Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Fonctions exponentielles

⌚ ~202 min ▢ 23 blocs ✓ 104 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Suites : sommes et moyennes, Puissances et racines, Proportions et évolutions

I Les puissances

I.1 Les exposants négatifs

Définition — Exposants négatifs et exposant nul

Pour un nombre non nul $a$ et un entier naturel $n \geq 1$, on prolonge la définition de la puissance aux exposants négatifs en posant : $$\begin{aligned}[t] a^{-n} &= \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}} \\ &= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \qquad \text{et} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0).$$ En particulier, $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$. Un exposant négatif signifie donc que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante.

Compétences à pratiquer

Écrire les exposants négatifs sous forme de fractions

I.2 Les lois des exposants

Découverte

Voici un exemple : $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}} \times \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}} &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}\,\text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}}. \end{aligned} $$ Dans cet exemple, on multiplie deux puissances de même base (7).
On voit que l’on garde la base et qu’on ajoute les exposants : $3 + 2 = 5$.
De manière générale, lorsque l’on multiplie un nombre $\textcolor{colordef}{a}$ élevé à la puissance $\textcolor{colorprop}{m}$ par ce même nombre élevé à la puissance $\textcolor{olive}{n}$, c’est-à-dire : $$ \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}, $$ le résultat est égal à $\textcolor{colordef}{a}$ élevé à la somme des exposants : $$ \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}. $$

Proposition — Loi des exposants 1

Quand on multiplie deux puissances de même base, on garde la base et on ajoute les exposants : $$ \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}. $$

Proposition — Loi des exposants 2

Pour $a\neq 0$ et pour des entiers $m$ et $n$, $$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}$$

Proposition — Loi des exposants 3

Pour $a\neq 0$ et pour des entiers $m$ et $n$, $$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}$$

Proposition — Loi des exposants 4

Pour des nombres non nuls $a$ et $b$, et tout entier $n$, $$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}$$

Compétences à pratiquer

Simplifier des produits de puissances

I.3 Racines n-ièmes et exposants rationnels

Définition — Racine n-ième

Le concept de racine peut être généralisé. Pour un entier naturel $n \ge 1$, la racine n-ième d'un nombre réel $a$, notée $\sqrt[n]{a}$, est un nombre qui, élevé à la puissance $n$, donne $a$, choisi ainsi : pour $n$ impair, c'est l'unique nombre réel dont la puissance $n$-ième vaut $a$ ; pour $n$ pair, elle n'existe que si $a \ge 0$, et c'est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$. Lorsqu'elle existe, $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a.$$ Les règles pour leurs ensembles de définition dépendent du fait que l'indice $n$ est pair ou impair.

Racines paires (ex. $\sqrt[2]{a}, \sqrt[4]{a}, \dots$) : une racine paire d'un nombre strictement négatif n'est pas un nombre réel. Pour $n$ pair, $\sqrt[n]{a}$ n'est définie que pour $\boldsymbol{a \ge 0}$, et désigne le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$ (ex. $\sqrt[4]{16} = 2$, pas $-2$).
Racines impaires (ex. $\sqrt[3]{a}, \sqrt[5]{a}, \dots$) : une racine impaire est définie pour tous les nombres réels $a$.

Découverte

On connaît les exposants positifs, comme $5^3 = 5 \times 5 \times 5$, et aussi les exposants négatifs, comme $5^{-3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5}$.
Mais qu'en est-il des exposants fractionnaires ?
On admet que les lois des exposants restent vraies pour des exposants fractionnaires. Alors, pour $\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}}$ :$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} \times \textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} &= 5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \\ &= 5^1 \\ &= \textcolor{olive}{5}\end{aligned}$$ Et par la définition de la racine carrée :

$$\textcolor{colorprop}{\sqrt{5}} \times \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}} = \textcolor{olive}{5}$$ En comparant ces deux résultats :$$\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} \times \textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} = \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}} \times \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}}$$ Le nombre $\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}}$ est pris strictement positif, comme toute puissance d'une base strictement positive, et $\textcolor{colorprop}{\sqrt{5}}$ est strictement positif. Comme $5$ n'a qu'une seule racine carrée strictement positive, on en déduit que :$$\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} = \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}}$$ On n’utilise des exposants rationnels que pour des bases strictement positives, afin que des racines comme $\sqrt[n]{a}$ soient des nombres réels. Cela montre qu'on peut utiliser des exposants fractionnaires pour représenter des racines, élargissant ainsi la compréhension des exposants pour inclure les exposants rationnels.

Définition — Exposant rationnel

Pour un nombre $a>0$ et des entiers strictement positifs $m$ et $n$, $$\begin{aligned} a^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{a}, \\ a^{\frac{1}{n}} &= \sqrt[n]{a}, \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \\ a^{-\frac{m}{n}} &= \dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Écrire des racines avec des exposants

II La fonction $x \mapsto a^x$

II.1 Définition et propriétés

Des expressions comme $a^n$ ont un sens quand l'exposant $n$ est un entier (les racines donnent des exposants fractionnaires). La fonction exponentielle, écrite $f(x) = a^x$, étend ce concept à un exposant $x$ réel quelconque.
Ce chapitre présente les caractéristiques clés et les courbes de ces fonctions, et la façon dont elles modélisent des phénomènes du monde réel impliquant une croissance ou une décroissance rapide, tels que la dynamique des populations et les intérêts composés.

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Définition — Fonction exponentielle

La fonction exponentielle a la forme $f(x)=a^x$, où la base $a$ est une constante strictement positive et $a \neq 1$.

Proposition — Caractéristiques clés du graphe de $y\equal a^x$

Toutes les fonctions exponentielles de la forme $f(x) = a^x$ partagent plusieurs caractéristiques graphiques clés :

Ensemble de définition : l'ensemble des nombres réels, $\mathbb{R} = ]-\infty\,;\,+\infty[$.
Ensemble image : L'ensemble image est l'ensemble des nombres réels strictement positifs, $]0\,;\,+\infty[$.
Asymptote horizontale : La courbe a pour asymptote horizontale l'axe des abscisses ($y=0$). La fonction s'approche de cette droite mais ne la touche jamais.
Ordonnée à l'origine : La courbe passe toujours par le point $(0\,;\,1)$, car $a^0 = 1$ pour toute base $a$ valide.
Forme générale : La forme de la courbe est déterminée par la valeur de la base, $a$ :
- Si $\boldsymbol{a > 1}$, la fonction montre une croissance exponentielle et est croissante.
- Si $\boldsymbol{0 < a < 1}$, la fonction montre une décroissance exponentielle et est décroissante.

$\quad$

Proposition — Propriétés algébriques de $x \mapsto a^x$

Soit $a \gt 0$. Les règles des puissances entières restent vraies pour tout exposant réel ; ces propriétés sont admises. Pour tous réels $x$ et $y$ et tout entier relatif $n$ :

$\textcolor{colorprop}{a^{x+y} = a^x \times a^y}$ ;
$\textcolor{colorprop}{a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}}$, et en particulier $\textcolor{colorprop}{a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}}$ ;
$\textcolor{colorprop}{a^{nx} = \left(a^x\right)^n}$.

Elles servent à transformer des écritures numériques ou littérales — les mêmes gestes qu'avec des exposants entiers.

Exemple

Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance, ou d'un nombre.

$2^{1{,}5} \times 2^{0{,}5}$
$\dfrac{5^{x+1}}{5^{x}}$
$\left(1{,}05^{x}\right)^{12}$
$\dfrac{1}{2^{x}}$

Correction

$\begin{aligned}[t]2^{1{,}5} \times 2^{0{,}5} &= 2^{1{,}5 + 0{,}5} &&\text{(produit : on ajoute les exposants)}\\ &= 2^{2}\\ &= 4\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\dfrac{5^{x+1}}{5^{x}} &= 5^{(x+1) - x} &&\text{(quotient : on soustrait les exposants)}\\ &= 5^{1}\\ &= 5\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\left(1{,}05^{x}\right)^{12} &= 1{,}05^{12x} &&\text{(} a^{nx} = (a^x)^n \text{ avec } n = 12\text{)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\dfrac{1}{2^{x}} &= 2^{-x} &&\text{(} a^{-x} = \tfrac{1}{a^x}\text{)}\end{aligned}$

Proposition — Sens de variation de $x \mapsto k \times a^x$

Soit $a \gt 0$ avec $a \neq 1$, et soit $k \neq 0$. La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = k \times a^x$ vérifie $f(0) = k$ et a le signe de $k$.

Si $\textcolor{colorprop}{k \gt 0}$, $f$ a le même sens de variation que $x \mapsto a^x$ : croissante si $a \gt 1$, décroissante si $0 \lt a \lt 1$.
Si $\textcolor{colorprop}{k \lt 0}$, $f$ a le sens de variation contraire : décroissante si $a \gt 1$, croissante si $0 \lt a \lt 1$.

(Pour $a = 1$ ou $k = 0$, $f$ est constante.) Multiplier par un nombre strictement positif conserve l'ordre de deux nombres ; multiplier par un nombre strictement négatif le renverse. Aux entiers naturels $n = 0\,;\,1\,;\,2\,;\,\ldots$, les valeurs $k \times a^n$ sont multipliées par $a$ à chaque pas : elles forment une suite géométrique, de premier terme $k$ et de raison $a$, et la fonction et la suite varient de la même façon.

Exemple

Donner le sens de variation de chaque fonction sur l'ensemble des réels.

$f(x) = 3 \times 1{,}2^{x}$
$g(x) = -2 \times 1{,}5^{x}$
$h(x) = 5 \times 0{,}8^{x}$
$m(x) = -0{,}5 \times 0{,}9^{x}$

Correction

$k = 3 \gt 0$ et $a = 1{,}2 \gt 1$ : $f$ est croissante.
$k = -2 \lt 0$ et $a = 1{,}5 \gt 1$ : $g$ est décroissante.
$k = 5 \gt 0$ et $0 \lt a = 0{,}8 \lt 1$ : $h$ est décroissante.
$k = -0{,}5 \lt 0$ et $0 \lt a = 0{,}9 \lt 1$ : $m$ est croissante — deux renversements se compensent.

Proposition — Intercaler un point sur la courbe

Soit $a \gt 0$ avec $a \neq 1$, soit $k \gt 0$, et soit $f(x) = k \times a^x$. Pour tous réels $x_1$ et $x_2$ : $$\textcolor{colorprop}{f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) = \sqrt{f(x_1) \times f(x_2)}}.$$ Sur la courbe de $f$, le point dont l'abscisse est la moyenne arithmétique de deux abscisses a pour ordonnée la moyenne géométrique des deux ordonnées (le nombre positif dont le carré est leur produit).

Méthode — Construire la courbe point par point

Pour placer des points de la courbe de $f(x) = k \times a^x$ ($k \gt 0$) sans calculer aucune puissance d'exposant non entier :

Partir de deux points de la courbe déjà connus, par exemple $A(0\,;k)$ et $B(1\,;k \times a)$.
Entre deux points voisins $(x_1\,;y_1)$ et $(x_2\,;y_2)$, intercaler le point $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\,;\sqrt{y_1 \times y_2}\right)$ : il est sur la courbe.
Recommencer l'étape 2 entre tous les points voisins : chaque tour double le nombre d'intervalles, et les points remplissent de plus en plus densément l'arc de la courbe entre $A$ et $B$.

Chaque tour applique la même étape à chaque couple de points voisins : c'est un algorithme, que l'on peut répéter autant de fois qu'on le souhaite.

Exemple

Les points $A(0\,;1)$ et $B(1\,;4)$ sont sur la courbe de $f(x) = 4^x$. Effectuer deux tours d'intercalation entre $A$ et $B$, donner les coordonnées des points obtenus, et contrôler l'un d'eux avec la touche puissance d'une calculatrice.

Correction

Premier tour. Entre $A(0\,;1)$ et $B(1\,;4)$ : abscisse $\dfrac{0 + 1}{2} = 0{,}5$, ordonnée $\sqrt{1 \times 4} = 2$ ; le point $(0{,}5\,;2)$. Second tour. Entre $(0\,;1)$ et $(0{,}5\,;2)$ : $(0{,}25\,;\sqrt{2}) \approx (0{,}25\,;1{,}414)$. Entre $(0{,}5\,;2)$ et $(1\,;4)$ : $(0{,}75\,;\sqrt{8}) \approx (0{,}75\,;2{,}828)$. Contrôle : la calculatrice donne $4^{0{,}75} \approx 2{,}828$. Les cinq points sont sur la courbe :

Compétences à pratiquer

Lire et tracer des fonctions exponentielles
Calculer des valeurs de fonctions exponentielles
Utiliser les propriétés algébriques de $x \mapsto a^x$
Déterminer le sens de variation de $x \mapsto k \times a^x$
Intercaler des points sur la courbe
Intercaler des points avec Python (sauf STD2A)

II.2 Expressions exponentielles

Définition — Expression exponentielle

Une expression exponentielle est une expression mathématique où une variable apparaît en exposant. La base est en général une constante strictement positive différente de $1$.

Exemple

$2^x$ et $5^{x+1}$ sont des expressions exponentielles. Cela est différent d’une expression polynomiale comme $x^2$, où la variable se trouve dans la base et non en exposant.

Méthode — Manipuler des expressions exponentielles

En utilisant les lois des exposants (règles sur les puissances), on peut simplifier, développer et factoriser des expressions où la variable est en exposant. Ces compétences sont fondamentales pour résoudre des équations exponentielles.

Exemple

Simplifier $\displaystyle\frac{2^{x+1}+2^x}{2^x}$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \frac{2^{x+1}+2^x}{2^x} &= \frac{2^x \cdot 2^1 + 2^x}{2^x} && \text{(règle }a^{x+1}=a^x\cdot a^1\text{)} \\ &= \frac{2^x(2+1)}{2^x} && \text{(factoriser par le facteur commun } 2^x\text{)} \\ &= 3 && \text{(simplifier par } 2^x\text{)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Simplifier en utilisant les lois des exposants
Simplifier des expressions exponentielles
Développer et simplifier des expressions exponentielles
Factoriser des expressions exponentielles

II.3 Équations exponentielles

Définition — Équation exponentielle

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue apparaît en exposant.

Exemple

$2^x = 8$ et $30 \times 3^x = 7$ sont des équations exponentielles.

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les équations exponentielles. Celles-ci incluent la résolution graphique, l’utilisation d’outils technologiques (comme la calculatrice ou un logiciel de tracé), et l’utilisation des logarithmes. On se concentre sur les équations que l’on peut résoudre algébriquement en écrivant les deux membres avec la même base, puis en égalisant les exposants.

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Méthode — Résoudre en égalisant les exposants

Pour $a>0$ et $a\neq 1$, on a $a^x = a^y$ si et seulement si $x = y$. Ainsi, lorsque les deux membres d’une équation s’écrivent avec la même base $a$, on peut égaliser les exposants.

Exemple

Résoudre l'équation : $2^x = 16$

Correction

$$\begin{aligned}[t] && 2^x &= 16 \\ \Leftrightarrow && 2^x &= 2^4 && \text{(Écrire $16$ comme une puissance de $2$)} \\ \Leftrightarrow && x &= 4 && \text{(Égaliser les exposants)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Résoudre par l'égalité des exposants : Niveau 1
Résoudre par l'égalité des exposants : Niveaux 2 et 3

III Modéliser une évolution

III.1 Modèles exponentiels

Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser des grandeurs qui changent par un facteur multiplicatif constant sur des intervalles de temps égaux. Ce principe fondamental les distingue des fonctions affines, qui changent par une différence constante (addition ou soustraction).
Il existe deux principaux types de modèles exponentiels :

Croissance exponentielle : La quantité augmente par un facteur constant supérieur à 1. On observe ce phénomène dans la croissance démographique et les intérêts composés.
Décroissance exponentielle : La quantité diminue par un facteur constant compris entre 0 et 1. On observe ce phénomène dans la désintégration radioactive et la dépréciation des actifs.

Ces modèles peuvent être discrets, se produisant par étapes distinctes (par ex., des intérêts composés annuellement), ou continus, se produisant de manière fluide dans le temps (par ex., la croissance bactérienne).

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Définition — Modèle général pour la croissance et la décroissance exponentielle

Une relation exponentielle est décrite par la fonction :$$ A(t) = A_0 \times R^t $$ où :

$A(t)$ est la quantité au temps $t$.
$A_0$ est la quantité initiale (la quantité à $t=0$).
$R$ est le facteur de croissance ou de décroissance constant par unité de temps, avec $R > 0$ : $R = 1 + r$ pour une croissance au taux $r$, $R = 1 - r$ pour une décroissance au taux $r$.
$t$ est le temps écoulé.

La fonction $A(t) = A_0 \times R^t$ est une fonction $k \times a^x$, avec $k = A_0$ et $a = R$.

Exemple

La population de renards, $P$, dans une zone spécifiée, $t$ années après le début de l'observation, est modélisée par l'équation : $P(t)=300(1{,}25)^t$.

Combien de renards y a-t-il initialement ?
Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage ?
Combien de renards y a-t-il après 5 ans ?

Correction

La population initiale correspond à $t=0$. $$P(0) = 300(1{,}25)^0 = 300 \times 1 = \boldsymbol{300} \text{ renards}$$
Le facteur de croissance est $R=1{,}25$. Comme $R = 1+r$, on a $1{,}25 = 1+r$, ce qui donne $r=0{,}25$.
Le taux de croissance annuel est de $\boldsymbol{25\pourcent}$.
On remplace $t=5$ dans l'équation. La population devant être un nombre entier, on arrondit à l'unité. $$P(5) = 300(1{,}25)^5 \approx 915{,}52... \approx \boldsymbol{916} \text{ renards}$$

Exemple

Une somme de $5\,000 \Euro$ est investie à 6$\pourcent$ par an avec intérêts composés annuellement.

Déterminer un modèle pour le montant, $A$, après $t$ années.
Calculer le montant après 4 ans.

Correction

Le montant initial est $A_0 = 5\,000$. Le taux d'intérêt annuel est $r = 0{,}06$.
Le facteur de croissance est $R = 1+r = 1+0{,}06 = 1{,}06$.
Le modèle est $\boldsymbol{A(t) = 5\,000(1{,}06)^t}$.
Après 4 ans, le montant est : $$A(4) = 5\,000(1{,}06)^4 \approx 6\,312{,}38...$$ Le montant est de $\boldsymbol{6\,312{,}38 \Euro }$.

Compétences à pratiquer

Modéliser des situations réelles avec des fonctions exponentielles

III.2 Relation affine ou exponentielle

De nombreux schémas de croissance et de décroissance dans le monde réel peuvent être modélisés par des fonctions affines ou exponentielles. La clé pour les distinguer est de comprendre comment la quantité change à intervalles réguliers.

Les relations affines impliquent un changement additif. La même quantité est ajoutée ou soustraite à chaque pas de temps. C'est le cas d'une épargne de $50\,\Euro$ chaque mois.
Les relations exponentielles impliquent un changement multiplicatif. La quantité est multipliée par le même facteur à chaque pas de temps. C'est le cas d'une population qui double chaque année.

Cette différence fondamentale peut être identifiée mathématiquement en vérifiant s'il existe une différence constante ou un rapport constant.

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Proposition — Identifier une relation affine ou exponentielle

Pour un ensemble de données où la variable indépendante ($x$) augmente par intervalles constants :

Si la différence entre les valeurs consécutives de la variable dépendante ($y$) est constante, un modèle affine convient aux données.
Si les valeurs de $y$ sont non nulles et si le rapport des valeurs consécutives de $y$ est constant et différent de $1$, un modèle exponentiel convient aux données.

Un tableau ne montre que quelques valeurs : il montre qu'un modèle est compatible avec elles. La démonstration ci-dessous établit le sens inverse : une relation affine donne toujours une différence constante, et une relation exponentielle un rapport constant.

Méthode — Analyser les données d'un tableau

Pour déterminer si une relation est affine ou exponentielle à partir d'un tableau de valeurs :

S'assurer que les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant.
Vérifier si la différence est constante : Calculer la différence entre les valeurs de $y$ consécutives ($y_2 - y_1$, $y_3 - y_2$, etc.). Si cette valeur est constante, la relation est affine.
Vérifier si le rapport est constant : Si la différence n'est pas constante, calculer le rapport des valeurs de $y$ consécutives ($\frac{y_2}{y_1}$, $\frac{y_3}{y_2}$, etc.). Si cette valeur est constante, la relation est exponentielle.

Exemple

On considère la relation représentée par ce tableau :

$x$	0	1	2	3
$y$	5	8	11	14

La relation est-elle affine ou exponentielle ?

Correction

Les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant de 1.
On vérifie si la différence entre les valeurs de $y$ consécutives est constante :

$y_2 - y_1 = 8 - 5 = \boldsymbol{3}$
$y_3 - y_2 = 11 - 8 = \boldsymbol{3}$
$y_4 - y_3 = 14 - 11 = \boldsymbol{3}$

Comme la différence est constante, la relation est affine.$$\begin{aligned}x: &\ 0 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 1 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 2 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 3\\ y: &\ 5 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 8 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 11 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 14\\ \end{aligned}$$

Exemple

On considère la relation représentée par ce tableau :

$x$	0	1	2	3
$y$	2	6	18	54

La relation est-elle affine ou exponentielle ?

Correction

Les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant de 1.
D'abord, on vérifie si la différence est constante : $6-2=4$, mais $18-6=12$. La différence n'est pas constante, donc la relation n'est pas affine.
Ensuite, on vérifie si le rapport des valeurs de $y$ consécutives est constant :

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{6}{2} = \boldsymbol{3}$
$\frac{y_3}{y_2} = \frac{18}{6} = \boldsymbol{3}$
$\frac{y_4}{y_3} = \frac{54}{18} = \boldsymbol{3}$

Comme le rapport est constant, la relation est exponentielle.$$\begin{aligned}x: &\ 0\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 1\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 2\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 3 \\ y: &\ 2\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 6\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 18\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 54 \\ \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître une relation affine ou exponentielle dans un tableau
Reconnaître une relation affine ou exponentielle dans la vie courante

III.3 Évolutions successives et réciproques

Proposition — Formule du coefficient multiplicateur global

Si une grandeur subit plusieurs évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Si $t_1\,\pourcent$ et $t_2\,\pourcent$ sont deux taux d'évolution successifs, le taux global $t\,\pourcent$ est tel que :$$1 + \frac{t}{100} = \left(1 + \frac{t_1}{100}\right) \times \left(1 + \frac{t_2}{100}\right)$$

Exemple

Le prix d'un objet subit une hausse de $8\,\pourcent$ puis une nouvelle hausse de $10\,\pourcent$. Déterminer le taux d'évolution global.

Correction

Les coefficients multiplicateurs sont $CM_1 = 1{,}08$ et $CM_2 = 1{,}10$.$$\begin{aligned} CM_{global} &= 1{,}08 \times 1{,}10 = 1{,}188 \\ 1 + \frac{t}{100} &= 1{,}188 \\ \frac{t}{100} &= 0{,}188 \\ t &= 18{,}8\end{aligned}$$ Le prix de l'objet a augmenté de $18{,}8\,\pourcent$.

Proposition — Formule de l'évolution réciproque

L'évolution réciproque est l'évolution qui permet de revenir à la valeur initiale $V_0$ après une évolution vers $V_1$.
Elle existe dès que $CM \neq 0$, c'est-à-dire $t \neq -100$ : une baisse de $100\pourcent$ amène la quantité à zéro, et aucune multiplication n'en revient.

Son coefficient multiplicateur est l'inverse du coefficient multiplicateur initial : $\boldsymbol{CM' = \frac{1}{CM}}$.
Le taux d'évolution réciproque $t'$ est tel que : $\boldsymbol{1 + \frac{t'}{100} = \frac{1}{1 + \frac{t}{100}}}$.

Compétences à pratiquer

Calculer des évolutions successives et réciproques

III.4 Taux moyen et taux équivalents

Définition — Taux d'évolution moyen

Lorsqu'une grandeur subit $n$ évolutions successives ($n \geq 1$, chacune de coefficient multiplicateur strictement positif : une évolution n'amène jamais une grandeur positive à zéro ou au-dessous), le taux d'évolution moyen est le taux $t_m$ de l'évolution unique qui, répétée $n$ fois, produit la même évolution globale. Son coefficient $CM_m = 1 + \dfrac{t_m}{100}$ est le coefficient multiplicateur moyen.

Proposition — Calcul du taux moyen

Si le coefficient multiplicateur global de $n$ évolutions successives est $CM$ (un nombre strictement positif, produit de coefficients strictement positifs), alors le coefficient multiplicateur moyen est la racine $n$-ième de $CM$ : $$\textcolor{colorprop}{CM_m = \sqrt[n]{CM} = CM^{1/n}} \qquad \text{et} \qquad t_m = \left(CM^{1/n} - 1\right) \times 100.$$ Répéter $n$ fois une évolution multiplie par $CM_m^{\,n}$ ; le coefficient moyen est le nombre dont la puissance $n$-ième est le coefficient global. À la calculatrice, $CM^{1/n}$ s'obtient avec la touche puissance (exposant $1/n$) ou la touche racine.

Exemple

Le loyer d'un appartement a augmenté de $44\,\pourcent$ en deux ans. Calculer le taux d'augmentation annuel moyen.
La population d'une ville a augmenté de $33{,}1\,\pourcent$ en trois ans. Calculer le taux de croissance annuel moyen et le contrôler.

Correction

Le coefficient global est $CM = 1 + \dfrac{44}{100} = 1{,}44$ pour $n = 2$ évolutions. Le coefficient moyen est $CM_m = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, donc $t_m = (1{,}2 - 1) \times 100 = 20$ : le loyer a augmenté de $20\,\pourcent$ par an en moyenne. (Et non $22\,\pourcent$, la moitié de $44$ : deux hausses de $22\,\pourcent$ multiplieraient par $1{,}22^2 = 1{,}4884$, une hausse globale de $48{,}84\,\pourcent$.)
$CM = 1{,}331$ pour $n = 3$ évolutions : $CM_m = 1{,}331^{1/3} = 1{,}1$, donc $t_m = 10$ : la population a augmenté de $10\,\pourcent$ par an en moyenne. Contrôle : $1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331$.

Pourquoi pas la moyenne des taux

Le taux moyen n'est pas, en général, la moyenne arithmétique des taux (les deux coïncident seulement quand les taux successifs sont tous égaux). Un prix qui augmente de $50\,\pourcent$ puis baisse de $50\,\pourcent$ a deux taux dont la moyenne est $0\,\pourcent$, mais son coefficient global est $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$ : le prix a baissé de $25\,\pourcent$, et le taux moyen sur les deux évolutions est $t_m = \left(\sqrt{0{,}75} - 1\right) \times 100\,\pourcent \approx -13{,}4$, c'est-à-dire $-13{,}4\,\pourcent$ par évolution. Les taux ne s'additionnent pas parce que les évolutions se multiplient — c'est pourquoi la moyenne se prend sur les coefficients, avec une racine de leur produit, et non sur les taux, avec une somme.

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Définition — Taux équivalents

Deux taux portant sur des périodes de durées différentes sont équivalents lorsqu'ils produisent la même évolution sur la même durée. Le taux mensuel équivalent à un taux annuel est le taux moyen des $12$ évolutions mensuelles qui produisent l'évolution annuelle : si le coefficient annuel est $CM$, le coefficient mensuel est $CM^{1/12}$. Réciproquement, un coefficient mensuel $CM_m$ donne le coefficient annuel équivalent $CM_m^{\,12}$. Il en va de même pour $4$ trimestres, ou pour tout autre nombre de périodes.

Exemple

Un livret rapporte $6\,\pourcent$ par an. Déterminer le taux mensuel équivalent : le taux qui, appliqué chaque mois pendant douze mois, donne la même évolution annuelle. Arrondir à $0{,}01\,\pourcent$.
Un abonnement augmente de $0{,}5\,\pourcent$ chaque mois. Déterminer le taux annuel équivalent, arrondi à $0{,}01\,\pourcent$.

Correction

Le coefficient annuel est $CM = 1{,}06$, réparti sur $n = 12$ évolutions mensuelles : le taux mensuel est le taux moyen de ces douze évolutions. $$\begin{aligned} CM_m &= 1{,}06^{1/12} && \text{(coefficient moyen)}\\ &\approx 1{,}004868, \end{aligned}$$ donc $t_m = (CM_m - 1) \times 100 \approx 0{,}49$ : un taux mensuel d'environ $0{,}49\,\pourcent$.
Douze évolutions mensuelles de coefficient $1{,}005$ donnent le coefficient annuel $$\begin{aligned} CM &= 1{,}005^{12} && \text{(évolutions successives)}\\ &\approx 1{,}061678, \end{aligned}$$ donc le taux annuel équivalent est d'environ $6{,}17\,\pourcent$.

Taux équivalent ou taux proportionnel

Diviser un taux annuel par $12$ donne le taux mensuel proportionnel, pas le taux équivalent. Avec $6\,\pourcent$ par an, le taux mensuel proportionnel est $0{,}5\,\pourcent$, mais douze hausses mensuelles de $0{,}5\,\pourcent$ multiplient par $1{,}005^{12} \approx 1{,}0617$ : $6{,}17\,\pourcent$ par an, plus que $6\,\pourcent$, car chaque évolution mensuelle porte aussi sur les évolutions précédentes. Le taux mensuel équivalent, environ $0{,}49\,\pourcent$, est un peu plus petit. Comme pour le taux moyen, le calcul se fait sur les coefficients, avec une puissance, et non sur les taux, avec une division.

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Compétences à pratiquer

Calculer un taux d'évolution moyen
Calculer un taux mensuel ou trimestriel équivalent

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
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\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	5	8	11	14

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	2	6	18	54