Comment enseigner les fonctions

Ce guide s'adresse aux enseignants qui utilisent CommeUnJeu avec une classe, de la première courbe au CM1 jusqu'à la fonction écrite \(f : x \longmapsto f(x)\) en Seconde. Une seule machine porte tout le parcours : un nombre entre, la machine applique sa règle, et il en sort une seule sortie. Le dessin de la machine change avec l'âge des élèves, la machine ne change pas. Le guide montre cette machine telle que les cours la montrent, la suit classe par classe avec les figures et les vidéos des chapitres, et dit où elle ne suffit pas. Dans chaque chapitre, vous trouvez :

• des sections qui s'ouvrent le plus souvent sur une courte vidéo (le guide les reprend aussi, en tête des passages qu'elles concernent) ;
• le cours : définitions, méthodes et exemples rédigés, à projeter ou à imprimer (le PDF du cours et celui des corrections sont en haut de la page du chapitre) ;
• sous chaque section, les compétences à pratiquer : des groupes d'exercices corrigés aussitôt, chaque réponse suivie de sa correction rédigée ;
• certains exercices se rédigent sur papier ou à l'ardoise : l'élève dessine la machine, y fait passer un nombre, puis écrit le calcul, et envoie la photo de sa copie pour la faire corriger.

La première définition est déjà la bonne, et les années suivantes ne font que la réécrire : une fonction est une règle qui prend un nombre en entrée et donne en retour une seule sortie. Pour chaque entrée, la machine donne toujours la même sortie et suit toujours la même règle. Dans le programme français, la machine arrive en 5e, avec cette vidéo en tête du chapitre ; elle y est dessinée une seule fois en robot, au moment où elle devient une boîte (la figure est au paragraphe suivant). Les couleurs ne changent pas d'une année à l'autre : l'entrée en rouge, la règle en vert olive, la sortie en bleu. Tout ce qui suit se dit sur cette machine.

• Un tableau de valeurs donne quelques entrées et leurs sorties : c'est le carnet de la machine, pas la machine.
• Une formule est une façon d'écrire la règle ; une fonction n'en a pas besoin. Un tableau de paliers, lu cas par cas, est aussi une règle.
• Une courbe place chaque couple (entrée ; sortie) comme un point ; la machine donne les points, pas le trait tracé entre eux.
• Faire tourner la machine à l'envers, c'est chercher les entrées qui donnent une sortie connue : aucune, une ou plusieurs entrées, et la machine reste une fonction.

Le mot « relation » sert à autre chose : dire le lien entre deux grandeurs, par une formule ou par un graphique tiré d'une situation — le côté et le périmètre d'un carré, deux grandeurs relevées dans un tableau. En 5e et en 4e, les sections « relation » le disent dans ce sens, et « en fonction de » s'y dit avec la même machine. Le cours ne construit jamais la fonction comme une relation qui serait un ensemble de couples avec une condition de plus : les couples arrivent avec la courbe, comme les points que donne la machine.

La machine est la même de 9 à 16 ans, mais un robot est un dessin enfantin pour un élève de 13 ans. Les cours emploient donc trois dessins de la même machine — le robot jusque vers 11 ans, la boîte à partir de 12 ans environ, la flèche vers 15 ans — et montrent chaque changement une seule fois, les deux dessins côte à côte. Le programme français, lui, fait entrer la notion de fonction au cycle 4, à partir des grandeurs : il n'y a pas de machine avant la 5e (le CM1 et le CM2 rencontrent la courbe de mesures, voir plus bas).

• En 5e : le robot, une seule fois, puis la boîte. La remarque « La machine, dessinée comme une boîte » montre le robot et la boîte côte à côte : une boîte où la règle est écrite, une flèche pour l'entrée qui y entre, une flèche pour la sortie qui en sort. La même remarque donne ensuite un nom à la machine, \(f\), et écrit sa sortie \(f(x)\), qui se lit « \(f\) de \(x\) » :
• De la 5e à la 3e : la boîte. Elle sert à dire « en fonction de » (le côté \(c\) entre, le périmètre \(P\) sort), à dessiner une fonction comme deux machines en chaîne, à raisonner sur une machine avant de l'écrire.
• En 3e, puis en Seconde : la flèche. La définition de la 3e montre la boîte et l'écriture sur une ligne côte à côte ; c'est la figure à montrer le jour où l'on écrit \(f : x \longmapsto f(x)\), et la Seconde la reprend telle quelle.
• Après 15 ans, la boîte ne revient que pour la composition. Deux machines en chaîne, la sortie de la première entrant dans la seconde, se lisent mieux dessinées qu'écrites. Les cours de terminale qui composent des fonctions les dessinent (Dérivation composée et convexité en spécialité, Composition de fonctions en STI2D et STL) :

Changer de dessin, jamais de machine. Quand la boîte remplace le robot, dire que c'est la même machine ; quand la notation \(f(x)\) apparaît, redire ce qu'elle signifie : la sortie que la machine \(f\) donne à l'entrée \(x\).

Chaque chapitre reprend la machine où l'année précédente l'a laissée, puis va un pas plus loin. Le tableau donne ce pas et le lien vers le chapitre. Le CM1 et le CM2 n'ont pas encore de machine : leurs chapitres de données y préparent par la courbe ; la 6e ne sert pas la notion.

Classe	Chapitre	Ce qui est nouveau
CM1	Organisation et gestion de données	un point pour chaque mesure ; ce que la courbe montre, et ce qu'elle ne montre pas
CM2	Organisation et gestion de données	la même courbe, reprise : placer les points, puis les joindre
5e	Fonctions	la machine, du robot à la boîte, puis \(f(x)\) ; raisonner avec des machines ; dessiner une fonction comme une machine ; la relation entre deux grandeurs ; « en fonction de »
5e	Équations	le programme de calcul, machines en chaîne, et le remonter
4e	Fonctions	les relations entre grandeurs, avec le repère ; dérouler, remonter un programme de calcul ; du programme à la formule
3e	Fonctions	la boîte nommée \(f\), puis \(f : x \longmapsto f(x)\) ; les tableaux ; le repère, puis la courbe et le test de la droite verticale ; l'image ; les antécédents, lus puis calculés ; décider si c'est une fonction ; linéaires et affines
2de	Généralités sur les fonctions	la flèche ; l'ensemble de définition ; la courbe et les antécédents ; équations et inéquations, par le graphique puis par le calcul

Dans le cours. Pas encore de machine : le chapitre de données du CM1 montre comment une grandeur change, par une courbe. Deux droites qui se croisent forment un repère ; chaque mesure devient un point, qui porte deux renseignements à la fois, le mois et la température. La méthode a trois temps : lire le tableau une mesure à la fois et placer chaque point ; joindre les points dans l'ordre, de gauche à droite ; vérifier un point en sens inverse, en retrouvant ses deux valeurs dans le tableau. Puis la propriété qui servira jusqu'en Seconde : les points disent déjà toutes les mesures, les joindre montre la forme du changement, mais la courbe joint les mesures ; elle n'invente pas celles que l'on n'a jamais prises. Les exercices. Lire la courbe (le mois d'une température, les mois au-dessus de \(15\,^\circ\)C, la plus forte baisse), placer un point pour chaque mesure d'une plante qui pousse ; le CM2 reprend la lecture. L'exercice rédigé de Sami, au CM1, est le cœur du chapitre : il lit \(20\,^\circ\)C sur le trait, à mi-chemin entre août et septembre, et croit l'avoir mesuré. Point de vigilance. Ce point n'est pas l'un des points empilés d'un diagramme à points, que les élèves connaissent : il porte deux valeurs. Faire dire les deux à voix haute, « en août, \(22\) degrés », avant de lire la courbe.

Dans le cours. Le chapitre s'ouvre sur la machine, du robot à la boîte (la figure est plus haut), puis lui donne un nom. L'exemple qui suit fait d'un programme de calcul une fonction : « Choisir un nombre. Multiplier le nombre choisi par \(3\). Ajouter \(1\) au résultat obtenu. » ; on fait tourner le programme sur \(x\), étape par étape, et la correction le dessine en chaîne. Le résultat est toujours \(3 \times x + 1\), donc \(f(x) = 3x + 1\), et un contrôle avec un nombre : pour \(x = 2\), \(2 \to 6 \to 7\), et \(f(2) = 7\). Les exercices. Deux groupes rédigés portent la machine. Raisonner avec des machines-fonctions : une machine qui répond \(10\) hier et \(12\) aujourd'hui pour la même entrée \(5\) n'est pas une fonction ; une machine qui répond \(7\) à toute entrée en est une, même si « elle ne calcule rien » ; « multiplier par \(2\) » et « additionner l'entrée à elle-même » sont la même machine. Dessiner une fonction comme une machine : dessiner \(f(x) = 3x + 1\) comme deux machines en chaîne ; échanger deux machines et constater que la fonction change ; remonter la chaîne depuis la sortie \(22\) ; reconnaître que \(u(x) = 2(x + 3)\) et \(v(x) = 2x + 6\) sont une seule fonction, et que \(w(x) = 2x + 3\) en est une autre ; la machine de la poste, qui donne le prix d'une lettre selon sa masse, par paliers, sans aucune formule. Point de vigilance. La machine mystère jouée en « devine ma règle ». Les résultats de quelques entrées peuvent rejeter une règle, jamais la prouver : les exercices rédigés de machine mystère demandent « une règle qui convient » et acceptent toute sortie cohérente avec la règle trouvée par l'élève. Le dire de la même façon en classe.

Dans le cours. « Une relation décrit comment deux variables (grandeurs) sont liées. » Le chapitre de 5e enchaîne après la machine : une relation, un tableau, un graphique, puis « exprimer une grandeur en fonction d'une autre ». C'est là que la relation et la machine se rejoignent : quand chaque valeur de la première grandeur détermine exactement une valeur de la seconde, la seconde s'exprime en fonction de la première, et la dépendance se dessine comme une machine. La définition ajoute la covariation, que la machine seule ne dit pas : « quand le côté augmente de \(1\) cm, le périmètre augmente de \(4\) cm, quel que soit le côté ». La méthode qui suit représente la même dépendance de quatre façons : une formule, \(P = 4 \times c\) ; la notation fonctionnelle, \(P(3) = 12\) ; un tableau de valeurs ; un graphique. Point de vigilance. \(P(3)\) lu « \(P\) fois \(3\) ». La méthode le dit en toutes lettres : les parenthèses ne signifient pas « \(P\) fois \(3\) » ; elles disent « le périmètre quand le côté vaut \(3\) ». Le répéter chaque fois qu'une lettre de grandeur devient le nom d'une fonction.

Dans le cours. La 4e reprend les relations entre grandeurs, et place le repère du plan juste avant les graphiques. La méthode « de la formule au graphique » dit quand relier les points : seulement si la grandeur de départ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires (une longueur, une durée), jamais pour un nombre d'objets ; et entre deux points calculés, la forme du trait « reste une conjecture ; calculer une valeur de plus avec la formule peut la démentir, jamais la prouver ». La seconde partie du chapitre est celle que le programme de 2026 demande en 4e : appliquer un programme de calcul, puis le remonter pour retrouver le nombre de départ. Un programme de calcul est une chaîne de petites machines, chacune avec sa règle : un nombre de départ donne un seul résultat (la section sur la machine à l'envers y revient). La dernière sous-section, « Du programme à la formule », fait de la chaîne une expression ; l'année suivante, l'expression devient la règle d'une fonction nommée. Point de vigilance. Les points reliés par habitude. Poser la question avant de tracer : la grandeur de départ peut-elle prendre les valeurs intermédiaires ?

Dans le cours. Le problème d'ouverture rappelle la boîte des années précédentes, « multiplier par \(2\) », son tableau, puis lui donne un nom : \(f(\text{entrée}) = \text{sortie}\), puis \(f(x) = 2x\). La définition suit, avec la boîte et la flèche côte à côte (voir la section sur les trois dessins) : \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\), et \(x\) un antécédent de \(f(x)\). Viennent les tableaux de valeurs, puis le repère du plan, juste avant la courbe qui s'en sert. La courbe représentative est l'ensemble de tous les points \((x\,;\,f(x))\) ; « Un tableau de valeurs ne donne que quelques-uns de ces points : les relier est une conjecture tant que la règle ne donne pas les valeurs intermédiaires ». Le test de la droite verticale lit la définition sur la courbe : les points d'une droite verticale partagent tous la même entrée, deux intersections donneraient donc deux sorties à une même entrée. Puis l'image lue sur la courbe, et les antécédents : lus sur la courbe, dans un tableau, puis calculés (la section sur la machine à l'envers). La troisième partie du chapitre traite des fonctions linéaires et affines, qui ont leur propre progression. Les exercices. Outre les gammes de chaque section, deux groupes rédigés : « Dessiner une fonction comme une machine », repris de la 5e, et « Décider si c'est une fonction », qui demande des raisons tirées de la définition : deux diagrammes en flèches, deux dessins à passer au test de la droite verticale, deux tableaux (dont un constant), l'affirmation de Lina selon laquelle une fonction ne peut pas donner deux fois la même sortie, et des situations de la classe (à chaque âge présent, associer chaque élève qui a cet âge). Le groupe « Raisonner » de fin de chapitre fait tourner la machine carré à l'envers (la tâche décortiquée plus bas). Point de vigilance. Le test de la droite verticale appris comme une astuce. Demander chaque fois ce qu'est une droite verticale : tous les points qui ont la même entrée.

Dans le cours. Une machine n'accepte pas toutes les entrées. La définition de la 3e le disait déjà : « Les entrées que la machine accepte sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles la règle donne une sortie ». La Seconde les nomme : l'ensemble de définition est « l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \(f(x)\) a un sens […] : les entrées que la machine accepte » ; l'ensemble image est celui des sorties effectivement obtenues. Lorsqu'une fonction est donnée avec son ensemble de définition, c'est cet ensemble ; lorsque seule l'expression est donnée, c'est l'ensemble des réels pour lesquels elle a un sens. Le chapitre reprend ensuite les tableaux, la courbe et les antécédents, puis résout des équations et des inéquations, d'abord par le graphique, puis par le calcul. Point de vigilance. La boîte prise pour une machine qui accepte tous les nombres. La boîte ne porte pas son ensemble de définition ; le dire chaque fois que la règle ne s'applique pas (une division par zéro, la racine carrée d'un nombre négatif), et faire écrire l'ensemble des entrées à côté de la boîte.

Faire tourner la machine dans le bon sens donne la sortie d'une entrée ; la faire tourner à l'envers, c'est chercher les entrées qui donnent une sortie connue. Le geste est le même de la 5e à la Seconde, seules ses réponses changent.

• En 5e et en 4e : remonter un programme de calcul. Un programme est fait de petites machines en chaîne. Dans ce dessin, les cases portent les nombres et chaque flèche est une machine : $$\boxed{3} \xrightarrow{\times 2} \boxed{6} \xrightarrow{+7} \boxed{13}$$ « Quand chaque étape se défait, on remonte le programme avec les opérations inverses, dans l'ordre inverse : à partir de \(13\), soustraire \(7\), puis diviser par \(2\), pour retrouver \(3\). » La définition est dans le chapitre « Équations » de 5e et dans le chapitre « Fonctions » de 4e.
• En 5e et en 3e : remonter une chaîne de boîtes. L'exercice rédigé de \(f(x) = 3x + 1\) demande l'entrée qui donne \(22\) : à l'envers, on défait d'abord la dernière machine, \(22 - 1 = 21\), puis \(21 \div 3 = 7\), et l'on contrôle dans le bon sens, \(7 \to 21 \to 22\). Les critères de correction pénalisent les opérations inverses dans le mauvais ordre (\(22 \div 3\) d'abord) et l'absence de contrôle.
• En 3e et en Seconde : les antécédents. « si l'on connaît la sortie, peut-on retrouver la ou les entrées qui l'ont produite ? » On les lit sur la courbe, dans un tableau, puis on les calcule : poser l'équation \(f(x) = y\) et la résoudre. Avec la fonction carré, le cours de 3e donne les trois cas : un nombre strictement positif a deux antécédents, opposés l'un de l'autre (ceux de \(16\) sont \(4\) et \(-4\)) ; \(0\) en a un seul ; un nombre strictement négatif n'en a aucun.

À l'envers, aucune, une ou plusieurs entrées ; la machine reste une fonction. Faire tourner une machine à l'envers ne donne pas toujours une fonction : la machine carré, qui donne \(16\) à \(4\) comme à \(-4\), ne se défait pas sur tous les nombres (la tâche décortiquée plus bas).

« Une fonction, c'est une formule. » La machine mystère jouée en « devine ma règle » l'enseigne. La machine de la poste y répond, en 5e et en 3e : le prix d'une lettre dépend de sa masse par paliers (\(1{,}30 \Euro\) jusqu'à \(20\) g, puis \(2{,}60 \Euro\) jusqu'à \(100\) g, puis \(4{,}20 \Euro\) jusqu'à \(250\) g). C'est une fonction, car chaque masse acceptée tombe dans une seule ligne, et aucune formule \(a \times m + b\) ne l'écrit : « une fonction n'a pas besoin de formule ». Les machines mystère, de leur côté, demandent « une règle qui convient », testée sur chaque colonne. « Une machine qui répond toujours la même chose n'est pas une fonction. » En 5e, Zoé dit d'une machine qui répond \(7\) à toute entrée qu'« elle ne calcule rien ». En 3e, un tableau dont toutes les sorties valent \(5\) est le tableau d'une fonction : c'est la fonction constante, dont la machine répond \(5\) à toutes les questions. « Une fonction ne peut pas donner deux fois la même sortie. » La définition se lit dans un seul sens. Sur un diagramme en flèches, tout le test tient en une phrase : une seule flèche part de chaque entrée, et le nombre de flèches qui arrivent sur une sortie ne compte pas. Le diagramme 1 est une fonction, même si deux élèves partagent le rouge ; le diagramme 2 n'en est pas une, Ali envoie deux flèches. En 3e, l'affirmation de Lina se teste sur \(x^2\) : \(f(-2) = f(2) = 4\), et \(x^2\) est bien une fonction ; à la poste, une lettre de \(15\) g et une de \(20\) g ont le même prix. « Le trait entre les points a été mesuré. » L'exercice de Sami au CM1 : les \(20\,^\circ\)C lus à mi-chemin entre août et septembre n'ont jamais été mesurés. La même idée revient avec les formules : en 4e, la forme du trait entre deux points calculés « reste une conjecture » ; en 3e et en Seconde, relier les points d'un tableau « est une conjecture tant que la règle ne donne pas les valeurs intermédiaires ». « Une fonction n'a pas à donner une sortie à chaque entrée. » Une seule sortie veut dire aussi qu'il y en a une pour chaque entrée annoncée. En 3e, l'exercice des situations de la classe le demande : associer à chaque nombre entier de \(1\) à \(31\) le mois dont c'est le numéro ne définit pas une fonction telle quelle, car les nombres de \(13\) à \(31\) n'ont aucune sortie. Demander alors quelles entrées la machine accepte : c'est l'ensemble de définition de la Seconde. Image et antécédent inversés. La définition de la 3e fixe les mots sur la machine : \(f(x)\) est l'image de \(x\), la sortie ; \(x\) est un antécédent de \(f(x)\), une entrée. Demander « lequel entre ? » avant tout calcul. « Deux formules différentes, donc deux fonctions différentes. » En 5e et en 3e, \(u(x) = 2(x + 3)\) et \(v(x) = 2x + 6\) se dessinent par deux chaînes différentes, mais la distributivité montre que c'est une seule fonction ; les essais sur quelques entrées le suggèrent seulement, et les critères pénalisent la conclusion tirée des seuls essais. Une entrée suffit à montrer que \(w(x) = 2x + 3\) en est une autre : \(u(0) = 6\), \(w(0) = 3\). « \(P(3)\), c'est \(P\) fois \(3\). » En 5e et en 4e, la méthode « représenter une dépendance » le dit : les parenthèses ne signifient pas « \(P\) fois \(3\) », elles disent « le périmètre quand le côté vaut \(3\) ». Un programme remonté dans le même ordre. À partir de \(13\), diviser d'abord par \(2\) ne rend pas \(3\). On défait d'abord la dernière machine : les opérations inverses, dans l'ordre inverse.

L'exercice rédigé du groupe « Raisonner », en 3e, demande : la machine carré a la règle « élever l'entrée au carré », \(f(x) = x^2\), et accepte tous les nombres. Faire passer \(4\) et \(-4\) dans la machine ; la faire tourner à l'envers, pour trouver les entrées qui donnent \(9\), puis \(0\), puis \(-1\) ; tracer la courbe pour \(-3 \leq x \leq 3\) et la droite \(y = 9\), et lire les entrées qui donnent \(9\) ; déterminer si la machine carré peut tourner à l'envers comme la machine « ajouter \(3\) », avec exactement une entrée pour chaque sortie. Quatre réglages la rendent facile ou difficile.

1. D'abord dans le bon sens. \(4 \longmapsto 16\) et \(-4 \longmapsto 16\) : deux entrées, une sortie, ce qu'une fonction permet. La question prépare la suivante ; laisser les élèves le dire avant de continuer.
2. La sortie. \(9\) a deux entrées, \(0\) une seule, \(-1\) aucune, « car un carré n'est jamais négatif » : les trois cas du cours, en une question. L'élève qui sait que « la racine carrée de \(9\) est \(3\) » s'arrête à une entrée.
3. La courbe. La droite \(y = 9\) coupe la courbe en deux points ; en dessous, sur l'axe des abscisses, les entrées \(-3\) et \(3\) :
4. La dernière question. Non : à l'envers, \(9\) devrait donner deux sorties, \(-3\) et \(3\), donc faire tourner la machine à l'envers ne donne pas une fonction. La machine racine carrée ne défait la machine carré que pour les entrées positives ou nulles : \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), et non \(-3\).

Ce qu'il faut écouter. Les critères de correction pénalisent deux réponses : seulement \(3\) pour la sortie \(9\), et « oui, la racine carrée » sans la restriction. Une troisième vaut d'être entendue en classe : « ce n'est pas une fonction, puisque deux entrées donnent \(9\) » — le sens de la définition est encore confondu ; revenir à l'affirmation de Lina et aux diagrammes en flèches.

• Dessiner la machine avant d'écrire la règle : l'entrée en rouge, la règle en vert olive, la sortie en bleu ; puis y faire passer un nombre, puis écrire.
• La faire tourner à l'envers, puis contrôler dans le bon sens. Chaque entrée trouvée à l'envers repasse dans la machine.
• Jouer la machine mystère avec précaution : dire « une règle qui convient », la tester sur chaque résultat, accepter toute sortie cohérente avec la règle trouvée par l'élève ; et montrer une machine sans formule, celle de la poste.
• Montrer tôt une machine qui répond toujours la même chose, et deux entrées qui partagent une sortie : la machine constante et la machine carré sont des fonctions.
• Changer de dessin en montrant les deux côte à côte : le robot et la boîte en 5e, puis la boîte et \(f : x \longmapsto f(x)\) en 3e. Dire que c'est la même machine.
• Avant de relier des points, demander si les entrées intermédiaires existent, et dire que le trait entre deux points calculés reste une conjecture.
• Écrire à côté de la boîte les entrées que la machine accepte, dès qu'une règle ne s'applique pas à tous les nombres.
• Garder « relation » pour deux grandeurs : le périmètre en fonction du côté, avec sa boîte et sa covariation, \(+1\) cm sur le côté, \(+4\) cm sur le périmètre.

La boîte d'entrée-sortie a été proposée comme « racine cognitive » du concept de fonction par David Tall, Mercedes McGowen et Phil DeMarois (The function machine as a cognitive root for the function concept, PME-NA 22, 2000) : un point de départ qui a du sens pour le débutant et le garde ensuite, les tableaux, les formules et les courbes devenant des façons de calculer ce qui se passe entre l'entrée et la sortie. C'est un article théorique, et ses auteurs nomment eux-mêmes les limites de leur machine : jouée en « devine ma règle », elle produit l'obstacle selon lequel toute fonction est donnée par une formule, d'où leur conseil de machines de la vie courante définies par une procédure, comme le prix d'envoi d'une lettre selon sa masse — la machine de la poste du cours ; et la boîte ne porte pas son ensemble de définition. Dans une étude sur environ \(400\) élèves de \(14\) à \(15\) ans, Zvia Markovits, Bat-Sheva Eylon et Maxim Bruckheimer (Functions today and yesterday, For the Learning of Mathematics, 1986) ont relevé trois sortes de fonctions difficiles à admettre : la fonction constante, la fonction définie par morceaux, la fonction donnée seulement par quelques points. Shlomo Vinner et Tommy Dreyfus (Images and definitions for the concept of function, Journal for Research in Mathematics Education, 1989) ont comparé les définitions données par \(271\) étudiants et \(36\) professeurs de collège aux images du concept qu'ils utilisent : les deux se contredisent souvent, même chez ceux qui donnent la définition moderne. Alan Bell et Claude Janvier (The interpretation of graphs representing situations, For the Learning of Mathematics, 1981) rapportent que les graphiques de situations sont mal lus quand leur aspect pictural contredit leur sens, et que les tableaux aident à étudier comment les variables changent. Patrick Thompson et Marilyn Carlson (Variation, covariation, and functions, 2017) soutiennent que la vue « une entrée, une sortie », seule, ne prépare pas à raisonner sur deux grandeurs qui varient ensemble : le cours place cette covariation dans les sections « relation », avec la même boîte. Côté programmes, la ressource d'accompagnement du cycle 4 de 2016 sur la notion de fonction fait comprendre qu'à certains nombres une fonction associe une unique image, s'appuie sur les programmes de calcul, et précise que la définition rigoureuse d'une fonction numérique n'est pas un objectif de l'enseignement secondaire ; le programme de 2026 fait apparaître la notion d'abord dans le cadre des grandeurs, emploie « en fonction de » dès la 5e, et introduit progressivement les notations du type \(P(A)\) et la flèche. Aucune de ces études n'évalue la progression décrite dans ce guide. Un article de recherche sur ces choix est en préparation.