Éducation Nationale Française · Terminale Spécialité

Primitives et équations différentielles

⌚ ~218 min ▢ 25 blocs ✓ 105 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Logarithme népérien, Dérivation composée et convexité, Fonctions cosinus et sinus, La fonction exponentielle

I Une équation dont l'inconnue est une fonction

I.1 Équations différentielles et solutions

Définition — Solution d'une équation différentielle

On appelle solution d'une équation différentielle sur un intervalle $I$ toute fonction, dérivable sur $I$ autant de fois que l'équation l'exige, vérifiant l'égalité pour tout $x$ de $I$.
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus haute de la fonction inconnue qui y figure ($1$ pour $y'$, $2$ pour la dérivée seconde $y''$) : $y' = 2y - 6$ est une équation du premier ordre, $y'' - y = 0$ une équation du second ordre.
Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions qui vérifient l'égalité.

Exemple

La fonction $x \mapsto e^{-x}$ est solution de l'équation $y'' - y = 0$ car, pour $y(x) = e^{-x}$, on a $y'(x) = -e^{-x}$ et $y''(x) = e^{-x}$.
Donc $y''(x) - y(x) = e^{-x} - e^{-x} = 0$.

Compétences à pratiquer

Vérifier les solutions d'une équation différentielle

I.2 Comprendre les notations

Définition — Comprendre les notations

Dans une équation différentielle, $y$ est une fonction, et non un nombre fixe. Selon le contexte (Mathématiques, Physique ou Ingénierie/Sciences de l'ingénieur), on utilise différentes écritures pour la fonction inconnue et sa dérivée :

Notation de Lagrange : Utilise le symbole « prime » ($y'$). C'est l'écriture la plus courte, utilisée en mathématiques.
Notation de Leibniz : Utilise le quotient différentiel ($\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ ou $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$). Elle montre explicitement par rapport à quelle variable on dérive (souvent le temps $t$ ou la position $x$).
Notation fonctionnelle : Fait apparaître explicitement $y(t)$ ou $y(x)$ pour rappeler que la valeur dépend de la variable.

Exemple

Les trois équations suivantes représentent exactement la même relation où $y$ est une fonction du temps $t$ :

Style simplifié : $2y' + 3y = t$
Style fonctionnel : $2y'(t) + 3y(t) = t$
Style différentiel (Leibniz) : $2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 3y(t) = t$

Compétences à pratiquer

Définir et vérifier les équations différentielles

II L'équation $y' \equal f$ : les primitives

II.1 Primitives et ensemble des primitives

Définition — Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute solution sur $I$ de l'équation différentielle $y' = f$ (une équation dont l'inconnue est une fonction, ici $y' = f(x)$) : une fonction $F$, dérivable sur $I$, telle que pour tout $x \in I$ :$$ \textcolor{colordef}{F'(x) = f(x)}. $$

Exemple

Soit $f(x) = 2$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $F(x) = 2x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ car $F'(x) = 2 = f(x)$.

Proposition — Existence de primitives

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ (une fonction continue sur un intervalle est une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon ; toutes les fonctions étudiées ici le sont). Ce résultat est admis ; sa démonstration relève du calcul intégral.

Proposition — Ensemble des primitives d'une même fonction

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est définie par :$$ \textcolor{colorprop}{G(x) = F(x) + C} \quad \text{où } C \in \mathbb{R} \text{ est une constante.} $$

Preuve

Soit $F$ une primitive fixée de $f$ sur l'intervalle $I$.

Analyse :
Supposons que $G$ soit une primitive quelconque de $f$ sur $I$.
Par définition, on a $G'(x) = f(x)$ et $F'(x) = f(x)$.
On considère la fonction $H = G - F$. Sa dérivée est : $$ H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0 $$ Puisque la dérivée de $H$ est nulle sur l'intervalle $I$, alors $H$ est une fonction constante.
Il existe donc une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que $G(x) - F(x) = C$, soit $G(x) = F(x) + C$.
Synthèse :
Réciproquement, soit $G$ la fonction définie par $G(x) = F(x) + C$ où $C \in \mathbb{R}$.
Alors $G$ est dérivable sur $I$ et $G'(x) = F'(x) + 0 = f(x)$.
Ainsi, $G$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.

Compétences à pratiquer

Vérifier une primitive par dérivation
Démontrer qu'une fonction est une primitive sur un intervalle

II.2 La condition initiale

Proposition — Condition initiale

Soit $f$ une fonction continue sur $I$, et soient $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$.
Alors il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Preuve

Soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$.
D'après la proposition sur l'ensemble des primitives, toute primitive $F$ de $f$ est de la forme $F(x) = G(x) + C$ où $C \in \mathbb{R}$.
La condition $F(x_0) = y_0$ est donc équivalente à :$$ G(x_0) + C = y_0 \iff C = y_0 - G(x_0) $$ Comme $y_0$ et $G(x_0)$ sont des réels fixés, cette équation admet une unique solution pour la constante $C$.
Il existe donc une unique primitive $F$ vérifiant la condition initiale.

L'importance des conditions initiales

Mises bout à bout, les propositions sur l'existence des primitives, sur l'ensemble des primitives et sur la condition initiale donnent le fait suivant : si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors l'équation différentielle $$ y' = f(x) $$ admet une infinité de solutions sur $I$ (elles diffèrent d'une constante), et une condition initiale $y(x_0)=y_0$, avec $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, permet d'en sélectionner une seule et unique.
C'est un exemple simple d'une idée omniprésente en physique classique : de nombreuses lois s'écrivent sous forme d'équations différentielles, et la condition initiale précise l'état du système à un instant donné.

L'équation différentielle représente la loi (comment l'état évolue).
La condition initiale représente l'état initial (d'où part l'évolution).

Lorsque le modèle vérifie un théorème d'existence et d'unicité, la connaissance de la loi et de l'état initial détermine une trajectoire unique. Par exemple, dans un modèle idéalisé du mouvement, connaître la position et la vitesse initiales permet de prévoir l'évolution du mouvement.

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Exemple — Application physique : la chute d'une pomme

On considère une pomme qui tombe d'un arbre. Soit $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, mesurée sur un axe vertical orienté vers le haut ; on néglige la résistance de l'air. D'après la seconde loi de Newton, la dérivée de la vitesse est alors l'accélération de la pesanteur, constante :$$ v'(t) = -g \quad (\text{où } g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2) $$ La fonction vitesse $v$ est une primitive de la fonction constante $f(t) = -g$.

Déterminer la forme générale de la vitesse $v(t)$.
Si la pomme est lâchée de l'arbre sans vitesse initiale à $t=0$, on a $v(0) = 0$. Déterminer l'unique fonction vitesse.

Correction

Les primitives de $-g$ sont de la forme $v(t) = -gt + C$.
D'après la condition initiale : $v(0) = -g(0) + C = 0 \implies C = 0$.
L'unique solution est $v(t) = -gt$.

Compétences à pratiquer

Définir et identifier les primitives
Modéliser avec une primitive

III Lire le tableau des dérivées à l'envers

III.1 Primitives de référence

Calculer une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation : on cherche une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Comme pour les dérivées, il existe des règles pour les sommes, les produits par une constante et certaines compositions.

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Proposition — Opérations sur les primitives

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.
Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de $f$ et $g$, alors :

Somme : $F + G$ est une primitive de $f + g$.
Produit par une constante : $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ (où $\alpha \in \mathbb{R}$).

Proposition — Primitives de référence

Soit $C \in \mathbb{R}$ une constante.

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle $I$
$k$ (constante)	$kx + C$	$\mathbb{R}$
$x$	$\frac{1}{2}x^2 + C$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$)	$\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$	$\mathbb{R}$ pour $n\geq 0$, $]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; +\infty[$ pour $n\leq -2$
$\frac{1}{x}$	$\ln(x) + C$	$]0 ; +\infty[$
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x} + C$	$]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; +\infty[$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$]0 ; +\infty[$
$\sin(x)$	$-\cos(x) + C$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x) + C$	$\mathbb{R}$
$e^x$	$e^x + C$	$\mathbb{R}$

Exemple — Utiliser le tableau et la linéarité

Déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2 - \dfrac{1}{x^2} + e^x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.

Correction

Chaque terme se lit dans le tableau des primitives de référence, et la linéarité les assemble : $$\begin{aligned} F(x) &= 3 \times \frac{1}{3}x^3 - \left(-\frac{1}{x}\right) + e^x && \text{(tableau : lignes } x^n\text{, } \tfrac{1}{x^2}\text{, } e^x\text{ ; linéarité)} \\ &= x^3 + \frac{1}{x} + e^x. \end{aligned}$$ Vérification : $F'(x) = 3x^2 - \dfrac{1}{x^2} + e^x = f(x)$.

Compétences à pratiquer

Trouver des primitives par inspection
Déterminer des primitives de fonctions de référence
Déterminer des primitives avec conditions initiales

III.2 Formes composées $(v' \circ u) \times u'$

Proposition — Primitives et composition

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Pour une fonction $v$ dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de $u$, $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : $v \circ u$ est donc une primitive de $(v' \circ u) \times u'$ ; le tableau en donne les cas usuels.

Fonction $f$	Primitive $F$	Condition sur $u$
$u' \cdot u^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$)	$\frac{1}{n+1}u^{n+1} + C$	$u(x) \neq 0$ si $n < 0$
$\frac{u'}{u}$	$\ln(u) + C$	$u(x) > 0$
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u} + C$	$u(x) \neq 0$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u} + C$	$u(x) > 0$
$u' e^u$	$e^u + C$	–
$u' \sin(u)$	$-\cos(u) + C$	–
$u' \cos(u)$	$\sin(u) + C$	–

Exemple — Reconnaître une forme composée

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.

$f(x) = 2x\left(x^2+1\right)^3$ sur $\mathbb{R}$.
$g(x) = x\,e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
$h(x) = \dfrac{3}{3x+1}$ sur $\left]-\dfrac{1}{3} \,;\, +\infty\right[$.

Correction

Pour reconnaître une forme composée, on cherche une fonction $u$ dont la dérivée $u'$ apparaît en facteur, à une constante multiplicative près ; on ajuste ensuite cette constante.

Avec $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$, donc $f = u' u^3$, de la forme $u' u^n$ avec $n = 3$ : $$\begin{aligned} F(x) &= \frac{1}{4}u(x)^4 && \text{(tableau de composition, } n = 3\text{)} \\ &= \frac{1}{4}\left(x^2+1\right)^4. \end{aligned}$$
Avec $u(x) = -x^2$, $u'(x) = -2x$ : le facteur $x$ est $u'(x)$ à la constante $-\frac{1}{2}$ près, donc $g = -\frac{1}{2}\,u' e^{u}$ : $$\begin{aligned} G(x) &= -\frac{1}{2}\,e^{u(x)} && \text{(tableau de composition, } u'e^u\text{, et linéarité)} \\ &= -\frac{1}{2}\,e^{-x^2}. \end{aligned}$$
Avec $u(x) = 3x + 1$, $u'(x) = 3$, et $u(x) > 0$ sur $\left]-\frac{1}{3} \,;\, +\infty\right[$, donc $h = \frac{u'}{u}$ et $H(x) = \ln(3x + 1)$.

Vérification : $F'(x) = \frac{1}{4} \times 4\left(x^2+1\right)^3 \times 2x = f(x)$, et de même pour $G$ et $H$.

Des primitives sans formule

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, mais rien ne garantit qu'on sache en écrire une. La fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ : elle admet donc des primitives sur $\mathbb{R}$. Aucune ligne du tableau des primitives de référence n'en donne une, et avec $u(x) = -x^2$ elle n'est pas de la forme $u'e^u$ : il manque le facteur $u'(x) = -2x$ — c'est $x \mapsto -2xe^{-x^2}$ qui a pour primitive $x \mapsto e^{-x^2}$.
Ce n'est pas une affaire d'astuce. On admet qu'aucune de ses primitives ne s'écrit à l'aide des fonctions usuelles (polynômes, racines carrées, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus) combinées par un nombre fini de sommes, produits, quotients et compositions. Ses primitives existent ; on ne sait simplement pas les écrire avec les fonctions usuelles. Pour obtenir des valeurs de l'une d'elles, on la choisit d'abord par une condition initiale — par exemple celle qui s'annule en $0$ — puis on l'approche, par exemple par la méthode d'Euler appliquée à $y' = e^{-x^2}$ avec $y(0) = 0$.

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Compétences à pratiquer

S'entraîner sur les règles des primitives
Rechercher des primitives et composition
Primitives de fonctions composées et conditions initiales

IV De $y' \equal ay$ à $y' \equal ay + f$

IV.1 L'équation $y' \equal ay$

Quand la dérivée dépend de la fonction

Dans $y' = f$, la dérivée de la fonction inconnue est donnée : pour les fonctions usuelles, lire le tableau des dérivées à l'envers retrouve la fonction. Dans $y' = ay$, la dérivée dépend de la fonction inconnue elle-même — c'est le cas d'une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur, comme le nombre d'atomes d'un échantillon radioactif. Aucun tableau lu à l'envers ne donne la réponse ; la fonction exponentielle la donne.

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Proposition — Ensemble des solutions de $y' \equal ay$

Soit $a$ un réel.
L'équation différentielle $y' = ay$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ \textcolor{colorprop}{y(x) = K e^{ax}} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$

Preuve

Toute fonction de la forme $y(x) = K e^{ax}$ est bien solution, puisque $y'(x) = aKe^{ax} = ay(x)$.
Pour montrer que toutes les solutions sont de cette forme, soit $y$ une solution quelconque de $y' = ay$. On cherche $y$ sous la forme :$$ y(x) = K(x) e^{ax} $$ où $K$ est une fonction à déterminer. Comme $y$ est dérivable, $K(x) = y(x)e^{-ax}$ l'est également. En dérivant $y$ comme un produit, on obtient :$$ \begin{aligned}y'(x) &= K'(x)e^{ax} + K(x) \cdot (ae^{ax}) \\ y'(x) &= K'(x)e^{ax} + a \underbrace{K(x)e^{ax}}_{y(x)} \\ y'(x) &= K'(x)e^{ax} + ay(x) \\ y'(x) &= K'(x)e^{ax} + y'(x) \qquad(\text{car } y' = ay) \\ K'(x)e^{ax} &= 0\end{aligned} $$ Comme $e^{ax} \neq 0$ pour tout réel $x$, on en déduit $K'(x) = 0$.
La fonction $K$ est donc constante ; on note $K$ sa valeur. On en déduit que $y(x) = Ke^{ax}$.

L'équation $y' = ay$ possède une structure remarquable : si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $y' = ay$, alors $y_1 + y_2$ et $\lambda y_1$ (pour tout réel $\lambda$) sont aussi solutions — il suffit de les reporter dans l'équation pour le constater. C'est une particularité de cette équation : pour l'équation $y' = ay + b$ avec une constante $b \neq 0$, la somme de deux solutions n'est pas une solution.

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Exemple

Résoudre l'équation différentielle $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 4$.

Correction

Solution générale : L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = -2$. Les solutions sont les fonctions : $$ y(x) = K e^{-2x} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R} $$
Solution particulière : On utilise la condition initiale $y(0) = 4$ : $$ K e^{-2(0)} = 4 \implies K \times 1 = 4 \implies K = 4 $$ L'unique solution est $y(x) = 4e^{-2x}$.

Les courbes solutions $y = Ke^{ax}$ forment une famille qui remplit le plan. Le signe de $K$ décide du côté de l'axe des abscisses (la courbe $K = 0$ est l'axe, et aucune autre courbe ne le traverse) ; le signe de $a$ décide du comportement : pour $a > 0$ les courbes s'éloignent de l'axe, pour $a < 0$ elles s'en rapprochent.

$\qquad$

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Compétences à pratiquer

Déterminer les solutions générales et les conditions initiales
Résoudre $y' \equal ay$
Résoudre $y' \equal ay$ avec une condition initiale

IV.2 L'équation $y' \equal ay + b$

Proposition — Ensemble des solutions de $y' \equal ay + b$

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$.
L'équation différentielle $y' = ay + b$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ \textcolor{colorprop}{y(x) = K e^{ax} - \dfrac{b}{a}} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$ La constante $-\frac{b}{a}$ est elle-même une solution : c'est l'unique solution particulière constante de l'équation.

Preuve

Soit $c = -\dfrac{b}{a}$. La fonction constante $y = c$ a pour dérivée $y' = 0$, et $ac + b = -b + b = 0$ : elle est solution. Soit maintenant $y$ une fonction quelconque dérivable sur $\mathbb{R}$, et posons $z = y - c$, de sorte que $y = z + c$ et $y' = z'$. Alors : $$\begin{aligned} y \text{ est solution de } y' = ay + b &\iff z' = a(z + c) + b \\ &\iff z' = az + (ac + b) \\ &\iff z' = az &&\text{(car } ac + b = 0\text{)} \\ &\iff z = Ke^{ax} \text{ avec } K \in \mathbb{R} &&\text{(solutions de } y' = ay\text{)}. \end{aligned}$$ Les solutions sont donc exactement les fonctions $y = Ke^{ax} + c = Ke^{ax} - \dfrac{b}{a}$ : les solutions de $y' = ay + b$ s'obtiennent en ajoutant la solution constante aux solutions de $y' = ay$. C'est la méthode : chercher la solution constante $c$ en résolvant $0 = ac + b$, puis lui ajouter les solutions $Ke^{ax}$.

Exemple

Résoudre l'équation différentielle $y' = -2y + 4$ avec la condition initiale $y(0) = 5$.

Correction

Solution particulière constante : on cherche une solution constante $y = c$ : alors $y' = 0$, donc $0 = -2c + 4$, d'où $c = 2$.
Solution générale : d'après la proposition sur les solutions de $y' = ay + b$, les solutions s'obtiennent en ajoutant à cette constante les solutions de $y' = -2y$ : $$ y(x) = K e^{-2x} + 2 \quad \text{avec } K \in \mathbb{R} $$
Solution particulière : On utilise la condition initiale $y(0) = 5$ : $$ K e^{-2(0)} + 2 = 5 \implies K + 2 = 5 \implies K = 3 $$ L'unique solution est $y(x) = 3e^{-2x} + 2$.

Compétences à pratiquer

Identifier les solutions de $y' \equal ay + b$
Résoudre $y' \equal ay + b$
Résoudre $y' \equal ay + b$ avec une condition initiale
Modéliser et résoudre avec les équations différentielles

IV.3 L'équation $y' \equal ay + f$

Proposition — Ensemble des solutions de $y' \equal ay + f$

Soit $a$ un réel non nul et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On suppose connue une solution particulière $y_p$ de l'équation $y' = ay + f(x)$. Alors les solutions sont exactement les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :$$ \textcolor{colorprop}{y(x) = y_p(x) + K e^{ax}} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$ Autrement dit : solution générale = solution particulière + solutions de $y' = ay$.

Preuve

Une fonction $y$ est solution si et seulement si $y' - ay = f(x)$. Comme $y_p$ est une solution, $y_p' - ay_p = f(x)$ également. En soustrayant :$$\begin{aligned}y \text{ solution} &\iff y' - ay = y_p' - ay_p \\ &\iff (y - y_p)' = a(y - y_p) \\ &\iff y - y_p = Ke^{ax}\end{aligned}$$ en utilisant la proposition pour $y' = ay$ à la dernière étape ; c'est-à-dire $y = y_p + Ke^{ax}$ avec $K \in \mathbb{R}$.

Exemple

On considère l'équation différentielle $y' = 2y + e^{x}$.

Vérifier que $y_p(x) = -e^{x}$ est une solution particulière.
Déterminer toutes les solutions de l'équation.
Déterminer la solution vérifiant $y(0) = 1$.

Correction

Vérification : $y_p'(x) = -e^{x}$, et$$ 2y_p(x) + e^{x} = -2e^{x} + e^{x} = -e^{x} = y_p'(x), $$ donc $y_p$ est une solution particulière.
Toutes les solutions : d'après la proposition, les solutions sont$$ y(x) = -e^{x} + Ke^{2x} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$
Condition initiale : $y(0) = -1 + K = 1$ donne $K = 2$, donc$$ y(x) = 2e^{2x} - e^{x}. $$

Compétences à pratiquer

Résoudre avec une solution particulière donnée

V Quand on ne sait pas résoudre

V.1 La méthode d'Euler

Lorsqu'une équation différentielle ne peut pas être résolue par une formule explicite, on peut approcher sa solution par des méthodes numériques. La méthode d'Euler est la plus simple : elle construit une ligne brisée dont chaque segment suit la pente donnée par l'équation au point calculé.
La méthode s'applique à une équation qui donne la valeur de $y'$ en tout point $(x ; y)$, par exemple $y' = f(x)$, où cette valeur est $f(x)$, ou $y' = ay + b$, où elle vaut $ay + b$. Avec une condition initiale $y(x_0) = y_0$, elle part du point $(x_0 ; y_0)$ et procède par étapes. On fixe un petit pas constant $h$. L'abscisse de chaque nouveau point s'obtient en ajoutant ce pas : $x_{n+1} = x_n + h$.
L'idée de la méthode est de remplacer la dérivée $y'$ par la pente du segment reliant deux points consécutifs, $(x_n ; y_n)$ et $(x_{n+1} ; y_{n+1})$ : $$ y' \text{ en } (x_n ; y_n) \approx \dfrac{y_{n+1} - y_n}{x_{n+1} - x_n} = \dfrac{y_{n+1} - y_n}{h}. $$ L'équation différentielle donne la pente de la courbe solution qui passe par un point quelconque ; au point calculé $(x_n ; y_n)$, cette pente est la valeur de $y'$ que l'équation y donne : $f(x_n)$ pour $y' = f(x)$, $ay_n + b$ pour $y' = ay + b$. En la prenant comme pente du segment suivant : $$ \dfrac{y_{n+1} - y_n}{h} \approx \text{valeur de } y' \text{ en } (x_n ; y_n). $$ En remplaçant $\approx$ par $=$, on définit la valeur calculée suivante $y_{n+1}$ : $$ y_{n+1} = y_n + h \times (\text{valeur de } y' \text{ en } (x_n ; y_n)). $$ Chaque valeur calculée $y_n$ est une valeur approchée de la valeur exacte $y(x_n)$. Les segments ainsi construits, mis bout à bout, forment une ligne brisée qui approche la courbe solution.

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Méthode — Méthode d'Euler

Pour approcher la solution d'une équation différentielle avec la condition initiale $y(x_0) = y_0$ et un pas $h > 0$, on obtient les coordonnées du point suivant $(x_{n+1} ; y_{n+1})$ à partir du point précédent $(x_n ; y_n)$ par les formules itératives : $$ \begin{cases} x_{n+1} = x_n + h, \\ y_{n+1} = y_n + h \times (\text{valeur de } y' \text{ en } (x_n ; y_n)), \end{cases} $$ où la valeur de $y'$ en $(x_n ; y_n)$ est donnée par l'équation différentielle :

pour $y' = f(x)$ : $y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n)$ ;
pour $y' = ay + b$ : $y_{n+1} = y_n + h\,(ay_n + b)$.

Le calcul est le même pour toute équation qui donne $y'$ en fonction de $x$ et de $y$ : on isole $y'$, puis on remplace $x$ par $x_n$ et $y$ par $y_n$. Par exemple, pour $y' = x - y$ : $y_{n+1} = y_n + h\,(x_n - y_n)$.

Proposition — Précision et erreur

La méthode d'Euler donne des valeurs approchées. Leur précision dépend de deux facteurs principaux :

La taille du pas ($h$) : Un pas $h$ plus petit conduit généralement à une meilleure approximation : pour les équations $y' = ay + b$, sur un intervalle borné, la ligne brisée se rapproche de la courbe solution quand $h \to 0$ (résultat admis). En contrepartie, cela demande plus d'étapes de calcul.
La convexité des courbes solutions : chaque étape suit la tangente à la courbe solution qui passe par le point calculé. Lorsque les courbes solutions atteintes par les points calculés sont toutes convexes, ou toutes concaves, sur l'intervalle considéré, cela décide du côté de l'erreur, à chaque étape.
- Si ces courbes sont convexes (c'est le cas lorsque $y'' > 0$), chaque tangente se situe en dessous de sa courbe ; lorsque chaque condition initiale détermine une seule solution, comme pour les équations $y' = ay + b$, deux courbes solutions ne se croisent jamais, donc chaque point calculé reste sous la solution exacte : la méthode d'Euler produit une sous-estimation.
- Si ces courbes sont concaves (c'est le cas lorsque $y'' < 0$), chaque tangente se situe au-dessus de sa courbe et, pour la même raison, chaque point calculé reste au-dessus de la solution exacte : la méthode d'Euler produit une surestimation.
Un pas trop grand met la règle en défaut : avec $y' = -2y$, $y(0) = 4$ et $h = 1$, le premier pas donne $y_1 = 4 + 1 \times (-8) = -4$, en un point où les courbes solutions sont concaves, et le second $y_2 = -4 + 1 \times 8 = 4$, bien au-dessus de $y(2) = 4e^{-4}$. Pour $y' = ay$, chaque pas multiplie $y$ par $1 + ah$ : lorsque $1 + ah > 0$, tous les points calculés gardent le signe de $y_0$, donc restent sur des courbes solutions $Ke^{ax}$ courbées dans le même sens que la vraie.

Exemple

On considère l'équation différentielle $y' = -2x$ avec la condition initiale $y(0)=3$.

À l'aide de la méthode d'Euler avec un pas $h=0{,}5$, déterminer une valeur approchée de $y(1)$.
En déterminant une primitive, déterminer la solution particulière $y(x)$.
Calculer l'erreur relative de la valeur approchée obtenue à la question 1, c'est-à-dire l'écart entre la valeur approchée et la valeur exacte, en pourcentage de la valeur exacte.
La valeur approchée de la question 1 est-elle une surestimation ou une sous-estimation ? Justifier en la comparant à la valeur exacte, puis l'expliquer par la façon dont la pente $y' = -2x$ varie sur $[0 \,;\, 1]$.

Correction

On part de $(x_0 ; y_0)=(0 ; 3)$ avec $h=0{,}5$. L'équation donne la valeur de $y'$ en $(x_n ; y_n)$ : c'est $-2x_n$, donc $y_{n+1} = y_n + h \cdot (-2x_n)$.
- Étape 1 : $y_1 = y_0 + h \cdot (-2x_0) = 3 + 0{,}5(-2\cdot 0) = 3$. Donc $y(0{,}5) \approx 3$.
- Étape 2 : $y_2 = y_1 + h \cdot (-2x_1) = 3 + 0{,}5(-2\cdot 0{,}5) = 3 - 0{,}5 = 2{,}5$.
La valeur approchée est $y(1) \approx 2{,}5$.
Une primitive de $-2x$ est $-x^2$, donc $y(x) = -x^2 + C$. La condition initiale $y(0)=3$ donne $C=3$, d'où $y(x) = 3 - x^2$.
La valeur exacte est $y_{\text{exact}} = 3 - 1^2 = 2$. La valeur approchée est $y_{\text{approx}} = 2{,}5$. L'erreur relative est $$ \text{Erreur} = \left|\frac{2 - 2{,}5}{2}\right| \times 100\pourcent = 25\pourcent. $$
$2{,}5 > 2$ : la valeur approchée est une surestimation. Explication : la pente $y' = -2x$ décroît sur $[0 \,;\, 1]$, et chaque pas d'Euler avance avec la pente au début du pas, la plus grande sur ce pas ; la ligne brisée descend donc moins que la courbe et reste au-dessus d'elle.

Compétences à pratiquer

Appliquer la méthode d'Euler
Comparer des solutions numériques et analytiques

V.2 La méthode d'Euler en Python

Méthode — La méthode d'Euler en Python

Comme chaque nouveau point ne dépend que du précédent, l'itération s'automatise facilement. La fonction ci-dessous applique la relation de récurrence $n$ fois et renvoie la dernière valeur approchée, ici pour l'équation $y' = -2x$. La fonction Python f(x, y) renvoie la valeur de $y'$ que donne l'équation au point $(x ; y)$ : ici $-2x$, qui ne dépend pas de $y$.

def f(x, y):
    return -2 * x

def euler(x0, y0, h, n):
    x, y = x0, y0
    for k in range(n):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
    return y

L'appel euler(0, 3, 0.5, 2) renvoie $2{,}5$ : en partant de $(0 ; 3)$, le premier pas laisse $y = 3$, car la pente $-2x$ est nulle en $x = 0$ ; le second donne $3 + 0{,}5 \times (-1) = 2{,}5$, valeur approchée de $y(1)$. En rangeant chaque couple $(x ; y)$ dans une liste à l'intérieur de la boucle, on obtient les points successifs de la ligne brisée, prêts à être tracés.

Exemple — La méthode d'Euler quand aucune formule n'existe

La fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ admet des primitives, dont aucune ne s'écrit avec les fonctions usuelles. On note $F$ celle qui vérifie $F(0) = 0$ : c'est la solution de $y' = e^{-x^2}$ avec $y(0) = 0$.

Utiliser la méthode d'Euler avec $h = 0{,}5$ pour obtenir une valeur approchée de $F(1)$.
Expliquer si cette valeur est une surestimation ou une sous-estimation.
Un programme Python appliquant la méthode d'Euler à cette équation donne environ $0{,}8220$ avec $h = 0{,}25$, et environ $0{,}7471$ avec $h = 0{,}001$. Que suggèrent ces valeurs ?

Correction

Ici la valeur de $y'$ en $(x_n ; y_n)$ est $e^{-x_n^2}$ : elle ne dépend pas de $y_n$. En partant de $(0 \,;\, 0)$ avec $h = 0{,}5$ : $$\begin{aligned}[t] y_1 &= 0 + 0{,}5 \times e^{0} = 0{,}5, \\ y_2 &= 0{,}5 + 0{,}5 \times e^{-0{,}25} \approx 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}7788 \approx 0{,}8894. \end{aligned}$$ Donc $F(1) \approx 0{,}889$.
Les solutions de $y' = e^{-x^2}$ sont les fonctions $F + C$ ; chacune a pour dérivée seconde $-2x\,e^{-x^2} < 0$ sur $]0 \,;\, 1]$ : toutes y sont concaves. Chaque étape tangente se situe au-dessus de sa courbe et deux courbes solutions ne se croisent jamais : $0{,}889$ est une surestimation.
Les valeurs diminuent quand le pas diminue, $0{,}889$, puis $0{,}822$, puis $0{,}747$ : elles suggèrent que les approximations descendent vers $F(1)$, proche de $0{,}747$. Sans aucune formule pour $F$, la méthode en donne des valeurs approchées.

Compétences à pratiquer

Implémenter la méthode d'Euler en Python

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Type bac
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Intervalle \(I\)
\(k\) (constante)	\(kx + C\)	\(\mathbb{R}\)
\(x\)	\(\frac{1}{2}x^2 + C\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq -1\))	\(\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\)	\(\mathbb{R}\) pour \(n\geq 0\), \(]-\infty ; 0[\) ou \(]0 ; +\infty[\) pour \(n\leq -2\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln(x) + C\)	\(]0 ; +\infty[\)
\(\frac{1}{x^2}\)	\(-\frac{1}{x} + C\)	\(]-\infty ; 0[\) ou \(]0 ; +\infty[\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)	\(2\sqrt{x} + C\)	\(]0 ; +\infty[\)
\(\sin(x)\)	\(-\cos(x) + C\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos(x)\)	\(\sin(x) + C\)	\(\mathbb{R}\)
\(e^x\)	\(e^x + C\)	\(\mathbb{R}\)

Fonction \(f\)	Primitive \(F\)	Condition sur \(u\)
\(u' \cdot u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq -1\))	\(\frac{1}{n+1}u^{n+1} + C\)	\(u(x) \neq 0\) si \(n < 0\)
\(\frac{u'}{u}\)	\(\ln(u) + C\)	\(u(x) > 0\)
\(\frac{u'}{u^2}\)	\(-\frac{1}{u} + C\)	\(u(x) \neq 0\)
\(\frac{u'}{\sqrt{u}}\)	\(2\sqrt{u} + C\)	\(u(x) > 0\)
\(u' e^u\)	\(e^u + C\)	–
\(u' \sin(u)\)	\(-\cos(u) + C\)	–
\(u' \cos(u)\)	\(\sin(u) + C\)	–