Éducation Nationale Française · Troisième

Fonctions

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I Découvrir les fonctions

I.1 Le repère du plan

Définition — Repère du plan

Un repère du plan — ou repère orthogonal — est formé par deux droites graduées perpendiculaires qui se croisent à leur point zéro, appelé l’origine. L’origine a pour coordonnées $(0\,;0)$.

La droite graduée horizontale est appelée l’axe des $x$ (ou axe des abscisses).
La droite graduée verticale est appelée l’axe des $y$ (ou axe des ordonnées).

Définition — Coordonnées d’un point

Les coordonnées d’un point sont un couple de nombres (l'ordre compte), écrit sous la forme $(x\,;y)$, où $x$ est la coordonnée $x$ (l’abscisse) et $y$ est la coordonnée $y$ (l’ordonnée) :

La coordonnée $x$ indique la position horizontale le long de l’axe des $x$, avec des nombres positifs à droite de l’origine et des nombres négatifs à gauche.
La coordonnée $y$ indique la position verticale le long de l’axe des $y$, avec des nombres positifs au-dessus de l’origine et des nombres négatifs en dessous.

Par exemple, le point $(-2\,;1)$ a $x=-2$ (deux unités vers la gauche) et $y=1$ (une unité vers le haut).

Exemple

Placer ces points sur un repère du plan : $$A(-2\,;3),\quad B(3\,;-1),\quad \text{et}\quad C(-3\,;-2).$$

Correction

Pour chaque point, on part de l'origine et on lit les coordonnées dans l'ordre — d'abord $x$ (vers la droite si positif, vers la gauche si négatif), puis $y$ (vers le haut si positif, vers le bas si négatif) :

$A(-2\,;3)$ : $x=-2$, on va 2 unités vers la gauche ; $y=3$, on monte de 3 unités.
$B(3\,;-1)$ : $x=3$, on va 3 unités vers la droite ; $y=-1$, on descend d'une unité.
$C(-3\,;-2)$ : $x=-3$, on va 3 unités vers la gauche ; $y=-2$, on descend de 2 unités.

Compétences à pratiquer

Identifier les coordonnées de points

I.2 Qu'est-ce qu'une fonction ?

Découverte

Une fonction est comme une machine qui suit une règle précise. Pour chaque nombre qu'on y met, on obtient exactement un nombre en sortie.
On imagine une machine dont la règle est « multiplier par 2 ».

Si on met un 3, on obtient un 6. Si on met un 5, on obtient un 10. Un tableau de valeurs aide à organiser ces couples :

Entrée	3	5	8	10
Sortie	6	10	16	20

Pour travailler plus efficacement avec ces règles, les mathématiciens ont mis au point une notation particulière.
Pour représenter cette machine, on écrit $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{\text{entrée}}) = \textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$. Les parenthèses $($ $)$ indiquent l'action de la fonction $\textcolor{olive}{f}$ sur l'entrée.
On utilise la notation fonctionnelle pour nommer les fonctions et leurs variables, en remplaçant « $\textcolor{colordef}{\text{entrée}}$ » par « $\textcolor{colordef}{x}$ » et « $\textcolor{colorprop}{\text{sortie}}$ » par « $\textcolor{colorprop}{f(x)}$ ».
Par exemple, si la règle est « le double de l'entrée » :

on a donc $\textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{x}) = \textcolor{colorprop}{2x}$.

Lorsque l'entrée est $\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}$, on obtient : $$\begin{aligned} \textcolor{olive}{f}(\textcolor{colordef}{1}) &= 2 \times \textcolor{colordef}{(1)}\\ &= \textcolor{colorprop}{2} \end{aligned}$$

Définition — Fonction

Une fonction, $f$, est une règle qui associe à chaque valeur d'entrée exactement une valeur de sortie.

$f$ est le nom de la fonction (la règle).
$x$ est la variable d'entrée.
$f(x)$ est la valeur de sortie lorsque l'entrée est $x$. On lit « $f$ de $x$ ».
$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ et $x$ est un antécédent de $f(x)$.

Exemple

La fonction $f$ est définie par la règle $f(x)=2x-1$. Calculer la valeur de $f(5)$.

Correction

Pour calculer $f(5)$, on remplace $x$ par la valeur d'entrée $5$ dans la règle de la fonction : $$ \begin{aligned}[t] f(x) &= 2x - 1 \\ f(5) &= 2(5) - 1 \\ &= 10 - 1 \\ &= \boldsymbol{9} \end{aligned} $$

Exemple

On considère le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre.
Multiplier le nombre choisi par $3$.
Ajouter $1$ au résultat obtenu.

En notant $x$ le nombre choisi au départ, déterminer la fonction $f$ qui, à $x$, fait correspondre le résultat obtenu avec ce programme.

Correction

On fait tourner le programme sur le nombre choisi $x$, étape par étape : $$\textcolor{colordef}{x} \;\xrightarrow{\;\times\, 3\;}\; 3 \times \textcolor{colordef}{x} \;\xrightarrow{\;+\, 1\;}\; 3 \times \textcolor{colordef}{x} + 1.$$ Le résultat est toujours $3 \times x + 1$, donc la fonction est $$\textcolor{colorprop}{f(x) = 3x + 1}.$$ Contrôle avec un nombre : pour $x = 2$, le programme donne $2 \to 6 \to 7$, et $f(2) = 3 \times 2 + 1 = 7$.

Compétences à pratiquer

Déterminer des fonctions
Écrire une fonction
Calculer une image

I.3 Les tableaux de valeurs

Définition — Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs est un tableau qui organise la relation entre les valeurs d'entrée ($x$) et leurs valeurs de sortie correspondantes ($f(x)$) pour une fonction.

Exemple

Compléter le tableau de valeurs pour la fonction $f(x)=x^2$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$

Correction

On remplace chaque valeur de $x$ dans la fonction $f(x)=x^2$ :

$\begin{aligned}[t] f(-2) &= (-2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(-1) &= (-1)^2\\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(0) &= (0)^2 \\ &= 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(1) &= (1)^2 \\ &= 1 \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] f(2) &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned}$

Le tableau complété est :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Compétences à pratiquer

Lire une image dans un tableau

II Lire une fonction

II.1 La courbe d'une fonction

Alors qu'un tableau de valeurs est utile pour énumérer quelques couples entrée–sortie d'une fonction, une courbe est un outil puissant pour visualiser la façon dont la sortie varie lorsque l'entrée change. Une courbe montre d'un seul coup d'œil le comportement de la fonction.

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Définition — Courbe représentative d'une fonction

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(\textcolor{colordef}{x}\,;\,\textcolor{colorprop}{f(x)})$ dans un repère du plan. La valeur d'entrée $x$ est placée sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) et la valeur de sortie $f(x)$ sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Lorsque la fonction est définie pour tous les $x$ d'un intervalle, on peut relier ces points pour former la courbe de la fonction.

Proposition — Test de la droite verticale

Un dessin du plan est la courbe représentative d'une fonction exactement lorsque toute droite verticale le coupe au plus une fois. En effet, les points d'une droite verticale partagent tous la même entrée $x$ — deux intersections donneraient donc à une même entrée deux sorties différentes, ce qu'une fonction ne fait jamais.

Méthode — Tracer une courbe à partir d'un tableau

Pour tracer la courbe d'une fonction à partir de son tableau de valeurs :

Tracer un repère avec une échelle adaptée sur chaque axe et nommer les axes.
Pour chaque couple $(x\,;\,f(x))$ du tableau, placer le point correspondant dans le repère.
Si la fonction est définie pour tous les $x$ de l’intervalle représenté, relier les points par une droite ou une courbe lisse.

Exemple

Tracer la courbe représentative de la fonction $f(x) = x - 1$ en utilisant son tableau de valeurs.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Correction

On place les points $(-2\,;\,-3)$, $(-1\,;\,-2)$, $(0\,;\,-1)$, $(1\,;\,0)$, $(2\,;\,1)$ et $(3\,;\,2)$ à partir du tableau. Ces points sont alignés, donc on les relie pour tracer la courbe de $f(x)=x-1$.

Définition — La fonction carré

La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre $x$, associe son carré : $$f(x) = x^2.$$ Sa courbe représentative est une courbe appelée parabole.

Exemple

Dresser le tableau de valeurs de la fonction carré pour les entiers de $-3$ à $3$, puis tracer sa courbe représentative.

Correction

Une entrée négative s'élève au carré avec ses parenthèses : $f(-3) = (-3)^2 = 9$, et non $-9$.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Les points ne sont pas alignés : la fonction carré n'est ni linéaire ni affine, et sa courbe n'est pas une droite. Deux nombres opposés ont la même image, donc la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Entre les points, la courbe se trace lisse, puisque $x$ peut prendre toutes les valeurs.

Proposition — Antécédents par la fonction carré

Par la fonction carré :

un nombre strictement positif a deux antécédents, opposés l'un de l'autre : les antécédents de $16$ sont $4$ et $-4$ ;
$0$ a un seul antécédent, $0$ ;
un nombre strictement négatif n'a aucun antécédent, puisqu'un carré n'est jamais négatif.

Compétences à pratiquer

Tracer une courbe
Étudier la fonction carré

II.2 L'image d'un nombre

Méthode — Lire graphiquement $f(x)$

Pour déterminer graphiquement la valeur de sortie $f(x)$ pour une entrée $x$ donnée :

Localiser la valeur d'entrée sur l'axe horizontal des abscisses (x).
Se déplacer verticalement à partir de ce point jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
Se déplacer horizontalement depuis ce point d'intersection jusqu'à l'axe vertical des ordonnées (y) et lire la valeur correspondante. Cette valeur de $y$ est la sortie $f(x)$.

Exemple

En utilisant la courbe de la fonction $f$ ci-dessous, déterminer la valeur de $f(2)$.

Correction

On suit la méthode graphique :

Partir de $x=2$ sur l'axe horizontal.
Monter jusqu'à rencontrer la courbe.
Se déplacer horizontalement jusqu'à l'axe vertical et lire la valeur, qui est $3$.

On a donc $\boldsymbol{f(2) = 3}$.

Compétences à pratiquer

Lire une image sur un graphique

II.3 Les antécédents

On a appris à prendre une entrée ($x$) et à calculer sa sortie ($f(x)$). On apprend ici à travailler à l'envers : si l'on connaît la sortie, peut-on retrouver la ou les entrées qui l'ont produite ? C'est la recherche du ou des antécédents d'une valeur donnée.

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Méthode — Lire graphiquement les antécédents

Pour déterminer le ou les antécédents d'une valeur $y$ (c.-à-d. tous les $x$ tels que $f(x)=y$) :

Localiser la valeur de sortie $y$ sur l'axe vertical des ordonnées.
Tracer une droite horizontale à partir de cette valeur dans le repère.
Repérer le ou les points d'intersection où la droite horizontale croise la courbe de la fonction.
Se déplacer verticalement vers l'axe des abscisses depuis chaque point d'intersection pour lire la ou les valeurs d'entrée correspondantes. Ce sont les antécédents cherchés.

Exemple

En utilisant la courbe de la fonction $f$ ci-dessous, déterminer le ou les antécédents de 3.

Correction

On applique la méthode graphique :

On localise $y=3$ sur l'axe vertical.
On trace une droite horizontale à $y=3$.
Cette droite coupe la courbe en deux points.
On se déplace verticalement depuis ces points vers l'axe des abscisses pour lire les valeurs, qui sont $-2$ et $2$.

Les antécédents de 3 sont $\boldsymbol{-2}$ et $\boldsymbol{2}$.

La lecture graphique d'un antécédent aide à visualiser ; pour obtenir une valeur exacte, on passe par le calcul.

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Méthode — Déterminer les antécédents par le calcul

Pour déterminer le ou les antécédents d'une valeur $y$ par une fonction $f$ :

Poser l'équation en égalant la formule de la fonction à la valeur de sortie : $\boldsymbol{f(x) = y}$.
Résoudre l'équation obtenue, d'inconnue $x$.

Exemple

Soit $f(x) = 3x + 12$. Déterminer le ou les antécédents de 0.

Correction

Il faut déterminer la valeur de $x$ telle que $f(x)=0$. On pose l'équation et on la résout : $$\begin{aligned} f(x) &= 0 \\ 3x + 12 &= 0 \\ 3x &= -12 && \color{gray}\text{(soustraire 12 aux deux membres)} \\ x &= \frac{-12}{3} &&\color{gray}\text{(diviser les deux membres par 3)} \\ x &= -4 \end{aligned}$$ L'antécédent de 0 est $\boldsymbol{x = -4}$.
Vérification : $f(-4) = 3(-4) + 12 = -12 + 12 = 0$. La réponse est correcte.

Compétences à pratiquer

Lire des antécédents dans un tableau
Lire des antécédents sur un graphique
Déterminer les antécédents par le calcul

III Fonctions linéaires et affines

III.1 La fonction linéaire

Une situation de proportionnalité se donne souvent par un tableau : chaque valeur de la deuxième ligne s'obtient à partir de la première en multipliant par un même nombre. Rien n'oblige à s'arrêter au tableau — cette même règle se lit comme une machine qui prend un nombre quelconque et le multiplie par le coefficient. Écrite comme une fonction, une situation de proportionnalité devient la plus simple des fonctions.

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Définition — Fonction linéaire

Soit $a$ un nombre non nul. La fonction qui, à tout nombre $x$, associe le nombre $ax$ est appelée fonction linéaire de coefficient $a$. On la note $$f : x \longmapsto ax, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad f(x) = ax.$$ Le nombre $a$ est le coefficient de la fonction : c'est exactement le coefficient de proportionnalité de la situation modélisée.

Proposition — Représentation graphique d'une fonction linéaire

La représentation graphique de la fonction linéaire $f(x) = ax$ est une \textcolor{colorprop}{droite passant par l'origine}. Réciproquement, toute droite non verticale passant par l'origine, autre que l'axe des abscisses, est la représentation graphique d'une fonction linéaire — une droite verticale n'est la représentation d'aucune fonction, puisqu'elle donnerait plusieurs sorties à une même entrée, et l'axe des abscisses représente $x \longmapsto 0$, dont le coefficient $0$ est exclu.

La lecture du coefficient sur le graphique est immédiate : $a$ est la valeur de $f(1)$, c'est-à-dire l'ordonnée du point de la droite d'abscisse $1$.

Méthode — Modéliser une situation par une fonction linéaire

Nommer les deux grandeurs et choisir celle qui joue le rôle de l'entrée $x$ : l'autre est alors $f(x)$.
Vérifier que la situation est proportionnelle : tous les couples de valeurs associées dont l'entrée n'est pas nulle doivent donner le même quotient sortie/entrée — et une entrée nulle doit donner une sortie nulle.
Calculer le coefficient $a$ en divisant une sortie par l'entrée correspondante — n'importe quel couple dont l'entrée n'est pas nulle donne le même $a$.
Écrire l'expression $f(x) = ax$, puis s'en servir : une entrée donne sa sortie par une multiplication et, comme $a$ n'est pas nul, une sortie donne son entrée par une division.

Exemple

Un robinet remplit une cuve vide à débit constant. Au bout de $4$ minutes, la cuve contient $18$ litres.

Justifier que le volume est proportionnel au temps, et modéliser la situation par une fonction linéaire $V$.
Combien de litres la cuve contient-elle au bout de $10$ minutes ?
Au bout de combien de temps la cuve contient-elle $27$ litres ?

Correction

Le débit est constant, donc un temps double donne un volume double, et un temps nul ne donne aucune eau : la situation est proportionnelle. Le coefficient s'obtient à partir du couple de valeurs associées $(4 ; 18)$ : $$a = \dfrac{18}{4} = 4{,}5,$$ donc le robinet débite $4{,}5$ litres par minute et $$V(x) = 4{,}5\,x,$$ où $x$ est le temps en minutes et $V(x)$ le volume en litres.
Au bout de $10$ minutes, $$V(10) = 4{,}5 \times 10 = 45 \text{ litres}.$$
On cherche l'entrée dont la sortie vaut $27$, on divise donc par le coefficient : $$x = \dfrac{27}{4{,}5} = 6 \text{ minutes}.$$ Contrôle : $4{,}5 \times 6 = 27$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une fonction linéaire
Calculer avec une fonction linéaire
Résoudre des problèmes avec une fonction linéaire

III.2 La fonction affine

Définition — Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme : $$f(x) = ax + b$$ où $a$ et $b$ sont des constantes (nombres réels) et $x$ est la variable.

La constante $a$ est appelée le coefficient directeur (ou la pente). Elle représente le taux de variation constant de la fonction : de combien $f(x)$ change lorsque $x$ augmente de 1.
La constante $b$ est appelée l'ordonnée à l'origine. Elle représente la valeur initiale de la fonction, c'est-à-dire la valeur de $f(0)$ lorsque $x = 0$.

Exemple

L'accès à une piscine coûte un droit d'entrée fixe de 12 $\Euro$, plus 5 $\Euro$ par heure passée sur place. On note $P(x)$ le prix total pour $x$ heures à la piscine. Écrire une formule donnant $P(x)$ en fonction de $x$.

Correction

Le prix total, $P(x)$, est la somme du droit d'entrée fixe et du coût variable, qui dépend du nombre d'heures, $x$.
On peut écrire cela sous forme d'équation : $$ P(x) = (\text{Droit d'entrée fixe}) + (\text{Coût par heure}) \times (\text{Nombre d'heures}) $$ En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $$ \begin{aligned}[t] P(x) &= \underbrace{12}_{\text{Droit d'entrée fixe}} + \underbrace{5 \times x}_{\text{Coût pour } x \text{ heures}} \\ &= 12 + 5x \end{aligned} $$ La formule est donc $\boldsymbol{P(x) = 5x + 12}$. C'est une fonction affine de coefficient directeur $5$ et d'ordonnée à l'origine $12$.

Le cas $b = 0$ ramène à la fonction linéaire. Quand $f(x) = ax$, la sortie est proportionnelle à l'entrée : doubler l'entrée double la sortie, et la courbe est une droite passant par l'origine — c'est la fonction linéaire, la proportionnalité des classes précédentes réécrite comme une fonction dont le coefficient $a$ est le coefficient de proportionnalité. Dès que $b \ne 0$, la proportionnalité est perdue — la droite manque l'origine, et doubler l'entrée ne double plus la sortie. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, celle dont la droite passe par l'origine.

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Compétences à pratiquer

Identifier les fonctions affines
Déterminer une fonction à partir d'un programme
Déterminer a et b

III.3 La droite d'une fonction affine

Définition — Pente

La pente (également appelée coefficient directeur) d'une droite non verticale est définie comme le rapport du changement vertical ($\Delta y$) sur le changement horizontal ($\Delta x$), pour deux points distincts quelconques de la droite. Ce rapport est le même quels que soient les deux points choisis sur la droite :$$\text{pente} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\text{changement vertical}}}{\textcolor{colordef}{\text{changement horizontal}}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{\Delta x} \neq 0$$

Pour une droite verticale, le changement horizontal $\Delta x$ est toujours nul, la pente est donc indéfinie.
Dans le cas particulier où $x$ augmente d'exactement $1$ — c'est-à-dire $\Delta x = 1$ — la pente vaut simplement $\Delta y$ : la pente dit de combien $y$ varie pour un pas de $1$ en $x$.

Proposition — Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite d'équation $y = ax + b$.

La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,b)$ : c'est l'ordonnée à l'origine.
La pente $a$ est définie comme le rapport entre le déplacement vertical ($\boldsymbol{\Delta y}$) et le déplacement horizontal ($\boldsymbol{\Delta x}$) entre deux points quelconques de la droite : $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$ Pour deux points $(x_1\,;\,y_1)$ et $(x_2\,;\,y_2)$ de la droite (avec $x_1 \neq x_2$), on peut écrire : $$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. $$

Exemple

Pour la fonction $f(x)=0{,}5x+1$, tracer sa représentation graphique.

Correction

La fonction est $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$.

Identifier l'ordonnée à l'origine : l'ordonnée à l'origine est $b = 1$. On place donc un premier point en $(0\,;\,1)$.
Utiliser la pente : la pente est $a = \dfrac{1}{2}$. Cela signifie que $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{2}, $$ donc pour chaque déplacement horizontal de $2$ unités vers la droite, on monte de $1$ unité. Depuis $(0\,;\,1)$, on se déplace de $2$ vers la droite et de $1$ vers le haut pour obtenir un deuxième point en $(2\,;\,2)$.
Tracer la droite : on trace une droite passant par ces deux points et on la prolonge des deux côtés.

Méthode — Déterminer une fonction affine par deux points

Pour déterminer la fonction affine $f(x) = ax + b$ dont la droite passe par deux points donnés $A(x_A \,; y_A)$ et $B(x_B \,; y_B)$ :

Calculer la pente : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (la variation de $y$ divisée par la variation de $x$), ce qui suppose $x_A \neq x_B$.
Déterminer $b$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des points dans $y = ax + b$ et en résolvant l'équation obtenue, d'inconnue $b$.
Contrôler la formule avec l'autre point.

Exemple

Déterminer la fonction affine dont la droite passe par $A(1 \,; 5)$ et $B(3 \,; 11)$.

Pente : $a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$.
Ordonnée à l'origine : on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $5 = 3 \times 1 + b$, donc $b = 2$.
Formule : $f(x) = 3x + 2$. $\quad$ Contrôle avec $B$ : $f(3) = 9 + 2 = 11$ — correct.

Compétences à pratiquer

Déterminer la fonction à partir du graphique
Tracer une droite à partir d'une fonction affine

III.4 Interpréter les paramètres

Jusqu'ici on est allé de l'expression vers la droite : $f(x) = ax + b$ étant donnée, on l'a tracée. La lecture marche aussi dans l'autre sens — et elle marche sans aucun calcul. L'allure d'une droite dit à elle seule si elle monte ou si elle descend, à quelle vitesse, et d'où elle part. Deux nombres, deux questions : que fait $a$, et que fait $b$ ?

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Proposition — Lire les paramètres sur la droite

Soit $f(x) = ax + b$ une fonction affine et $\mathcal{D}$ sa droite.

Le signe de $a$ donne le sens : si $\textcolor{colorprop}{a > 0}$ la droite monte de gauche à droite, si $\textcolor{colorprop}{a < 0}$ elle descend, et si $a = 0$ elle est horizontale.
La grandeur de $a$ donne la raideur : plus $a$ est loin de $0$, plus $\mathcal{D}$ est raide. Deux droites de même $a$ sont parallèles.
Le nombre $b$ est la hauteur à laquelle $\mathcal{D}$ coupe l'axe des ordonnées. Changer $b$ fait glisser la droite vers le haut ou vers le bas sans jamais changer sa direction.

$\quad$

À gauche, trois droites partagent le même $b$ : elles coupent toutes l'axe des ordonnées au même point, et seule leur direction diffère. À droite, trois droites partagent le même $a$ : elles sont parallèles, et seule leur hauteur diffère.

Méthode — Lire une fonction affine sur sa droite

Lire $b$ d'abord : regarder le point où la droite coupe l'axe des ordonnées — sa hauteur est $b$.
Lire ensuite $a$ : depuis ce point, avancer d'une unité vers la droite et lire de combien la droite est montée. Cette montée est $a$ — comptée négativement si la droite est descendue.
Écrire $f(x) = ax + b$, puis contrôler sur un second point : choisir un autre $x$ de la droite, calculer $f(x)$ et vérifier que la droite passe bien par ce point.

La même lecture marche à l'envers : $a$ et $b$ étant donnés, on peut prévoir l'allure — le sens par le signe de $a$, la raideur par sa grandeur, la hauteur par $b$ — sans placer un seul point.

Exemple

La droite ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction affine $f$.

Lire $b$ sur le graphique.
Déterminer $a$.
Donner l'expression de $f(x)$.
Sans rien tracer, dire en quoi la droite de $g(x) = -3x - 2$ diffère de celle de $f$.

Correction

La droite coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $-2$, donc $b = -2$.
La droite passe aussi par le point $(3 ; 4)$. Entre les deux points marqués, $x$ a augmenté de $3$ et $y$ de $4 - (-2) = 6$, donc $$a = \dfrac{6}{3} = 2.$$
Donc $f(x) = 2x - 2$. Contrôle en $x = 1$ : $f(1) = 2 \times 1 - 2 = 0$, et la droite coupe bien l'axe des abscisses en $x = 1$.
Les deux droites ont le même $b$, elles coupent donc l'axe des ordonnées au même point $(0 ; -2)$. Mais $g$ a $a = -3$ : sa droite descend au lieu de monter, et comme $3 > 2$ elle est plus raide que celle de $f$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître le sens d'une droite
Lire les paramètres sur un graphique
Comparer des droites à partir de leurs paramètres

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Type brevet
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(9\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)