Deux variables : changement de variable

1. Identifier les variables : déterminer quelle variable est indépendante (\(x\)) et laquelle est dépendante (\(y\)).
2. Préparer les axes : tracer et légender l'axe horizontal pour la variable \(x\) et l'axe vertical pour la variable \(y\), et choisir sur chaque axe une échelle adaptée à l'étendue des données.
3. Placer les points : pour chaque couple \((x ; y)\) de la série, placer le point de coordonnées \((x ; y)\).

1. Sens : la tendance est-elle croissante (corrélation positive), décroissante (corrélation négative), ou ni l'une ni l'autre ?
2. Forme : est-elle linéaire, non linéaire, ou sans forme nette ?
3. Force : est-elle forte, modérée ou faible ?
4. Données aberrantes : y a-t-il des données aberrantes ?

1. Placer le point moyen \(G\) et faire passer la droite par \(G\).
2. Suivre le nuage : faire tourner la droite autour de \(G\) pour qu'elle suive la direction des points, tous aussi proches d'elle que possible — pour contrôler grossièrement, les points doivent se répartir des deux côtés de la droite.
3. Lire son équation \(y = ax + b\) sur le graphique (deux points de la droite donnent \(a\), puis \(b\)).

1. Saisir les données : les valeurs de \(x\) dans une liste (ou une colonne), celles de \(y\) dans une autre, dans le même ordre.
2. Demander la droite : à la calculatrice, le menu des statistiques à deux variables, régression linéaire \(y = ax + b\) ; au tableur, avec \(x\) dans A2:A6 et \(y\) dans B2:B6, les formules =PENTE(B2:B6;A2:A6) et =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B6;A2:A6), ou une courbe de tendance linéaire ajoutée au nuage de points, avec son équation affichée.
3. Arrondir avec mesure : garder à peu près autant de chiffres significatifs que les mesures en ont, et écrire l'équation avec les lettres de la situation.
4. Contrôler avec le point moyen : la droite des moindres carrés passe par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) ; en remplaçant \(x\) par \(\bar{x}\) dans l'équation, on doit retrouver \(\bar{y}\), aux arrondis près.

1. Ranger les données dans deux listes de même longueur, xs pour les valeurs de \(x\) et ys pour les valeurs de \(y\), dans le même ordre : xs[i] et ys[i] sont les deux coordonnées d'un même point.
2. Calculer \(S(a ; b)\) avec un accumulateur : initialiser total à \(0\) ; pour chaque indice i, calculer l'écart ys[i] - (a * xs[i] + b) et ajouter son carré à total ; rendre total après la boucle.
3. Balayer une grille de couples : donner à \(a\) les valeurs de \(a_{\min}\) à \(a_{\max}\) avec un pas fixe et, pour chacune, donner à \(b\) les valeurs de \(b_{\min}\) à \(b_{\max}\) avec le même pas — une boucle dans l'autre ; calculer \(S\) à chaque fois et garder le couple dont le \(S\) est le plus petit rencontré jusque-là.
4. Lire le résultat : le couple gardé est le meilleur de la grille, proche de la droite des moindres carrés quand le pas est petit ; un pas plus petit peut donner un couple plus proche — pourvu que la droite des moindres carrés soit dans les bornes de la grille — au prix de beaucoup plus de calculs. Tirer les couples au hasard (avec random.uniform) au lieu de les balayer fonctionne de la même façon.

def S(a, b, xs, ys):
    total = 0
    for i in range(len(xs)):
        gap = ys[i] - (a * xs[i] + b)
        total = total + gap * gap
    return total

def best_line(xs, ys, a_min, a_max, b_min, b_max, step):
    best_a = a_min
    best_b = b_min
    best_s = S(a_min, b_min, xs, ys)
    na = round((a_max - a_min) / step)
    nb = round((b_max - b_min) / step)
    for i in range(na + 1):
        a = a_min + i * step
        for j in range(nb + 1):
            b = b_min + j * step
            s = S(a, b, xs, ys)
            if s < best_s:
                best_a = a
                best_b = b
                best_s = s
    return [best_a, best_b]

1. Choisir le changement de variable d'après la forme du nuage et le contexte, et vérifier qu'il est défini pour toutes les données.
2. Transformer : calculer les nouvelles valeurs (\(u_i\) ou \(z_i\)), arrondies comme l'énoncé le demande, et vérifier que les nouveaux points sont presque alignés.
3. Ajuster : saisir la série transformée à la calculatrice et demander la droite des moindres carrés, comme pour toute série à deux variables.
4. Revenir aux variables de départ. Pour \(z = \log y\) : \(\log y = ax + b\) signifie \(y = 10^{ax + b}\), c'est-à-dire \(y = 10^{b} \times \left(10^{a}\right)^{x}\) ; chaque fois que \(x\) augmente de \(1\), \(y\) est multiplié par \(q = 10^{a}\), et \(\log q = a\).
5. Utiliser le modèle avec prudence : à l'intérieur de l'étendue des données, il interpole ; au-dehors, il extrapole, et seul le contexte dit si la variation se poursuit de la même façon.