Éducation Nationale Française · Quatrième
Fonctions
I
Les relations entre grandeurs
I.1
Qu'est-ce qu'une relation ?
Définition — Relation
Une relation décrit comment deux variables (grandeurs) sont liées. Exemple
On étudie la taille d'un enfant à différents âges.Déterminer les deux variables.
- Le temps en années : c'est la variable \(\textcolor{colordef}{t}\). Elle augmente au fur et à mesure que l'enfant grandit.
- La taille de l'enfant en cm : c'est la variable \(\textcolor{colorprop}{h}\). Elle indique la taille de l'enfant.
Compétences à pratiquer
- Variables en sciences
I.2
Les tableaux
Définition — Tableau
Un tableau sert à organiser des données afin de faciliter l'affichage et l'étude du lien entre deux variables. En général, une ligne (ou une colonne) correspond à la première variable et une autre ligne (ou colonne) à la deuxième variable. Exemple
La taille d'Hugo selon son âge est donnée dans le tableau suivant : | \(\textcolor{colordef}{t\text{ (années)}}\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(\textcolor{colorprop}{h\text{ (cm)}}\) | \(52\) | \(67\) | \(78\) | \(86\) | \(98\) | \(106\) | \(115\) |
La taille d'Hugo à \(4\) ans est de \(\textcolor{colorprop}{98}\) centimètres.
Compétences à pratiquer
- Lire des tableaux
I.3
Le repère du plan
Définition — Repère du plan
Un repère du plan — ou repère orthogonal — est formé par deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent à leur point zéro, appelé l’origine. L’origine a pour coordonnées \((0\,;0)\). 
- La droite graduée horizontale est appelée l’axe des \(x\) (ou axe des abscisses).
- La droite graduée verticale est appelée l’axe des \(y\) (ou axe des ordonnées).
Définition — Coordonnées d’un point
Les coordonnées d’un point sont un couple de nombres (l'ordre compte), écrit sous la forme \((x\,;y)\), où \(x\) est la coordonnée \(x\) (l’abscisse) et \(y\) est la coordonnée \(y\) (l’ordonnée) : - La coordonnée \(x\) indique la position horizontale le long de l’axe des \(x\), avec des nombres positifs à droite de l’origine et des nombres négatifs à gauche.
- La coordonnée \(y\) indique la position verticale le long de l’axe des \(y\), avec des nombres positifs au-dessus de l’origine et des nombres négatifs en dessous.
Exemple
Placer ces points sur un repère du plan : $$A(-2\,;3),\quad B(3\,;-1),\quad \text{et}\quad C(-3\,;-2).$$
Pour chaque point, on part de l'origine et on lit les coordonnées dans l'ordre — d'abord \(x\) (vers la droite si positif, vers la gauche si négatif), puis \(y\) (vers le haut si positif, vers le bas si négatif) : 
- \(A(-2\,;3)\) : \(x=-2\), on va 2 unités vers la gauche ; \(y=3\), on monte de 3 unités.
- \(B(3\,;-1)\) : \(x=3\), on va 3 unités vers la droite ; \(y=-1\), on descend d'une unité.
- \(C(-3\,;-2)\) : \(x=-3\), on va 3 unités vers la gauche ; \(y=-2\), on descend de 2 unités.
Compétences à pratiquer
- Identifier les coordonnées de points
- Placer des points depuis un tableau
I.4
Les graphiques
Définition — Graphique
Le graphique d'une relation (on dit aussi le graphe) est l'ensemble des points \((\textcolor{colordef}{x}\,;\textcolor{colorprop}{y})\) d'un repère (plan cartésien) dont les coordonnées sont deux valeurs qui se correspondent dans la relation. La première coordonnée \(\textcolor{colordef}{x}\) se place sur l'axe horizontal et la deuxième coordonnée \(\textcolor{colorprop}{y}\) sur l'axe vertical. Définition — Graphique en ligne brisée
Un graphique en ligne brisée d'une relation est un graphique où les points \((\textcolor{colordef}{x}\,;\textcolor{colorprop}{y})\) sont reliés par des segments de droite, généralement de la gauche vers la droite. Méthode — Tracer un graphique à partir d'un tableau
Dans un repère : - on place chaque point \((\textcolor{colordef}{x}\,;\textcolor{colorprop}{y})\) du tableau,
- on relie les points dans l'ordre avec des segments de droite.
Méthode — Lire une valeur sur un graphique
Pour lire sur un graphique en ligne brisée la valeur qui correspond à une valeur de l'axe horizontal : - Repérer la valeur sur l'axe horizontal. Par exemple, pour lire la taille d'Hugo à \(t=6\) ans, repérer \(6\) sur l'axe des \(t\).
- Monter verticalement jusqu'au graphique : tracer une ligne verticale depuis cette valeur jusqu'à la ligne brisée.
- Lire la valeur sur l'axe vertical : depuis le point de rencontre, aller horizontalement jusqu'à l'axe vertical et y lire la valeur.
Compétences à pratiquer
- Identifier les graphiques en ligne brisée
- Lire une valeur sur un graphique
I.5
Exprimer une grandeur en fonction d'une autre
Définition — En fonction de
Quand deux grandeurs sont liées, de sorte que chaque valeur de la première détermine exactement une valeur de la seconde, on dit que la seconde grandeur s'exprime en fonction de la première.Exemple. Le périmètre d'un carré s'exprime en fonction de la longueur de son côté : une fois le côté choisi, le périmètre est déterminé.
Méthode — Représenter une dépendance
Le périmètre \(P\) d'un carré, en cm, s'exprime en fonction de son côté \(c\), en cm. Cette dépendance peut s'écrire : - Avec une formule : une égalité calcule la seconde grandeur à partir de la première. Ici, \(P = 4 \times c\).
- Avec la notation fonctionnelle : \(P(3)\) — qui se lit « \(P\) de \(3\) » — est le périmètre quand le côté vaut \(3\) cm, donc \(P(3) = 12\). Plus généralement, \(P(c) = 4 \times c\) donne le périmètre pour n'importe quel côté \(c\).
Attention : les parenthèses ne signifient pas « \(P\) fois \(3\) » ; elles disent « le périmètre quand le côté vaut \(3\) ». - Avec un tableau de valeurs : chaque colonne contient une valeur du côté et, en dessous, le périmètre correspondant.
Côté \(\textcolor{colordef}{c}\) (cm) \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\) \(\textcolor{colordef}{4}\) Périmètre \(\textcolor{colorprop}{P}\) (cm) \(\textcolor{colorprop}{4}\) \(\textcolor{colorprop}{8}\) \(\textcolor{colorprop}{12}\) \(\textcolor{colorprop}{16}\) - Avec un graphique : chaque couple de valeurs devient un point — la première grandeur sur l'axe horizontal, la seconde sur l'axe vertical.
Exemple
L'aire \(A\) d'un carré, en cm\(^2\), s'exprime en fonction de son côté \(c\), en cm. - Écrire une formule donnant \(A\) en fonction de \(c\).
- Calculer \(A(3)\), puis expliquer en mots ce que ce nombre signifie.
- Compléter un tableau de valeurs pour \(c = 1\), \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\).
- Placer les cinq points correspondants. Sont-ils alignés sur une droite passant par l'origine ?
- L'aire d'un carré est le produit de son côté par lui-même : \(A = c \times c\).
- \(A(3) = 3 \times 3 = 9\) : l'aire d'un carré de côté \(3\) cm est \(9\) cm\(^2\).
- Chaque colonne applique la formule :
Côté \(\textcolor{colordef}{c}\) (cm) \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\) \(\textcolor{colordef}{4}\) \(\textcolor{colordef}{5}\) Aire \(\textcolor{colorprop}{A}\) (cm\(^2\)) \(\textcolor{colorprop}{1}\) \(\textcolor{colorprop}{4}\) \(\textcolor{colorprop}{9}\) \(\textcolor{colorprop}{16}\) \(\textcolor{colorprop}{25}\) - Les points ne sont pas alignés : aucune droite passant par l'origine ne peut tous les porter. Le côté peut prendre n'importe quelle longueur : les points intermédiaires remplissent la courbe en pointillés, qui monte de plus en plus vite.
Méthode — De la formule au graphique
Pour représenter par un graphique une grandeur donnée par une formule : - Choisir quelques valeurs de la grandeur de départ, de la plus petite à la plus grande qui aient un sens.
- Calculer les valeurs correspondantes avec la formule, et les rassembler dans un tableau.
- Placer un point par colonne du tableau, la grandeur de départ sur l'axe horizontal.
- Relier ou non : on ne relie les points que si la grandeur de départ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires (une longueur, une durée) — à la règle quand les points sont alignés, par une courbe lisse quand ils ne le sont pas ; si elle ne prend que des valeurs entières (un nombre d'objets), les points restent isolés.
Exemple
Le périmètre d'un carré de côté \(c\) (en cm) est \(P = 4 \times c\). Représenter \(P\) en fonction de \(c\) par un graphique, pour \(c\) de \(0\) à \(3\). Dire ensuite ce qui changerait pour le prix \(12 \times n\) de \(n\) places de concert. | \(c\) (cm) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(P = 4 \times c\) (cm) | \(0\) | \(4\) | \(8\) | \(12\) |
Compétences à pratiquer
- Écrire une grandeur en fonction d'une autre
- Des formules venues de la géométrie
- Construire un graphique à partir d'une formule
II
Les programmes de calcul
II.1
Lire et dérouler un programme
Définition — Programme de calcul
Un programme de calcul est une liste d'instructions appliquées l'une après l'autre à un nombre de départ choisi ; le nombre obtenu à la fin est le résultat. On représente une exécution par une chaîne de cases et de flèches : $$\boxed{3} \xrightarrow{\times 2} \boxed{6} \xrightarrow{+7} \boxed{13}$$ Compétences à pratiquer
- Dérouler un programme
II.2
Remonter un programme
Définition — Opérations inverses
Une opération inverse est une opération qui « annule » une autre. Soit \(a\) un nombre : - L'addition et la soustraction sont des opérations inverses :
\(\boxed{x}\xrightarrow{+a}\boxed{x+a}\xrightarrow{-a}\boxed{x}\) - La multiplication et la division sont des opérations inverses :
\(\boxed{x}\xrightarrow{\times a}\boxed{ax}\xrightarrow{\div a}\boxed{x} \quad \text{avec } a \neq 0\)
Méthode — Retrouver le nombre de départ
Pour retrouver le nombre de départ qui a produit un résultat donné, remonter le programme : - Défaire chaque instruction par son opération inverse : une addition se défait par une soustraction, une soustraction par une addition, une multiplication (par un nombre non nul) par une division, une division par une multiplication.
- Commencer par la dernière instruction et remonter jusqu'à la première.
- Contrôler en avant : faire tourner le programme depuis le nombre trouvé et vérifier qu'il produit bien le résultat donné.
Exemple
Le programme « multiplier par \(4\) » a produit le résultat \(52\). Retrouver le nombre de départ.
Une seule instruction, \(\times 4\), défaite par son opération inverse, \(\div 4\), appliquée au résultat : $$\boxed{52} \xrightarrow{\div 4} \boxed{13}$$ Le nombre de départ est \(\boldsymbol{13}\). Contrôle en avant : \(13 \xrightarrow{\times 4} 52\) \(\checkmark\)
Méthode — Résoudre par une opération inverse
Pour résoudre une équation où l'inconnue subit une seule opération : - Lire l'opération subie par l'inconnue, et le résultat qu'elle donne.
- La défaire par l'opération inverse, appliquée au résultat : défaire une addition par une soustraction, une soustraction par une addition, une multiplication par une division, une division par une multiplication.
- Contrôler la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Exemple
Résoudre l'équation \(x + 5 = 12\).
L'inconnue \(x\) subit une seule opération, \(+5\), et le résultat est \(12\) : $$\boxed{x}\xrightarrow{+5}\boxed{12}.$$ L'opération inverse de \(+5\) est \(-5\), elle ramène donc de \(12\) vers \(x\) : $$\boxed{12}\xrightarrow{-5}\boxed{x}.$$ D'où $$\begin{aligned}[t]x &= 12 - 5 && (\text{opération inverse de } +5) \\
&= \boldsymbol{7}.\end{aligned}$$ Contrôle dans l'équation de départ : \(7 + 5 = 12\), ce qui est vrai. La solution est \(x = 7\).
Exemple
Le programme « multiplier par \(2\) ; ajouter \(7\) » a produit le résultat \(19\). Retrouver le nombre de départ.
Deux instructions cette fois — deux défaites, enchaînées, la dernière instruction d'abord. Le \(+7\) a été appliqué en dernier, il est donc défait en premier par \(-7\) ; puis le \(\times 2\) est défait par \(\div 2\) : $$\boxed{19} \xrightarrow{-7} \boxed{12} \xrightarrow{\div 2} \boxed{6}$$ Le nombre de départ est \(\boldsymbol{6}\). Contrôle en avant : \(6 \xrightarrow{\times 2} 12 \xrightarrow{+7} 19\) \(\checkmark\)
Pourquoi défaire la dernière instruction en premier ? Parce qu'elle a été appliquée en dernier : elle enveloppe tout ce qui a été fait avant, comme les chaussures enfilées après les chaussettes — et retirées en premier. Une remontée dont chaque étape est une opération inverse correcte prouve bien le nombre de départ ; mais un mauvais ordre peut très bien produire un nombre d'allure plausible, et c'est le contrôle en avant qui distingue les deux. Une valeur intermédiaire inattendue (une fraction, un négatif) mérite un second regard — mais elle ne tranche rien à elle seule : une remontée parfaitement juste peut aussi en produire.
Compétences à pratiquer
- Retrouver le nombre de départ : niveau 1
- Retrouver le nombre de départ : niveau 2
II.3
Du programme à la formule
Méthode — Appliquer un programme à une lettre
On nomme \(x\) le nombre de départ : la lettre représente n'importe quel nombre de départ. On applique chaque étape à l'expression obtenue, puis on simplifie : le résultat est une expression en \(x\) ; l'égalité « résultat \(=\) cette expression » est la formule du programme, valable pour tous les nombres de départ d'un coup. Exemple
On considère le programme : « choisir un nombre ; ajouter \(5\) ; multiplier par \(4\) ; soustraire \(20\) ». - Appliquer le programme à \(x\) et simplifier l'expression obtenue.
- Que fait vraiment ce programme ?
- Étape par étape, en partant de \(x\) : $$\begin{aligned}[t] x &\;\longrightarrow\; x + 5 && \text{(ajouter 5)}\\ &\;\longrightarrow\; 4(x + 5) && \text{(multiplier par 4)}\\ &\;\longrightarrow\; 4(x + 5) - 20 && \text{(soustraire 20)}. \end{aligned}$$ Puis on simplifie : $$\begin{aligned}[t] 4(x + 5) - 20 &= 4x + 20 - 20 && \text{(distributivité)}\\ &= \textcolor{colorprop}{4x}. \end{aligned}$$ La formule du programme est : résultat \(= 4x\).
- Le programme multiplie simplement le nombre de départ par \(4\) : la formule révèle ce que la liste d'étapes cache.
Compétences à pratiquer
- Écrire la formule d'un programme
- Lire un programme
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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