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\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Éducation Nationale Française · Seconde

Généralités sur les fonctions

⌚ ~114 min ▢ 12 blocs ✓ 60 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Droites du plan, Intervalles et inéquations, Calcul littéral
I La notion de fonction
I.1 Qu'est-ce qu'une fonction ?
Définition — Fonction
Une fonction, \(f\), est une règle qui associe à chaque valeur d'entrée exactement une valeur de sortie.
  • \(f\) est le nom de la fonction (la règle).
  • \(x\) est la variable d'entrée.
  • \(f(x)\) est la valeur de sortie lorsque l'entrée est \(x\). On lit « \(f\) de \(x\) ».
  • \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\) et \(x\) est un antécédent de \(f(x)\).
Illustration
Exemple
La fonction \(f\) est définie par la règle \(f(x)=2x-1\). Calculer la valeur de \(f(5)\).

Pour calculer \(f(5)\), on remplace \(x\) par la valeur d'entrée \(5\) dans la règle de la fonction : $$ \begin{aligned}[t] f(x) &= 2x - 1 \\ f(5) &= 2(5) - 1 \\ &= 10 - 1 \\ &= \boldsymbol{9} \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer
  • Déterminer des fonctions
  • Calculer une image
I.2 L'ensemble de définition
Définition — Ensemble de définition et ensemble image
  • L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \(f(x)\) a un sens (c’est-à-dire pour lesquelles la règle de la fonction donne un nombre réel).
  • L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie \(f(x)\) effectivement obtenues lorsque \(x\) parcourt l'ensemble de définition.
Sauf indication contraire, on travaille avec des fonctions à valeurs réelles : l’ensemble de définition et l’ensemble image sont donc des sous-ensembles des nombres réels.
Lorsqu'une fonction est donnée avec son ensemble de définition (par exemple « \(f\) définie sur \([0\,;\,5]\) »), c'est cet ensemble ; lorsque seule l'expression \(f(x)\) est donnée, l'ensemble de définition est l'ensemble de tous les réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) a un sens.
Méthode — Déterminer l'ensemble de définition
Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction (dans les réels), il faut repérer et exclure toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \(f(x)\) n’a pas de sens. On recherche principalement deux types de restrictions :
  1. Division par zéro : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul.
  2. Racines carrées de nombres strictement négatifs : Pour une racine carrée réelle, l'expression à l'intérieur de la racine (le radicande) doit être supérieure ou égale à zéro.
Dans les problèmes concrets, le contexte (par exemple un temps ou une longueur qui est toujours positif) peut encore restreindre l'ensemble de définition.
Exemple
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\).

La fonction n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul. On écrit que le dénominateur est nul et on résout l'équation obtenue : $$x-2 = 0 \implies x=2.$$ Donc \(x=2\) est interdit.
La fonction est définie pour tous les nombres réels sauf pour \(x=2\), c’est-à-dire pour tous les \(x\) de l’ensemble \(\{x \mid x \neq 2\}\).

Compétences à pratiquer
  • Déterminer l'ensemble de définition
II Représenter une fonction
II.1 Les tableaux de valeurs
Définition — Tableau de valeurs
Un tableau de valeurs est un tableau qui organise la relation entre les valeurs d'entrée (\(x\)) et leurs valeurs de sortie correspondantes (\(f(x)\)) pour une fonction.
Exemple
Compléter le tableau de valeurs pour la fonction \(f(x)=x^2\).
\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(f(x)\)

On remplace chaque valeur de \(x\) dans la fonction \(f(x)=x^2\) :
  • \(\begin{aligned}[t] f(-2) &= (-2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t] f(-1) &= (-1)^2\\ &= 1 \end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t] f(0) &= (0)^2 \\ &= 0 \end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t] f(1) &= (1)^2 \\ &= 1 \end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t] f(2) &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}\)
Le tableau complété est :
\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(f(x)\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\)

Compétences à pratiquer
  • Lire et remplir un tableau de valeurs
II.2 La courbe représentative
Alors qu'un tableau de valeurs est utile pour énumérer quelques couples entrée–sortie d'une fonction, une courbe est un outil puissant pour visualiser la façon dont la sortie varie lorsque l'entrée change. Une courbe montre d'un seul coup d'œil le comportement de la fonction.
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Définition — Courbe représentative d'une fonction
La courbe représentative d'une fonction \(f\) est l'ensemble de tous les points de coordonnées \((\textcolor{colordef}{x}\,;\,\textcolor{colorprop}{f(x)})\) dans un repère du plan. La valeur d'entrée \(x\) est placée sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) et la valeur de sortie \(f(x)\) sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Lorsque la fonction est définie pour tous les \(x\) d'un intervalle, on peut relier ces points pour former la courbe de la fonction.
Illustration
Méthode — Tracer une courbe à partir d'un tableau
Pour tracer la courbe d'une fonction à partir de son tableau de valeurs :
  1. Tracer un repère avec une échelle adaptée sur chaque axe et nommer les axes.
  2. Pour chaque couple \((x\,;\,f(x))\) du tableau, placer le point correspondant dans le repère.
  3. Si la fonction est définie pour tous les \(x\) de l’intervalle représenté, relier les points par une droite ou une courbe lisse.
Exemple
Tracer la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x - 1\) en utilisant son tableau de valeurs.
\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(f(x)\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)

On place les points \((-2\,;\,-3)\), \((-1\,;\,-2)\), \((0\,;\,-1)\), \((1\,;\,0)\), \((2\,;\,1)\) et \((3\,;\,2)\) à partir du tableau. Ces points sont alignés, donc on les relie pour tracer la courbe de \(f(x)=x-1\).
Illustration

Méthode — Lire graphiquement \(f(x)\)
Pour déterminer graphiquement la valeur de sortie \(f(x)\) pour une entrée \(x\) donnée :
  1. Localiser la valeur d'entrée sur l'axe horizontal des abscisses (x).
  2. Se déplacer verticalement à partir de ce point jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
  3. Se déplacer horizontalement depuis ce point d'intersection jusqu'à l'axe vertical des ordonnées (y) et lire la valeur correspondante. Cette valeur de \(y\) est la sortie \(f(x)\).
Exemple
En utilisant la courbe de la fonction \(f\) ci-dessous, déterminer la valeur de \(f(2)\).
Illustration

On suit la méthode graphique :
  1. Partir de \(x=2\) sur l'axe horizontal.
  2. Monter jusqu'à rencontrer la courbe.
  3. Se déplacer horizontalement jusqu'à l'axe vertical et lire la valeur, qui est \(3\).
Illustration
On a donc \(\boldsymbol{f(2) = 3}\).

Compétences à pratiquer
  • Tracer une courbe
  • Lire des images sur la courbe
II.3 Les antécédents
On a appris à prendre une entrée (\(x\)) et à calculer sa sortie (\(f(x)\)). On apprend ici à travailler à l'envers : si l'on connaît la sortie, peut-on retrouver la ou les entrées qui l'ont produite ? C'est la recherche du ou des antécédents d'une valeur donnée.
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Méthode — Lire graphiquement les antécédents
Pour déterminer le ou les antécédents d'une valeur \(y\) (c.-à-d. tous les \(x\) tels que \(f(x)=y\)) :
  1. Localiser la valeur de sortie \(y\) sur l'axe vertical des ordonnées.
  2. Tracer une droite horizontale à partir de cette valeur dans le repère.
  3. Repérer le ou les points d'intersection où la droite horizontale croise la courbe de la fonction.
  4. Se déplacer verticalement vers l'axe des abscisses depuis chaque point d'intersection pour lire la ou les valeurs d'entrée correspondantes. Ce sont les antécédents cherchés.
Exemple
En utilisant la courbe de la fonction \(f\) ci-dessous, déterminer le ou les antécédents de 3.
Illustration

On applique la méthode graphique :
  1. On localise \(y=3\) sur l'axe vertical.
  2. On trace une droite horizontale à \(y=3\).
  3. Cette droite coupe la courbe en deux points.
  4. On se déplace verticalement depuis ces points vers l'axe des abscisses pour lire les valeurs, qui sont \(-2\) et \(2\).
Illustration
Les antécédents de 3 sont \(\boldsymbol{-2}\) et \(\boldsymbol{2}\).

Compétences à pratiquer
  • Lire des antécédents sur la courbe
III Équations et inéquations
III.1 Les résolutions graphiques
On peut résoudre des équations de la forme \(f(x) = g(x)\) ou des inéquations comme \(f(x) < g(x)\) en utilisant deux approches principales : graphique (en utilisant les intersections des courbes) ou algébrique (par le calcul).
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Méthode — Résoudre graphiquement
Pour résoudre des équations et des inéquations à l'aide des courbes de \(f\) et \(g\) :
  • Pour \(f(x) = k\) : Tracer la droite horizontale \(y = k\). Les solutions sont les abscisses de ses points d'intersection avec la courbe de \(f\) — c'est-à-dire les antécédents de \(k\) par \(f\).
  • Pour \(f(x) = g(x)\) : Repérer les points d'intersection des deux courbes. Les solutions sont les abscisses (\(x\)) de ces points.
  • Pour \(f(x) < g(x)\) : Déterminer les intervalles de \(x\) pour lesquels la courbe de \(f\) est située en dessous de la courbe de \(g\).
  • Pour \(f(x) > g(x)\) : Déterminer les intervalles de \(x\) pour lesquels la courbe de \(f\) est située au-dessus de la courbe de \(g\).
Pour une inégalité large (\(\leq\) ou \(\geq\)), les abscisses des points d'intersection font partie des solutions. On écrit l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
Exemple
Les fonctions \(f\) et \(g\) sont représentées ci-dessous. Résoudre \(f(x) = g(x)\) et \(f(x) \leq g(x)\).
Illustration

  1. Équation \(f(x) = g(x)\) : Les courbes se coupent aux points d'abscisses \(x = -1\) et \(x = 2\). L'ensemble des solutions est \(\boldsymbol{S = \{-1 ; 2\}}\).
  2. Inéquation \(f(x) \leq g(x)\) : La courbe de \(f\) est en dessous ou touche celle de \(g\) entre les deux points d'intersection. L'ensemble des solutions est l'intervalle \(\boldsymbol{S = [-1 ; 2]}\).

Compétences à pratiquer
  • Résoudre graphiquement \(f(x) \equal k\) et \(f(x) < k\)
  • Résoudre graphiquement \(f(x) \equal g(x)\) et \(f(x) < g(x)\)
III.2 Les résolutions par le calcul
Méthode — Déterminer les antécédents par le calcul
Pour déterminer le ou les antécédents d'une valeur \(y\) par une fonction \(f\) :
  • Poser l'équation en égalant la formule de la fonction à la valeur de sortie : \(\boldsymbol{f(x) = y}\).
  • Résoudre l'équation obtenue, d'inconnue \(x\).
Exemple
Soit \(f(x) = 3x + 12\). Déterminer le ou les antécédents de 0.

Il faut déterminer la valeur de \(x\) telle que \(f(x)=0\). On pose l'équation et on la résout : $$\begin{aligned} f(x) &= 0 \\ 3x + 12 &= 0 \\ 3x &= -12 && \color{gray}\text{(soustraire 12 aux deux membres)} \\ x &= \frac{-12}{3} &&\color{gray}\text{(diviser les deux membres par 3)} \\ x &= -4 \end{aligned}$$ L'antécédent de 0 est \(\boldsymbol{x = -4}\).
Vérification : \(f(-4) = 3(-4) + 12 = -12 + 12 = 0\). La réponse est correcte.

Méthode — Résoudre par le calcul
Pour résoudre \(f(x) = g(x)\) par le calcul :
  1. Égaler les expressions de \(f(x)\) et \(g(x)\).
  2. Transposer tous les termes d'un côté pour obtenir une expression égale à zéro (ex: \(f(x) - g(x) = 0\)).
  3. Factoriser ou simplifier pour trouver les valeurs exactes de \(x\).
Exemple
Soient \(f(x) = 3x + 1\) et \(g(x) = x + 7\). Résoudre \(f(x) = g(x)\).

$$\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ 3x + 1 &= x + 7 \\ 3x - x &= 7 - 1 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3\end{aligned}$$ La solution est \(\boldsymbol{x = 3}\).

Compétences à pratiquer
  • Résoudre des équations par le calcul
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Raisonner et résoudre
  • Problèmes
  • Quiz