Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Suites : sommes et moyennes

⌚ ~354 min ▢ 42 blocs ✓ 187 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Algorithmique : décrire et tracer

I Générer une suite

I.1 La notation d'une suite

Définition — Suite numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes. On utilise la notation $u_n$ pour décrire un terme de la suite.

L'indice $n$ indique la position du terme (commençant souvent à $n=0$). L'indice $n$ prend généralement des valeurs entières : $0,1,2,\dots$
$u_n$ représente la valeur du terme à cette position spécifique.

Ainsi, $u_0$ est la valeur du terme à la position $0$, $u_1$ est la valeur à la position $1$, et ainsi de suite.

Indice ($n$)	0	1	2	$\dots$
Terme ($u_n$)	$u_0$	$u_1$	$u_2$	$\dots$

Exemple

Étant donné la suite définie par le tableau ci-dessous, déterminer la valeur du terme $u_4$.

$n$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$u_n$	3	5	7	9	11	13	$\dots$

Correction

Pour obtenir $u_4$, on regarde dans le tableau la colonne où l'indice est $n=4$. La valeur dans la ligne en dessous est $11$.
Donc $u_4 = 11$.
Cette suite commence à $u_0$, donc $u_4$ est son cinquième terme. Une suite peut aussi commencer à $u_1$ : son premier terme est alors $u_1$, et $u_4$ est son quatrième terme.

Compétences à pratiquer

Lire les termes d'une suite dans un tableau

I.2 La formule explicite

Définition — Formule explicite

Une formule explicite définit directement le $n$-ième terme d'une suite, $u_n$, en fonction de sa position $n$.$$u_n = f(n)$$

Exemple

On considère la suite définie par la formule explicite : $$u_n = 3n + 2$$ Calculer $u_{100}$.

Correction

Pour déterminer la valeur de $u_{100}$, on remplace $n$ par 100 dans la formule explicite : $$\begin{aligned}[t] u_{100} &= 3(100) + 2 \\ &= 300 + 2 \\ &= \boldsymbol{302} \end{aligned}$$ On n'a pas eu besoin de connaître les termes précédents de la suite.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une formule explicite

I.3 La définition par récurrence

Définition — Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule exprimant le terme suivant, $u_{n+1}$, en fonction du terme courant, $u_n$, pour tout entier $n$ concerné (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Exemple

Une suite est définie par récurrence par :

$u_1 = 5$ (Le premier terme est $5$).
$u_{n+1} = u_n + 3$ (La règle est d'ajouter $3$ au terme précédent, pour tout entier $n \ge 1$).

Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

On construit la suite étape par étape en utilisant la définition par récurrence.

$1^{\text{er}}$ terme : Le terme de départ est donné : $\boldsymbol{u_1 = 5}$.
$2^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=1$. $\boldsymbol{u_2} = u_1 + 3 = 5 + 3 = \textbf{8}$.
$3^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=2$. $\boldsymbol{u_3} = u_2 + 3 = 8 + 3 = \textbf{11}$.
$4^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=3$. $\boldsymbol{u_4} = u_3 + 3 = 11 + 3 = \textbf{14}$.
$5^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=4$. $\boldsymbol{u_5} = u_4 + 3 = 14 + 3 = \textbf{17}$.

$$5 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 8 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 11 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 14 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\,+3\,}} 17$$ Les cinq premiers termes sont : $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une relation de récurrence
Modéliser des situations réelles par des suites

II Suites arithmétiques et géométriques

II.1 Suites arithmétiques : terme général et moyenne arithmétique

Une suite arithmétique est un type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et une variation constante entre deux termes consécutifs.

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Découverte

On considère une suite arithmétique avec un premier terme $u_1 = 5$ et une raison arithmétique $r = 3$.
On peut écrire les premiers termes en ajoutant 3 de manière répétée :

$u_1 = 5$
$u_2 = 5 + 3$
$u_3 = 5 + 3 + 3$
$u_4 = 5 + 3 + 3 + 3$

On réécrit cela en utilisant la multiplication pour voir le motif :

$u_1 = 5 + \textcolor{colordef}{0} \times 3$
$u_2 = 5 + \textcolor{colordef}{1} \times 3$
$u_3 = 5 + \textcolor{colordef}{2} \times 3$
$u_4 = 5 + \textcolor{colordef}{3} \times 3$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on ajoute la raison $r$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 + (n-1)r$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 + (10-1)r = 5 + (9 \times 3) = 5 + 27 = 32$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Définition — Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison, notée $r$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite : On peut aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 + nr$$

Exemple

Une suite arithmétique a pour premier terme $u_1 = 5$ et pour raison $r = 3$.
Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n + 3$. On commence avec $u_1 = 5$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{5}$ (donné)
$u_2 = u_1 + 3 = 5 + 3 = \boldsymbol{8}$
$u_3 = u_2 + 3 = 8 + 3 = \boldsymbol{11}$
$u_4 = u_3 + 3 = 11 + 3 = \boldsymbol{14}$
$u_5 = u_4 + 3 = 14 + 3 = \boldsymbol{17}$

Les cinq premiers termes sont : $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$.

Proposition — Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 + nr$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$.

Calculer $u_{20}$.
Une autre suite arithmétique $(v_n)$ a pour raison $3$ et vérifie $v_5 = 17$. Calculer $v_{12}$.

Correction

D'après la proposition, $u_{20} = u_0 + 20r = 5 + 20 \times 3 = 65$.
En partant de $v_5$ : $v_{12} = v_5 + (12 - 5) \times 3 = 17 + 21 = 38$.

Dans la suite arithmétique $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$, chaque terme est à mi-chemin de ses deux voisins : $8 = \dfrac{5 + 11}{2}$, $11 = \dfrac{8 + 14}{2}$. Ce nombre « à mi-chemin » a un nom.

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Définition — Moyenne arithmétique de deux nombres

La moyenne arithmétique de deux nombres $a$ et $c$ est le nombre $m = \dfrac{a + c}{2}$. C'est le milieu de $a$ et $c$ : il est à la même distance des deux.

Proposition — Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique

Trois nombres $a$, $b$, $c$, dans cet ordre, sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$ : $$\textcolor{colorprop}{b = \dfrac{a + c}{2}}, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad b - a = c - b.$$ Pour décider, comparer les deux différences $b - a$ et $c - b$ : égales, les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique dont la raison est cette valeur ; différentes, ils ne le sont pas.

Preuve

Si $a$, $b$, $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$, alors $b = a + r$ et $c = b + r$, donc $b - a = r = c - b$ ; en ajoutant $a + b$ aux deux membres de $b - a = c - b$, il vient $2b = a + c$, soit $b = \dfrac{a+c}{2}$. Réciproquement, si $b - a = c - b$, on note $r$ cette valeur commune : alors $b = a + r$ et $c = b + r$, ce qui est la règle de récurrence d'une suite arithmétique de raison $r$ qui commence à $a$.

Exemple

Les nombres suivants, dans cet ordre, sont-ils des termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Si oui, donner sa raison ; quand un terme manque, le déterminer.

$3$, $8$, $13$
$5$, $11$, $15$
$2$, $x$, $20$ : pour quelle valeur de $x$ ?

Correction

$8 - 3 = 5$ et $13 - 8 = 5$ : les deux différences sont égales, donc $3$, $8$, $13$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $5$. Contrôle : $\dfrac{3 + 13}{2} = 8$.
$11 - 5 = 6$ et $15 - 11 = 4$ : les différences diffèrent, donc non.
$x$ doit être la moyenne arithmétique de $2$ et $20$ : $x = \dfrac{2 + 20}{2} = 11$. Alors $2$, $11$, $20$ a pour raison $9$.

Compétences à pratiquer

Identifier la règle de récurrence
Étudier une suite arithmétique
Déterminer le rang d'un terme
Résoudre un problème de seuil
Modéliser avec des suites arithmétiques
Déterminer la formule à partir de deux termes
Reconnaître et interpréter une suite arithmétique
Déterminer le terme du milieu de trois termes consécutifs
Prouver que trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique

II.2 Suites géométriques : terme général et moyenne géométrique

Une suite géométrique est un autre type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et un facteur multiplicatif constant : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.

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Découverte

On considère une suite géométrique avec un premier terme $u_1 = 2$ et une raison géométrique $q = 3$.
On peut écrire les premiers termes en multipliant par 3 de manière répétée :

$u_1 = 2$
$u_2 = 2 \times 3$
$u_3 = 2 \times 3 \times 3$
$u_4 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$

On réécrit cela en utilisant des exposants pour voir le motif :

$u_1 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{0}}$
$u_2 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{1}}$
$u_3 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{2}}$
$u_4 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{3}}$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on multiplie par la raison $q$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 \times q^{10-1} = 2 \times 3^9 = 2 \times 19\,683 = 39\,366$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé la raison de la suite, notée $q$.

Définition par récurrence : Le terme suivant s'obtient à partir du précédent par :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : On peut aussi calculer directement n'importe quel terme à partir de son rang $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Exemple

Une suite géométrique a pour premier terme $u_1 = 2$ et pour raison géométrique $q = 2$.
Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n \times 2$. On commence avec $u_1 = 2$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{2}$ (donné)
$u_2 = 2 \times u_1 = 2 \times 2 = \boldsymbol{4}$
$u_3 = 2 \times u_2 = 2 \times 4 = \boldsymbol{8}$
$u_4 = 2 \times u_3 = 2 \times 8 = \boldsymbol{16}$
$u_5 = 2 \times u_4 = 2 \times 16 = \boldsymbol{32}$

Les cinq premiers termes sont : $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$.

Proposition — Terme général d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n \geq p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Calculer $u_{10}$.
Une autre suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $v_4 = 24$. Calculer $v_7$.

Correction

D'après la proposition, $u_{10} = u_0 \times q^{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.
En partant de $v_4$ : $v_7 = v_4 \times 2^{7-4} = 24 \times 8 = 192$.

Dans $2$, $4$, $8$, $16$, $32$ ci-dessus, un terme n'est plus à mi-chemin de ses voisins ($4 \neq \dfrac{2 + 8}{2} = 5$), mais son carré est leur produit : $4^2 = 2 \times 8$. C'est l'autre moyenne.

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Définition — Moyenne géométrique de deux nombres positifs

La moyenne géométrique de deux nombres positifs $a$ et $c$ est le nombre positif $g = \sqrt{a \times c}$ : le nombre dont le carré est le produit $ac$. Par exemple, la moyenne géométrique de $4$ et $25$ est $\sqrt{100} = 10$, alors que leur moyenne arithmétique est $14{,}5$.

Proposition — Trois termes consécutifs d'une suite géométrique

Trois nombres strictement positifs $a$, $b$, $c$, dans cet ordre, sont des termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$ : $$\textcolor{colorprop}{b = \sqrt{a \times c}}, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad b^2 = a \times c, \qquad \text{ou encore} \qquad \dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}.$$ Pour décider, comparer les deux quotients $\dfrac{b}{a}$ et $\dfrac{c}{b}$ : égaux, les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite géométrique dont la raison est cette valeur ; différents, ils ne le sont pas.

Preuve

Si $a$, $b$, $c$ sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$, alors $b = qa$ et $c = qb$, donc $\dfrac{b}{a} = q = \dfrac{c}{b}$ ; les produits en croix de $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$ donnent $b^2 = ac$, et comme $b$ est positif, $b = \sqrt{ac}$. Réciproquement, si $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$, on note $q$ cette valeur commune : alors $b = qa$ et $c = qb$, la règle de récurrence d'une suite géométrique de raison $q$ qui commence à $a$.

Exemple

Les nombres positifs suivants, dans cet ordre, sont-ils des termes consécutifs d'une suite géométrique ? Si oui, donner sa raison ; quand un terme manque, le déterminer.

$4$, $10$, $25$
$2$, $6$, $20$
$9$, $x$, $16$ : pour quelle valeur positive de $x$ ?

Correction

$\dfrac{10}{4} = 2{,}5$ et $\dfrac{25}{10} = 2{,}5$ : les deux quotients sont égaux, donc $4$, $10$, $25$ sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $2{,}5$. Contrôle : $10^2 = 100 = 4 \times 25$.
$\dfrac{6}{2} = 3$ et $\dfrac{20}{6} \approx 3{,}33$ : les quotients diffèrent, donc non.
$x$ doit être la moyenne géométrique de $9$ et $16$ : $x = \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{144} = 12$. Alors $9$, $12$, $16$ a pour raison $\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$.

Compétences à pratiquer

Étudier une suite géométrique
Modéliser avec des suites géométriques
Déterminer le rang d'un terme
Déterminer la formule à partir de deux termes
Reconnaître une suite géométrique
Déterminer le terme du milieu de trois termes consécutifs
Prouver que trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite géométrique

II.3 Croissance et décroissance à taux constant

Une somme d'argent est placée à un taux fixe de $3\pourcent$ par an : chaque année, les intérêts sont ajoutés au compte, puis génèrent eux-mêmes des intérêts l'année suivante (intérêts composés). Pourquoi une telle situation se modélise-t-elle par une suite géométrique ? Chaque année, la somme n'augmente pas d'un montant fixe, mais d'une fraction fixe d'elle-même :$$\text{nouvelle somme} = \text{ancienne somme} + \frac{3}{100} \times \text{ancienne somme} = \text{ancienne somme} \times 1{,}03.$$ Ainsi, d'une année à la suivante, on multiplie par le même facteur $1{,}03$. C'est exactement la relation de récurrence d'une suite géométrique, $u_{n+1} = 1{,}03\,u_n$, dont la forme explicite est $u_n = u_0 \times 1{,}03^n$. Le même raisonnement vaut pour toute évolution en pourcentage constant de $t\pourcent$ par période, de facteur $1 + \dfrac{t}{100}$ — une population croissant à taux constant, une voiture perdant de la valeur chaque année.

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Méthode — Modéliser une évolution en pourcentage constant

Pour une grandeur évoluant d'un taux fixe de $t\pourcent$ à chaque période, à partir de $u_0$ :

Le taux $t$ est signé : $t > 0$ pour une croissance, $-100 < t < 0$ pour une décroissance (une baisse de $100\,\pourcent$ ou plus n'est pas une évolution en pourcentage d'une quantité strictement positive).
Dans tous les cas, la raison est le coefficient multiplicateur $\;q = 1 + \dfrac{t}{100}$ : $+5\pourcent$ donne $t = 5$ et $q = 1{,}05$ ; $-15\pourcent$ donne $t = -15$ et $q = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$.
Après $n$ périodes : $\;u_n = u_0\, q^n$.

Exemple — Intérêts composés

Un capital de $1000~\Euro$ est placé à un taux d'intérêt annuel fixe de $5\pourcent$. Quelle est sa valeur après $3$ ans ?

Correction

Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0{,}05 = 1{,}05$ : les montants annuels forment donc une suite géométrique :$$\begin{aligned}[t] u_1 &= 1000 \times 1{,}05 \\ u_2 &= (1000 \times 1{,}05) \times 1{,}05 = 1000 \times 1{,}05^2 \\ u_3 &= 1000 \times 1{,}05^3. \end{aligned}$$ Ainsi $u_n = u_0\, q^n$ avec $u_0 = 1000$ et $q = 1{,}05$, et$$u_3 = 1000 \times 1{,}05^3 = 1000 \times 1{,}157625 \approx 1157{,}63~\Euro.$$

Exemple — Dépréciation

Une voiture achetée $20\,000~\Euro$ perd $15\pourcent$ de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur après $4$ ans ?

Correction

La valeur diminue de $15\pourcent$ chaque année, donc $t = -15$ et le multiplicateur est $q = 1 + \dfrac{t}{100} = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$, d'où $u_n = 20\,000 \times 0{,}85^n$.$$u_4 = 20\,000 \times 0{,}85^4 = 20\,000 \times 0{,}52200625 \approx 10\,440{,}13~\Euro.$$

Compétences à pratiquer

Modéliser une croissance ou une décroissance à taux constant
Résoudre un problème de seuil à taux constant

III Le sens de variation d'une suite

III.1 Suites croissantes et décroissantes

Définition — Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Remarque

Comme pour les fonctions, si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle d'une suite strictement croissante ou strictement décroissante.
Certaines suites ne sont pas monotones, par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $1$ et $-1$.

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Compétences à pratiquer

Lire le sens de variation sur un graphique

III.2 Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques

Proposition — Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $r \gt 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $r \lt 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $r = 0$, alors $(u_n)$ est constante.

Proposition — Sens de variation d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ et de raison $q > 0$.

Si $q > 1$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$, alors $(u_n)$ est constante.

Exemple

Donner le sens de variation des suites suivantes.

$(u_n)$ arithmétique de raison $r = -2$.
$(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 1{,}2$.
$(w_n)$ géométrique de premier terme $w_0 = -4$ et de raison $q = 3$.

Correction

$r = -2 \lt 0$ : $(u_n)$ est strictement décroissante.
$v_0 = 5 \gt 0$ et $q = 1{,}2 \gt 1$ : $(v_n)$ est strictement croissante.
$q = 3 \gt 1$ mais $w_0 = -4 \lt 0$ : les variations sont inversées, $(w_n)$ est strictement décroissante ($-4$, $-12$, $-36$, …).

Compétences à pratiquer

Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique

IV Sommes de termes consécutifs

IV.1 Somme de termes et notation $\Sigma$

Alors qu'une suite est une liste de nombres, une somme de termes est ce que l'on obtient en ajoutant ces nombres. On s'intéresse souvent à la somme partielle d'une suite, qui est la somme d'un nombre donné de ses termes, en partant du début.
Pour voir des termes s'ajouter, on prend un carré d'aire $1$. On peint sa moitié gauche, puis la moitié de ce qui reste, puis encore la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite : les pièces peintes ont pour aires $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{8}$ ; …— et chaque nouvelle pièce ajoute un terme de plus à la somme de l'aire peinte :


$S_1 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}}$	$S_2 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}}$	$S_3 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}} + \textcolor{olive!80!black}{\frac{1}{8}}$	$S_4 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}} + \textcolor{olive!80!black}{\frac{1}{8}} + \textcolor{purple}{\frac{1}{16}}$	$S_5 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}} + \textcolor{olive!80!black}{\frac{1}{8}} + \textcolor{purple}{\frac{1}{16}} + \textcolor{orange}{\frac{1}{32}}$

Chaque nouvelle pièce ajoute un terme de plus à la somme, et les pièces s'enroulent, comme une coquille d'escargot, vers un point du carré, tandis que le rectangle vide continue de s'enrouler vers l'intérieur, de plus en plus petit. Plus on ajoute de termes, plus l'aire peinte se rapproche de l'aire du carré tout entier : $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \cdots \; \longrightarrow \; 1.$$ Savoir si une somme sans fin peut vraiment avoir un sens — et atteindre $1$ — est une autre question ; ici, toute somme s'arrête quelque part.

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Définition — Somme des termes d'une suite

La somme des termes d'une suite jusqu'à un indice $n$ donné, aussi appelée somme partielle, se note $\boldsymbol{S_n}$.

Si une suite commence à $u_0$, la somme partielle $S_n$ est la somme des $\textcolor{colordef}{(n+1)}$ premiers termes : $$S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_n = \sum_{i=0}^n u_i$$
Si une suite commence à $u_1$, la somme partielle $S_n$ est la somme des $\textcolor{colordef}{n}$ premiers termes : $$S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_n = \sum_{i=1}^n u_i$$

Exemple

On considère la suite définie par $u_n = 2n + 1$ pour $n \ge 0$.

Écrire les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Calculer la somme partielle $S_3 = \displaystyle\sum_{i=0}^{3} u_i$.

Correction

$u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_2 = 5$ et $u_3 = 7$.
La suite commence à $u_0$, donc $S_3$ est la somme des quatre premiers termes : $$\begin{aligned}[t] S_3 &= u_0 + u_1 + u_2 + u_3 && \text{(définition de } S_3\text{, départ à } u_0\text{)} \\ &= 1 + 3 + 5 + 7 && \text{(termes de la question 1)} \\ &= 16. \end{aligned}$$

Méthode — D'une somme sigma à un algorithme

Une somme écrite avec le symbole $\Sigma$ se calcule par une boucle. Pour calculer $S = \displaystyle\sum_{k=a}^{b} f(k)$, pour des entiers $a \leqslant b$ :

Initialisation : avant la boucle, une variable $s$, l'accumulateur, reçoit $0$, la somme d'aucun terme.
Compteur : une boucle bornée fait prendre au compteur $k$ les valeurs $a$, $a + 1$, …, $b$ : les bornes de la boucle sont les bornes écrites sous et sur le $\Sigma$.
Accumulateur : à chaque tour, le terme $f(k)$ écrit après le $\Sigma$ est ajouté à $s$.
Sortie de boucle : après le tour $k = b$, la boucle s'arrête et on lit $s$ : il contient $S$.

En pseudo-code, avec le terme $f(k)$ écrit en entier :

s ← 0
Pour k allant de a à b
    s ← s + f(k)
Fin Pour
Afficher s

Exemple

Écrire un algorithme qui calcule $S = \displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^3$, l'exécuter à la main et donner $S$.

Correction

Les bornes sont $1$ et $4$ et le terme est $k^3$ :

s ← 0
Pour k allant de 1 à 4
    s ← s + k^3
Fin Pour
Afficher s

Étape	$k$	$s$
avant la boucle		$0$
tour $k = 1$	$1$	$0 + 1 = 1$
tour $k = 2$	$2$	$1 + 8 = 9$
tour $k = 3$	$3$	$9 + 27 = 36$
tour $k = 4$	$4$	$36 + 64 = 100$

La boucle s'arrête après le tour $k = 4$, la borne supérieure de la somme : $S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100$. Après chaque tour $k$, l'accumulateur contient la somme des cubes de $1$ à $k$.

Compétences à pratiquer

Calculer les termes et les sommes partielles
Utiliser la notation sigma
Calculer les sommes partielles à partir d'une formule explicite
Calculer des sommes en notation Sigma

IV.2 Somme des termes d'une suite arithmétique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 20 premiers termes d'une suite arithmétique commençant par $u_0 = 5$ et de raison $r=5$ ?$$S_{19} = \overbrace{5 + 10 + 15 + \ldots + 90 + 95 + 100}^{\text{20 termes}}$$ La méthode consiste à écrire la somme deux fois, une fois dans l'ordre normal et une fois dans l'ordre inverse, puis à ajouter les deux lignes terme à terme.$$\begin{array}{l r c c c c c c c}S_{19} & = & 5 & + & 10 & + & \ldots & + & 100 \\ S_{19} & = & 100 & + & 95 & + & \ldots & + & 5 \\ \hline2S_{19} & = & 105 & + & 105 & + & \ldots & + & 105 \\ \end{array}$$ Chaque paire de termes donne la même somme ($5+100=105$, $10+95=105$, etc.). Puisqu'il y a 20 termes dans la suite, on a 20 sommes identiques.$$2S_{19} = 20 \times (5+100)$$ La somme est donc :$$S_{19} = 20 \times\frac{5+100}{2} = 1050$$ Cette méthode révèle la formule générale :$$S_n = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})$$

Proposition — Somme d'une suite arithmétique

La somme des premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Nombre de termes} \times \frac{(\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2}$$

Si une suite commence à $u_0$ et se termine à $u_n$, il y a $\boldsymbol{n+1}$ termes. La formule est :$$S_n = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$$
Si une suite commence à $u_1$ et se termine à $u_n$, il y a $\boldsymbol{n}$ termes. La formule est :$$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$$

Exemple

Calculer la somme $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$.

Correction

Les termes $1, 2, 3, \ldots, 100$ forment une suite arithmétique qui commence à $u_1 = 1$ et se termine à $u_{100} = 100$ ; il y a donc $100$ termes : $$\begin{aligned}[t] 1 + 2 + \cdots + 100 &= \frac{100}{2}\,(1 + 100) && \text{(} S_n = \tfrac{n}{2}(u_1 + u_n)\text{)} \\ &= 50 \times 101 && \text{(on simplifie } \tfrac{100}{2}\text{)} \\ &= 5\,050. \end{aligned}$$

Exemple

La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = 3$. Calculer la somme de ses $15$ premiers termes.

Correction

La somme des $15$ premiers termes est $S_{14} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{14}$. D'abord, le dernier terme : $$\begin{aligned}[t] u_{14} &= u_0 + 14\,r && \text{(formule explicite)} \\ &= 7 + 14 \times 3 && \text{(} u_0 = 7,\ r = 3\text{)} \\ &= 49. \end{aligned}$$ Puis la formule pour une suite commençant à $u_0$ donne : $$\begin{aligned}[t] S_{14} &= \frac{14+1}{2}\,(u_0 + u_{14}) && \text{(} S_n = \tfrac{n+1}{2}(u_0 + u_n)\text{)} \\ &= \frac{15}{2} \times (7 + 49) && \\ &= \frac{15 \times 56}{2} && \\ &= 15 \times 28 && \text{(on divise } 56 \text{ par } 2\text{)} \\ &= 420. \end{aligned}$$

Proposition — Somme à partir du premier terme et de la raison

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. La somme de ses premiers termes peut aussi s'écrire avec le premier terme et la raison seulement, sans calculer le dernier terme :

Si la suite commence à $u_1$, la somme de ses $\boldsymbol{n}$ premiers termes est :$$S_n = \frac{n}{2}\big(2u_1 + (n-1)r\big)$$
Si la suite commence à $u_0$, la somme de ses $\boldsymbol{n+1}$ premiers termes est :$$S_n = \frac{n+1}{2}\big(2u_0 + nr\big)$$

Exemple

Une suite arithmétique a pour premier terme $u_1 = 3$ et pour raison $r = 4$.

Calculer la somme $S_{12}$ de ses $12$ premiers termes.
Combien de termes, à partir de $u_1$, faut-il additionner pour que la somme soit égale à $210$ ?

Correction

Le dernier terme est inutile. Avec $u_1 = 3$, $r = 4$ et $n = 12$ : $$\begin{aligned}[t] S_{12} &= \frac{12}{2}\big(2u_1 + 11r\big) && \text{(} S_n = \tfrac{n}{2}(2u_1 + (n-1)r)\text{)} \\ &= 6 \times (2 \times 3 + 11 \times 4) \\ &= 6 \times 50 \\ &= 300. \end{aligned}$$
Ici, l'inconnue est le nombre de termes $n$. D'abord, $S_n$ en fonction de $n$ : $$\begin{aligned}[t] S_n &= \frac{n}{2}\big(2 \times 3 + (n-1) \times 4\big) && \text{(} S_n = \tfrac{n}{2}(2u_1 + (n-1)r)\text{)} \\ &= \frac{n}{2}\,(4n + 2) && \text{(on développe)} \\ &= 2n^2 + n. \end{aligned}$$ On cherche donc le nombre de termes $n$ tel que $2n^2 + n = 210$. Les termes $3 \,;\, 7 \,;\, 11 \,;\, \ldots$ sont strictement positifs, donc chaque terme ajouté fait grandir la somme : $S_n$ augmente avec $n$. Un tableau de valeurs donne

$n$ $8$ $9$ $10$ $11$

$S_n = 2n^2 + n$ $136$ $171$ $210$ $253$

$S_{10} = 210$, et comme $S_n$ augmente, aucun autre nombre de termes ne donne $210$ : $n = \boldsymbol{10}$, il faut donc additionner $10$ termes.
Vérification : $S_{10} = \frac{10}{2}(2 \times 3 + 9 \times 4) = 5 \times 42 = 210$.

Compétences à pratiquer

Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique : Niveau 1
Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique : Niveau 2
Utiliser la formule de la somme avec le premier terme et la raison
Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique en notation Sigma
Démontrer les formules de sommes
Rédiger une somme de termes d'une suite arithmétique

IV.3 Somme des termes d'une suite géométrique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique commençant par $u_0 = 3$ et de raison $q=2$ ?$$S_9 = 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 + 1536$$ L'astuce consiste à multiplier toute la somme par la raison $q=2$, puis à soustraire la somme de départ de cette nouvelle somme.
On écrit la somme de départ :$$S_9 = 3 + 6 + 12 + \ldots + 768 + 1536$$ On multiplie ensuite chaque terme par la raison $2$ :$$2S_9 = 6 + 12 + 24 + \ldots + 1536 + 3072$$ On remarque que la plupart des termes de $S_9$ et de $2S_9$ sont identiques. En soustrayant la première égalité de la deuxième, ces termes s'éliminent :$$\begin{array}{lrccccccccc} 2S_9 & = & & & 6 & + & 12 & + \ldots + & 1536 & + & 3072 \\ -\, S_9 & = & -(3 & + & 6 & +&12 & + \ldots + & 1536) \\ \hline(2-1)S_9 & = & -3 & + & 0 & + &0&+\ldots + & 0 & + & 3072 \\ \end{array}$$ Il reste une égalité beaucoup plus simple :$$S_9 = 3072 - 3 = 3069$$ Cette méthode donne la formule générale de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ (pour pouvoir diviser par $1 - q$) :$$\begin{aligned}S_n - qS_n &= u_0 - u_0 \times q^{n+1}\\ S_n(1-q) &= u_0(1-q^{n+1})\\ S_n &= u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\right)\\ \end{aligned}$$

Proposition — Somme d'une suite géométrique

La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Premier terme} \times \frac{1 - (\text{raison})^{\text{Nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$$

Si une suite commence à $u_0$ et a pour raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n+1}$ premiers termes est :$$S_n = u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \right)$$
Si une suite commence à $u_1$ et a pour raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n}$ premiers termes est :$$S_n = u_1 \left( \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \right)$$

Ces formules sont valables pour toute raison $q \neq 1$.

Le cas $q \equal 1$

Si $q = 1$, tous les termes sont égaux à $u_0$, donc la formule ci-dessus (qui divise par $1-q$) ne s'applique pas. La somme vaut alors simplement$$S = \underbrace{u_0 + u_0 + \cdots + u_0}_{n+1 \text{ termes}} = (n+1)\,u_0.$$

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Exemple

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $q = 3$. Calculer la somme de ses $6$ premiers termes.

Correction

La suite commence à $u_0$, donc la somme des $6$ premiers termes est $S_5$, et $q = 3 \neq 1$ : $$\begin{aligned}[t] S_5 &= u_0\left(\frac{1 - q^{5+1}}{1 - q}\right) && \text{(} S_n = u_0\,\tfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\text{)} \\ &= 5 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} && \\ &= 5 \times \frac{1 - 729}{-2} && \text{(} 3^6 = 729\text{)} \\ &= 5 \times \frac{-728}{-2} && \\ &= 5 \times 364 && \\ &= 1\,820. \end{aligned}$$

Une autre écriture de la somme géométrique

Lorsque $q > 1$ et $n \ge 1$, le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ sont tous deux strictement négatifs. Les multiplier par $-1$ ne change pas la fraction, et donne une écriture équivalente de la somme, pour $q \neq 1$ :

à partir de $u_1$, la somme des $n$ premiers termes est $S_n = u_1 \left( \dfrac{q^{n} - 1}{q - 1} \right)$ ;
à partir de $u_0$, la somme des $n+1$ premiers termes est $S_n = u_0 \left( \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} \right)$.

Par exemple, la même somme que ci-dessus, indexée cette fois à partir de $u_1$ : pour la suite géométrique de premier terme $u_1 = 5$ et de raison $q = 3$, la somme des $6$ premiers termes est$$S_6 = 5 \times \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 5 \times \frac{728}{2} = 1\,820,$$sans aucun nombre négatif en chemin.

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Définition — Valeur acquise

Un compte d'épargne rapporte des intérêts composés à un taux fixe de $t\pourcent$ par période, avec $t \gt 0$ : à la fin de chaque période, son solde est multiplié par $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ (un taux de $3\pourcent$ donne $t = 3$ et $q = 1{,}03$). Lorsque la même somme $D$ est versée au début de chaque période, le solde du compte juste après le $n$-ième versement s'appelle la valeur acquise (ou valeur future) par les $n$ versements ; on la note $V_n$.

Proposition — Valeur acquise par des versements réguliers

Avec des versements de $D$ au début de chaque période et un taux de $t\pourcent$ par période ($t \gt 0$), la valeur acquise juste après le $n$-ième versement est la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $D$ et de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ : $$V_n = D + Dq + Dq^2 + \cdots + Dq^{n-1} = D\,\frac{q^n - 1}{q - 1}.$$

Exemple

Un épargnant verse $1\,000$ euros le 1\textsuperscript{er} janvier de chaque année sur un compte rémunéré à $3\pourcent$ par an, à intérêts composés annuels. Déterminer la valeur acquise par le compte juste après le $10$\textsuperscript{e} versement, au centime près, et la part de cette somme qui vient des intérêts.

Correction

Ajouter $3\pourcent$ revient à multiplier par $1{,}03$. Juste après le $10$\textsuperscript{e} versement, le dernier versement vaut $1\,000$, celui d'avant $1\,000 \times 1{,}03$, et ainsi de suite jusqu'au premier, resté $9$ ans : $1\,000 \times 1{,}03^9$. La valeur acquise est la somme des $10$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1\,000$ et de raison $1{,}03$ : $$\begin{aligned}[t] V_{10} &= 1\,000 + 1\,000 \times 1{,}03 + \cdots + 1\,000 \times 1{,}03^9 && \text{(un terme par versement)} \\ &= 1\,000 \times \frac{1{,}03^{10} - 1}{1{,}03 - 1} && \text{(somme d'une suite géométrique, } 10 \text{ termes)} \\ &\approx 11\,463{,}88 \text{ euros.} \end{aligned}$$ L'épargnant a versé $10 \times 1\,000 = 10\,000$ euros ; les intérêts représentent donc environ $11\,463{,}88 - 10\,000 = 1\,463{,}88$ euros.

Compétences à pratiquer

Calculer la somme des termes d'une suite géométrique : Niveau 1
Calculer la somme des termes d'une suite géométrique : Niveau 2
Calculer la somme des termes d'une suite géométrique en notation Sigma
Rédiger une somme de termes d'une suite géométrique

IV.4 Sommes et algorithmes (sauf STD2A)

Définition — L'accumulateur

Un accumulateur est une variable créée avant la boucle et lue après elle, que les tours construisent peu à peu. Sa valeur de départ est la réponse pour zéro tour : 0 pour une somme, 1 pour un produit. Quand zéro tour n'a pas de réponse, comme pour le plus grand de plusieurs nombres (le plus grand d'aucun nombre n'est pas un nombre), l'accumulateur part de la première valeur lue, et la boucle traite celles qui restent. Oublier de le créer avant la boucle, ou le lire à l'intérieur de la boucle au lieu de l'après, sont les deux erreurs à éviter.

Méthode — Exécuter une boucle à la main

Écrire les lignes d'avant la boucle comme d'habitude : l'accumulateur y reçoit sa valeur de départ.
Écrire une ligne par tour, repérée par la valeur du compteur, et non une ligne par instruction du corps quand celui-ci tient sur une ligne.
Calculer avec les valeurs de la ligne précédente, tour après tour, sans jamais sauter en avant.
Compter les tours et vérifier ce compte sur les bornes avant de lire la réponse.
Écrire les lignes d'après la boucle : l'accumulateur y est lu, avec la valeur du dernier tour.

Exemple

Exécuter à la main l'algorithme suivant et donner ce qu'il affiche.

s ← 0
Pour k allant de 1 à 4
    s ← s + k
Fin Pour
Afficher s

Correction

Instruction	$s$	$k$	Affichage
$s \leftarrow 0$	$0$
tour $k = 1$	$1$	$1$
tour $k = 2$	$3$	$2$
tour $k = 3$	$6$	$3$
tour $k = 4$	$10$	$4$
Afficher $s$	$10$	$4$	$10$

Il affiche 10, la somme $1 + 2 + 3 + 4$. Quatre tours, comme l'annoncent les bornes $1$ et $4$. Après le tour $k$, s retient la somme des entiers de $1$ à $k$ : la colonne $s$ le dit à chaque ligne, et c'est pourquoi la valeur lue après la boucle est la somme des quatre. L'accumulateur part de 0 parce que c'est la somme d'aucun nombre, et il est lu après la boucle, quand les quatre tours sont faits. Le faire partir de $1$ ajouterait un de trop ; le lire dans la boucle afficherait quatre nombres au lieu d'un.

Exemple

Qu'affiche le programme suivant, et que calcule-t-il ? L'écrire aussi en pseudo-code.

total = 0
for k in range(1, 6):
    total = total + k * k
print(total)

Correction

Il calcule la somme des carrés des entiers de $1$ à $5$.

total ← 0
Pour k allant de 1 à 5
    total ← total + k × k
Fin Pour
Afficher total

Le compteur prend les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, et l'accumulateur ajoute le carré de chacune : $1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$. Lire un programme dans l'autre sens se fait en deux temps : dire en une phrase ce qu'il calcule, puis écrire cette phrase en pseudo-code, ligne à ligne. La seule ligne à surveiller est la boucle : Python écrit range(1, 6), dont la seconde borne est la première valeur non prise, là où le pseudo-code écrit la dernière valeur prise. Le même algorithme, deux écritures des mêmes bornes.

Les deux bornes ne s'écrivent pas de la même façon

Pour k allant de 1 à n prend la valeur n ; range(1, n) s'arrête juste avant. L'écriture Python de la même boucle est donc range(1, n + 1), et ce décalage est l'erreur la plus fréquente du passage d'un registre à l'autre. La vérification sûre est de compter les tours sur un petit cas : allant de 1 à 3 fait trois tours, et range(1, 4) donne 1, 2, 3, trois valeurs.

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Compétences à pratiquer

Exécuter et traduire une boucle bornée
Programmer la somme des $n$ premiers termes

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

Aller à la section

Indice (\(n\))	0	1	2	\(\dots\)
Terme (\(u_n\))	\(u_0\)	\(u_1\)	\(u_2\)	\(\dots\)

\(n\)	0	1	2	3	4	5	\(\dots\)
\(u_n\)	3	5	7	9	11	13	\(\dots\)


\(S_1 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}}\)	\(S_2 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}}\)	\(S_3 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}} + \textcolor{olive!80!black}{\frac{1}{8}}\)	\(S_4 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}} + \textcolor{olive!80!black}{\frac{1}{8}} + \textcolor{purple}{\frac{1}{16}}\)	\(S_5 = \textcolor{colorprop}{\frac{1}{2}} + \textcolor{colordef}{\frac{1}{4}} + \textcolor{olive!80!black}{\frac{1}{8}} + \textcolor{purple}{\frac{1}{16}} + \textcolor{orange}{\frac{1}{32}}\)

Étape	\(k\)	\(s\)
avant la boucle		\(0\)
tour \(k = 1\)	\(1\)	\(0 + 1 = 1\)
tour \(k = 2\)	\(2\)	\(1 + 8 = 9\)
tour \(k = 3\)	\(3\)	\(9 + 27 = 36\)
tour \(k = 4\)	\(4\)	\(36 + 64 = 100\)

\(n\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)
\(S_n = 2n^2 + n\)	\(136\)	\(171\)	\(210\)	\(253\)