Éducation Nationale Française · Cinquième
Équations
Vers l'an \(820\), à la Maison de la Sagesse de Bagdad, le mathématicien al-Khwârizmî écrivit un livre dont le titre contient le mot al-jabr — et c'est de là que vient le mot algèbre. Il n'avait pas de lettre pour l'inconnue : il l'appelait « la chose » (al-shay'), et il décrivait chaque méthode avec des mots, sans un seul symbole. Deux de ses gestes sont encore des mouvements qui résolvent une équation. Al-jabr, « restaurer », ajoute la même quantité aux deux membres pour faire disparaître un terme soustrait : il défait une soustraction (\(x - b = c\) devient \(x = c + b\)). Al-muqâbala, « mettre en balance », soustrait des deux membres des termes égaux : il défait une addition (\(x + b = c\) devient \(x = c - b\)). Et son propre nom, passé en latin sous la forme algorismus, a donné le mot algorithme — ainsi le même homme a nommé et le calcul et la recette pour le mener.
I
Qu'est-ce qu'une équation ? La lettre-inconnue
Bienvenue dans la salle d'évasion mathématique. L'équipe doit résoudre une dernière énigme pour trouver le code secret à un chiffre (un nombre entre \(0\) et \(9\)) et s'échapper.
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole \(\triangle\) : $$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$ Il n'y a qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux coéquipiers proposent des réponses différentes :
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole \(\triangle\) : $$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$ Il n'y a qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux coéquipiers proposent des réponses différentes :
- Louis propose de saisir \(\boxed{8}\).
- Su propose de saisir \(\boxed{3}\).
Pour trouver le bon code, on teste chaque proposition pour voir quelle valeur de \(\triangle\) rend l'équation vraie.
On commence par simplifier le membre de droite de l'équation, en effectuant d'abord la multiplication : $$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$ L'équation devient alors : $$\triangle + 10 = 13.$$
On commence par simplifier le membre de droite de l'équation, en effectuant d'abord la multiplication : $$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$ L'équation devient alors : $$\triangle + 10 = 13.$$
- Tester le code de Louis : on remplace \(\triangle\) par \(\textcolor{colordef}{8}\) dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{8} + 10 &= 18 \\ 18 &= 13 &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$ Le code de Louis est incorrect.
- Tester le code de Su : on remplace \(\triangle\) par \(\textcolor{colordef}{3}\) dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{3} + 10 &= 13 \\ 13 &= 13 &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$ Le code de Su est correct.
Définition — Équation et solution
Une équation est une phrase mathématique qui dit que deux expressions sont égales. Elle contient une inconnue : un symbole (comme \(x\) ou \(\triangle\)) qui désigne un nombre fixe que l'on cherche — pas une quantité qui varie. Les deux expressions de part et d'autre du signe égal sont les membres de l'équation. Résoudre une équation, c'est déterminer la ou les valeurs de l'inconnue — parmi les nombres avec lesquels on travaille — qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation. Exemple
Montrer que \(x = 2\) est une solution de l'équation \(3 + x = 5\).
On remplace \(\textcolor{colordef}{x = 2}\) dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite : $$\begin{aligned} 3 + \textcolor{colordef}{(2)} &= 5 \\
5 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation vraie.)} \end{aligned}$$ Comme l'égalité est vraie, \(x = 2\) est une solution.
Exemple
Montrer que \(x = 1\) n'est pas une solution de \(3 + x = 5\).
On remplace \(\textcolor{colordef}{x = 1}\) dans l'équation : $$\begin{aligned} 3 + \textcolor{colordef}{(1)} &= 5 \\
4 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation fausse.)} \end{aligned}$$ Comme l'égalité est fausse, \(x = 1\) n'est pas une solution.
Compétences à pratiquer
- Salle d'évasion mathématique : niveau 1
- Salle d'évasion mathématique : niveau 2
- Salle d'évasion mathématique : niveau 3
II
Programmes de calcul et opérations inverses
Lire une équation ou tester des valeurs, c'est résoudre en devinant, plus ou moins habilement. Pour faire mieux, on change de point de vue : au lieu de demander « quel nombre marche ? », on demande comment le résultat a été fabriqué. Un programme de calcul montre exactement cela — et le faire tourner à l'envers est le germe de la méthode qui ne devine jamais : l'opération inverse.
Définition — Programme de calcul
Un programme de calcul est une liste d'instructions appliquées l'une après l'autre à un nombre de départ choisi ; le nombre obtenu à la fin est le résultat. On représente une exécution par une chaîne de cases et de flèches : $$\boxed{3} \xrightarrow{\times 2} \boxed{6} \xrightarrow{+7} \boxed{13}$$ Exemple
Programme : choisir un nombre ; le multiplier par \(4\).Faire tourner le programme depuis \(3\), puis depuis \(10\).
$$\boxed{3} \xrightarrow{\times 4} \boxed{12} \qquad\qquad \boxed{10} \xrightarrow{\times 4} \boxed{40}$$ Quel que soit le nombre de départ, le résultat est \(4\) fois ce nombre — le programme lui-même tient en un mot : « quadruple ».
Méthode — Retrouver le nombre de départ
Pour retrouver le nombre de départ qui a produit un résultat donné, remonter le programme : - Défaire chaque instruction par son opération inverse : une addition se défait par une soustraction, une soustraction par une addition, une multiplication (par un nombre non nul) par une division, une division par une multiplication.
- Commencer par la dernière instruction et remonter jusqu'à la première.
- Contrôler en avant : faire tourner le programme depuis le nombre trouvé et vérifier qu'il produit bien le résultat donné.
Exemple
Le programme « multiplier par \(4\) » a produit le résultat \(52\). Retrouver le nombre de départ.
Une seule instruction, \(\times 4\), défaite par son opération inverse, \(\div 4\), appliquée au résultat : $$\boxed{52} \xrightarrow{\div 4} \boxed{13}$$ Le nombre de départ est \(\boldsymbol{13}\). Contrôle en avant : \(13 \xrightarrow{\times 4} 52\) \(\checkmark\)
Exemple
Le programme « multiplier par \(2\) ; ajouter \(7\) » a produit le résultat \(19\). Retrouver le nombre de départ.
Deux instructions cette fois — deux défaites, enchaînées, la dernière instruction d'abord. Le \(+7\) a été appliqué en dernier, il est donc défait en premier par \(-7\) ; puis le \(\times 2\) est défait par \(\div 2\) : $$\boxed{19} \xrightarrow{-7} \boxed{12} \xrightarrow{\div 2} \boxed{6}$$ Le nombre de départ est \(\boldsymbol{6}\). Contrôle en avant : \(6 \xrightarrow{\times 2} 12 \xrightarrow{+7} 19\) \(\checkmark\)
Pourquoi défaire la dernière instruction en premier ? Parce qu'elle a été appliquée en dernier : elle enveloppe tout ce qui a été fait avant, comme les chaussures enfilées après les chaussettes — et retirées en premier. Une remontée dont chaque étape est une opération inverse correcte prouve bien le nombre de départ ; mais un mauvais ordre peut très bien produire un nombre d'allure plausible, et c'est le contrôle en avant qui distingue les deux. Une valeur intermédiaire inattendue (une fraction, un négatif) mérite un second regard — mais elle ne tranche rien à elle seule : une remontée parfaitement juste peut aussi en produire.
Compétences à pratiquer
- Lire un programme
- Faire tourner un programme en avant : niveau 1
- Retrouver le nombre de départ : niveau 1
- Retrouver le nombre de départ : niveau 2
III
Résoudre par les opérations inverses
Dans un programme de calcul, le nombre cherché est le nombre de départ. Dans une équation, ce même nombre inconnu s'écrit avec une lettre, et le programme tient sur une ligne : « multiplier par \(3\) » s'écrit \(3x\), et « le résultat est \(21\) » s'écrit \(3x = 21\). Retrouver le nombre de départ et résoudre l'équation sont donc la même tâche, et l'outil est le même : l'opération inverse.
Définition — Opérations inverses
Une opération inverse est une opération qui « annule » une autre. Soit \(a\) un nombre : - L'addition et la soustraction sont des opérations inverses :
\(\boxed{x}\xrightarrow{+a}\boxed{x+a}\xrightarrow{-a}\boxed{x}\) - La multiplication et la division sont des opérations inverses :
\(\boxed{x}\xrightarrow{\times a}\boxed{ax}\xrightarrow{\div a}\boxed{x} \quad \text{avec } a \neq 0\)
Méthode — Résoudre par une opération inverse
Pour résoudre une équation où l'inconnue subit une seule opération : - Lire l'opération subie par l'inconnue, et le résultat qu'elle donne.
- La défaire par l'opération inverse, appliquée au résultat : défaire une addition par une soustraction, une soustraction par une addition, une multiplication par une division, une division par une multiplication.
- Contrôler la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Exemple
Résoudre l'équation \(x + 5 = 12\).
L'inconnue \(x\) subit une seule opération, \(+5\), et le résultat est \(12\) : $$\boxed{x}\xrightarrow{+5}\boxed{12}.$$ L'opération inverse de \(+5\) est \(-5\), elle ramène donc de \(12\) vers \(x\) : $$\boxed{12}\xrightarrow{-5}\boxed{x}.$$ D'où $$\begin{aligned}[t]x &= 12 - 5 && (\text{opération inverse de } +5) \\
&= \boldsymbol{7}.\end{aligned}$$ Contrôle dans l'équation de départ : \(7 + 5 = 12\), ce qui est vrai. La solution est \(x = 7\).
Exemple
Résoudre l'équation \(3x = 21\).
Ici \(3x\) signifie \(3 \times x\) : l'inconnue subit une seule opération, \(\times 3\), et le résultat est \(21\) : $$\boxed{x}\xrightarrow{\times 3}\boxed{21}.$$ L'opération inverse de \(\times 3\) est \(\div 3\) : $$\boxed{21}\xrightarrow{\div 3}\boxed{x}.$$ D'où $$\begin{aligned}[t]x &= 21 \div 3 && (\text{opération inverse de } \times 3) \\
&= \boldsymbol{7}.\end{aligned}$$ Contrôle dans l'équation de départ : \(3 \times 7 = 21\), ce qui est vrai. La solution est \(x = 7\).
Exemple
Résoudre \(x - 5 = 9\), puis \(\dfrac{x}{3} = 7\).
Pour défaire une soustraction, on ajoute ; pour défaire une division, on multiplie : $$\begin{aligned}[t] x - 5 &= 9 \\
x &= 9 + 5 && \text{(défaire le } -5\text{)} \\
x &= 14 \end{aligned}\qquad\qquad\begin{aligned}[t] \dfrac{x}{3} &= 7 \\
x &= 7 \times 3 && \text{(défaire le } \div 3\text{)} \\
x &= 21 \end{aligned}$$ Contrôle : \(14 - 5 = 9\) et \(21 \div 3 = 7\).
Pour \(x + 5 = 12\), la solution se voit d'un coup d'{\oe}il, et la lire ainsi est légitime. L'opération inverse mérite d'être apprise parce qu'elle ne dépend pas du coup d'{\oe}il : elle résout \(x + 386 = 1204\) et \(17x = 391\) tout aussi sûrement, là où l'inspection ne donne rien et où les essais-erreurs seraient interminables. Une méthode qui marche toujours vaut mieux qu'une devinette qui marche parfois.
Méthode — Résoudre \(ax + b \equal c\)
Ici l'inconnue subit deux opérations : elle est d'abord multipliée par \(a\), puis on lui ajoute \(b\). Pour la retrouver, on défait ces opérations dans l'ordre inverse — la dernière effectuée est la première défaite. Pour \(ax + b = c\), où \(a\) est un nombre non nul (la dernière étape divise par lui) : - défaire le \(+\,b\) : \(\quad ax = c - b\) ;
- défaire le \(\times\,a\) : \(\quad x = (c - b) \div a\).
Exemple
Résoudre l'équation $$4x + 3 = 23.$$
L'inconnue est multipliée par \(4\), puis on lui ajoute \(3\). On défait d'abord l'addition. $$\begin{aligned}[t] 4x &= 23 - 3 && (\text{opération inverse de } +3) \\
4x &= 20 \\
x &= 20 \div 4 && (\text{opération inverse de } \times 4) \\
&= \boldsymbol{5}. \end{aligned}$$ Contrôle : \(4 \times 5 + 3 = 20 + 3 = 23\) \(\checkmark\)
Exemple
Résoudre l'équation $$5x - 7 = 23.$$
Cette fois on soustrait \(7\) : la première opération à défaire est une soustraction — et l'inverse d'une soustraction est une addition. $$\begin{aligned}[t] 5x &= 23 + 7 && (\text{opération inverse de } -7) \\
5x &= 30 \\
x &= 30 \div 5 && (\text{opération inverse de } \times 5) \\
&= \boldsymbol{6}. \end{aligned}$$ Contrôle : \(5 \times 6 - 7 = 30 - 7 = 23\) \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Choisir l'opération inverse
- Choisir l'opération inverse dans une équation
- Choisir la bonne ligne
- Résoudre \(x + b \equal c\) : niveau 1
- Résoudre \(ax \equal c\) : niveau 1
- Résoudre \(ax + b \equal c\) : niveau 1
- Écrire le fil de la résolution : niveau 1
- Écrire le fil de la résolution : niveau 2
IV
De la phrase à l'équation
Un problème en mots cache un programme de calcul : « trois sacs et deux billes en vrac font dix-sept » fait tourner un programme sur le nombre de billes par sac. Nommer ce nombre inconnu par une lettre transforme toute la phrase en une seule ligne de mathématiques — une équation — et tout ce que l'on sait résoudre s'y applique. Les équations les plus simples portent une ou deux opérations sur l'inconnue : ajouter, soustraire, multiplier ou diviser. Les formes modèles sont \(x + b = c\), \(ax = c\) et \(ax + b = c\) (avec \(a \neq 0\)) ; leurs jumelles en soustraction et en division se défont exactement de la même façon.
Définition — Mise en équation
La mise en équation consiste à : choisir une lettre pour le nombre inconnu et dire ce qu'elle représente, avec son unité si elle en a une ; puis écrire, avec cette lettre, l'égalité énoncée par la phrase. Méthode — Traduire une phrase en équation
Pour résoudre un problème en mots avec une équation : - Nommer l'inconnue : choisir une lettre et dire ce qu'elle représente, avec son unité.
- Traduire morceau par morceau, dans l'ordre où la phrase agit sur le nombre.
- Écrire l'égalité énoncée par la phrase.
- Résoudre l'équation : regrouper les termes semblables ; si l'inconnue est dans les deux membres, la ramener dans un seul ; puis défaire les opérations dans l'ordre inverse.
- Répondre par une phrase, avec l'unité, puis contrôler dans la phrase d'origine.
Exemple
« Je pense à un nombre, j'ajoute \(14\), et j'obtiens \(31\). » Déterminer ce nombre.
On note \(x\) le nombre auquel je pense. Morceau par morceau : « je pense à un nombre » donne \(x\) ; « j'ajoute \(14\) » donne \(x + 14\) ; « j'obtiens \(31\) » énonce l'égalité : $$x + 14 = 31.$$ L'inconnue subit \(+14\), défait par \(-14\) : $$\begin{aligned}[t]x &= 31 - 14 && (\text{opération inverse de } +14) \\
&= \boldsymbol{17}.\end{aligned}$$ Le nombre est \(17\). Contrôle dans la phrase : je pense à \(17\), j'ajoute \(14\), j'obtiens \(31\) \(\checkmark\)
Exemple
Cinq livres identiques coûtent \(60~\Euro\) en tout. 
On note \(p\) le prix d'un livre, en euros. Cinq livres identiques coûtent \(5 \times p = 5p\) ; la phrase énonce l'égalité : $$5p = 60.$$ L'inconnue subit \(\times 5\), défait par \(\div 5\) : $$\begin{aligned}[t]p &= 60 \div 5 && (\text{opération inverse de } \times 5) \\
&= \boldsymbol{12}.\end{aligned}$$ Un livre coûte \(12~\Euro\). Vérification dans la situation : cinq livres à \(12~\Euro\) coûtent \(5 \times 12 = 60\) euros \(\checkmark\)
Exemple
Trois sacs contiennent le même nombre de billes chacun ; avec \(2\) billes en vrac, il y a \(17\) billes en tout. 
On note \(x\) le nombre de billes d'un sac. Trois sacs donnent \(3x\) ; avec les \(2\) billes en vrac, \(3x + 2\) ; la phrase énonce l'égalité : $$3x + 2 = 17.$$ Cette fois l'inconnue subit deux opérations — \(\times 3\), puis \(+2\) — on les défait donc l'une après l'autre, la dernière d'abord, exactement comme un programme à deux instructions : $$\begin{aligned}[t]3x &= 17 - 2 && (\text{opération inverse de } +2) \\
3x &= 15 \\
x &= 15 \div 3 && (\text{opération inverse de } \times 3) \\
&= \boldsymbol{5}.\end{aligned}$$ Chaque sac contient \(5\) billes. Vérification dans la situation : trois sacs de \(5\) plus \(2\) billes en vrac font \(3 \times 5 + 2 = 17\) \(\checkmark\)
L'ordre des mots n'est pas l'ordre des symboles. « \(3\) de moins qu'un nombre » s'écrit \(x - 3\), pas \(3 - x\) : la phrase commence par le \(3\), l'expression commence par le nombre. On traduit le sens de la phrase, pas l'ordre de ses mots.
Compétences à pratiquer
- Traduire une phrase
- Écrire l'équation : niveau 1
- Traduire et résoudre : niveau 1
- Traduire et résoudre : niveau 2
V
Essai-erreur
Méthode — Essai-erreur
L'essai-erreur peut être utilisé pour résoudre une équation : tester des valeurs de l'inconnue jusqu'à ce que l'une rende l'équation vraie — cette valeur est une solution (une équation peut avoir plusieurs solutions). Pour chaque valeur, on remplace l'inconnue par cette valeur dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite.Pour des équations simples, on peut parfois trouver la solution simplement en regardant l'équation. On parle alors de résolution de tête. Si la solution est négative ou non entière, les essais peuvent être très longs : d'où l'intérêt de méthodes qui ne reposent pas sur des essais.
Exemple
On considère l'équation \(2x + 3 = x + 7\). Utiliser la méthode des essais-erreurs pour déterminer la solution.
On teste des valeurs entières de \(x\), en calculant les deux membres à chaque essai.
- Essai \(\textcolor{colordef}{x = 2}\) : membre de gauche \(2 \times \textcolor{colordef}{(2)} + 3 = 7\) ; membre de droite \(\textcolor{colordef}{(2)} + 7 = 9\). \(7 \neq 9\) (Faux).
- Essai \(\textcolor{colordef}{x = 3}\) : membre de gauche \(2 \times \textcolor{colordef}{(3)} + 3 = 9\) ; membre de droite \(\textcolor{colordef}{(3)} + 7 = 10\). \(9 \neq 10\) (Faux).
- Essai \(\textcolor{colordef}{x = 4}\) : membre de gauche \(2 \times \textcolor{colordef}{(4)} + 3 = 11\) ; membre de droite \(\textcolor{colordef}{(4)} + 7 = 11\). \(11 = 11\) (Vrai).
Compétences à pratiquer
- Déterminer une solution : niveau 1
- Déterminer une solution : niveau 2
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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