fille}) &= \frac{\text{Nombre de filles}}{\text{Nombre d’élèves}} \\ &= \frac{51}{100}. \end{aligned}$$
- Probabilité que l’élève aime les maths et soit une fille : $$\begin{aligned} P(\text{Aime les maths et Fille}) &= \frac{\text{Nombre de filles qui aiment les maths}}{\text{Nombre d’élèves}} \\ &= \frac{35}{100}. \end{aligned}$$
- Probabilité que l’élève aime les maths, sachant que c’est une fille :
Puisque l’on sait que l’élève est une fille, on se concentre sur les 51 filles : $$\begin{aligned} \PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} &= \frac{\text{Nombre de filles qui aiment les maths}}{\text{Nombre de filles}} \\ &= \frac{35}{51}. \end{aligned}$$ - Lien avec la formule :
On remarque que : $$\begin{aligned} \PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} &=\frac{35}{51}\\ &= \frac{35/100}{51/100}\\ &= \dfrac{P(\text{Aime les maths et Fille})}{P(\text{Fille})}. \end{aligned}$$ Ce schéma donne la règle générale de la probabilité conditionnelle.
Définition — Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle d’un événement \(F\) sachant un événement \(E\) est la probabilité que \(F\) se produise sachant que \(E\) est réalisé. On la note \(\PCondFr{F}{E}\) et on la calcule comme suit : $$\textcolor{colordef}{\PCondFr{F}{E} = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}}, \quad \text{où } P(E) > 0.$$ Exemple
Un dé équilibré à six faces a les faces impaires (1, 3, 5) peintes en vert et les faces paires (2, 4, 6) peintes en bleu. On le lance et l’on observe que la face supérieure est bleue. Quelle est la probabilité que ce soit un 6 ? - Univers : \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), 6 issues équiprobables.
- Événement \(E\) (la face est bleue) : \(\{2, 4, 6\}\), donc \(P(E) = \frac{3}{6} \).
- Événement \(F\) (obtenir 6) : \(\{6\}\).
- Intersection \(E \cap F\) : \(\{6\}\), donc \(P(E \cap F) = \frac{1}{6}\).
- Probabilité conditionnelle : $$\begin{aligned} \PCondFr{F}{E} &= \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\\ &= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}\\ &= \frac{1}{6} \times \frac{6}{3}\\ &= \frac{1}{3}. \end{aligned}$$
- La probabilité d'obtenir un 6, sachant que la face est bleue, est \(\frac{1}{3}\).
Proposition — Fréquences et probabilités
Quand on choisit un individu au hasard dans la population, tous les individus étant équiprobables, la fréquence marginale d'une modalité \(A\) est la probabilité de l'événement « l'individu a la modalité \(A\) », et, pour une modalité \(A\) observée au moins une fois (\(n(A) > 0\)), la fréquence conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est la probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) : $$\textcolor{colorprop}{P(A) = f(A) = \frac{n(A)}{N}} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{\PCondFr{B}{A} = f_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}}.$$ Le vocabulaire statistique (sous-population, proportion, fréquence conditionnelle) et le vocabulaire probabiliste (événement, probabilité, probabilité conditionnelle) décrivent le même tableau. Proposition — Probabilité conditionnelle et effectifs
On choisit un individu au hasard, tous les individus étant équiprobables, dans une population \(\Omega\) de \(\Cardfr{\Omega}\) individus. Pour deux événements \(A\) et \(B\), où \(B\) contient au moins un individu : $$\textcolor{colorprop}{P(A) = \frac{\Cardfr{A}}{\Cardfr{\Omega}}} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{\PCondFr{A}{B} = \frac{\Cardfr{A \cap B}}{\Cardfr{B}}}.$$ Ici \(\Cardfr{A}\) est le nombre d'éléments de \(A\), noté aussi \(n(A)\). La probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est la proportion des individus de \(B\) qui sont aussi dans \(A\) : l'événement connu \(B\) devient la nouvelle population. Méthode — Lire une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé
Pour lire \(\PCondFr{A}{B}\) dans un tableau croisé d'effectifs : - Repérer l'événement connu \(B\) — celui qui suit « sachant que » — et sa ligne (ou sa colonne).
- Lire \(\Cardfr{B}\) dans la case Total de cette ligne (ou de cette colonne).
- Lire \(\Cardfr{A \cap B}\) dans la case où la ligne (ou la colonne) de \(B\) croise la colonne (ou la ligne) de \(A\).
- Diviser : \(\PCondFr{A}{B} = \dfrac{\Cardfr{A \cap B}}{\Cardfr{B}}\).
Exemple
Les \(600\) élèves d'un lycée sont répartis selon l'âge et le régime : | Demi-pensionnaire | Externe | Total | |
| Moins de 16 ans | \(180\) | \(60\) | \(240\) |
| 16 ans ou plus | \(210\) | \(150\) | \(360\) |
| Total | \(390\) | \(210\) | \(600\) |
Les élèves sont équiprobables. D'après le tableau : $$\begin{aligned} P(S) &= \frac{\Cardfr{S}}{\Cardfr{\Omega}} = \frac{240}{600} = \frac{2}{5}, \\
\PCondFr{D}{S} &= \frac{\Cardfr{S \cap D}}{\Cardfr{S}} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}, \\
\PCondFr{S}{D} &= \frac{\Cardfr{S \cap D}}{\Cardfr{D}} = \frac{180}{390} = \frac{6}{13}. \end{aligned}$$ \(\PCondFr{D}{S} = \frac{3}{4}\) : parmi les élèves de moins de 16 ans, trois sur quatre sont demi-pensionnaires. \(\PCondFr{S}{D} = \frac{6}{13}\) : parmi les demi-pensionnaires, six sur treize ont moins de 16 ans. Les deux probabilités ont le même numérateur \(180\) mais pas le même dénominateur, et elles répondent à deux questions différentes.
Inverser le conditionnement
\(\PCondFr{A}{B}\) et \(\PCondFr{B}{A}\) ne sont pas égales en général : elles ont le même numérateur \(\Cardfr{A \cap B}\), mais l'une divise par \(\Cardfr{B}\) et l'autre par \(\Cardfr{A}\). Les phrases de tous les jours glissent souvent de l'une à l'autre. On considère les trajets à vélo faits dans une ville pendant une année, et soient \(J\) « le trajet est fait de jour » et \(V\) « le cycliste est victime d'une blessure pendant le trajet ». « La plupart des cyclistes blessés roulaient de jour » parle de \(\PCondFr{J}{V}\), qui serait grande même si le jour n'était pas plus dangereux que la nuit, simplement parce que la plupart des trajets se font de jour ; à elle seule, elle ne dit rien de \(\PCondFr{V}{J}\), le risque d'un trajet de jour. Un tableau croisé d'effectifs tient les deux séparées : l'événement connu choisit la ligne ou la colonne, donc le dénominateur.
Exemple
Dans une population, \(1\pourcent\) des personnes ont une certaine maladie. Un test de dépistage est positif pour \(99\pourcent\) des malades (sa sensibilité) et négatif pour \(95\pourcent\) des personnes saines (sa spécificité). On choisit une personne au hasard ; soient \(M\) « la personne est malade » et \(T\) « le test est positif ». - Compléter un tableau croisé d'effectifs pour une population de \(10\,000\) personnes.
- Calculer \(\PCondFr{T}{M}\) et \(\PCondFr{M}{T}\), puis les comparer.
- Sur \(10\,000\) personnes, \(1\pourcent\) sont malades : \(100\) malades et \(9\,900\) personnes saines. Le test est positif pour \(99\pourcent\) des \(100\) malades, soit \(99\) vrais positifs, et négatif pour l'autre, un faux négatif. Il est négatif pour \(95\pourcent\) des \(9\,900\) personnes saines, soit \(9\,405\), et positif pour les \(495\) autres.
Test positif \(T\) Test négatif \(\overline{T}\) Total Malade \(M\) \(99\) \(1\) \(100\) Sain \(\overline{M}\) \(495\) \(9\,405\) \(9\,900\) Total \(594\) \(9\,406\) \(10\,000\) - L'événement connu choisit le dénominateur : $$\begin{aligned} \PCondFr{T}{M} &= \frac{\Cardfr{M \cap T}}{\Cardfr{M}} = \frac{99}{100}, \\ \PCondFr{M}{T} &= \frac{\Cardfr{M \cap T}}{\Cardfr{T}} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$$ Parmi les \(100\) malades, \(99\) sont testés positifs ; mais parmi les \(594\) personnes testées positives, seules \(99\) sont malades, une sur six, parce que les \(495\) faux positifs sont plus nombreux que les \(99\) vrais positifs : la maladie est rare, donc les personnes saines, même avec un petit taux d'erreur, fournissent la plupart des résultats positifs.
Compétences à pratiquer
- Explorer des probabilités avec des tableaux croisés
- Lire et inverser une probabilité conditionnelle
- Passer des mots aux symboles
- Calculer des probabilités conditionnelles
- Dresser un tableau croisé à partir d'un texte
II
Arbres et probabilités totales
II.1
Les arbres pondérés
Du tableau à l'arbre
Le tableau croisé des \(100\) élèves se lit en deux temps : d'abord le genre, puis, dans le genre choisi, le goût pour les maths. Dessinés en branches, ces deux temps font un arbre : un premier niveau avec \(P(\text{Fille}) = \frac{51}{100}\) et \(P(\text{Garçon}) = \frac{49}{100}\), puis, le long de la branche « Fille », \(\PCondFr{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} = \frac{35}{51}\) et \(\PCondFr{\text{N'aime pas les maths}}{\text{Fille}} = \frac{16}{51}\). Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : c'est ce qui en fait un arbre de probabilités conditionnelles, et ce que fixe la Définition « Arbre pondéré ».
Définition — Arbre pondéré
Un arbre pondéré (ou diagramme en arbre des probabilités conditionnelles) représente les probabilités d’une succession d’événements : - Chaque branche issue d’un nœud indique soit une probabilité non conditionnelle (par exemple, \(P(E)\)), soit une probabilité conditionnelle (par exemple, \(\PCondFr{F}{E}\)).
- Les événements sont indiqués à la fin de chaque branche.
- Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont pour somme \(1\) (règle de la somme) : par exemple \(\PCondFr{\overline{F}}{E} = 1 - \PCondFr{F}{E}\).
- La probabilité de l’intersection des événements rencontrés le long d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin (règle du produit).
Exemple
La probabilité que Sam entraîne un match est de \(\frac{6}{10}\), et qu’Alex entraîne est de \(\frac{4}{10}\). Si Sam entraîne, la probabilité qu’un joueur soit gardien est de \(\frac{1}{2}\) ; si Alex entraîne, elle est de \(\frac{2}{3}\).Dessiner le diagramme en arbre.
- Définir les événements :
- \(S\) : Sam entraîne.
- \(G\) : Le joueur est gardien.
- Définir les probabilités :
- \(P(S) = \frac{6}{10}\) et \(P(\overline{S}) = 1 - P(S) = \frac{4}{10}\).
- \(\PCondFr{G}{S} = \frac{1}{2}\) et \(\PCondFr{\overline{G}}{S} = 1 - \PCondFr{G}{S} = \frac{1}{2}\).
- \(\PCondFr{G}{\overline{S}} = \frac{2}{3}\) et \(\PCondFr{\overline{G}}{\overline{S}} = 1 - \PCondFr{G}{\overline{S}} = \frac{1}{3}\).
- Diagramme en arbre :
Compétences à pratiquer
- Identifier des arbres pondérés
- Construire des arbres pondérés
II.2
La règle du produit sur un chemin
Parfois, on connaît \(P(E)\) et \(\PCondFr{F}{E}\), et l’on veut déterminer la probabilité que \(E\) et \(F\) se produisent ensemble — par exemple, la probabilité qu’un élève soit une fille qui aime les mathématiques. Cette probabilité s’appelle la probabilité conjointe \(P(E \cap F)\).
Proposition — Formule de la probabilité conjointe
Pour \(P(E) > 0\) et \(P(F) > 0\) respectivement : $$P(E \cap F) = P(E) \times \PCondFr{F}{E}, \quad P(E \cap F) = P(F) \times \PCondFr{E}{F}.$$ Méthode — Calculer \(P(E \cap F)\) à l'aide d'un arbre pondéré
- Repérer le chemin qui réalise à la fois \(E\) et \(F\).
- Multiplier les probabilités le long de ce chemin.
Exemple
Pour cet arbre de probabilité, - Chemin : de \(S\) à \(G\) (mis en évidence) :
- Calculer : $$\begin{aligned} P(S \cap G) &= P(S) \times \PCondFr{G}{S}\\ &= \frac{6}{10} \times \frac{1}{2}\\ &= \frac{3}{10}. \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer des probabilités conjointes avec un arbre
II.3
La formule des probabilités totales
Deux chemins vers le même événement
Dans un arbre à deux étapes, l'événement \(F\) apparaît au bout de deux chemins : en passant par \(E\), et en passant par \(\overline{E}\). Chaque chemin a sa probabilité, le produit le long de ses branches. Les deux chemins ne peuvent pas se réaliser ensemble, puisque \(E\) et \(\overline{E}\) sont incompatibles, et à eux deux ils couvrent toutes les façons pour \(F\) de se réaliser, puisque \(E\) et \(\overline{E}\) sont contraires. La probabilité de \(F\) est donc la somme des probabilités des deux chemins. Écrite avec des probabilités conditionnelles, c'est la loi de la probabilité totale.
Méthode — Calculer \(P(F)\) à l'aide d'un arbre
- Repérer tous les chemins qui mènent à \(F\).
- Calculer le produit des probabilités le long de chaque chemin, puis additionner ces produits.
Exemple
Pour cet arbre de probabilité, - Chemins vers \(G\) :
- Calculer : $$\begin{aligned} P(G) &= \textcolor{colordef}{\frac{6}{10} \times \frac{1}{2}} + \textcolor{colorprop}{\frac{4}{10} \times \frac{2}{3}} \\ &= \textcolor{colordef}{\frac{3}{10}} + \textcolor{colorprop}{\frac{8}{30}} \\ &= \textcolor{colordef}{\frac{9}{30}} + \textcolor{colorprop}{\frac{8}{30}} \\ &= \frac{17}{30}. \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer des probabilités avec un arbre
- Calculer des probabilités dans des problèmes concrets
II.4
Tests de dépistage : faux positifs et faux négatifs
Définition — Test de dépistage : sensibilité, spécificité, valeurs prédictives
Un test de dépistage répond par oui ou non à une question sur un individu (la personne est-elle malade ? le bagage contient-il un objet interdit ?) par un résultat qui peut être faux. Soient \(M\) l'événement « l'individu a la caractéristique » et \(T\) l'événement « le test est positif ». Les quatre situations possibles sont nommées : | test positif \(T\) | test négatif \(\overline{T}\) | |
| \(M\) (l'a) | vrai positif | faux négatif |
| \(\overline{M}\) (ne l'a pas) | faux positif | vrai négatif |
- sa sensibilité \(\PCondFr{T}{M}\), probabilité d'un résultat positif pour un individu qui a la caractéristique ;
- sa spécificité \(\PCondFr{\overline{T}}{\overline{M}}\), probabilité d'un résultat négatif pour un individu qui ne l'a pas.
- la valeur prédictive positive \(\PCondFr{M}{T}\), probabilité d'avoir la caractéristique quand le test est positif ;
- la valeur prédictive négative \(\PCondFr{\overline{M}}{\overline{T}}\), probabilité de ne pas l'avoir quand le test est négatif.
Exemple
Dans une population, \(2\pourcent\) des personnes portent un virus. Un test de dépistage a une sensibilité de \(0{,}9\) et une spécificité de \(0{,}95\). Une personne est testée au hasard. - Représenter la situation par un arbre pondéré.
- Calculer la valeur prédictive positive du test.
- Calculer sa valeur prédictive négative.
- Commenter.
- Premier niveau : \(M\) avec \(P(M) = 0{,}02\) et \(\overline{M}\) avec \(P(\overline{M}) = 0{,}98\). Second niveau : sous \(M\), \(T\) avec \(0{,}9\) et \(\overline{T}\) avec \(0{,}1\) ; sous \(\overline{M}\), \(\overline{T}\) avec \(0{,}95\) et \(T\) avec \(0{,}05\).
- Les vrais positifs ont la probabilité \(P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}9 = 0{,}018\), les faux positifs \(P(\overline{M} \cap T) = 0{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}049\), donc \(P(T) = 0{,}067\) et $$\PCondFr{M}{T} = \frac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}269.$$
- Les vrais négatifs ont la probabilité \(P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}98 \times 0{,}95 = 0{,}931\), les faux négatifs \(P(M \cap \overline{T}) = 0{,}02 \times 0{,}1 = 0{,}002\), donc \(P(\overline{T}) = 0{,}933\) et $$\PCondFr{\overline{M}}{\overline{T}} = \frac{0{,}931}{0{,}933} \approx 0{,}998.$$
- Un résultat négatif est très fiable. Un résultat positif ne l'est pas : environ \(27\pourcent\) seulement des personnes testées positives portent le virus, parce que les \(5\pourcent\) de faux positifs sont pris sur la grande majorité saine. Un résultat positif appelle un second test, pas un verdict.
Compétences à pratiquer
- Inverser le conditionnement : les faux positifs
III
Indépendance
III.1
Événements indépendants
Définition — Événements indépendants
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants quand la probabilité que les deux se produisent (c’est-à-dire \(P(A\cap B)\) ou \(P(A \text{ et } B)\)) est le produit de leurs probabilités individuelles. On parle alors de règle de multiplication pour des événements indépendants : $$P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)$$ Compétences à pratiquer
- Décider si deux événements sont indépendants
III.2
Indépendance et probabilité conditionnelle
Deux événements sont indépendants quand la probabilité des deux est le produit de leurs probabilités. Les mots qui servent à l'expliquer, « savoir l'un ne change pas les chances de l'autre », peuvent maintenant devenir exacts : c'est une phrase sur une probabilité conditionnelle. L'indépendance ne doit pas être confondue avec l'incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \(E \cap F = \emptyset\) donne \(P(E \cap F) = P(\emptyset) = 0\), alors que \(P(E) \times P(F) \neq 0\).
Proposition — Caractérisation conditionnelle de l'indépendance
Soit \(E\) et \(F\) deux événements avec \(P(E) > 0\) et \(P(F) > 0\). Alors $$E \text{ et } F \text{ sont indépendants} \iff \PCondFr{F}{E} = P(F) \iff \PCondFr{E}{F} = P(E).$$ Savoir que \(E\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(F\), et savoir \(F\) ne change pas la probabilité de \(E\). La forme produit est la définition ; la forme conditionnelle en est le sens, et celle qui sert quand un événement est donné comme connu. Exemple
Les \(400\) élèves d'un lycée sont répartis selon le régime et la pratique d'un instrument de musique. | Joue d'un instrument | N'en joue pas | Total | |
| Demi-pensionnaires | \(60\) | \(180\) | \(240\) |
| Externes | \(40\) | \(120\) | \(160\) |
| Total | \(100\) | \(300\) | \(400\) |
Avec la forme conditionnelle : \(P(M) = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4}\) et, parmi les \(240\) demi-pensionnaires, \(60\) jouent, donc \(\PCondFr{M}{S} = \dfrac{60}{240} = \dfrac{1}{4}\). Comme \(\PCondFr{M}{S} = P(M)\), les événements sont indépendants : savoir que l'élève est demi-pensionnaire ne change pas la chance qu'il joue.
Avec le produit : \(P(S) \times P(M) = \dfrac{240}{400} \times \dfrac{100}{400} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}\) et \(P(S \cap M) = \dfrac{60}{400} = \dfrac{3}{20}\). Même conclusion.
Avec le produit : \(P(S) \times P(M) = \dfrac{240}{400} \times \dfrac{100}{400} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}\) et \(P(S \cap M) = \dfrac{60}{400} = \dfrac{3}{20}\). Même conclusion.
Proposition — Indépendance et événement contraire
Si \(E\) et \(F\) sont indépendants, alors \(E\) et \(\overline{F}\), \(\overline{E}\) et \(F\), \(\overline{E}\) et \(\overline{F}\) le sont aussi : chacun de ces couples vérifie la règle du produit. Compétences à pratiquer
- Calculer une probabilité conditionnelle pour tester l'indépendance
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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