Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Fonction logarithme décimal

⌚ ~258 min ▢ 30 blocs ✓ 132 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Fonctions exponentielles

I Définition et propriétés

I.1 Puissances de 10 et écriture scientifique

Travailler avec des nombres très grands ou très petits peut être difficile. Les puissances de dix permettent de réécrire ces nombres sous une forme plus courte, plus facile à manipuler : cette écriture s’appelle la notation scientifique, et elle est très utilisée en sciences.

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Définition — Notation scientifique

Un nombre décimal non nul est exprimé en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme : $a \times 10^n$ (ou $-a \times 10^n$ pour un nombre négatif), où $a$ est un nombre décimal avec $1 \leq a < 10$ et $n$ est un entier.

Exemple

Écrire $245$ en notation scientifique.

Correction

$$\begin{aligned}[t]245 &= 2{,}45 \times 100 \\ &= 2{,}45 \times 10^2\end{aligned}$$ Ainsi, $245$ s'écrit en notation scientifique : $2{,}45 \times 10^2$.

Compétences à pratiquer

Écrire des nombres sous forme de puissances de 10
Exprimer en notation scientifique

I.2 Logarithme décimal d'un nombre strictement positif

L'exponentiation répond à la question : que se passe-t-il lorsqu’on multiplie un nombre par lui-même un certain nombre de fois (par exemple, $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$) ?
On pose maintenant la question inverse : À quel exposant doit-on élever 10 pour obtenir 1000 ?
Cette question amène au concept de logarithme. Un logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation : c'est l'outil qui sert à trouver un exposant inconnu.
Avant l'invention des calculatrices, les logarithmes étaient un outil révolutionnaire pour les scientifiques, transformant des multiplications complexes en additions plus simples. Aujourd'hui, ils restent essentiels pour résoudre des équations exponentielles et sont utilisés pour décrire des phénomènes scientifiques, tels que l'échelle de pH en chimie ou l'échelle de Richter pour les tremblements de terre.
Il s'agit de :

définir les logarithmes (en base 10),
étudier leurs principales propriétés (les lois des logarithmes),
s'en servir pour trouver l'ordre de grandeur d'un nombre et le nombre de chiffres d'un entier,
et les utiliser pour résoudre des équations exponentielles et des problèmes concrets.

Sauf mention contraire, $\log x$ désigne le logarithme en base 10 : $\log x = \log_{10} x$.

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Pour une puissance de 10, le logarithme est simplement l'exposant lu sur la puissance. Le tableau ci-dessous montre cette lecture dans les deux sens :

$y$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1000$
$y$ en puissance de $10$	$10^{-2}$	$10^{-1}$	$10^{0}$	$10^{1}$	$10^{2}$	$10^{3}$
$\log y$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Par exemple, $10^{-2} = 0{,}01$, donc $\log 0{,}01 = -2$ ; et $10^{3} = 1000$, donc $\log 1000 = 3$.
Les deux opérations circulent en sens opposés entre un nombre $y$ et son exposant $x$ : le logarithme extrait l'exposant, et élever 10 à une puissance reconstruit le nombre.

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Définition — Logarithme

Le logarithme (en base 10) d'un nombre $y$ (où $y > 0$) est l'exposant auquel 10 doit être élevé pour obtenir $y$. Il est noté $\log_{10} y$ et défini par l'équivalence : $$\log_{10} y = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = y$$ Comme sur la plupart des calculatrices et aux examens, $\log_{10} y$ s'abrège en $\log y$ ; ainsi $\log y = \log_{10} y$. Autrement dit, $\log y$ est l'exposant $x$ tel que $10^x = y$.

Pourquoi $\log 0$ et $\log(-5)$ ne sont pas définis

Le logarithme $\log y$ n'est défini que pour $y > 0$. En effet, une puissance de 10 est toujours strictement positive : $10^x > 0$ pour tout réel $x$. Comme aucune puissance de 10 n'est égale à $0$ ni à un nombre négatif, des expressions telles que $\log 0$ et $\log(-5)$ n'ont pas de valeur.

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Proposition — Propriétés inverses des logarithmes

Pour les nombres réels :

$10^{\log x} = x$ pour tout $x > 0$,
$\log (10^x) = x$ pour tout réel $x$.

Ces propriétés reflètent le fait que la fonction exponentielle $10^x$ et la fonction logarithme $\log x$ (en base 10) sont inverses l'une de l'autre.

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Exemple

Évaluer $\log 100$.

Correction

$\begin{aligned}[t]\log(100) &= \log\left(10^{2}\right) &&(100 = 10^2) \\&=2\\\end{aligned}$
Comme $10^2 = 100$, le logarithme de $100$ (en base 10) vaut $2$.

Compétences à pratiquer

Évaluer des logarithmes
Évaluer avec une calculatrice
Déterminer un exposant inconnu
Déterminer un nombre connaissant son logarithme

I.3 La fonction logarithme décimal et son sens de variation

Définition — Fonction logarithme

La fonction logarithme est $f(x) = \log(x)$. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $g(x)=10^x$.

Ensemble de définition : $]0\,;\,+\infty[$
Ensemble image : $]-\infty\,;\,+\infty[$

Proposition — Courbe de la fonction logarithme

La courbe de $\textcolor{colordef}{y = \log(x)}$ est la symétrique de la courbe de $\textcolor{colorprop}{y = 10^x}$ par rapport à la droite $\textcolor{olive}{y = x}$.
Propriétés principales de la courbe de $y=\log(x)$ :

Elle admet une asymptote verticale : l'axe des ordonnées ($x=0$).
Elle passe par le point $(1\,;\,0)$.
La fonction est croissante.

Compétences à pratiquer

Calculer et tracer

I.4 Propriétés algébriques

Proposition — Propriétés des logarithmes

Pour $x>0$ et $y>0$, et pour tout réel $k$ :

Règle du produit : $\log (xy) = \log x + \log y$
Règle du quotient : $\log \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log x - \log y$
Règle de la puissance : $\log (x^k) = k \log x$

Preuve

On suppose $x>0$ et $y>0$. On utilise le fait que $x = 10^{\log x}$ et $y = 10^{\log y}$. $$\begin{aligned} \log(xy) &= \log(10^{\log x} \times 10^{\log y}) &&(x = 10^{\log x})\\ &= \log\bigl(10^{\log x + \log y}\bigr) &&\text{(produit de puissances)}\\ &= \log x+ \log y &&(\log(10^u) = u)\\ \\ \log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log\left(\frac{10^{\log x}}{10^{\log y}}\right) &&(x = 10^{\log x})\\ &= \log\bigl(10^{\log x - \log y}\bigr) &&\text{(quotient de puissances)}\\ &= \log x - \log y &&(\log(10^u) = u)\\ \\ \log(x^k) &= \log\left(\bigl(10^{\log x}\bigr)^k\right) &&(x = 10^{\log x})\\ &= \log\bigl(10^{k \log x}\bigr) &&\text{(puissance d'une puissance)}\\ &= k \log x\\ \end{aligned}$$

Exemple

Écrire sous forme d'un seul logarithme : $\log (5)+\log (3)$.

Correction

$\begin{aligned}[t]\log (5)+\log (3) &= \log (5\times 3) &&\text{(règle du produit)} \\&= \log 15\\\end{aligned}$

Exemple

Pour $a>0$ et $b>0$, écrire $\log\left(\dfrac{a^2 b}{10}\right)$ en fonction de $\log a$ et $\log b$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \log\left(\dfrac{a^2 b}{10}\right) &= \log(a^2 b) - \log 10 &&\text{(règle du quotient)}\\ &= \log(a^2) + \log b - \log 10 &&\text{(règle du produit)}\\ &= 2\log a + \log b - \log 10 &&\text{(règle de la puissance)}\\ &= 2\log a + \log b - 1 \end{aligned}$$ Les règles fonctionnent aussi dans ce sens : elles décomposent un seul logarithme en une combinaison de logarithmes plus simples.

Exemple

Sachant que $\log 2 \approx 0{,}301$, évaluer $\log 5$ sans calculatrice.

Correction

$$\begin{aligned}[t] \log 5 &= \log\left(\dfrac{10}{2}\right) &&\left(5 = \dfrac{10}{2}\right)\\ &= \log 10 - \log 2 &&\text{(règle du quotient)}\\ &= 1 - \log 2 &&(\log 10 = 1)\\ &\approx 1 - 0{,}301 \\ &\approx 0{,}699 \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Écrire sous la forme d’un seul logarithme : Niveau 1
Écrire sous la forme d’un seul logarithme : Niveau 2
Écrire sous la forme d’un seul logarithme : Niveau 3
Développer un logarithme
Évaluer avec des valeurs données

II Équations et inéquations

II.1 Résoudre des équations

Certaines équations exponentielles se résolvent en écrivant les deux membres avec la même base (par exemple, $2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3$). Cependant, la plupart des problèmes réels impliquent des valeurs qui ne sont pas des puissances parfaites. Pour les résoudre, on utilise la règle de la puissance des logarithmes pour « descendre » l'exposant.

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Méthode — Résoudre des équations exponentielles à l'aide des logarithmes

Pour résoudre une équation exponentielle de la forme $a^x = b$ (où $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$) :

Prendre le logarithme (en base 10) des deux membres : $\log(a^x) = \log b$
Appliquer la règle de la puissance : $x \log a = \log b$
Isoler $x$ : $x = \dfrac{\log b}{\log a}$

(On peut utiliser n'importe quelle base de logarithme ; ici on utilise la base 10, qui correspond à la touche $\log$ sur la plupart des calculatrices.)

Exemple

Résoudre $2^x = 7$.

Correction

$$\begin{aligned} 2^x &= 7 \\ \log(2^x) &= \log 7 &&\text{(prendre le logarithme des deux membres)}\\ x \log 2 &= \log 7 &&\text{(règle de la puissance)}\\ x &= \frac{\log 7}{\log 2} &&\text{(division des deux membres par } \log 2\text{)}\\ x &\approx 2{,}807 &&\text{(à la calculatrice)}\\ \end{aligned}$$

Méthode — Résoudre $x^a \equal b$ d'inconnue positive

Lorsque l'inconnue $x$ est la base de la puissance, et non l'exposant, le logarithme permet encore de faire descendre l'exposant. Soit $a \neq 0$ et $b \gt 0$ ; pour résoudre $x^a = b$ d'inconnue $x \gt 0$ :

Les deux membres sont positifs : prendre le logarithme décimal des deux membres, $\log(x^a) = \log b$.
Utiliser la règle de la puissance : $a \log x = \log b$, donc $\log x = \dfrac{\log b}{a}$.
Revenir à $x$ par la définition du logarithme : $x = 10^{\frac{\log b}{a}}$.

Le même nombre s'écrit $b^{\frac{1}{a}}$ ; lorsque $a = n$ est un entier naturel $n \geq 2$, c'est la racine $n$-ième de $b$.

Exemple

Une somme d'argent passe de $2000$ à $3000$ en $6$ ans, avec le même pourcentage chaque année. Déterminer ce pourcentage annuel moyen, à $0{,}01\pourcent$ près.

Correction

On note $t$ le taux annuel et $x = 1 + t \gt 0$ le coefficient multiplicateur annuel. Six hausses multiplient la somme par $x^6$, donc $2000\,x^6 = 3000$, c'est-à-dire $x^6 = 1{,}5$. $$\begin{aligned}x^6 &= 1{,}5\\ \log(x^6) &= \log 1{,}5 &&\text{(logarithme des deux membres)}\\ 6 \log x &= \log 1{,}5 &&\text{(règle de la puissance)}\\ \log x &= \frac{\log 1{,}5}{6} \approx 0{,}029\,349 &&\text{(division par 6)}\\ x &= 10^{\frac{\log 1{,}5}{6}} \approx 1{,}0699 &&\text{(définition du logarithme)} \end{aligned}$$ Donc $t \approx 0{,}0699$ : le pourcentage annuel moyen vaut environ $6{,}99\pourcent$. Vérification : $1{,}0699^6 \approx 1{,}500$.

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations exponentielles : Niveau 1
Résoudre des équations exponentielles : Niveau 2
Résoudre $x^a \equal b$ d'inconnue positive

II.2 Résoudre des inéquations

Exemple

Résoudre $2^x > 10$.

Correction

$$\begin{aligned}2^x &> 10 \\ \log(2^x) &> \log 10 &&\text{(prendre le logarithme des deux membres : $\log$ croissante)}\\ x \log 2 &> \log 10 &&\text{(règle de la puissance)}\\ x &> \frac{\log 10}{\log 2} &&\text{(diviser par $\log 2 > 0$ : sens conservé)}\\ x &> \frac{\log 10}{\log 2} \approx 3{,}32 \end{aligned}$$

Exemple

Résoudre l'inéquation $0{,}9^x \lt 0{,}25$ avec le logarithme décimal (borne à $0{,}01$ près).

Correction

$$\begin{aligned}0{,}9^x &\lt 0{,}25\\ \log(0{,}9^x) &\lt \log 0{,}25 &&\text{($\log$ croissante : l'ordre est conservé)}\\ x \log 0{,}9 &\lt \log 0{,}25 &&\text{(règle de la puissance)}\\ x &\gt \frac{\log 0{,}25}{\log 0{,}9} &&\text{(division par $\log 0{,}9 \lt 0$ : l'inégalité change de sens)}\\ x &\gt \frac{\log 0{,}25}{\log 0{,}9} \approx 13{,}16 \end{aligned}$$ Les solutions sont les nombres $x \gt \dfrac{\log 0{,}25}{\log 0{,}9}$ (environ $x \gt 13{,}16$). La base $0{,}9$ est comprise entre $0$ et $1$ : son logarithme est négatif, et c'est pour cela que le sens change.

Exemple

Résoudre l'inéquation $x^{1{,}5} \lt 27$ d'inconnue $x \gt 0$.

Correction

$$\begin{aligned}x^{1{,}5} &\lt 27\\ \log(x^{1{,}5}) &\lt \log 27 &&\text{(logarithme des deux membres : $\log$ croissante)}\\ 1{,}5 \log x &\lt \log 27 &&\text{(règle de la puissance)}\\ \log x &\lt \frac{\log 27}{1{,}5} &&\text{(division par $1{,}5 \gt 0$ : sens conservé)}\\ \log x &\lt \frac{3 \log 3}{1{,}5} = 2 \log 3 = \log 9 &&\text{($27 = 3^3$, règle de la puissance)}\\ x &\lt 9 &&\text{($\log$ croissante)} \end{aligned}$$ Les solutions sont les nombres $x$ tels que $0 \lt x \lt 9$. Comme pour $a^x \lt b$, le sens ne change que lors d'une division par un nombre négatif : ici par $1{,}5 \gt 0$ il est conservé, pour un exposant $a \lt 0$ il changerait.

Méthode — Déterminer le plus petit entier $n$

Beaucoup de questions demandent un nombre entier d'étapes : au bout de combien d'années, de doses, de copies…\ une puissance croissante $a^n$ ($a \gt 1$) dépasse-t-elle une valeur $b \gt 1$, ou une puissance décroissante $a^n$ ($0 \lt a \lt 1$) passe-t-elle sous une valeur $b$ telle que $0 \lt b \lt 1$ ? Dans les deux cas, $a^0 = 1$ ne vérifie pas encore l'inéquation, et de tels entiers existent. Pour déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a^n \gt b$ (ou $a^n \lt b$) :

Résoudre l'inéquation comme si $n$ était un nombre réel quelconque, avec le logarithme décimal, en contrôlant le signe de $\log a$ au moment de diviser.
Dans les deux cas, les solutions sont les nombres supérieurs à une borne $c \gt 0$ : la réponse est le plus petit entier strictement supérieur à $c$ (si $c$ est lui-même un entier, la réponse est $c + 1$).
Vérifier à la calculatrice : l'inéquation est fausse pour $n - 1$ et vraie pour $n$.

Exemple

Une machine perd $15\pourcent$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien d'années entières sa valeur est-elle inférieure à la moitié de son prix d'achat ?

Correction

Au bout de $n$ années, la valeur est multipliée par $0{,}85^n$ ; on cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}85^n \lt 0{,}5$. $$\begin{aligned}0{,}85^n &\lt 0{,}5\\ \log(0{,}85^n) &\lt \log 0{,}5 &&\text{(logarithme des deux membres : $\log$ croissante)}\\ n \log 0{,}85 &\lt \log 0{,}5 &&\text{(règle de la puissance)}\\ n &\gt \frac{\log 0{,}5}{\log 0{,}85} &&\text{(division par $\log 0{,}85 \lt 0$ : l'inégalité change de sens)}\\ n &\gt \frac{\log 0{,}5}{\log 0{,}85} \approx 4{,}27 \end{aligned}$$ Le plus petit entier supérieur à $4{,}27$ est $5$. Vérification : $0{,}85^4 \approx 0{,}522 \gt 0{,}5$ et $0{,}85^5 \approx 0{,}444 \lt 0{,}5$. La valeur, calculée à la fin de chaque année, est pour la première fois inférieure à la moitié du prix à la fin de la cinquième année : au bout de $5$ années entières.

Compétences à pratiquer

Résoudre des inéquations exponentielles
Déterminer le plus petit entier $n$
Appliquer aux fonctions exponentielles

III Applications du logarithme

III.1 Ordre de grandeur, nombre de chiffres et échelles logarithmiques

Les logarithmes sont utilisés pour décrire des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Dans les formules scientifiques ci-dessous, le logarithme décimal est noté en toutes lettres $\log_{10}$. Quelques exemples importants en sciences :

Échelle de pH en chimie : $\text{pH} = -\log_{10} [H^+]$
(où $[H^+]$ est la valeur numérique de la concentration en ions hydrogène en moles par litre)
Échelle de Richter pour les séismes (modèle simplifié) : $\text{Magnitude} = \log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$
(où $I$ est l’intensité du séisme, $I_0$ est une intensité de référence)
Échelle des décibels (dB) pour le son : $L = 10 \log_{10}\left(\dfrac{P}{P_0}\right)$
(où $P$ est la puissance ou l’intensité mesurée, $P_0$ est un niveau de référence)

Sur les calculatrices, la touche $\log$ donne $\log_{10}$.

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Exemple

Le pH d’une solution est $3{,}2$. Déterminer la concentration en ions hydrogène $[H^+]$.

Correction

On sait que : $$\begin{aligned} \text{pH} &= -\log_{10}[H^+] \\ 3{,}2 &= -\log_{10}[H^+] &&\text{(en remplaçant par la valeur donnée)}\\ -3{,}2 &= \log_{10}[H^+] &&\text{(en multipliant les deux membres par $-1$)}\\ 10^{-3{,}2} &= 10^{\log_{10}[H^+]} &&\text{(en appliquant $10^{(\cdot)}$ aux deux membres)}\\ [H^+] &= 10^{-3{,}2} \\ [H^+] &\approx 6{,}31 \times 10^{-4}\ \text{mol/L} &&\text{(à la calculatrice)} \end{aligned}$$

La figure ci-dessous place le rapport d'intensité $\frac{I}{I_0}$ d'un séisme sur une échelle logarithmique : les graduations $10^0, 10^1, \dots, 10^6$ sont dessinées régulièrement espacées.

Sur cet axe, les graduations sont régulièrement espacées, et pourtant chaque pas d'une graduation à la suivante multiplie le rapport d'intensité par $10$. Des pas égaux sur l'axe correspondent à des facteurs $10$ égaux : la magnitude $\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ augmente exactement de $1$ à chaque graduation. Les logarithmes transforment les échelles multiplicatives en échelles additives — c'est pourquoi les échelles de pH, de Richter et des décibels affichent des plages de valeurs énormes sur un seul axe lisible.

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Ces échelles compriment des ordres de grandeur : un pH de $3$ contre un pH de $4$, c'est une concentration dix fois plus grande. Le logarithme donne directement cet ordre de grandeur — et avec lui, le nombre de chiffres d'un entier.

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Proposition — Ordre de grandeur et nombre de chiffres

Soit $N$ un nombre strictement positif.

Ordre de grandeur : pour tout entier $k$, $10^{k} \leq N \lt 10^{k+1}$ si et seulement si $k \leq \log N \lt k + 1$. L'ordre de grandeur de $N$ est cette puissance $10^k$, la plus grande puissance de $10$ qui ne dépasse pas $N$ ; pour $N \geq 1$, $k$ est la partie entière de $\log N$.
Nombre de chiffres : un entier $N \geq 1$ a exactement $k$ chiffres ($k \geq 1$) si et seulement si $k - 1 \leq \log N \lt k$. Le nombre de chiffres de $N$ est la partie entière de $\log N$, plus $1$.

Par exemple $\log(2^{50}) = 50 \log 2 \approx 15{,}05$, donc $2^{50}$ a $16$ chiffres — sans le calculer.

Exemple

Le nombre de particules dans une mole est d'environ $6{,}02 \times 10^{23}$. Déterminer son ordre de grandeur avec un logarithme.
Combien de chiffres a $3^{100}$ ?
Une population de bactéries double chaque heure ; après $n$ heures il y a $2^n$ bactéries. Au bout de combien d'heures le compte atteint-il $10$ chiffres ?

Correction

Soit $N = 6{,}02 \times 10^{23}$. Alors $\log N = \log 6{,}02 + \log\left(10^{23}\right) = \log 6{,}02 + 23 \approx 0{,}78 + 23 = 23{,}78$ (règle du produit). Donc $23 \leq \log N \lt 24$ : l'ordre de grandeur est $10^{23}$.
$\begin{aligned}[t]\log(3^{100}) &= 100 \log 3 &&\text{(logarithme d'une puissance)}\\ &\approx 100 \times 0{,}4771 \\ &\approx 47{,}71\end{aligned}$
Comme $47 \leq 47{,}71 \lt 48$, le nombre $3^{100}$ a $48$ chiffres.
$2^n$ a $10$ chiffres quand $9 \leq n \log 2 \lt 10$, c'est-à-dire $\dfrac{9}{\log 2} \leq n \lt \dfrac{10}{\log 2}$, soit environ $29{,}9 \leq n \lt 33{,}2$. Le compte atteint $10$ chiffres au bout de $30$ heures ($2^{30} = 1\,073\,741\,824$).

Compétences à pratiquer

Appliquer des logarithmes en sciences
Déterminer le nombre de chiffres avec un logarithme
Rédiger un calcul d'ordre de grandeur

III.2 Repères semi-logarithmique et logarithmique (STI2D, STL)

Découverte

On compte chaque heure les bactéries d'une culture : $100$ bactéries au départ, et leur nombre est multiplié par $3$ chaque heure, jusqu'à $656\,100$ au bout de $8$ heures. Sur un graphique ordinaire, tracé avec l'échelle verticale qu'exige la dernière valeur, les premiers points sont tous écrasés contre l'axe horizontal.

Comment graduer l'axe vertical pour que chaque point soit bien visible ? Quelle forme les points prendraient-ils alors ?

Correction

Chaque heure multiplie le nombre par $3$. Sur un axe vertical où chaque nombre $N$ est placé à la hauteur $\log N$ (l'axe ci-dessous commence à la graduation $100$, à la hauteur $\log 100 = 2$), une multiplication devient une addition : $\log(3N) = \log N + \log 3$. Chaque heure élève alors le point de la même hauteur $\log 3 \approx 0{,}48$, et les valeurs $100$, $1000$, $10\,000$, …\ sont régulièrement espacées. Les points sont alignés :

Définition — Échelle logarithmique et repères logarithmiques

Sur une échelle logarithmique, chaque nombre $y \gt 0$ est placé à la position $\log y$ par rapport à la graduation $1$ (au-dessus si $\log y \gt 0$, en dessous si $\log y \lt 0$), l'unité de longueur s'appelant une décade : les nombres $0{,}1$, $1$, $10$, $100$, $1000$ sont régulièrement espacés, et entre $1$ et $10$ les graduations $2, 3, \dots, 9$ se trouvent à $\log 2 \approx 0{,}30$, $\log 3 \approx 0{,}48$, …, $\log 9 \approx 0{,}95$ décade ; le même motif se répète dans chaque décade. Zéro et les nombres négatifs n'ont pas de place sur une telle échelle.

Un repère semi-logarithmique a un axe horizontal ordinaire et un axe vertical logarithmique.
Un repère logarithmique (ou repère log-log) a deux axes logarithmiques.

Méthode — Placer et lire une valeur sur une échelle logarithmique

Pour placer $y \gt 0$ : calculer $\log y$. C'est la position, en décades et avec son signe, par rapport à la graduation $1$ ; sa partie entière dit entre quelles puissances de dix se trouve le point, et sa partie décimale où il se situe dans cette décade.
Pour lire le point situé à la distance $h$ décades de la graduation $1$ (au-dessus si $h \gt 0$, en dessous si $h \lt 0$) : il représente $y = 10^h$.

Par exemple, $\log 350 \approx 2{,}54$ : le nombre $350$ se trouve entre $100$ et $1000$, à $0{,}54$ décade au-dessus de $100$ (voir la figure de la définition). Pour $0 \lt y \lt 1$, le logarithme est négatif : $\log 0{,}035 \approx -1{,}46$ est compris entre $-2$ et $-1$, donc $0{,}035$ se trouve entre $10^{-2} = 0{,}01$ et $10^{-1} = 0{,}1$ ; la puissance de dix à prendre est celle du dessous, $10^{-2}$, et le point se trouve $2 - 1{,}46 = 0{,}54$ décade au-dessus d'elle. Inversement, le point situé à $1{,}7$ décade au-dessus de $1$ représente $10^{1{,}7} \approx 50$.

Proposition — Fonctions exponentielles dans un repère semi-logarithmique

Soit $k \gt 0$ et $a \gt 0$. Dans un repère semi-logarithmique, les points de la courbe de $x \mapsto k \times a^x$ sont alignés : leur hauteur $Y = \log y$ vérifie $$\textcolor{colorprop}{Y = \log k + x \log a},$$ une droite qui monte de $\log a$ décade quand $x$ augmente de $1$ (elle descend quand $0 \lt a \lt 1$), et qui coupe l'axe vertical à la graduation $k$. Réciproquement, des points alignés dans un repère semi-logarithmique suivent un modèle $y = k \times a^x$.

Méthode — Déterminer un modèle exponentiel à partir d'une droite

Lorsque des points sont sur une droite dans un repère semi-logarithmique :

Lire deux points de la droite, $(x_1\,;y_1)$ et $(x_2\,;y_2)$, les valeurs $y_1$ et $y_2$ étant lues sur l'échelle logarithmique.
Calculer la montée par unité, $\log a = \dfrac{\log y_2 - \log y_1}{x_2 - x_1}$, puis $a = 10^{\log a}$.
Calculer $k$, la valeur en $x = 0$ : $k = \dfrac{y_1}{a^{x_1}}$ (lue directement si $x_1 = 0$).

Exemple

Un condensateur se décharge à travers une résistance. La tension $U$ (en volts) à ses bornes, mesurée chaque seconde de $t = 0$ à $t = 5$ et placée dans un repère semi-logarithmique, donne six points sur la droite passant par $(0\,;12)$ et $(5\,;0{,}75)$.

Déterminer un modèle $U = k \times a^t$, et la durée au bout de laquelle la tension est divisée par deux.

Correction

$$\begin{aligned}\log a &= \frac{\log 0{,}75 - \log 12}{5 - 0} &&\text{(montée par seconde)}\\ &= \frac{\log(0{,}75 \div 12)}{5} = \frac{\log 0{,}0625}{5} &&\text{(logarithme d'un quotient)}\\ a &= 10^{\frac{\log 0{,}0625}{5}} \approx 0{,}574 &&\text{(définition du logarithme)} \end{aligned}$$ La droite coupe l'axe vertical à la graduation $12$, donc $k = 12$ : $U \approx 12 \times 0{,}574^t$. La tension est divisée par deux lorsque $0{,}574^t = 0{,}5$, c'est-à-dire $t = \dfrac{\log 0{,}5}{\log 0{,}574} \approx 1{,}25$ s. Vérification : en $5$ s, quatre divisions par deux divisent la tension par $2^4 = 16$, et en effet $12 \div 16 = 0{,}75$.

Repères logarithmiques et fonctions puissances

Dans un repère logarithmique, les deux coordonnées sont remplacées par leurs logarithmes. Pour $x \gt 0$, la courbe de $x \mapsto k \times x^a$ ($k \gt 0$) devient une droite de coefficient directeur $a$ compté en décades ($a$ décades vers le haut pour une décade vers la droite), quelle que soit la longueur d'une décade sur chaque axe, car $\log y = \log k + a \log x$. Ci-dessous, $y = 3x^2$ pour $1 \le x \le 100$ : quand $x$ est multiplié par $10$ (une décade vers la droite), $y$ est multiplié par $100$ (deux décades vers le haut).

Ces repères servent lorsque les deux grandeurs s'étendent sur plusieurs ordres de grandeur : la réponse en fréquence d'un haut-parleur ou d'un amplificateur (fréquences de $20$ Hz à $20\,000$ Hz), la taille et les besoins en énergie des animaux, l'éclat des étoiles et leur distance.

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Compétences à pratiquer

Placer et lire des valeurs sur une échelle logarithmique
Reconnaître des modèles exponentiels
Déterminer un modèle exponentiel

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Expliquer et démontrer
Raisonner avec des valeurs données
Lire la courbe du logarithme
Modéliser avec les logarithmes
Raisonner sur des échelles
Problèmes : échelles logarithmiques
Quiz

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\(y\)	\(0{,}01\)	\(0{,}1\)	\(1\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)
\(y\) en puissance de \(10\)	\(10^{-2}\)	\(10^{-1}\)	\(10^{0}\)	\(10^{1}\)	\(10^{2}\)	\(10^{3}\)
\(\log y\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)